Fourier dönüşümü

Fourier dönüşümü, fizik, mühendislik ve matematikte, bir fonksiyonu, içerdiği frekansların belirtildiği bir biçime dönüştüren bir integral dönüşümüdür. Dönüşümün çıktısı, frekansa bağlı karmaşık değerli bir fonksiyondur. "Fourier dönüşümü" terimi, hem bu karmaşık değerli fonksiyon için hem de buna karşılık gelen matematiksel operasyon için kullanılmaktadır. Bu ayrımın netleştirilmesi gerektiğinde, Fourier dönüşümü bazen orijinal fonksiyonun frekans uzayında temsili olarak adlandırılır. Fourier dönüşümü, bir müzik akorunun sesini, onu oluşturan tonlara ayrıştırmaya benzer.İngilizce Vikipedi'den çevrilmiştir. 18 Aralık 2023.

Fourier dönüşümü, sürekli ve ayrık olarak ikiye ayrılabilir. İki dönüşüm de bir nesneyi ortogonal iki uzay arasında eşler. Sürekli nesneler için dönüşüm:

 ve

şeklinde verilir. Yukarıdaki dönüşümde görüleceği üzere x uzayındaki bir nesne k uzayında tanımlanmıştır. Bu dönüşüm diferansiyel denklemlerin çözümünde çok büyük rahatlık sağlar zira bu dönüşüm sayesinde x uzayındaki diferansiyel denklemler k uzayında lineer denklemler olarak ifade edilirler. K uzayında bu denklemin çözümü bulunduktan sonra ters dönüşümle x uzayındaki karşılığı elde edilir ki bu diferansiyel denklemin çözümüdür. Birinci dönüşümdeki ifade ikinci dönüşümde yerine oturtularak,

,

ifadesine ulaşılır. Parantez içindeki ifadenin  olduğu görülebilir. Anlaşıldığı üzere  eşlemesine Fourier Dönüşümü,  eşlemesine de Ters Fourier Dönüşümü denir ve bu eşlemeler (mapping) yapılırken baş harfleri büyük yazılarak gösterilir (FD ve TFD). Parantez içindeki ifadenin Delta fonksiyonunun temsili olması ise açıkça bir düz ve bir ters Fourier dönüşümü yapılan bir ifadenin kendine eşit olmasından kaynaklanır. Dönüşüm uzayları keyfi seçilebilir ancak fizikte, konum uzayından momentum uzayına ve zaman uzayından enerji uzayına De Broglie-Einstein denklemleriyle geçişler tanımlanmıştır.
Giriş

Örnek

Aşağıdaki görüntülerde Fourier dönüşümünün veren bir görsel ilüstrasyon sağlama ölçümü olan bir frekans bir özel fonksiyon içinde mevcuttur. Fonksiyon f(t) = cos(6πt) e−πt2 3 hertz'te salınım göstermektedir (eğer t ölçüsü saniyeler ise) ve 0 a doğru hızla gitme eğilimdedir. (bu denklem içinde saniye faktörü bir zarf fonksiyonu ve bir kısa vuruş içinde sürekli sinüzoidal şekillerdir. Bunun genel formu bir Gauss fonksiyonudur). Bu fonksiyon özel seçilmiş idi var olan bir gerçek Fourier dönüşümü için  kolayca çizilebilir. İlk görüntü bu grafı içerir.  hesaplamak için sırayla e−2πi(3t)f(t) integrali olmalıdır. İkinci görüntü bu fonksiyonun gerçel ve sanal kısımlarını gösterir. İntegrand'ın gerçel kısmı hemen hemen her zaman pozitif, çünkü eğer f(t) negatif ise, e−2πi(3t)'nin gerçek kısmı da negatiftir. Çünkü bu aynı kesirde salınıyorsa eğer f(t) pozitif ise, böylece e−2πi(3t)'nin gerçel kısmıdır. Sonuç olarak eğer integrandın gerçek kısım integrali ise bir göreceli büyük sayı alıyorsunuz (0.5 durumu içinde). Diğer taraftan, eğer  bir frekans ölçüsü için deniyorsanız bu mevcut değildir, da gördüğümüz durumu içindeki gibi yeterince salınan integrand gibi integral çok küçüktür. Genel durum bundan bir parça daha karışık olabilir, ama bu ruh içinde bir tek frekansın o kadar çok ölçüsü Fourier dönüşümü ve bir fonksiyon f(t) içinde mevcuttur.

Temel özellikler
Fourier dönüşümünün temel özellikleri aşağıdadır: .

 Doğrusallık

 Herhangi karmaşık sayılar a ve b için, eğer , ise  

 Öteleme

 Herhangi gerçek sayı x0 için, eğer    ise  

 Modülasyon

 Herhangi gerçek sayı ξ0 için eğer  ise  

 Ölçekleme

 bir sıfır-dışı gerçek sayılar a için, eğer h(x) = f(ax), ise        Durum a = −1 zaman-ters özellik için yer alır, bu durum: eğer h(x) = f(−x), ise 

 Birleşim

 Eğer    then  

 Özel olarak, eğer f  gerçek ve tek gerçeklik durumu var ise  , şöyle ki,  bir Hermisyen fonksiyondur.

 Ve eğer f saf sanal, ise  

 İntegrasyon

 Yerine koyma tanımı içinde, elde edilen

İşte böyle, başlangıç noktası içinde Fourier dönüşümünün evrimi () tüm  domenin üzerinde tüm f in integralinin eşitidir.

 Önemli Fourier dönüşümlerinin tabloları 
Aşağıdaki tablolar, bir kapalı bir şekilde Fourier dönüşümleri kaydedebilir.f(x), g(x) ve h(x) fonksiyonlar için burada  ile Fourier dönüşümü, sırasıyla  ve  ile ifade edilir. Sadece en yaygın üç kural dahildir. Bu, bu giriş 105 Fourier Fourier dönüşümü ile ve ters olarak düşünülebilir bir fonksiyonun ve orijinal fonksiyonunun dönüşümü arasında bir ilişki veren fark için yararlı olabilir.

 Fonksiyonel ilişkiler 
Bu tabloda Fourier dönüşümleri bulunabilir  veya .
  Fonksiyon  Fourier dönüşümü  birim, sıradan frekans  Fourier dönüşümü  birim, açısal frekans  Fourier dönüşümü  birim-olmayan, açısal frekans Açıklamalar   Tanım 101Doğrusallık 102Zaman domeni içinde kayma 103Frekans domeni içinde kayma, 102'nin çifti 104zaman domeninde ölçekleme. Eğer  is büyük ise   0 çevresinde yoğunlaşmıştır ve  yayılır ve düzleşir. 105ikilik.Burada  Fourier dönüşümü sütunu olarak aynı yöntem kullanılarak hesaplanması gerekmektedir.
 ve  veya  veya 'ın "yapay" değişkenleri değiştirme sonuçları. 106 107Bu 106'nın çiftidir 108 gösterimi  ve 'in  evrişimidir- bu kural evrişim teoremidir 109Bu 108'in çiftidir 110 için saf gerçekHermisyen simetridir.  karmaşık eşleniklerine ayrılır. 111 için bir saf gerçek çift fonksiyon,  ve   saf gerçek çift fonksiyondur. 112 için bir saf gerçek tek fonksiyon,  ve   saf sanal tek fonksiyonlar. 113       Karmaşık eşlenik, 110'un genellemesi

 Kare-integrallenebilir fonksiyonlar 
bu tablo içinde Fourier dönüşümleri  içinde bulunabilir,  veya   in eki.
  Fonksiyon  Fourier dönüşümü  birim, sıradan frekans  Fourier dönüşümü birim, açısal frekans  Fourier dönüşümü  birim-olmayan, açısal frekans  Açıklamalar    201dörtgen uyarı ve normalleştirilmiş sinc fonksiyon, burada sinc(x) = sin(πx)/(πx) olarak tanımlanır 202kural 201'in çifti dörtgen fonksiyon bir ideal alçak-geçiren filtredir ve sinc fonksiyon gibi bir filtrenin nedensel-olmayan uyarı yanıtıdır.sinc fonksiyon burada sinc(x) = sin(πx)/(πx) olarak tanımlanır 203 tri(x) fonksiyon üçgen fonksiyondur 204kural 203'ün ikilisi. 205u(x) fonksiyonu Heaviside birim basamak fonksiyon ve a>0. 206Bu üniter Fourier dönüşümleri için, Gauss fonksiyonu exp(−αx2), kendi Fourier αnın bazı seçimleri için dönüşüm olduğunu gösterir. Bu İntegrallenebilir olması için biz Re(α)>0 olmalıdır. 207a>0 için. Bu, bir bozunmuş üstel fonksiyonun Fourier dönüşümü  bir Lorentzyen fonksiyondur. 208Hiperbolik sekant  Fourier dönüşümünün kendisidir 209       Hermit polinomudur. Eğer a = 1 ise  Gauss-Hermit fonksiyonları Fourier dönüşüm işlemcisinin özfonksiyonudur.Bir türev için, bakınız Hermit polinomu. Formül n = 0 için 206'ya indirgenir.

 Dağılımlar 
Fourier dönüşümleri bu tablo () içinde bulunabilir veya  in eki.
  Fonksiyon  Fourier dönüşümü  birim, sıradan frekans  Fourier dönüşümü birim, açısal frekans  Fourier dönüşümü  birim-olmayan, açısal frekans   Açıklamalar    301δ(ξ) dağılımı  Dirac delta fonksiyonu'nu ifade eder. 302301'in kural ikizi. 303Bunu 103 ve 301'den izleyin 304101 ve 303 kuralından aşağıda  Euler formülü kullanılıyor:  305101 ve 303 kuralından aşağıda 
kullanılıyor 306 307 308Burada, n bir doğal sayılar sicimi  Dirac delta fonksiyonunun türevinin  n-inci dağılımıdır. Bu kural 107 ve 301 kuralından izlenir.Bu 101 ile kombine ediliyor, tüm polinomlar dönüştürülbilir. 309Burada sgn(ξ)  işaret fonksiyonudur. Unutmadan 1/x bir dağılım değildir.Bu fonksiyonların üyelerini test ediyor ise  Cauchy temel değeri kullanmak için gereklidir.Bu kural Hilbert dönüşümüçalışmalarında kullanılıyor 310 1/xn  homojen dağılım ve  dağılımsal türev ile tanımlanır 311Bu formül  0 > α > −1 için değerlidir.α > 0 için  başlangıçtan ortaya çıkan bazı tekil terimler bu 318 türevi ile bulunabilir. Eğer Re α > −1,ise   bir yerel integrallenebilir fonksiyondur ve gibi bir katkılı dağılım.Fonksiyon katkılı dağılımın  uzayına sağ yarı düzlemden bir holomorf fonksiyondur. Bu bir katkılı dağılıma bir benzersiz meromorfik uzantı kabul ediliyor, ayrıca   için α ≠ −2, −4, ... ile ifade edilir (bakınız homojen dağılım.) 312309 kuralının ikizidir. Ve yine  Cauchy temel değeri olarak düşünüldüğünde gerekli olan Fourier dönüşümüdür,. 313u(x) fonksiyonu Heaviside birim basamak fonksiyonudur; 101, 301 ve 312 kurallarından bunu izleyin. 314Bu fonksiyon Dirac comb fonksiyonu olanarak  bilinir. Bu, dağılımlar  ile birlikte       olarak aslında 302 ve 102  den elde edilebilir sonuçtur  315 J0(x) fonksiyonu  sıfırıncı dereceden birinci türün Bessel fonksiyonudur 316 Bu  315'in genellemesidir.Fonksiyon Jn(x) n-inci dereceden Besselbirinci türün Bessel fonksiyonudur.Fonksiyon Tn(x) birinci türün Chebyshev polinomudur 317  Euler–Mascheroni sabitidir. 318Bu formül 1 > α > 0 için değerdir. Yüksek üsteller için türev formülüne kullanılan diferansiyasyondur.u Heaviside fonksiyonudur.

 İki-boyutlu fonksiyonlar 
  Fonksiyon  Fourier dönüşümü  birim, sıradan frekans  Fourier dönüşümü  birim, açısal frekans  Fourier dönüşümü  birim-olmayan, açısal frekans400   401402

Açıklamalar

400 için: Değişkenler ξx, ξy, ωx, ωy, νx ve νy gerçek sayılardır.
Integraller tüm düzlem üzerinde alınır.

401 için: Her iki fonksiyon birim hacmine sahip olmayabilen Gauss vardır.

402 için: Fonksiyon circ(r)=1 0≤r≤1 ile tanımlanır ve 0 diğerleridir. Bu  Airy dağılımıdır ve J1 bağıntısı kullanılır (ilk tür'ün  derece 1 Bessel fonksiyonu). 

 Genel n-boyutlu fonksiyonlar için formüller 
  Fonksiyon  Fourier dönüşümü  birim, sıradan frekans  Fourier dönüşümü  birim, açısal frekans  Fourier dönüşümü  birim olmayan, açısal frekans 500   501502503504 

Açıklamalar 
501 için: Fonksiyon  aralığının gösterge işlevi . Fonksiyonu Γ(x) gama fonksiyonudur.  fonksiyonu için  ile, birinci tür bir Bessel işlevidir. alınması ve  402 üretir. 

502 için: Riesz potansiyeline bakınız. Formül Analitik devamlılığı ile tüm  için  tutar, ama sonra fonksiyonu ve onun Fourier dönüşümlerinin uygun düzenlilestirmeye katkılı dağılımları olarak anlaşılması gerekir - formül aynı zamanda tüm α ≠-n,-n için de geçerlidir. Homojen dağılıma bakın.

503 için: Bu, 0 ortalama ile 1 normalize bir çok değişkenli normal dağılım için formül Bold değişkenler vektörler ve matrislerdir. Anılan sayfa ifadenin ardından, and 

504 için: Burada .Bakınız

 Ayrıca bakınız 

 Matematiksel fonksiyonların listesi
Ayrık Fourier dönüşümü
Hızlı Fourier dönüşümü
Fourier serisi
Fraksiyonel fourier dönüşümü
Dolaylı Fourier dönüşümü 
Hankel dönüşümü
Laplace dönüşümü
NGC 4622,NGC 4622 Fourier dönüşümü özellikle görüntü m = 2.
Z-dönüşümü

 Kaynakça 

 .
 .
.
 .
 .



 .
 .
 .
 .
 .





 .
 .
.
 .
 .
 .
 .
 .
 .

 Dış bağlantılar 



Dönüşüm
Kategori:İntegral dönüşümler
Kategori:Birim işlemciler
Kategori:Matematiksel fizik
Kategori:Teorik fizik
Dönüşüm