Binom açılımı

Matematikte binom açılımı, iki sayının toplamının üslü ifadesinin cebirsel açılımıdır. Teoreme göre, (x + y)n formatında yazılmış bir polinom, b,c  0, b +c = n, axbyc formatındaki terimlerin toplamı şeklinde yazılabilir. Bu ifadede b,c,n  N, b 0, c 0, b+c=n, a> 0 koşulları sağlanmalıdır.

a katsayısı binom katsayısı olarak da bilinir. Verilen n ve b değerlerine göre değişiklik gösteren bu katsayı Pascal üçgeninden elde edilebilir. Bu katsayı aynı zamanda kombinasyonla  veya  şeklinde ifade edildiğinde ise n sayılı bir kümeden seçilen b elemanın kombinasyonunun sayısını gösterir.

 Tarihçe 
Binom teoreminin bazı özel formları MÖ 4. yüzyılda Yunan matematikçi Öklid'in üs 2 iken binom teoreminden bahsettiğinden beri bilinmektedir. Hindistanda ise kübik üsler için binom teoreminin bilindiğine dair bazı kanıtlar bulunmaktadır.Weisstein, Eric W. "Binomial Theorem". Wolfram MathWorld.Coolidge, J. L. (1949). "The Story of the Binomial Theorem". The American Mathematical Monthly. 56 (3): 147–157. doi:10.2307/2305028. JSTOR 2305028.

Hint matematikçiler aynı zamanda binom katsayısını kombinasyonla ifade etmeye de çalışmışlardır. Bu yaklaşımdan ilk kez Hint fizikçi Pingala'nın Chandaḥśāstra adlı eserinde görülmüş ve çözümü için metot gösterilmiştir.Jean-Claude Martzloff; S.S. Wilson; J. Gernet; J. Dhombres (1987). A history of Chinese mathematics. Springer. Halayudha 10. yüzyılda bunu bugün Pascal üçgeni olarak bilinen yöntemi kullanarak açıklar. Hint matematikçilerin 6. yüzyıldan itibaren bunu bir katsayı olarak ifade ettikleri tahmin edilmektedir ve bunun  şeklinde yazıldığına 12. yüzyılda Bhāskara'nın yazdığı Lilavati'de rastlanır.Biggs, N. L. (1979). "The roots of combinatorics". Historia Math. 6 (2): 109–136. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0.

 Temel binom açılımı 
n bir doğal sayı iken,


Burada ,  'nin  'li kombinasyonudur.

Daha da genel bir formül olarak  örnek gösterilebilir.

 Genelleştirilmiş binom açılımı 
Kombinasyon tanımı gerçel ve karmaşık sayıları kapsayacak şekilde genelleştirildiği takdirde;


'in bir doğal sayı olma şartı ortadan kalkar.

 Ayrıca bakınız 
 Pascal üçgeni
 Binom dağılımı
 Kombinasyon
 Taylor serisi

 Kaynakça 

Kategori:Faktöriyel ve binomi konuları
Kategori:Cebir teoremleri
Kategori:Polinomlar hakkındaki teoremler