Lineer dönüşüm

Matematikte ve lineer cebirde doğrusal dönüşüm veya lineer dönüşüm, iki vektör uzayı arasında vektör uzaylarının yapısını koruyan fonksiyonlara denir. , aynı  cismi (meselâ  veya ) üzerinde tanımlı iki vektör uzayı arasında bir fonksiyonsa ve bazı özellikleri sağlayarak vektör uzaylarının işlemlerini koruyorsa, 'ye lineer bir dönüşüm denir.

Aynı zamanda  birebir ve örtense (yani bijektifse) 'ye bir izomorfizma denir. Eğer  ise, yani 'nin başlangıç ve hedef uzayı aynıysa 'ye bir endomorfizma denir.  hem bir izomorfizma, hem de bir endomorfizma ise de 'ye bir otomorfizma denir.

Lineer dönüşümler vektör uzayı yapısını koruduğundan, her altuzayı yine bir altuzaya gönderir. Bir taban seçimiyle sonlu boyutlu vektör uzaylarında her lineer dönüşüm için bir matris temsili bulmak mümkündür.

 Tanımı ve temel sonuçları
 ve , iki  vektör uzayı,  de bir fonksiyon olsun. O zaman  şu iki özelliği sağladığında 'ye lineer dönüşüm denir:

 Homojenlik: Her  ve  için 
 Toplamsallık: Her  için

Diğer bir değişle  vektör uzayının işlemlerini korumaktadır, 'yi işlem yapmadan önce veya sonra uygulamak sonucu değiştirmez. Bu özellikler, daha genel olarak her  skalerleri ve  vektörleri içinşeklinde de ifade edilebilir. Yani lineer bir dönüşüm, lineer kombinasyonları korumaktadır.

 yerine  koyarak aynı zamanda  olduğunu da görebiliriz, yani her lineer dönüşüm sıfır vektörünü sıfır vektörüne gönderir.

Hedef uzayı ,  cisminin kendisiyse 'ye bir lineer fonksiyonel denir.

 Örnekler 

 En basit örneklerden biri,  şeklinde tanımlanan  fonksiyonudur.
 Her vektörü sıfıra götüren, sıfır fonksiyonu denen  fonksiyonu da her vektör uzayında lineer olan bir fonksiyon örneğidir.
 Her vektörü kendisine götüren, birim fonksiyon denen  fonksiyonu da lineerdir
 Reel sayılarda  şeklinde tanımlanan fonksiyon lineer değildir, malum  olmaktadır.
 Reel sayılarda  şeklinde tanımlanan fonksiyon lineer değildir, ancak afindir.
 , 'lik bir reel matris ise ,  ve  arasında  şeklinde bir lineer dönüşüm tanımlar.
 Türev, toplam ve çarpım kuralları sayesinde özelliğini sağlar ve bu yüzden türev de bir lineer dönüşüm örneğidir. Burada başlangıç kümesi mesela  sürekli türevlenebilir fonksiyonların vektör uzayı olabilirken hedef küresi de mesela  sürekli fonksiyonlar vektör uzayı olabilir.
 Belirli bir  aralığında alınan integral işlemi,  integral alınabilen fonksiyonlar vektör uzayı ile reel sayılar arasında lineer bir dönüşüm teşkil eder, çünkü her  ve  içinilişkisi geçerlidir.
 Sabit bir nokta belirlendikten sonra alınan belirsiz integral işlemi,  entegre edelibelir fonksiyonlar vektör uzayı üzerinde lineer bir dönüşüm tanımlar. Sabit bir nokta seçilmeden de entegre edilebilir fonksiyonlar uzayından, tüm fonksiyonların sabit fonksiyonlar uzayıyla bölüm uzayı arasında bir lineer dönüşüm teşkil eder.
 Rasgele bir değişkenin beklentisini bulma işlemi de lineerdir, çünkü  ilişkisi geçerlidir. Buna mukabil Standart sapma işlemi lineer değildir.

 Ayrıca bakınız
 Afin dönüşümler
 Sürekli doğrusal operatör

Kategori:Fonksiyonlar
Kategori:Lineer cebir