Abel teoremi

Matematiğin bir ana dalı olan analizde, özellikle gerçel ve karmaşık analizde, Abel teoremi, Abel limit teoremi ya da  Abel yakınsaklık teoremi, bir kuvvet serisinin limitini katsayılarının toplamıyla ilişkilendiren önemli bir sonuçtur. Teorem, bu sonucu 1826'da kanıtlayan Norveçli matematikçi Niels Henrik Abel'in adını taşımaktadır.

 Teoremin ifadesi 

 Gerçel değişkenli kuvvet serileri için ifâdesi 
Yakınsaklık yarıçapı  olan ve katsayıları gerçel sayı olan bir Taylor serisini ele alalım:

Eğer  serisi yakınsaksa, o zaman,  fonksiyonu  noktasında soldan süreklidir. Diğer deyişle,

olur.

 Karmaşık değişkenli kuvvet serileri için ifâdesi 
Gerçel değişkenli kuvvet serileri için verilen sonucun karmaşık değişkenli kuvvet serileri için geliştirilmiş hâli de vardır: - Ahlfors, teoreme Abel limit teoremi adını vermiştir. Bölüm 2.2.5'teki Theorem 3e bakınız. 
Yakınsaklık bölgesi birim disk  olan ve katsayıları karmaşık sayı olan bir Taylor serisini ele alalım:

Eğer  serisi yakınsaksa, o zaman   fonksiyonunun sabit bir  tarafından 

biçiminde tanımlı bir Stolz dilimi içinden  noktasında limiti vardır.

Geometrik bir bakış açısıyla, limitin  noktasına çembere teğet olmadan yaklaşması lazımdır. Birim disk içinde yer alan bu biçimdeki yaklaşma bölgesinde tepe noktası dir, bölge  eksenini ortalar ve elbette tepe açısıBu açıya Stolz açısı da denilir. den azdır. Çember üzerindeki bir noktaya bu tür bölgelerden yaklaşılan limitlere  teğet olmayan limit denir. Teoremin varsayımındaki  teğet olmayan limit bahsi teorem için gereklidir. Gerçekten de bu bölge dışından yaklaşıldığında teoremde bahsedilen sonuca karşıt örnekler bulunabilir. Örneğin, 

serisini

olacak şekilde tanımlayalım.  serisi sıfıra yakınsaktır; çünkü, serinin kısmî toplamları  için

olduğu görülebilir.  dizisinin limiti elbette sıfırdır. Diğer taraftan, , birim disk 'nin tıkız altkümeleri üzerinde mutlak ve düzgün yakınsaktır; bu yüzden, açık disk üzerinde holomorftur. Gerçekten,   iken

Diğer taraftan, benzer sebeplerle,  fonksiyonunu 
olarak yazmanın sakıncası yoktur; çünkü, seri, iki yakınsak serinin farkı olarak yazılmıştırBu iki serinin yakınsaklık kanıtı için yine aynı türden eşitsizlikler kullanılabilir.  serisinin  noktasında 0'a yakınsadığı buradan da görülebilir. Ancak, teğet olmayan limit alınmadığında, meselâ, birim çember üzerinde  noktaları üzerinden limit alındığında seri harmonik serinin bir katı olarak ıraksak olacaktır. Bu yüzden, limitin teğet olmayan limit olması lazımdır.

 Kanıt taslağı 
Serideki ilk terimden gerekirse serinin değerini çıkararak  varsayabiliriz. Kısmi toplamlar  ile gösterilsin.  ifâdesini kullanarak ve seride birkaç basit işlemden sonra

elde ederiz.
Herhangi bir   değeri içi  sayısını yeteri kadar büyük seçelim öyle ki bütün  için  olsun. O zaman,   Stolz diliminin içindeyken

olur. Bu nedenle, , 'e yeteri kadar yakın olduğunda 

olacaktır. Böylece, , 'e yeteri kadar yakın olduğunda ve Stolz diliminin içindeyken   olur.
 Sonuçlar 
Bu teoremin doğrudan bir sonucu olarak, eğer  sıfırdan farklı bir karmaşık sayıysa ve bu  için  serisi yakınsaksa, o zaman 
 olur.

 Stolz dilimi  
küçükresim|upright=1.14|right| 1.01'den 10'a kadar değişirken alınan 20 Stolz dilimi. Kırmızı çizgiler, bu dilimlere  noktasındaki teğetlerdir ve aynı zamanda Stolz açısını da vermiş olurlar.

 şeklinde tanımlanan Stolz diliminin sınırları için

şeklinde açık bir denklem vardır.  noktası bu dilimin en soldaki noktası olurken, 
en sağdaki nokta da  olmaktadır.  noktasındaki tepe açısı  olmaktadır ki bu açı ile  arasında  ilişkisi vardır.

 Örnekler 
Abel teoreminin uygulaması olarak  ele alalım. 
Geometrik serinin,  iken yakınsak olduğu ve  biliniyor. Diyelim ki,  olsun. O zaman,

olurken diğer taraftan düzgün yakınsaklıktan 

olur. Böylece,  için bir taraftan  varken, aynı zamanda 

olmaktadır. O zaman, Abel teoremi sayesinde,  serisi  değerine yakınsar.

Başka bir benzer örnek   serisi için verilebilir. Ters tanjant fonksiyonu için

bilindiği için, 

serisi 
 değerine yakınsar.

 Notlar 

 Kaynakça 

 Dış bağlantılar 
  (İngilizce) --(Bu tipteki Abel teoremlerine daha genel bir bakış veriliyor)
 (İngilizce)
  (İngilizce)

 Ayrıca bakınız 
 Abel testi

Kategori:Gerçel analiz teoremleri
Kategori:Karmaşık analiz teoremleri
Kategori:Matematiksel seriler
Kategori:Niels Henrik Abel
Kategori:Toplam yöntemleri