Üçgen

küçükresim|upright=1.18|
Bir üçgen düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimidir. Üçgene müselles ve üçbucak da denir. ,  ve  düzlemde doğrusal olmayan üç nokta olmak üzere, üçgen şu şekilde formal biçimde ifade edilir:

Aksiyomatik olarak her doğru parçasından sonsuz nokta seçilebilir ve her doğru ile doğru parçası, üzerinden seçilebilecek noktaların kümesi ile ifade edilir. Dolayısıyla üçgen, üç kümenin birleşimidir. Yani üçgen de bir kümedir.

Üçgen, düzlem geometrisinin temel şekillerinden biridir. Bir üçgenin üç köşesi ve bu köşeleri birleştiren doğru parçalarından oluşan üç kenarı vardır. Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180°, dış açılarının toplamı 360°'dir.

Burada, A, B ve C noktaları üçgenin köşeleri ve  doğru parçaları üçgenin kenarlarıdır. ,  ve  üçgenin iç açılarıdır.

 Matematiksel tanım 
Yukarıda anlatılan biçimiyle (Öklit düzleminde) üçgen, Riemann geometrisinde daha genel bir nesnenin özel bir durumudur. X bir Riemann uzayı ve A, B ve C de bu uzayın birbirine doğrusal olmayan üç noktası olsun. Bu üç noktanın her bir çifti arasında birer kesel (jeodezik) seçilsin. Bu üç keselin birleşimine ABC üçgeni denir. Örneğin bir Riemann yüzeyi olarak Dünya yüzeyinde, kuzey kutbundan 0 meridyeniyle ekvatora, ekvator boyunca 90. doğu meridyenine, bu meridyen boyunca geri kuzey kutbuna çıkan eğri bir üçgen oluşturur. Bu üçgenin iç açılarının toplamı 270°'dir.

Daha genel olarak, bir topolojik uzayda verilen herhangi üç noktayı birleştiren herhangi üç eğrinin birleşimine üçgen denir. İki boyutlu bir çokkatlı bu tür üçgenlerin (belli özellikleri sağlayan) birleşimi olarak ifade edildiğinde, bu üçgenler topluluğuna çokkatlının üçgenlenmesi denir.

Aşağıdaki özellikler, Öklit düzlemindeki üçgenlere aittir:

 Üçgenin açıları 

 Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.
Bir ABC üçgenine A tepe noktasından teğet geçecek şekilde ve BC'ye paralel olacak şekilde bir doğru çizildiğinde, BC doğru parçasının açıları, iç ters açılar kuralından dolayı tepe açısının yanına gelerek bir doğru parçasının yarısını kaplarlar.

 Üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
Bir ABD üçgenine D tepe noktasından teğet geçecek ve taban olan BC'ye paralel olacak şekilde bir doğru çizilip kenarlar uzatıldığında yöndeş açılar kuralı yardımıyla bu önerme kanıtlanabilir.

 Üçgenlerin türleri 
Üçgenler, kendilerini oluşturan parçaların (köşe, kenar, açılar vb.) aynı düzlemde olup olmadığına göre sınıflandırılabilir. Eğer üçgenin tamamı tek bir düzlemdeyse düzlemsel, diğer durumlarda da örneğin küresel ya da Hiperbolik üçgen terimleri kullanılır.

 Kenarlarına göre üçgenler 

 Eşkenar üçgen 

Tüm kenarları eşit olan üçgen olup iç açılarının her biri 60°'dir. Tabanlara indirilen dikmeler hem açıortay, hem de kenarortaydır.

 İkizkenar üçgen 


İki kenarı eşit olan üçgenlerdir. Ayrıca iki açısı birbirine eşittir. Eşit olmayan kenara indirilen dikme hem açıortay, hem kenarortay özelliği gösterir.

 Çeşitkenar üçgen 

Her kenarının uzunluğu ve açısı farklıdır. Çeşitkenar üçgenin simetrisi yoktur.

 Açılarına göre üçgenler 
 Dar açılı üçgen 
Açıları 90 dereceden küçük olan üçgenlere dar açılı üçgen denir.

 Dik açılı üçgen 

Bir açısı dik (yani 90°) olan üçgenlerdir. Bu üçgenlerde yükseklik dik kenarlardan biridir. En uzun kenarına hipotenüs denir.

 Geniş açılı üçgen 
Açılarından biri 90°den büyük olan üçgenlerdir. Sadece bir tek açısı geniş açı olabilir. Tabana ait yükseklik tabanın uzantısı ile kesişir.

 Üçgen bağıntıları 

 Pisagor bağıntısı 
Bir dik üçgenin dik kenarlarına 'a' ve 'b' dersek hipotenüsün karesi bu kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir. Buna Pisagor teoremi denir. Yani:

.
küçükresim|
 Alan hesaplamaları 
 Kenardan yararlanma 
upright=0.68|sol|küçükresim|
Bir üçgenin alanı, taban ve tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır:

 Açıdan yararlanma 
Bir üçgenin alanı, herhangi iki kenarı ile aralarında kalan açının sinüsünün çarpımının yarısıdır.

 Heron yöntemi 
Çevre uzunluğuna '2u', yarısına 'u' dersek alan:

 Kosinüs teoremi 

Herhangi bir üçgende a, b, c kenarlarını alalım. a ve b arasında kalan açı da  olsun. c kenarını bulmak için kullanılacak formül:

 Öklit bağıntısı 

küçükresim|
Bir dik üçgende hipotenüse "a" diğer iki kenara "b" ve "c", hipotenüs uzunluğunun yüksekliğine "h", bu yüksekliğin ikiye böldüğü "c" kenarıyla ortak köşeye sahip olan parçaya "p", "b" kenarıyla ortak köşeye sahip olan parçaya "k" dersek,

 Üçgende yardımcı elemanlar 
 Açıortay 

Bir açıyı iki eş açıya bölen doğru veya doğru parçasına açıortay denir. Açıortayların kesiştiği nokta, üçgenin içteğet çemberinin merkezidir..
upright=0.8|sağ|küçükresim|

 Açıortay uzunluğu 

 Kenarortay 

upright=0.8|sağ|küçükresim|
Bir üçgende bir köşeden karşısındaki kenara uzatılan doğru bu kenarı iki eş parçaya bölüyorsa buna kenarortay denir. Bir üçgende kenarortayların kesiştiği noktaya ağırlık merkezi denir. G harfi ile gösterilir.

Ağırlık merkezi, bir kenarortayı  ve  olarak böler. Yani köşeye A, kenarortayın kenarı kestiği noktaya D dersek;
 olur.

 Kenarortay teoremi 

 Üçgenlerle ilgili teoremler 

 Ceva teoremi 

upright=0.8|küçükresim|
Ceva teoremi, üçgenin köşelerinden karşıdaki kenarın herhangi bir noktasına çizilen doğrulardan oluşan şekilde uygulanan bir teoremdir. Uygulaması şu şekildedir:

 Menelaus teoremi 

küçükresim|upright=0.91|
Üçgenle aynı düzlemde olan ve üçgenin köşelerinden geçmeyen herhangi bir doğrunun, üçgenin bir kenarının uzantısıyla kesişim noktalarının üçgenin köşelerine uzaklıkları arasındaki ilişkiyi anlatan teoremdir. Uygulaması:

 Steward teoremi 

upright=0.8|küçükresim|
Steward Teoremi, bir üçgende, bir köşeden karşı kenara çizilen herhangi bir doğru ile kenarlar arasındaki bir bağıntıdır. Bağıntı aşağıdaki gibidir:

 Carnot teoremi 

Bir üçgenin iç bölgesinden alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerle kenarlar sırasıyla a, b (ilk kenar) x, y (ikinci kenar) m, n (üçüncü kenar) olmak üzere parçalara ayrılsın.
Benzerlik bağıntılarını kurduğumuzda:

Ayrıca bakınız
 Üçgen konuları listesi
 Matematiksel şekiller listesi

 Dış bağlantılar 
 Üçgeni yeni öğrenenler için Milli Eğitim Bakanlığı'nın sayfası