Laplace dönüşümü

Matematikte, Laplace dönüşümü, zaman tanım kümesinde tanımlı bir fonksiyonu, frekans tanım kümesinde tanımlı bir başka fonksiyona dönüştürmek amacıyla kullanılır.

Laplace dönüşümü ile diferansiyel denklemler çözmesi daha kolay polinomlara dönüştüğü için, zamandan bağımsız doğrusal sistemlerin modellenmesinde ve diferansiyel denklemlerin çözülmesinde, başlangıç değer teoremi, son değer teoremi ve sınır değer problemi gibi çeşitli problemlerde, olasılık teorisinde ve ilgili fonksiyonun frekans karakteristiğini net bir şekilde göstermesinden dolayı sinyal işlemede de kullanılır.

İsim babası, bu yöntemi geliştiren Pierre-Simon Laplace'tır.

Verilen bir  fonksiyonunun (tüm  reel sayıları için tanımlı) Laplace dönüşümü  matematiksel olarak şöyle gösterilir:


 Özellikler ve teoremler 

Laplace dönüşümü doğrusal dinamik sistemlerin incelenmesini kolaylaştıran bazı özelliklere sahiptir. En önemli özelliği, türevi  ile çarpıma, integrali  ile bölmeye dönüştürmesidir. Yani, diferansiyel denklemleri, çözmesi daha kolay olan polinomlara dönüştürür. Denklem çözüldükten sonra ters Laplace dönüşümü ile zaman tanım kümesine tekrar dönülebilir.

Verilen f(t) ve g(t) fonksiyonları ve bunların Laplace dönüşümleri F(s) ve G(s) için

aşağıdaki tablo tek yanlı Laplace dönüşümünün özelliklerinin bir listesidir:

 + Tek yanlı Laplace dönüşümünün özellikleri
  	 Zaman tanım
	 Frekans tanım
 	 Yorum
   Doğrusallık


	 İntegralin temel kurallarıyla kanıtlanabilir.
   Frekans Türevlemesi


	   Genel Frekans Türevlemesi 


	 Genel olarak
   Türevleme


	 İntegralin açık hali yazılıp, bu integralde kısmi integrasyon yöntemi kullanılarak bulunabilir.
   İkinci Türevleme


	  fonksiyonuna Türevleme özelliği uygulanır. 
   Genel Türevleme


	 İkinci türevle ilgili sonuçtan tümevarımla bulunmuştur.
   Frekans Entegrasyonu


	   Entegrasyon


	  Heaviside adım fonksiyonudur.
   Ölçekleme


	  Frekans öteleme


	  Zaman öteleme


	  Heaviside adım fonksiyonudur.  Sarılım (Konvülsiyon)


	   Periyodik Fonksiyon


	  bir periyodik fonksiyon periyot  şöyle ki 

 Başlangıç değer teoremi:


 Son değer teoremi:
 , Paydanın kökleri sol taraf düzlemindedir.
 son değer teoremi bir fonksiyonun uzun dönem davranışını basit kesirlere ayırma veya diğer zorlu cebir işlemler uygulamaksızın verdiği için yararlıdır. Eğer bir fonksiyonun kökleri sağ taraf düzlemindeyse (örn.  or ) bu formülün davranışı tanımsızdır.

Ayrıca bakınız
 Matematiksel fonksiyonların listesi
 Fourier dönüşümü
 Z-dönüşümü
 Hankel dönüşümü

 Dış bağlantılar 
 http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi  (Verilen bir fonksiyonun hem Laplace ve Fourier dönüşümlerini, hem de ters dönüşümlerini hesaplayan bir site)

 Kaynakça 

 Bibliyografya 


Kategori:Dönüşümler
Kategori:Diferansiyel denklemler
Kategori:Fourier dönüşümü