Küre

Küre (Arapça كرّة‎, kurra(t)), 3 boyutlu geometride bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar kümesidir.. O noktaya kürenin merkezi, kürenin merkezinin diğer noktalara uzaklığına kürenin yarıçapı () denir. Kürenin en eski örnekleri Antik Yunan matematikçilerinin çalışmalarında görülür.

Küre, matematiğin pek çok alanında temel kabul edilen bir konudur. Doğada ve endüstride insanların karşısına pek çok yerde çıkar. Sabun köpükleri küre şeklinde oluşur, Dünya'nın şekli yaklaşı olarak bir küredir, optik alanındaki çeşitli ayna ve merceklerin tasarılarında küre geometrisinden yararlanılır. Spor branşlarında kullanılan pek çok top, yuvarlanma özelliğinden dolayı küre biçimindedir.

Temel terminoloji
küçükresim|Bir kürenin iki dik yarıçapı
, kürenin yarıçapını, yani merkez ile küre yüzeyindeki herhangi bir noktanın arasındaki doğru parçasını temsil eder. Bazen bu doğru parçasının uzunluğunun skaler değerine de vurgu yapabilir.

Bir yarıçap, aynı doğrultudaki diğer yarıçap ile birleşirse bu doğru parçası kürenin çapı olur. Çap, merkezden ve kürenin yüzeyindeki iki noktadan geçen doğru parçasını ifade eder.  veya bazen  ile ifade edilir. Uzunluğu, yarıçap uzunluğunun iki katıdır. Formülle ifade edilirse "" olur. Kürenin içinde çizilebilecek en uzun doğru parçasıdır. Çapın temas ettiği küre yüzeyindeki iki nokta, birbirinin "antipodu" olarak adlandırılır.

Birim küre, yarıçap uzunluğu 1 birim olan () küreye denir. Bu küreler genellikle problemleri basite indirgeyerek simüle eden hesaplamalarda kullanılır. Birim kürenin merkezi genellikle hesaplamayı basitleştirmek adına başnokta (orijin) kabul edilir.

küçükresim|Bir kürenin büyük dairesi
Büyük daire, bir küreyi iki eş parçaya bölen daireye denir. Aynı zamanda küre içine çizilebilecek en büyük dairedir. Küreyi böldüğü eş parçalara yarım küre denir.

Dünya'nın şekli tam olarak küresel olmasa da küreye benzetilebilir. Dünya'nın merkezinden geçen bir dönme ekseni mevcuttur. Bu eksenin yüzey ile kesişim noktalarında kuzey ve güney kutupları bulunur. Kutuplara eşit uzaklıkta ekvator adında bir büyük daire bulunur. Kutup noktalarından geçen büyük dairelere boylam veya meridyen denir. Ekvatora paralel enlem daireleri bulunur. Dünya tam olarak küre şeklinde olmadığı için bu kavramların verilen tanımları tam olarak doğru değildir ve yanlış anlaşılma doğurmayacağına emin olarak kullanılmalıdır.

Denklemler
Analitik geometride  merkezli ve  yarıçaplı kürenin üç boyutlu Öklid uzayında  eksenlerine göre denklemi aşağıdaki şekildedir.

Kuadratik (ikinci derece) bir polinomla ifade edilebildiği için küre'nin kuadratik bir yüzey olduğu söylenebilir.

 reel sayılar ve  olmak üzere

Olsun. Bu değerlen ile yazılan şu eşitlikte,

 olması halinde eşitlik reel çözüme sahip olamaz. Bu durumda bu küre hayalî küre olarak adlandırılır.  ise  eşitliğinin çözümü sadece  noktasında sağlanabilir. Bu, yarıçap uzunluğu 0 olan bir küre anlamına gelir ve bu küreye noktasal küre denir.  durumunda ise  eşitliğini sağlayan değerler,  merkezli ve  yarıçaplı gerçek bir küre oluşturur.

Yukarıdaki eşitlikte  olursa eşitliğin çözümü, bir düzlem gibi davranır. Kürenin yarıçapı , sonsuzdaki bir noktada konumlanır ve yarıçap uzunluğu da sonsuz olur..

Parametrik
 merkezli ve yarıçapı sıfırdan büyük bir küre, trigonometrik fonksiyonlar ile bir parametrik denklem hâlinde yazılabilir.
.
Kullanılan semboller, küresel koordinatlar ile aynıdır.  bir sabittir,  0 ile  arasında değişirken ve  0 ile  arasında değişir.

 Özellikler 

 Hacim 
bağlantı=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Sphere_and_circumscribed_cylinder.svg|küçükresim|Küre ve küreyi çevreleyen silindir
Üçüncü boyutta bir kürenin hacmi;

formülüyle hesaplanabilir. Formülde  yarıçap,  çap,  hacim değerini ifade eder. Formül, ilk defa MÖ 225'te Arşimet tarafından yazılan Küre ve Silindir Üzerine isimli kitapta geçer. Kitapta Arşimet, kürenin hacminin küreye teğet olan silindirin hacmine oranının  olduğunu ispatlamıştır ve bu ispat, bu formülün temelini oluşturur.. Formül, bir yarım kürenin üstüne yüzeyleri teğet bir koni yerleştirilerek de kanıtlanabilir. Koninin bir enine kesitinin alanı ile kürenin bir enine kesitinin alanının, çevreleyen silindirin enine kesitinin alanına eşit olduğu dikkate alınarak ve Cavalieri ilkesi ile kanıtlamak mümkündür. Formül ayrıca integral hesaplamaları ile de ispat edilebilir. Birnevi merkezi orijinde olan bir kürenin hacmini hesaplamak için  ve  noktaları arasında yan yana dizilmiş sonsuz sayıda ve sonsuz incelikte dairelerin hacimlerini toplayacak bir integral hesabı ile de küre hacmi hesaplanabilir.

 Alan 
Kürenin alanı şu formülle hesaplanabilir:

 Eylemsizlik momenti 
İçi dolu bir kürenin eylemsizlik momenti hesaplanırken şu formül kullanılır:

Formülde  kütle,  yarıçapı ifade eder.

 Yuvar 
Yaygın kullanılmamakla beraber yuvar, küre ve çevrelediği hacmi ifade eden bir geometrik cisimdir. Bu kullanıma göre küre kelimesi de hacimsiz bir cismi ifade eder. İngilizcede bu iki kavram genellikle ayrı iki kelime (ball ve shpere) ile ifade edilse de Türkçede çoğu zaman küre kelimesi, yuvar kelimesini de kapsayacak şekilde kullanılır.

 Kaynakça 

Kategori:Küreler