Hölder eşitsizliği

Matematiğin bir alt dalı olan analizde Hölder eşitsizliği Lp uzaylarının çalışılmasında sıklıkla kullanılan temel eşitsizliklerden birisidir. Eşitsizlik, Alman matematikçi Otto Hölder'in adını taşımaktadır.

Hölder eşitsizliği,  uzayındaki üçgen eşitsizliği olan Minkowski eşitsizliğini kanıtlarken ve ayrıca,  ve  ve  birbirinin Hölder eşleniği olmak üzere,  uzayının   uzayının eşiz uzayı olduğunu gösterirken kullanılır.

 Tarihçe 
Hölder eşitsizliği, biraz farklı bir biçimde, ilk olarak Leonard James Rogers tarafından bulunmuştur.. Rogers'ın çalışmalarından ilham alan Hölder, dışbükey ve içbükey fonksiyonlar kavramını geliştiren ve bugün Jensen eşitsizliği olarak bilinen eşitsizliği de ortaya koyan bir çalışmanın parçası olarak başka bir kanıt sunmuştur. Yani, aslında, Johan Jensen'in çalışması Hölder'in daha önceki çalışması üzerine inşa edilmiştir.

 Eşitsizliğin ifâdesi 
 bir ölçü uzayı olsun,  ise  eşitliğini sağlasın. O zaman,  üzerinde tanımlı ve gerçel ya da karmaşık değerler alan, ölçülebilir her  ve  fonksiyonu için, Hölder eşitsizliği adı verilen, şu eşitsizlik sağlanır:

Ayrıca, ,  ve  ise, o zaman  yukarıdaki verilen eşitsizlikteki eşitlik durumu ancak ve ancak  ve   içinde doğrusal bağımlı ise gerçekleşir; diğer deyişle,

olması için belli  sayıları için  eşitliği  ölçüsüne göre hemen hemen her yerde sağlanır.

Yukarıdaki gibi verilen  sayılarına birbirinin Hölder eşleniği adı verilir.  özel durumunda ise Hölder eşitsizliğin aldığı hâl Cauchy-Schwarz eşitsizliği olarak bilinir.

 Özel durumlar 
 Sayma ölçüsü 
 boyutlu Öklid uzayında, sayma ölçüsü alınıp  olduğunda, her  için, Hölder eşitsizliği

eşitsizliği halini alır.

 Kaynakça 

Kategori:Eşitsizlikler
Kategori:Olasılık eşitsizlikleri
Kategori:Fonksiyonel analiz teoremleri
Kategori:Lp uzayları