Küresel koordinat sistemi

Küresel koordinat sistemi, üç boyutlu uzayda nokta belirtmenin bir yoludur.

Küre üzerindeki bir nokta bu sistemde üç tane bileşenle ifade edilir, bunlar r,  ve ' dir. Koordinatların tanımlı oldukları aralıklar ve tanımları şu şekilde verilir.

: Yarıçap P ve (0,0,0) noktası arasındaki uzaklıktır. Tanım aralığı  olarak verilir.

: Enlem, z-ekseni ve çap arasındaki açıdır.  aralığında tanımlıdır. Polar açı olarak da adlandırılır.

: Boylam, x-ekseni ile çapın xy-düzlemine izdüşümü () arasındaki açıdır.  aralığında tanımlıdır. Diğer bir adı azimütal açıdır.

Bu sistem, dünya üzerinde coğrafi konum belirlerken kullanılan sistemdir. Dünya' nın yüzeyi üzerinde her noktada yarıçap aynı olduğundan, sadece enlem ve boylam ile bir yer belirlenebilir. Ayrıca fizikte küresel yapıya sahip sistemler, (dünya, güneş, yüklü bilye vs.) ele alınırken yine küresel koordinatlara geçiş yapılır. Küresel koordinatlarla Kartezyen koordinatlar arasındaki bağıntılar şu şekildedir.

Küresel koordinatlarda Laplasyen, diverjans ve gradyan Kartezyen koordinatlardakinden farklıdır. Jakobyen kullanılarak diferansiyel eleman hesaplanabileceği gibi şekilden de P noktası etrafında sonsuz küçük bir hacim elemanının büyüklüğü şu şekilde hesaplabilir.

Bu hacim elemanı bütün küre üzerinden integral alınarak R yarıçaplı kürenin hacmi bulunur.

Kalınlığı olmayan bir hacim elemanı, alan elemanı olacağından sonsuz küçük yüzey elemanı şu şekilde ele alınır.

Bu eleman bütün küre yüzeyi üzerinden integre edilirse R yarıçaplı kürenin alanı da bulunabilir.

Fizikte bu integraller herhangi bir yoğunluk fonksiyonuyla verilmiş elektrik ve yerçekimi alanındaki küreler için sıklıkla çözülür.

Küresel  koordinatlarda integrasyon ve diferansiyasyon 

Aşağıdaki denklemler varsayımı şu θ  eğim z den  (polar) axis (belirsiz x, y ve z ile karşılıklı olarak normaldir):

çizgisel öge için  dan  ya sonsuz yer değiştirmedir.


burada

 yükselen yön içinde yerel ortogonal birim vektörlerdir, sırasıyla
ve  kartezyen uzay içinde  birim vektörlerdir.

yüzey öge  dan  ya germe ve  yarıçapta(sabit) bir küresel yüzey üzerinde  ya  dır



Böylece diferansiyel katı açı dir



Yüzey öge  polar açının bir yüzeyi içinde sabit (başlangıç köşe ile bir koni) tir



 güney açısının bir yüzey içinde yüzey ögesi sabit (bir dik yarı-düzlem) dir



Hacim ögesi  dan  ya geriliyor,  ya   ve  ya  is



Böylece, örnek için, bir fonksiyon  üçkatlı integral ile R3 içinde her nokta üzerinde integrallenebilir



bu sistem içinde del işlemcisi  tanımlı değildir ve böylece gradyan, diverjans ve curl açıkça tanımlanmış olmalıdır:

 Kinematik 

Bir noktanın küresel koordinatlar içinde konumu  yazıldığında,

hız ise,

ve ivme,




Bir sabit φnın durumu içinde veya , bu kutupsal koordinatlar içinde vektör hesabına indirgenir.

 Ayrıca bakınız 
 GPS
 Coğrafi koordinat sistemi
 Silindirik ve küresel koordinatlarda del
 Küre
 Küresel harmonikler
 Silindirik ve küresel koordinatlarda vektör alanı

Kategori:Koordinat sistemleri