Türev

Matematikte türev, bir fonksiyonun tanımlı olduğu herhangi bir noktada değişim yönünü veya hızını veren temel bir kavramdır. Tek değişkenli bir fonksiyonun tanım kümesinin belli bir noktasında türevi (eğer varsa), fonksiyonun grafiğine bu noktada karşılık gelen değerde çizilen teğet doğrunun eğimidir. Teğet doğru, tanım kümesinin bu noktasında fonksiyonun en iyi doğrusal yaklaşımıdır. Bu nedenle türev genellikle anlık değişim oranı ya da daha açık bir ifadeyle, bağımlı değişkendeki anlık değişimin bağımsız değişkendeki anlık değişime oranı olarak tanımlanır. Bir fonksiyonun türevini teorik olarak bulmaya türev alma denilir. Eğer bir fonksiyonun tanım kümesindeki her değerinde hesaplanan türev değerlerini veren başka bir fonksiyon varsa, bu fonksiyona eldeki fonksiyonun (yani türevi alınan fonksiyonun) türevi denir.

Türev için birden fazla farklı gösterim vardır. En yaygın kullanılan ikisi Lagrange gösterimi olan türev işareti ve Leibniz gösterimidir. Fizikçiler arasında Newton gösterimi de yaygındır. Gottfried Wilhelm Leibniz'in adını taşıyan Leibniz gösterimi, iki diferansiyelin oranı olarak gösterilirken, türev işareti için (′) kullanılır. Daha yüksek mertebeden gösterimler tekrarlanan türeve işaret eder ve bunlar genellikle Leibniz gösteriminde diferansiyellere üst simgeler eklenerek, türev işaretinde ise işaret sayısı artırılarak gösterilir. Daha yüksek mertebeden türevlerin fizikte uygulamaları yaygındır. Örneğin, hareket eden bir cismin zamana göre konumunun birinci türevi cismin hızı iken, konumun zaman ilerledikçe nasıl değiştiğini gösteren ikinci türev cismin ivmesidir. Diğer deyişle, ivme, hızın zaman ilerledikçe nasıl değiştiğini gösteren ikinci türevdir.

Türevler, birden fazla gerçek değişken üzerinden tanımlı fonksiyonlar için de genelleştirilebilir. Bu genellemede, türev, grafiği (uygun bir çevirme veya döndürmeden sonra) orijinal fonksiyonun grafiğine en iyi doğrusal yaklaşım olan doğrusal bir dönüşüm olarak yeniden yorumlanır. Jacobi matrisi, bağımsız ve bağımlı değişkenlerin seçimiyle verilen bir baza göre bu doğrusal dönüşümü temsil eden matristir ve bağımsız değişkenlerin her birine göre kısmi türevler alarak hesaplanabilir. Birden fazla değişkenin gerçel değerli bir fonksiyonu için, Jacobi matrisi gradyan vektörüne indirgenir.

Tanım 
 Limit üzerinden tanım 
küçükresim|upright=1.36|width=150|length=150|Fonksiyonun grafiği siyah, teğet geçen doğrunun grafiği kırmızı renkte gösterilmiştir. Teğet çizginin eğimi, fonksiyonun türevine eşittir.
küçükresim|upright=1.09|Türevin geometrik tarifi

Bir gerçel değişkenli  fonksiyonun tanım kümesindeki bir  noktasındaki türevini hesaplamak için tanım kümesinde bu  noktasını içeren bir açık aralık olmalıdır. Bu koşulda, eğer

varsa; yani, limit bir gerçel sayıya eşitse, o zaman  fonksiyonuna  noktasında türevlenebilir ya da 'nin  noktasında türevi vardır denir. O halde, 

yazılır. Eğer limitin değeri  ise, o zaman, 'ye 'nin  noktasındaki türevi denir ve kısa bir gösterimle 

olarak yazılır.

Limitin sonsuz olması veya var olmaması durumunda, 'ye  noktasında türevlenemez, 'nin a noktasında türevi yoktur ya da , a noktasında türevli değildir denir.

Yukarıdaki limit  civarında doğrudur. Başka bir deyişle  sayısı  civarında 'a yaklaştıkça  sayısı  civarında 'ya yaklaşır. Bu sebepten dolayı, eğer fonksiyonun tanımlı olduğu uç noktalarda türev alma ihtiyacı varsa, limit  değerinin tanlı olduğu taraftan, yani soldan limit ya da sağdan limit olarak alınmalıdır.

ε-δ tanımı 
Limit üzerinden verilen türev tanımı ε-δ limit tanımı üzerinden de yazılabilir. Eğer limit varsa ve 'ye eşitse, o zaman her  için bir  vardır öyle ki bütün  koşulunu sağlayan ve sıfıra eşit olmayan her  için

sağlanır. Burada sol taraftaki dik çubuklarla gösterilen mutlak değerdir.

 Süreklilik ve türevlenebilme 
küçükresim|upright=1.2|Bu fonksiyonun işaretlenen noktada fonksiyon aynı noktada sürekli olmadığı için türevi yoktur.

Eğer bir  fonksiyonu  noktasında türevlenebilir ise, o zaman  noktasında noktada sürekli olmak zorundadır. Mesela, bir nokta seçelim ve bu noktada sıçrama gösteren basamak fonksiyonunu ele alalım. Diğer deyişle, fonksiyon a noktasından küçük sayılar için 0 değerini alacaktır, geriye kalan noktalarda ise 1 değerini alacaktır. Limitin tanımına bakıldığı zaman
 Eğer  pozitif bir sayı ise  ifadesi 0'a eşit olacaktır. Yani sağdan limit 0'a eşittir.
 Eğer  negatif bir sayı ise  sayısı (negatif kalarak) 'a yaklaştıkça  ifadesi 'a doğru gidecektir. Yani soldan limit yoktur.
küçükresim|upright=1.2|Mutlak değer fonksiyonu süreklidir ama 'da türevli değildir. Bu noktadaki teğet doğruların eğimleri sağdan ve soldan yaklaşımda aynı değere yaklaşmazlar.

Ancak bir fonksiyon tanım kümesindeki her noktada sürekli ise, bu özellik, fonksiyonun her yerde türevli olacağı anlamına gelmez. Mesela, mutlak değer fonksiyonu 0 noktasında süreklidir ama türevli değildir. Nedeni, 0'da türevi tanımlayan 
limitinin bulunamamasıdır. Ancak, bu fonksiyon  haricindeki her noktada türevlidir.
Bir diğer örnek olarak,  fonksiyonu verilebilir. Bu fonksiyon 0'da türevli olmayıp da başka her yerde türevli olan bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun 0'da türevlenebilir olmayışının nedeni  
limitinin , yani sonsuz olmasıdır. Dolayısıyla mutlak değer fonksiyonunun grafiği 0 noktasında kırıkken,  fonksiyonunun grafiği 0'da da kırılmasızdır.

Uygulamada karşılaşılan türevlerin çoğunun her ya da hemen hemen her yerde türevi vardır.

 Gösterim 

Bir fonksiyonun türevini yazmanın yaygın bir yollarından biri, Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından 1675 yılında tanımlanan ve türevi iki diferansiyelin (mesela  ve ) bölümü olarak gösteren Leibniz gösterimidir. Bu kullanım, bir fonksiyonu  olarak yazarken, yani, bağımlı ve bağımsız değişkenler arasında fonksiyonel bir ilişki gösterilmek istendiğinde yaygın bir şekilde kullanılmaktadır. Bu gösterimde, birinci türev  ile gösterilir ve y'nin x'e göre türevi şeklinde okunur. Bu biçimde yazılan türev gösterimi aynı zamanda bir türev operatörünün verilen bir fonksiyona uygulanması olarak da yorumlanabilir. Diğer deyişle,  yazılırsa, bu, aynı zamanda,  üzerinde x'e göre türev alma operatörü olan 'in uygulanması olarak yorumlanabilir. Daha yüksek türevler, mesela 'in 'inci mertebeden türevi, şu gösterim kullanılarak ifade edilir: . Örneğin,  yazıldığında, türevin türevinin alındığını gösterir ve bu tür gösterim uygulamada çok kullanışlı hale gelir. Bazı alternatiflerinin aksine, Leibniz gösterimi, paydada türevlendirme için değişkenin açıkça belirtilmesini içerir ve bu da birden fazla birbiriyle ilişkili nicelikle çalışırken belirsizliği ortadan kaldırır. Bir bileşke fonksiyonun türevi zincir kuralı ile ifade edilir. Eğer,  ve  ise, o zaman  olur.

Türev için bir diğer yaygın gösterim, bir fonksiyonun hemen yanında kesme işaretine benzeyen türev işaretinin kullanılmasıdır; bu gösterim, aynı zamanda Joseph-Louis Lagrange'a atfen Lagrange gösterimi olaraka da bilinir. Birinci türev bu gösterimde  halinde yazılır ve f'nin türevi olarak okunur. Benzer şekilde, ikinci ve üçüncü türevler şu şekilde yazılabilir:  ve . Bu noktadan sonraki daha yüksek mertebeden türevlerin sayısını belirtmek için bazı yazarlar üst simge olarak Roma rakamlarını kullanırken diğerleri sayıyı parantez içine koyar:  veya  gibi. Genel durumda ise,  kullanılır.

Newton gösteriminde veya nokta gösteriminde, zamana göre türevi temsil etmek için bir fonksiyon sembolünün üzerine bir nokta yerleştirilir. Eğer  zamana bağlı bir fonksiyonsa, o zaman birinci ve ikinci mertebeden türevler sırasıyla  ve  biçiminde gösterilirler. Bu gösterim yalnızca zaman veya yay uzunluğuna göre türevler için kullanılır. Kullanımı, fizik ve diferansiyel geometrideki diferansiyel denklemlerde de mevcuttur. Ancak, nokta gösterimi yüksek mertebeden türevler (4 veya daha fazla mertebeden) için yönetilemez hale gelir ve birden fazla bağımsız değişkenle baş edemez.

Başka bir gösterim ise diferansiyel operatörü sembolüyle gösteren D-gösterimidir. Bu gösterimde türevi gösterirken  operatörü kullanılır. Mesela, 'in birinci türevi gösterilirken  yazılır. Daha yüksek mertebeden türevler için üst simge kullanılır: . Bu notasyona bazen Euler gösterimi denir; ancak, bu gösterim Euler tarafından değil Louis François Antoine Arbogast ilk defa kullanılmıştır. Bu notasyonun kısmi türeve yönelik kullanımı da çok elverişlidir. Kısmi türevi belirtmek için, türevlenen değişken bir alt simge ile gösterilir, örneğin  fonksiyonu için ⁠'e göre kısmi türev  veya  olarak yazılabilir. Daha yüksek kısmi türevler ise üst simgeler veya çoklu alt simgelerle gösterilebilir. Örneğin, yine  fonksiyonu için  ve  yazılabilir.

 Türev alma kuralları 

 Temel fonksiyonlar için kurallar 
Aşağıda en yaygın temel fonksiyonların türevleri için kurallar verilmiştir. Burada,
 gerçek bir sayıdır ve  doğal logaritmanın tabanı ve yaklaşık olarak 2.71828'dir.

 Birleşik fonksiyonlar için kurallar 
 Kuvvet fonksiyonlarının türevi (kuvvet kanunu):


 Üstel fonksiyon, doğal logaritma ve genel tabanlı logaritmanın türevi

 , 
 , 
 ,  

 Trigonometrik fonksiyonların türevi




 Ters trigonometrik fonksiyonların türevi
   için
   için


 Basit işlemlerle elde edilmiş fonksiyonlar için türevler 
Aşağıda, temel fonksiyonlardan basit aritmetik işlemler veya bileşke yoluyla elde edilmiş fonksiyonların türevini hesaplamak için bilinen en temel kurallardan bazıları verilmiştir. Bu amaçla  ve  fonksiyon olsun.
 Sabit fonksiyon: eğer  sabitse, o zaman her  için

 Toplama kuralı:
  (her  ve  fonksiyonu ve bütün  ve  gerçel sayıları için).
 Çarpma kuralı:
  (her  ve  fonksiyonu için)
 Özel bir durum olarak, her  sayısı için   olur çünkü is  sayısı sabittir ve  olur.

 Bölme kuralı:
  (her  ve  olan her  fonksiyonu için)
 Bileşke fonksiyonlar için Zincir kuralı : Eğer ise, o zaman


 Örnek
 olsun. O zaman, 

Burada ikinci terim zincir kuralı kullanılarak ve üçüncü terim çarpım kuralı kullanılarak hesaplanmıştır. Ayrıca, , , , ,  ve sabit  gibi temel fonksiyonların türevleri de kullanıldı.

 Yüksek mertebeden türevler 
Daha yüksek mertebeden türevler, bir fonksiyonun tekrar tekrar türevlenmesinin sonucudur. 
 türevlenebilir bir fonksiyon ise 
 nin birinci türevi fonksiyonun türevidir ve  ile gösterilir. 
 nin türevi ise nin ikinci türevidir ve  ile gösterilir. 
 nin türevi ise nin üçüncü türevidir ve  ile gösterilir. 
Bu süreç tekrarlanarak, eğer türev varsa, fonksiyonun (n-1)inci türevi başlangıçta alınan fonksiyonun ninci türevidir. Gösterim kısmında verilen bilgiye de dayanarak, 
in türevi nin ninci türevidir ve  olarak gösterilir.

 Ck fonksiyon 
Arka arkaya  tane türevi hesaplanabilen fonksiyonlara  kere türevli ya da k kere türevlenebilir fonksiyonlar denilir. Eğer, inci türev aynı zamanda sürekli ise o zaman bu fonksiyon  sınıfına aittir. Daha matematiksel bir ifadeyle, bir  kümesi üzerinde tanımlı bir  fonksiyonu verilsin. Eğer bu fonksiyon  kere türevlenebilen ve 'inci türevi sürekli olan bir fonksiyon ise, o zaman  yazılır ve fonksiyona  kere sürekli türevlenebilir fonksiyon denir.

 C∞ fonksiyon  

Tanım kümesindeki bütün noktalarda sonsuz kere türevli olan, yani, keyfi bir  pozitif bir tam sayısı için 'inci türevi var olan bir fonksiyona düzgün fonksiyon ya da sonsuz türevli fonksiyon denir.Nadiren de olsa bazı kitap ve tezlerde pürüzsüz fonksiyon kullanımı da vardır. Diğer deyişle,  kere türevlenme sayısında herhangi bir sınır yoksa, yani fonksiyon için hesaplanabilen yüksek mertebeden herhangi bir türevinin türevi yine hesaplanabiliyorsa, bu fonksiyona sonsuz kere türevli ya da düzgün fonksiyon denir. Düzgün bir fonksiyonun türevlenebilirlik sınıfını göstermek için  gösterimi kullanılır. 
Daha matematiksel bir ifadeyle, bir  kümesi üzerinde tanımlı bir  fonksiyonu verilsin. Eğer bu fonksiyon sonsuz türevlenebilir bir fonksiyon ise, o zaman  yazılır.

 Diğer boyutlarda türev 
 Vektör değerli fonksiyonlar 
Vektör değerli bir fonksiyon  gerçel sayılar üzerindeki gerçel bir değişkeni bir  vektör uzayındaki vektörlere gönderir. Bir vektör değerli fonksiyon, koordinat fonksiyonlarına ayrılabilir yani  yazılabilir.  ve 'deki parametrik eğriler bu fonksiyonların güzel bir örneğidir. Bu fonksiyonların koordinat fonksiyonlarının here biri gerçel değerli olduğu için yukarıda verilen türev tanımları her biri için geçerlidir. 
O zaman, 'nin türevi inin koordinate fonksiyonlarının türevlerinden oluşan bir vektör olur ki buna da tanjant ya da teğet vektör denilir.

 Kısmî türev Kısmî türev, çok değişkenli bir fonksiyonun sadece ilgili değişkeni sabit değilken alınan türevdir. Bu tarz türevleri içeren denklemlere kısmî diferansiyel denklem denir.

 Kısmî türevin tanımı 

şeklinde tanımlanan n tane bağımsız değişkene bağlı z fonksiyonunun diğer değişkenler sabit tutularak herhangi bir değişkendeki  değişimine karşılık fonksiyonun değişim hızı

ifadesine  fonksiyonunun  değişkenine göre kısmî türevi denir.

şeklinde gösterilir.

 ise;

Örnek:

Yönlü  türev

Eğer f bir Rn üzerinde gerçek değerli fonksiyon ise koordinat eksenlerinin yönü içinde f in kısmî türevi içinde çeşitli ölçmeler ise (mesela f bir x ve y fonksiyonunun x yönü ve y yönü içinde f 'nin kısmî türevinde çeşitli ölçmeler ise) buna yönlü türev denir.

Bununla birlikte köşegen çizgi  boyunca gibi herhangi diğer yön içinde f in yönlü ölçü çeşitleri yoktur.

Burada yönlü türev ölçüsü kullanılıyor.

bir vektörse vnin yönü içinde fin yönlü türevinin x noktasında sınırıdır.

Bazı durumlarda bu vektörün uzunluğunu değiştirme sonrası yön türevi hesaplamak veya tahmin etmek daha kolay olabilir. Genellikle bu bir birim vektör yönünde bir yönde türevinin hesaplanması içinde sorunu açmak için yapılır. Bunun nasıl çalıştığını görmek için bunu  varsayalım. fark katsayısı içinde yerine konur.Aradaki fark katsayısı:

Bu u''' sırasıyla fin yönlü türevi için λ zaman içinde farklı katsayısıdır. Dahası sıfıra yönelen k olarak alınan limit olarak aynı h ve k için herhangi diğerinin çarpımıdır. Bunun için . Bu nedenle yeniden ölçeklendirme özelliği, yönlü türevler sık sık sadece birim vektörler için kabul edilir.

Eğer fin tüm kısmî türevleri var ve x'de sürekli ve formülü ile v yönünde f içinde belirlenen yönlü türev ise

Bu toplam türevin tanımının bir sonucudur. Bu yönlü türev, aşağıda v içinde doğrusaldır. Bu da

.

demektir. Aynı tanım, ayrıca f'' olduğunda Rm içindeki değerleri ile bir fonksiyondur. Yukardaki tanım, vektörlerin her bir bileşeni için uygulanır. Bu durum içinde yönlü türev Rm içinde bir vektördür.

Toplam türev

Bir  fonksiyonu deki açık bir kümeden 'e tanımlanmış bir fonksiyonsa, 'nin seçilen bir noktadaki ve yöndeki yönlü türevi 'nin yine aynı noktada ve aynı yönde en iyi doğrusal yaklaşımıdır. Ancak,  ise yönlü türev 'nin davranışı hakkında tam bir açıklama veremez. Toplam türevi bu bağlamda tam bir açıklama sağlamaktadır. Yani, bir  vektöründen başlayan herhangi bir  vektörü için aşağıdaki doğrusal yaklaşım sağlanır:

Benzer bir şekilde, tek değişkenli fonksiyonlar için tanımlana türevde de  buradaki yaklaşım hatasını olabildiğince küçük yapacak şekilde seçilir. 'nin bir  noktasındaki toplam türevi 
, 

olacak şekilde biricik olarak tanımlanan doğrusal bir dönüşümdür. Burada, ,  içinde bir vektördür; ancak,   içinde bir vektördür.

Toplam türev, eğer bir noktada varsa, o zaman yine aynı noktada bütün kısmi türevler ve yönlü türevler de vardır. Bu halde, bütün  vektörü için, 'nin 
 yönündeki yönlü türevi  olur. Eğer , koordinat fonksiyonları cinsinden; yani,  olacak şekilde yazılırsa, o zaman toplam türev kısmi türevlerin matrisi olarak ifade edilebilir: 

Bu matrise 'nin  noktasındaki Jacobi matrisi denir.

 Ayrıca bakınız 
 İntegral

 Notlar

 Kaynakça 


Kategori:Analiz (matematik)
Kategori:Diferansiyel hesap
Kategori:İşlevler