Eylemsizlik momenti

Atalet momenti veya eylemsizlik momenti (SI birimi kilogram metrekare - kg·m²), dönmekte olan bir cismin, dönme hareketine karşı durmasına eylemsizlik momenti denir. Eylemsizlik momenti, toplam dönme hareket gücüne karşı direnç oluşturur ve bu yüzden cisim, tam verimde dönemez.

 Tanım 
küçükresim|sol|280px|Döner sandalye deneyi eylemsizlik momentini açıklar. Sandalyede dönen profesör kollarını açtığında eylemsizlik momenti artar; açısal momentumu korumak için açısal hızı azalır.
Deney Makedonya Üsküp Cyril ve Methodius Üniversitesinden Prof. Oliver Zajkov tarafından yapılmıştır.
Eylemsizlik momenti katı (bükülmez) cisimlerin, kendi rotasyon hareketlerindeki değişime karşı eylemsizliğini gösterir. Duran bir cismin eylemsizliği cismin kütlesi olduğu gibi, dönen bir cismin eylemsizliği de eylemsizlik momentidir. Eylemsizlik momenti kavramı iki başlık altında incelenir. Alan eylemsizlik momenti ve kütlesel eylemsizlik momenti:

 Alan eylemsizlik momenti (Kesit/Polar atalet momenti): Rastgele seçilen bir koordinat sistemine göre bir cismin iki boyutu (yüzeyi) ele alınmış olsun. Bu yüzey, rastgele seçilen koordinat sisteminin bir eksenine dik olsun. Yüzeyin şekil değiştirmeme isteğinin yüzeyi içine alan eksenlere göre tanımlanmış haline alan eylemsizlik momenti denir. Cismin seçilen yüzeyine dik eksen z ekseni olsun. Yani incelenen düzlem x-y düzlemi üzerindedir. Bu şekliyle alan eylemsizlik momenti x eksenine ve y eksenine göre ayrı ayrı tanımlanabilir.
 Eylemsizliğin bulunması istenen yüzey homojen ve tek boyutlu ise ; iki boyutlu ise ; üç boyutlu ise  kullanılır.
 Alan eylemsizlik momenti formülü, malzemelerin burulması ve eğilmesiyle ilgili hesaplamalarda kullanılır. Özet olarak, yüzey şeklini değiştirmeye çalışan kuvvete koyduğu tepkidir. Birimi metre4 dür. Yani yüzeyin ufak bir değişimine olan tepki çok fazla yansıyacaktır.
 Kütlesel Atalet Momenti: Hareketin çeşitli koordinat sistemlerinde (kartezyen koordinat sistemi, yarı kutupsal koordinat sistemi, doğal koordinat sistemi) vektörel olarak tanımlanmasıyla, yer vektörünün zamana göre iki kez türevi alınmasıyla ivmenin vektörel olarak büyüklüğü belirlenmiş olur. Bu ivmeye ait kütle eylemsizlik momenti oluşturur. Bu da  formülasyonu ile gösterilmektedir.
 Kütlesel atalet momentini tanımlamak için hareketli cismin dinamik (hareketli) ve statik(durgun) hallerdeki durumlarına uygun olan, cisim üzerinden noktalar belirlenmelidir.
 Genel olarak statik cisimler tek noktaya indirgenir. Yani, durgun halde L uzunluğunda homojen bir silindirin ağırlık ve kütle merkezi olan tam ortasına indirgenir ve sanki cisim orada toplanmış gibi düşünülür. Fakat dönme veya salınım hareketi yaptığında bir noktaya göre tanımlamak bazı durumlarda dinamik özellikleri yansıtmayabilir. Bu nedenle, çubuğu iki noktaya ya da dönme veya salınım hızı arttıkça üç noktaya indirgenebilir. Hareketin karmaşıklığı arttıkça kütlenin indirgendiği nokta sayısı da arttırılabilir. Fakat dört noktadan fazlası problemin çözümünden sapmayı arttırır.
sağ|küçükresim|Eylemsizlik momenti örnekleri

Hesaplanması
 kütleli noktasal bir cisim  uzaklığındaki bir eksen etrafında dönerse bu cismin eylemsizlik momenti  olarak tanımlanır. Eğer cisim çok sayıda parçacıktan oluşmuşsa her bir parçacığın  si toplanarak cismin eylemsizlik momenti bulunur. Yani cisim sonsuz küçüklükteki  kütlelerinden meydana geliyorsa bu cismin eylemsizlik momenti
 olur.
Örneğin  boyundaki  kütleli düz bir çubuğun kütle merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momenti şöyle hesaplanır:
  boyundaki küçük bir parçanın kütlesi  ise 
 Eksen çubuğun kütle merkezinden geçtiği için integralin sınırları  ve  olur. Bulduğumuz  yi formülde yerine koyarsak 
  ve  sabit olduğundan integralin dışına çıkar, integrali çözersek
 bulunur.

Paralel eksenler teoremi
Paralel eksenler teoremi, kütle merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momenti bilinen bir cismin bu eksenden  uzaklıktaki eksene göre eylemsizlik momentini bulmaya yarar. Bu teoreme göre

Örneğin bir çubuğun ucuna göre eylemsizlik momenti paralel eksenler teoremi kullanılarak şu şekilde hesaplanır:
Çubuğun kütle merkezine göre eylemsizlik momenti , çubuğun ucu, merkezden  uzaklıkta. Denklemde bunları yerine koyarsak

Bu sonuç bir çubuğu; merkezinin etrafında döndürmenin, ucunun etrafında döndürmeye göre daha kolay olduğunu gösterir.

Kütleyle olan benzerliği
Kütle, bir cismin öteleme hareketindeki eylemsizliğidir. Eylemsizlik momentiyse dönme hareketindeki eylemsizliktir. Bu ikisi arasındaki benzerlik hareket formüllerinde görülebilir.
              Öteleme hareketi  Dönme hareketi Öteleme kinetik enerjisi ve dönme kinetik enerjisi     Doğrusal momentum ve açısal momentum                                         Kuvvet ve tork                                                              
: hız
: açısal hız
: kütle
: ivme
: açısal ivme

 Bâzı cisimlerin eylemsizlik momentleri 

Aşağıdaki hesaplamalarda cisimlerin homojen oldukları kabul edilmiştir.

NOT: Dönme ekseni aksi belirtilmedikçe kütle merkezi olarak kabul edilecektir. Ix dönme eksenin x ekseni, Iy dönme eksenin y ekseni, Iz dönme eksenin z ekseni olduğunu gösterir. 

 Tanım  Şekil  Eylemsizlik Momenti  Açıklama r yarıçaplı ve m kütleli ince silindir kabuk. orta   Burada silindirin kalınlığı ihmal edilecek kadar küçüktür.  İçinde silindir şeklinde oyuk bulunan büyük bir silindir. İç yarıçapı r1, dış yarıçapı r2, yüksekliği h ve kütlesi m. orta|153x153pik   r yarıçaplı, h yükseklikli ve m kütleli içi dolu silindir. orta|190x190pik Bu bir önceki nesnenin r1=0 olduğu özel bir durumudur. r yarıçaplı ve m kütleli ince, içi dolu disk.orta|170x170pik Bir önceki nesnenin h=0 için özel durumudur.r yarıçaplı ve m kütleli çember.orta|170x170pik Burada Iz dönme ekseninin z olduğunu gösterir. r yarıçaplı ve m kütleli içi dolu küre.orta|170x170pik Bir disk yarıçapı 0'dan r kadar değişen disklerin sonsuz ince disklerin birleşimi olarak kabul edilebilir.r yarıçaplı m kütleli içi boş küre.orta|170x170pik Katı küreye benzer bir şekilde boş küre de çemberlerin birleşimi olarak düşünülebilir.a dönme eksenli ve m kütleli, a, b ve c yarı eksenli Elipsoid orta|170x170pik—r yarıçaplı, h yüksekli ve m kütleli dik koniorta|123x123pik—Yüksekliği h, eni w, derinliği d ve kütlesi m olan dikdörtgenler prizması.orta  kenar uzunluklu küp için,  olur.Yüksekliği D, genişliği W, uzunluğu L ve kütlesi m olan içi dolu diktörtgenler prizması en uzun köşegen ekseninde döndürlürse.orta|140x140pik  kenarlı küp için, .İnce diktörtgen düzlem. h yüksekliği,w genişliğ ve m kütlesi.orta|180x180pik İnce diktörtgen düzlem. h yüksekliği,w genişliğ ve m kütlesi. (Dönme ekseni diktörtgenin ucunda) orta|180x180pik L uzunluklu ve m kütleli ince çubuk.orta|94x94pik Bu eşitlik çubuğun kalınlığının önemsiz olduğunu varsayar. Bu durum bir önceki nesnenin w = L veh = 0 olduğu özel bir durumudur.L uzunluklu ve m kütleli ince çubuk. (Dönme ekseni çubuğun sonunda)orta|85x85pikBu eşitlik çubuğun kalınlığının önemsiz olduğunu varsayar. Bu da diktörtgenin h = L ve w = 0 olduğu özel bir durumudur.İç yarıçapı a, kesit yarıçapı b ve kütlesi m olan Torus.orta|185x185pikÇap etrafında: Düşey eksen etrafında: —Poligon düzlemi.Kenarları , , , ...,  ve kütlesi  iç kısımda homojen dağılımlı, düzleme dik ve merkez ekseninde dönmekte.orta|130x130pik— Sonsuz disk. Kütlesi dönme ekseni etrafında normal dağılım göstermekte.
(Örneğin: 

Burada :  x ve y'nin fonksiyonu olarak kütle yoğunluğu'dur.). orta|130x130pik   Aralarında x uzaklığı bulunan M ve m kütleli iki nokta.   etkin kütle'i göstermektedir.   

 Kaynakça 

Kategori:Dönme
Kategori:Fiziksel nicelikler
Kategori:Mekanik