Halka

Halka, matematikte cebirin temel yapılarından biridir ve soyut cebirde tam sayıların soyutlamasıdır. Bu yapıyı işleyen dala halka kuramı denir. Halkalar diğer bir temel yapı olan grupların üzerine inşa edilir. Her halka, aynı zamanda değişmeli bir gruptur, ama bir halkadan daha fazla özelliği sağlaması istenir. Örneğin halkada grup işlemine ek olarak ikinci bir işlem daha vardır. Halkalara örnek olarak tam sayılar, modülo n sayılar, polinomlar ya da karmaşık sayılar verilebilir.

Halka her şeyden önce bir kümedir ve belli özellikleri sağlar. Bu özellikler aşağıda verilmiştir.
 Tanım 
 boştan farklı bir küme olsun. Bu küme üzerinde  ve  ikili işlemleri tanımlı olsun. Eğer;
  kümesi değişmeli bir grup,
  kümesi bir yarı grup ve
  işlemi  işlemi üzerine sağdan ve soldan dağılmalı
ise  kümesine halka denir. Bunların yanında eğer,
  kümesi bir birlik ise  kümesine birimli halka; ayrıca,
  kümesi değişmeli ise  kümesine değişmeli halka denir.

Bir halkanın birinci işlemi olan (genellikle toplama)  işleminin birim öğesine sıfır denir ve  ile gösterilmesi gelenektir. Halkanın ikinci işlemi olan (genellikle çarpma)  işleminin birim öğesi varsa bu birim öğeye bir denir ve geleneksel olarak  ile gösterilir.

Ayrıca bir halkada genellikle  olmadığı da bir belit olarak eklenir. Nitekim  olması bir çelişki yaratmaz ancak,  olduğunda R halkası tek öğeli bir küme olur. Bunu aşağıdaki gibi basitçe her sayının sıfıra eşit olduğunu göstererek kanıtlayabiliriz:

Halkanın tam tanımı için bir uzlaşma görülmüyor. Bazı matematikçiler (örneğin Ali Nesin) bir halkanın hem birimli hem bileşmeli hem de değişmeli olduğunu varsayar.Matematik Dünyası Dergisi, Kapak konusu: Halkalar, asallar ve indirgenemezler (1), sayı 2004-I (bahar), sayfa 30. Eğer birim öğesiz veya değişme özelliği olmayan bir halkadan bahsedilecekse birimsiz halka ya da değişmesiz halka denmiş olur. Bourbaki ya da Herstein gibi matematikçiler de birim öğesi olmayan halkalara yalancı halka demeyi tercih eder. Bu sayfada bahsedilen halkalar hem değişmeli hem bileşmeli hem de birim öğeli alınacaktır.

 Örnekler 

 tam sayılar toplamaya göre değişmeli bir gruptur, birim elemanı 'dır. Aynı zamanda tam sayılar üzerinde çarpma işlemi vardır, bu işlemin birim elemanı 'dir, çarpma değişmelidir, birleşmelidir ve toplama üzerine dağılır. Yani tam sayılar, birimli ve değişmeli bir halkadır.
bir  cismi için bir halka örneğidir. Halkalardan beklenen özelliklere ek olarak, çarpma işlemi değişmeli ise ve sıfır dışında her elemanın çarpmaya göre tersi varsa, bu özellikleri sağlayan halkalara cisim denir. Yani rasyonel sayılar, reel sayılar ve karmaşık sayılar birer halkadır.
Bir cismi için katsayısını bu cisimden alan polinomlar , polinom toplaması ve çarpması ile birlikte birimli ve değişmeli bir halkadır.
 girdileri herhangi bir  halkasından olan boyutundaki matrisler, matris toplaması ve çarpması ile birimli ama ( için) değişmesiz bir halkadır.

 Çeşitleri 

Halka çeşitleri şunlardır:
 Bölüm halkası
 Değişmeli halka
 Yalancı halka
 Yarı halka

 Kaynakça 

 Matematik Dünyası Dergisi, sayı 2004-I (bahar) sayfa 11-41 ve sayı 2004-II (yaz) sayfa 9-50.
 Thomas W. Hungerford, Algebra, springer-Verlag, 1974.
 T.O. Hawkes Hartley, Rings, modules and linear algebra, Chapman and Hall, 1994.
 Abdullah Harmancı, Cebir, Hacettepe Üniversitesi FF, 1987.

 Ayrıca bakınız 
 Cisim
 Grup

Kategori:Cebirsel yapılar
Kategori:Halka teorisi