Zorn lemması

Zorn lemması veya Kuratowski-Zorn lemması, seçme aksiyomuna eşdeğer bir önerme olup şunu ifade eder: Kısmî sıralanmış bir kümedeki her zincir için zincirin her elemanından daha büyük bir eleman kümede olsun. Bu durumda kümede maksimum bir eleman vardır.

 Örnekler 

 Triviyal olmayan her halka içinde maksimal bir ideal barındırır 
, triviyal olmayan bir halka ve  ise 'deki tüm gerçek idealleri barındıran küme olsun. O halde 'de maksimum bir ideal bulmak ile 'de maksimum bir eleman bulmak eşdeğerdir. Ek olarak  triviyal olmadığı için  ve  set dahiliyetini kullanarak kısmi olarak sıralanabilir.

Zorn önsavını uygulamak için 'nin içinde bir zincir olarak  tanımlansın. Eğer  boş bir zincir ise, O halde  ideali 'nin elemanları için maksimum bir idealdir.  boş değil ise Zorn önsavına göre 'nin bir üst limiti olduğu gösterilmedilir. Yani öyle bir gerçek ideal  olmalı ki, 'nin bütün elemanları 'nin içinde olsun ama .

Buna göre , 'deki bütün ideallerin birleşimi olsun. 'nin bir idealin şartlarını karşıladığını gösterilmeli. Yani:


 Her  için  
 Her  için 

'nin boş olmadığı varsayıldığı için  ve ; 'deki bütün ideallerin birleşiminden oluştuğu için boş değildir.

, 'deki bütün ideallerin birleşiminden oluştuğu için  için öyle iki ideal  vardır ki  Fakat  bir zincir olup tam sıralı olduğundan ötürü ya  veya  geçerlidir. Birinci senaryoda  varsayılabilir ancak  halihazırda bir ideal olmasından ötürü tanımı gereği  İkinci senaryoda ise aynı argüman  için kullanılabilir.

 ise öyle bir ideal  vardır ki .  bir ideal olmasından ötürü yapısı gereği her  için  sağlanmaktadır.

Son olarak 'nin gerçek bir ideal olduğu teyit edilmeli. , gerçek bir ideal değil ise  ve 3. şarttan ötürü . Ancak  doğru ise 'nin içinde öyle bir ideal  vardır ki  yani . Fakat 'nin tanımında  idealı kümenin dışında tutulmuştur ve bu sebepten  zincirinin de bir parçası olamaz. Dolayısıyla .

Zorn Lemmasının şartlarının sağlanmasından ötürü 'de maksimum bir eleman olduğu çıkarılabilir. Başka bir deyişle 'de maksimal bir ideal vardır.

Kategori:Sıra teorisi
Kategori:Önsavlar