Türev alma kuralları

Türev, matematikteki ve özellikle diferansiyeldeki temel kavramlardan biridir. Aşağıda temel türev alma kuralları ve bazı fonksiyonların türev kuralları yer almaktadır.

 Temel türev alma kuralları  
 Sabit fonksiyonun türevi 
Herhangi bir  için, eğer  ise, o zaman  olur.
 Kanıt 
 olsun. O zaman, türevin tanımından yola çıkarak 

elde edilir.

 Türev almanın doğrusallığı 

 ve  iki fonksiyon,  ve  iki gerçel sayı olsun. O zaman,  fonksiyonunun 'e göre türevi 

Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır:

Türevin doğrusallığı şu özel halleri de verir:
 Sabitle çarpım kuralı

 Toplama kuralı

 Çıkarma kuralı

 Çarpımın türevi 

 ve  iki fonksiyon olsun. O zaman,  fonksiyonunun 'e göre türevi

şeklinde olmalıdır. Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır:

 Zincir kuralı 

 fonksiyonunun türevi şu şekilde verilir:

Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır:

ve genelde şu şekilde kısaltılır:

Ters fonksiyon kuralı

Eğer  fonksiyonunun ters fonksiyonu  ise; yani,  ve  ise 

Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır:

 Kuvvet yasası, polinomlar, bölme ve çarpmaya göre ters
 Polinom ve basit kuvvet kuralı 

 ise her  için

Eğer  ise o zaman 'tir ve  olur.
Kuvvet kuralını toplama ve sabit terimle çarpma kuralı ile birleştirerek polinomların türevi hesaplanabilir.

Çarpmaya göre tersin türevi

Eğer bir fonksiyon, başka bir fonksiyonun çarpmaya göre tersi ise; yani,  ile tanımlanmışşsa ve  sıfır değeri almıyorsa
 ( nin 0 olmadığı her yerde)
olur. Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır:

Çarpmaya göre tersin türevi böle kuralından ya da kuvvet luralı ve zincir kuralının peşpeşe kullanılmasında elde edilebilir.

 Bölmenin türevi 

 ve  iki fonksiyon olsun. O zaman,  nin 0 olmadığı her yerde 

olur. Bu kural, çarpma kuralı ve çarpmaya göre tersin türevi beraber kullanılarak gösterilebilir.

 Genel kuvvet kuralı 

Kuvvet kuralı daha genel hale de uygulanabilir. 
Eğer  ise, o zaman  0 olmadığı ve  pozitif olduğu müddetçe, 

olur. Bunun daha genel hali için  ve  iki fonksiyon olsun. O zaman, 

Bu halde, çarpmaya göre tersin türevi  alınarak bulunabilir.

 Üstel ve logaritma fonksiyonlarının türevleri 
, fonksiyonun 'e göre türevinin alındığını gösterir.

Eğer  olursa, o zaman karmaşık sayılar göz önüne alınmalıdır.

Eğer  olursa, o zaman karmaşık sayılar göz önüne alınmalıdır.





 Logaritmik türevler 

Logaritmik türev bir fonksiyonun logaritmasının türevini ifade etmenin bir başka yoludur
  ( pozitif olduğu müddetçe).
Logaritma ile türev alma 
Logaritma ile türev alma özellikle karmaşık fonksiyonlar için kullanılır. Logaritma ile türev alınırken ilk önce fonksiyon yazılır ve fonksiyonun doğal logaritması alınır. Sonra da iki tarafında türevi alınır. Son olarak da fonksiyonun türevi izole edilir. Örnek olarak:

Ve türevin çarpma kuralının özel bir durumunda, yani  ve  iken elde edilir.

 Trigonometrik fonksiyonların türevleri 

Trigonometrik fonksiyonların türevi, temel prensipler kullanılarak, yani eğrinin eğimini veren cebirsel bir ifade bulunarak elde edilir:

Yukarıdaki ters fonksiyonların bazıları için tanımları gereği şart koymak gerektir.
Burada, ters sekant fonksiyonun görüntü kümesi  ve ters kosekant fonksiyonunun görüntü kümesi  olarak değerlendirilmiştir. Ayrıca, ters tanjant fonksiyonu da bazen  olarak gösterilebilir. Görüntü kümesi  ve  hangi kuadrantta yer aldığını yansıtır. Birinci ve dördüncü kuadrantta (yani  iken)  olur. O zaman kısmi türevler

halinde hesaplanır.

 Hiperbolik fonksiyonların türevleri 

BU türevlerin üzerindeki sınırlandırmaları görmek için Hiperbolik fonksiyonlar'a bakınız.

 Özel fonksiyonlarin türevleri 
Gama fonksiyonu

  Burada,  digama fonksiyonudur.

Riemann zeta fonksiyonu

 İntegralin türevi 

Diyelim ki 

biçiminde verilen bir fonksiyonun xe göre türevini almak istiyoruz. Diyelim ki şu koşullar sağlanıyor:
  düzleminin   koşullarını da sağlayacak belli bir bölgesinde  ve  fonksiyonları hem  hem de  değişkeninde sürekliler
  ve  fonksiyonlarının  için hem kendileri hem de türevleri sürekli.
O zaman,  için

Bu formüle Leibniz integral kuralı denir ve Kalkülüsün temel teoremi ile çıkarılabilir.

n' inci mertebeden türev
Eğer  pozitif tam sayı ise fonksiyonların inci türevini hesaplamak için bazı kurallar da vardır.

Faà di Bruno's formülü

Eğer  ve ,  kere türevlenebilir fonksiyon olsun. O zaman,

Burada,  ve  kümesi ise
Diyofant denklemi  nin negatif olmayan bütün çözümlerinden oluşmaktadır.

Genel Leibniz Kuralı

Eğer  ve ,  kere türevlenebilir fonksiyon olsun. O zaman,

 Kaynakça 


#
Kural
Kategori:Matematik listeleri
Kategori:Matematiksel tablolar