Rasyonel sayı

küçükresim|Rasyonel sayılar kümesi, , reel sayılar kümesi, , içerisinde konumlanmaktadır ki bu reel sayılar kümesi de karmaşık sayılar kümesi, , tarafından kapsanmaktadır. Rasyonel sayılar kümesi, aynı zamanda, tam sayılar kümesi, , içermekte olup, bu tam sayılar kümesi de doğal sayılar kümesi, , tarafından kapsanmaktadır.

Rasyonel sayılar, iki tam sayı arasındaki oranı temsil eden, bir pay  ve sıfırdan farklı bir payda  olmak üzere, bir bölme işlemi veya kesir formunda ifade edilebilen sayıları tanımlar. Örneğin,  rasyonel bir sayı olarak kabul edilir, bu kapsamda her tam sayı da (mesela,  gibi) rasyonel sayılar kategorisindedir. Rasyonel sayılar kümesi, çoğunlukla kalın harf biçimindeki Q veya karatahta vurgusu kullanılarak  şeklinde ifade edilir.

Rasyonel sayı, reel sayılar kümesine ait bir sayıdır. Bu sayılar, ondalık açılımlarının sonlu sayıda rakam içermesiyle karakterize edilir ve bu açılım ya bir noktadan sonra sonlanır (örneğin: ) ya da belirli bir dizinin rakamlarının sürekli olarak tekrar edilmesiyle devam eder (örneğin: ). Bu özellik, yalnızca on tabanlı sistemde geçerli olmayıp, ikili, on altılı gibi diğer tüm tam sayı taban sistemlerinde de geçerlidir.

Rasyonel olmayan bir reel sayı, irrasyonel olarak tanımlanır. Bu kapsamda irrasyonel sayılara örnek olarak Karekök 2 (), π, e ve altın oran () gösterilebilir. Rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir bir yapıda olması ve reel sayılar kümesinin ise sayılamaz bir yapıya sahip olması sebebiyle, reel sayıların büyük çoğunluğu irrasyoneldir.

Rasyonel sayılar, belirli tam sayı çiftleri olan  için,  koşulu altında, eşdeğerlik sınıfı olarak formel bir şekilde ifade edilebilir. Bu çerçevede, eşdeğerlik ilişkisi şu şekilde tanımlanır:

Bu bağlamda,  kesri, belirtilen (p, q) çiftinin eşdeğerlik sınıfını temsil eder.

Rasyonel sayılar tam sayıların bir genişlemesidir.  kümesi genelde şöyle tanımlanır:

(a ve b tam sayı ve b sıfır olmamak üzere a/b şeklindeki sayılara rasyonel sayı denir) 

 ve  veya  eşdeğer rasyonel sayılardır. Dolayısıyla her rasyonel sayı sonsuz şekilde ifade edilebilir. Rasyonel sayıların en basit biçimi  ve  tam sayılarının ortak bölen'inin olmadığı  ifadesidir.

Her tam sayı rasyonel sayıdır. Çünkü  veya  veya  şeklinde yani rasyonel sayı tanımına uygun biçimde yazılabilirler. Rasyonel sayılar kümesi , tam sayılar kümesi 'yi kapsar. Yani .

Daha ince bir tanımı ise tam sayılar üzerinden tanımlanacak bir denklik bağıntısıyla yapılabilir. Böylece her denklik sınıfı bir rasyonel sayı olarak anılır.  kümesinden seçilmiş keyfi (a,b) ve (c,d) ögeleri için "~" bağıntısı  olarak tanımlansın. Bunun bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla kanıtlanabilir. Bu durumda, denklik sınıfları  olurlar. Rasyonel sayı ise basitçe  şeklinde tanımlanır. Tanımda paydanın sıfır olmama şartı  ifadesinin tanımlanmamış olmasındandır. Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.

Sıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir. Pozitif rasyonel sayılar kümesi ile, negatif rasyonel sayılar kümesi ile gösterilir.

küçükresim|sağ|upright=1.23| Dörde bölünüp, dörtte biri kesilip alınmış ve geri kalan dörtte üçü gösterilen bir yuvarlak pasta

Yandaki şekilde, bir yuvarlak pasta 4 eş parçaya bölünmüş ve bu 4 eş parçalardan her birisi  olarak görülmektedir. Ancak bir parça alınmış olduğundan kalan eksikdir. Geriye kalan, dört eşit parçaya bölünmüş bütünün üç tane parçası (yani 3'te 4 oranı) veya (kesiri)dir. Bu  ifadesi şeklinde gösterilir. Burada ifadede kesir çizgisinin üstündeki değere (yani 3'e) pay, kesir çizgisinin altındaki değere (yani 4'e) payda denir. Bu kesir, “üç bölü dört” ya da “dörtte üç” diye okunur.

Rasyonel sayılar, toplama ve çarpma işlemleri ile birleştirildiğinde, tam sayıları barındıran ve aynı zamanda tam sayılar içeren herhangi bir matematiksel cismin (İng. field) bir parçası olan bir cismi meydana getirir. Bu bağlamda, rasyonel sayılar cismi bir asal cisim niteliğindedir ve bir cismin sıfır karakteristiğe sahip olması, yalnızca o cismin rasyonel sayıları bir alt cisim olarak barındırması ile mümkündür. 'nun sonlu genişlemeleri cebirsel sayı cisimleri olarak isimlendirilir ve 'nun cebirsel kapanışı, cebirsel sayılar cismidir.

Matematiksel analiz çerçevesinde, rasyonel sayılar, reel sayılar içerisinde yoğun bir alt küme teşkil eder. Reel sayıların tanımlanması, rasyonel sayılar baz alınarak, Cauchy dizileri, Dedekind kesitleri veya sonsuz ondalık sayılar kullanılarak gerçekleştirilebilir.

 Terminoloji

"Rasyonel" terimi,  kümesine yapılan atıflarda, bir rasyonel sayının iki tam sayının oranını temsil etmesi gerçeğine işaret eder. Matematik alanında "rasyonel", sıklıkla "rasyonel sayı" teriminin kısaltması olarak kullanılmaktadır. "Rasyonel" sıfatı, zaman zaman katsayıların rasyonel sayılar olduğunu ifade eder. Mesela, rasyonel koordinatlara sahip bir nokta rasyonel nokta olarak adlandırılır; rasyonel sayılardan oluşan bir matrise rasyonel matris denir; rasyonel katsayılara sahip bir polinoma rasyonel polinom denilebilir, ancak "rasyoneller üzerinde bir polinom" ifadesi, "rasyonel ifade" ile "rasyonel fonksiyon" arasındaki muhtemel karışıklıkları engellemek amacıyla genellikle tercih edilir. Bununla birlikte, rasyonel eğri, rasyoneller üzerinde tanımlanmış bir eğri anlamına gelmez; bunun yerine rasyonel fonksiyonlarla parametrize edilebilen bir eğriyi ifade eder.

 Etimoloji 

Günümüzdeki "rasyonel sayılar", "rasyo" ("oran") kavramları ile ilişkilendirilse de, "rasyonel" sözcüğü, "rasyo" teriminin bir türevi olmayıp, tam tersine, "rasyo" sözcüğü "rasyonel"den kaynaklanmaktadır. "Rasyo" (İng. ratio) teriminin çağdaş anlamda ilk kez kullanıldığı dönem İngilizcede yaklaşık olarak 1660 yılına dayanırken, "rasyonel" ifadesinin sayıları tanımlama amacıyla kullanımı bu tarihten yaklaşık bir yüzyıl önce, 1570 yılında meydana gelmiştir. "Rasyonel" teriminin bu özel anlamı, "irrasyonel" teriminin matematiksel bağlamda ilk kullanımından, yani 1551 yılından türemiş olup, Öklit'in eserlerinin çevirilerinde özgün kullanımını izleyerek () kullanılmıştır.

Bu alışılmadık tarihi olgular zinciri, antik Yunan matematikçilerinin, kendilerini irrasyonel olarak nitelendirilen uzunlukları sayı olarak kabul etmekten çekinerek, böylece sapkınlıktan uzak durmayı tercih etmelerinden kaynaklanmaktadır. Dolayısıyla, bu tür uzunluklar, konuşulmaması gereken, yani Yunancada () ifade edilen mantıksız anlamına gelen irrasyonel kelimesi ile tanımlanmıştır.

 Aritmetik 

 olmak üzere:

İndirgenemez kesir

Her bir rasyonel sayı,  şeklinde,  ve  aralarında asal tam sayılar olmak üzere ve  koşuluyla, indirgenemez kesir olarak eşsiz bir biçimde gösterilebilir. Bu durum, genellikle rasyonel sayının kanonik formu olarak isimlendirilir.

Bir rasyonel sayının  başlangıç noktasından kanonik formuna ulaşılması,  ve 'yi onların en büyük ortak bölenine bölerek ve eğer  ise, elde edilen pay ve paydanın işaretinin değiştirilmesi işlemiyle mümkün olmaktadır.

Tam sayı ifadelendirme 
Her bir tam sayı , rasyonel bir sayı biçiminde  olarak gösterilebilir ki bu, rasyonel sayılar bağlamında onun kanonik formunu temsil eder.

Eşitlik ilkesi
 ifadesi, ancak ve ancak   olduğunda doğrudur.

Her iki kesir de kanonik forma sahip olduğunda:
, ancak ve ancak  ve  eşitlikleri sağlandığında geçerli olur.

İki rasyonel sayının eşitliği, o sayıların pay ve paydalarının rasyonel olmasıyla anlaşılır.  olmak üzere  ve  iki rasyonel sayı ise bu iki sayı ancak  olduğunda eşittir.

Bu koşul, yukarıdaki tanımdan çıkartılabilir. İki rasyonel sayı aynı denklik sınıfındaysa birbirine eşittir, Denklik bağıntısı da zaten  koşulunu içermekteydi.

 Sıralama 
Eğer her iki paydanın da pozitif olduğu durumlar (özellikle her iki kesirin kanonik formda olduğu durumlar) göz önüne alınırsa:
 ancak ve ancak  şeklinde olur.

Diğer yandan, paydalardan biri negatifse, negatif paydaya sahip her kesirin önce pozitif bir paydaya sahip eşdeğer bir forma dönüştürülmesi gerekir-bunun için hem payının hem de paydasının işaretinin değiştirilmesi gerekir.

 Paydaları eşit olan rasyonel sayılar 
Paydaları eşit olan rasyonel oranlar için payı büyük olan daha büyük, payı küçük olan daha küçüktür.

Örneğin

Burada paydalar eşit ve yirmidir. Pay değerleri karşılaştırılınca soldaki pay 7 sağdaki pay 3'ten daha büyük olduğu için, soldaki rasyonel oran daha büyüktür.

Unutmamalıdır ki negatif paylar karşılaştırılırken sadece mutlak değerlerin karşılaştırılması hatalı olup negatif işaretlerinin de ele alınması ve :negatif sayılı pay değerlerde mutlak değeri büyük görünen sayının daha küçük olduğu hatırlanmalıdır:

Payda 20'ye eşit olup sağdaki negatif pay değeri -3, soldaki negatif pay değeri olan -7'den daha büyük olduğu için sağdaki oran daha büyüktür.

 Payları eşit olan rasyonel sayılar 
Payı eşit olan rasyonel sayılar için ise paydaları eşit olanın tam tersi bir kural uygulanır:

Paylar eşit olduğunda bölünen parça sayısı yani payda büyüdükçe oluşan parça boyutları daha küçük olacaktır.

 Payları ya da paydaları  eşit olmayan rasyonel sayılar 

Bu şekildeki durumlarda karşılaştırmadan evvel paydaların eşitlenmesi veya içler dışlar çarpımı yapılmasını gerektirir.

Paydaların eşitlenmesi 
Her iki rasyonel sayının da birbirlerinin paydalarıyla genişletilmesini gerektirir.

Yukarıda görüldüğü gibi genişletme işleminden sonra oluşan paydaların ikisi de  yani 40'tır. Yukarıda görüldüğü gibi karşılaştırılabilir.

İçler dışlar çarpımı
Birinci rasyonel sayının payının ikincinin paydasına, ikincinin paydasının ise birincinin payıyla çarpılmasıdır:

.

Toplama
İki kesrin toplanması şu şekilde gerçekleştirilir:

Eğer her iki kesir de kanonik formdaysa, sonuç ancak ve ancak  aralarında asal tam sayılar olması durumunda kanonik formda olacaktır.

Çıkarma

Eğer her iki kesir de kanonik formdaysa, sonuç ancak ve ancak  aralarında asal tam sayılar ise kanonik formdadır.

Çarpma
Çarpma kuralı şu şekildedir:

burada sonuç, her iki orijinal kesir de kanonik formda olsa bile, bir indirgenebilir kesir olabilir.

Tersi
Herhangi bir rasyonel sayı , sıklıkla tersi olarak ifade edilen bir toplamın tersine sahiptir,
.

 kanonik formda ise, onun karşıtının da kanonik formda olması aynı şekilde geçerlidir.

Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı , tersi olarak da adlandırılan bir çarpımın tersine sahiptir,

 kanonik formda bulunuyorsa, onun tersinin kanonik formu,  değerinin işaretine göre ya  ya da  şeklinde olur.

Bölme
Eğer  sıfırdan farklıysa, bölme kuralı şu şekildedir:

Böylece, 'yi  ile bölmek, 'yi 'nin tersi ile çarpmakla eşdeğerdir:

Tam sayı kuvvetine üs alma
 negatif olmayan bir tam sayı olduğunda,

Sonuç,  için aynı şekilde kanonik formda bulunuyorsa, kanonik formdadır. Belirli bir durum olarak,

Eğer , o zaman

Eğer  kanonik formdaysa, sonucun kanonik formu  veya  çift ise  olacaktır. Aksi takdirde, sonucun kanonik formu  olur.

Sürekli kesir gösterimi

Bir sonlu sürekli kesir ifadesi, aşağıdaki formda gösterilebilir:

bu ifadede,  tam sayıları temsil eder. Herhangi bir rasyonel sayı , katsayıları ,  çifti üzerine Öklid algoritması uygulanarak elde edilebilen bir sonlu sürekli kesir olarak gösterilebilir.

 Diğer gösterimler 

 Bayağı kesir: 
 Karmaşık sayı: 
 Bir bağ çizgisi kullanılarak devirli sayı ile: 
 Parantez kullanılarak devirli sayı ile: 
 Geleneksel tipografi kullanılarak sürekli kesir: 
 kısaltılmış notasyon ile sürekli kesir: 
 Mısır kesri: 
 Asal üs ayrışımı: 
 Tırnak notasyonu: 

aynı rasyonel değeri temsil etmenin farklı yollarıdır.

Tanım
küçükresim|right|upright=1.36|Tam sayı çiftlerinin denklik sınıflarının gösterimini sunan bir diyagram
Rasyonel sayılar, tam sayıların sıralı çiftlerine dayanan denklik sınıfları biçiminde kurulabilir.

Daha kesin bir ifadeyle,  kümesi,  olacak şekilde tam sayıların  çiftlerinin kümesi olarak alınsın. Bu küme üzerinde bir denklik bağıntısı
  ile tanımlanmıştır.

Toplama ve çarpma işlemleri aşağıdaki kurallarla tanımlanabilir:

Bu denklik ilişkisi, daha önce tanımlanmış toplama ve çarpma işlemleriyle uyumlu bir kongrüans ilişkisi olarak işlev görür; böylece rasyonel sayılar kümesi , bu denklik ilişkisine göre tanımlanan bölüm kümesi,  formunda, söz konusu işlemler aracılığıyla türetilmiş toplama ve çarpma işlemleriyle zenginleştirilmiştir. (Bu yapı, herhangi bir tam bölge kullanılarak oluşturulabilir ve söz konusu bölgenin kesirler cismini meydana getirir.)

Bir  çiftinin denklik sınıfı,  şeklinde ifade edilir.
 ve  çiftleri, ancak ve ancak eğer

ise aynı denklik sınıfına dahildir (yani eşdeğerdirler). Bu durum,

ancak ve ancak
 olduğunda mümkündür.

Her denklik sınıfı , sonsuz sayıda çift tarafından temsil edilebilir, çünkü

Her denklık sınıfı, benzersiz bir kanonik temsilci elemanı içerir. Kanonik temsilci, denklik sınıfındaki  benzersiz çiftidir öyle ki  ve  aralarında asaldır ve . Bu, rasyonel sayının en düşük terimlerle temsili olarak adlandırılır.

Tam sayılar, tam sayı 'yi rasyonel sayı  ile özdeşleştirerek rasyonel sayılar olarak düşünülebilir.

Rasyonel sayılar üzerinde, tam sayıların doğal sıralamasını genişleten bir tam sıralama tanımlanabilir. Buna göre

Eğer

 Özellikler 
Yukarıda gösterilen toplama ve çarpma işlemleriyle birlikte, tüm rasyonel sayıların kümesi , bir alan oluşturur.

, özdeşlik dışında hiçbir alan otomorfizmine sahip değildir. (Bir alan otomorfizmi 0 ve 1'i sabit tutmalıdır; iki sabit elemanın toplamını ve farkını sabit tutmak zorunda olduğundan, her tam sayıyı sabit tutmalıdır; iki sabit elemanın bölümünü sabit tutmak zorunda olduğundan, her rasyonel sayıyı sabit tutmalı ve dolayısıyla özdeş olmalıdır.)

, kendisi dışında alt alanı olmayan bir asal alandır. Rasyoneller, sıfır karakteristiğe sahip en küçük alandır. Sıfır karakteristiğe sahip her alan,  ile izomorfik benzersiz bir alt alana sahiptir.

Yukarıda tanımlanan sırayla, , kendisi dışında alt alanı olmayan bir sıralı alandır ve her sıralı alanın,  ile izomorfik benzersiz bir alt alanı içerdiği anlamında en küçük sıralı alandır.

, tam sayıların  kesirler alanıdır. 'nun cebirsel kapanışı, yani rasyonel polinomların köklerinin alanı, cebirsel sayılar alanıdır.

Rasyonel sayılar, yoğun sıralanmış bir kümedir: herhangi iki rasyonel sayı arasında başka bir rasyonel sayı bulunur ve dolayısıyla sonsuz sayıda başka rasyonel sayı bulunur. Örneğin,

( pozitif olmak üzere) şeklindeki herhangi iki kesir için,

En küçük veya en büyük elemanı olmayan, sayılabilir, yoğun (yukarıdaki anlamda) ve tamamen sıralı bir küme, rasyonel sayılarla sıra izomorfiktir.

 Sayılabilirlik 
küçükresim|right|upright=0.91|Pozitif rasyonel sayıların sayılabilirliğini gösteren bir gösterims
Tüm rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir olduğu, sağ tarafta yer alan gösterim ile açıklanmıştır. Her bir rasyonel sayının, iki tam sayının oranı şeklinde ifade edilebilme özelliği göz önünde bulundurulduğunda, kare kafes üzerindeki her bir noktaya, bir Kartezyen koordinat sistemi benzeri bir yaklaşımla, iki tam sayı atanması mümkündür; böylelikle her bir kafes noktası bir rasyonel sayı ile ilişkilendirilebilir. Bu yöntem, sağlanan grafikte kırmızı ile işaretlenmiş olan, birçok farklı kafes noktasının aynı rasyonel sayıyı temsil etmesi gibi bir fazlalığın ortaya çıkmasına neden olmaktadır. Bu fazlalığın bir örneği, sağ alt köşeye doğru diagonal bir hat üzerinde gözlemlenebilir; bu tür oranlar, herhangi bir sıfırdan farklı sayının kendisi ile bölünmesi durumunda daima bir değerini alacaktır.

Bu tür fazlalıklar olmadan tüm rasyonel sayıların tanımı mümkündür: örnekler arasında Calkin-Wilf ağacı ve Stern-Brocot ağacı bulunmaktadır.

Tüm rasyonel sayılar kümesi sayılabilir olduğu ve tüm reel sayılar kümesi (aynı zamanda tüm irrasyonel sayılar kümesi) sayılamaz olduğu için, rasyonel sayılar kümesi bir null kümesidir, yani Lebesgue ölçümü anlamında neredeyse tüm reel sayılar irrasyoneldir.

Reel sayılar ve topolojik özellikler
Rasyonel sayılar, reel sayıların yoğun bir alt kümesidir; her reel sayının yanında keyfi olarak yakın rasyonel sayılar vardır. İlgili bir özellik, rasyonel sayıların, sürekli kesir olarak sonlu genişlemelere sahip tek sayılar olmasıdır.

Reel sayıların alışılageldik topolojisi içinde, rasyonel sayılar ne bir açık küme ne de bir kapalı kümedir.

Sıralarının bir sonucu olarak, rasyonel sayılar bir sıra topolojisi taşır. Rasyonel sayılar, reel sayıların bir alt uzayı olarak, ayrıca bir altuzay topolojisi taşır. Rasyonel sayılar, mutlak fark metriği  kullanılarak bir metrik uzay oluşturur ve bu,  üzerinde üçüncü bir topoloji sağlar. Bu üç topoloji çakışır ve rasyonelleri bir topolojik alana dönüştürür. Rasyonel sayılar, yerel kompakt uzay olmayan bir uzayın önemli bir örneğidir. Rasyoneller, topolojik olarak, izole noktası olmayan benzersiz sayılabilir ölçülebilir uzay olarak nitelendirilir. Uzay ayrıca tamamen bağlantısızdır. Rasyonel sayılar, tam metrik uzay oluşturmaz ve reel sayılar, yukarıda verilen metrik  altında 'nun tamamlanmasıdır.

p-sel sayılar

Yukarıda bahsedilen mutlak değer metriğine ek olarak, 'yu bir topolojik alan haline getiren diğer metrikler de vardır:

 bir asal sayı olsun ve sıfırdan farklı herhangi bir tam sayı  için,  burada  'yı bölen 'nin en yüksek kuvvetidir.

Ayrıca  olarak belirleyelim. Herhangi bir rasyonel sayı  için,
 olarak belirleyelim.

O zaman

 üzerinde bir metrik tanımlar.

Metrik uzay  tam değildir ve tamamlanmış hali -adik sayı alanı 'dir. Ostrowski teoremi, rasyonel sayılar  üzerindeki herhangi bir önemli mutlak değerin, ya alışılagelmiş reel mutlak değere ya da bir -adik mutlak değere eşdeğer olduğunu belirtir.

 Ayrıca bakınız 
 İrrasyonel sayılar

 Not listesi 

 Kaynakça 

Dış bağlantılar


"Rational Number" From MathWorld – A Wolfram Web Resource


Kategori:Temel matematik
Kategori:Sayılar
Kategori:Matematik terimleri