Soyut cebir

küçükresim|upright=0.91
küçükresim|upright=0.91
Soyut cebir veya soyut matematik, matematiğin bir alanı olup, cebirsel yapılar üzerinde çalışır. Cebirsel yapılar, elemanları üzerinde belirli işlemlerin uygulandığı kümelerdir ve gruplar, halkalar, alanlar, modüller, vektör uzayları, kafesler ve alan üzerindeki cebirler içerir. Soyut cebir terimi, 20. yüzyılın başlarında temel cebirden ayırmak amacıyla türetilmiştir. Soyut cebir ileri matematik için temel hale geldikçe basitçe "cebir" olarak adlandırılırken, "soyut cebir" terimi pedagoji dışında nadiren kullanılır.

Soyut cebir kavramı günümüzde tüm cebirsel yapılar üzerine yapılan çalışmayı ifade etmektedir, temel cebirden farkı, bilinmeyen, çözümsüz gerçek ve karmaşık sayılardan oluşan cebirsel ifadeler ve formüller için doğru kurallar gösterir.

Temel cebir, gerçek alan ve basit cebir olarak bilinen yapıların başlangıç kısmı olarak ele alınabilir.

 Tarih 
19. yüzyıldan önce cebir, polinomların incelenmesi olarak tanımlanıyordu. Soyut cebir, daha karmaşık problemler ve çözüm yöntemleri geliştikçe 19. yüzyılda ortaya çıktı. Somut problemler ve örnekler sayı teorisinden, geometri, analiz ve cebirsel denklemlerin çözümlerinden geldi. Günümüzde soyut cebirin bir parçası olarak kabul edilen teorilerin çoğu, matematiğin çeşitli dallarından farklı gerçeklerin koleksiyonları olarak başladı, çeşitli sonuçların gruplandırıldığı bir çekirdek görevi gören ortak bir tema edindi ve sonunda ortak bir kavram kümesi temelinde birleştirildi. Bu birleşme, 20. yüzyılın ilk on yıllarında gerçekleşti ve gruplar, halkalar ve alanlar gibi çeşitli cebirsel yapıların resmi aksiyomatik tanımlarıyla sonuçlandı.

 Temel kavramlar 
Matematikçiler, matematiğin birçok alanında kullanılan ayrıntıları soyutlayarak, çeşitli cebirsel yapıları tanımlamışlardır. Örneğin, incelenen sistemlerin hemen hemen hepsi kümelerdir ve küme teorisinin teoremleri bunlara uygulanır. Üzerinde belirli bir ikili işlem tanımlanmış olan küme, magma olmaktadır. Cebirsel yapıya, ilişkisellik (yarı gruplar oluşturmak için); özdeşlik ve tersler (gruplar oluşturmak için); ve diğer daha karmaşık yapılar gibi ek kısıtlamalar ekleyebiliriz. Cebirsel yapılara ayrıntı ekledikçe daha fazla teorem kanıtlanabilir, fakat genellik azalır. Cebirsel nesnelerin "hiyerarşisi" (genellik açısından), karşılık gelen teorilerin bir hiyerarşisini yaratır: örneğin, grup teorisinin teoremleri, bir halkanın işlemlerinden biri üzerinde bir grup olması nedeniyle halkaları (belirli aksiyomlara sahip iki ikili işlemi olan cebirsel nesneler) incelerken kullanılabilir. Genel olarak, teorinin genelliği ile zenginliği arasında bir denge vardır: daha genel yapılar genellikle daha az sayıda önemsiz olmayan teorem ve daha az uygulamaya sahiptir.

Bir ikili işlemli cebirsel yapı örnekler:

 Magma
 Quasigroup
 Monoid
 Yarı grup
 Grup

Birçok ikili işlemli cebirsel yapı örnekler:

 Halka
 Alan
 Modül
 Vektör uzayı
 Alan üzerindeki cebir
 Lie cebiri
 Kafes
 Boole cebiri

 Bölümler 
Soyut cebirin birçok bölümü vardır. Aşağıdaki bölümlerin dışında modüller, vektör uzayları, kafesler ve alan üzerindeki cebirler bölümler olmaktadır.

 Grup teorisi 
Üzerinde bir tane  ikili işlemi tanımlanmış bir  kümesi magma olarak adlandırılır.

Eğer bir  magması aşağıdaki üç özelliği şağlıyorsa:

 Bileşme aksiyomu: Her  için 
 Etkisiz eleman: Öyle bir  mevcuttur ki her  için 
 Ters eleman: Her  için öyle bir  elemanı vardır ki 

 kümesine grup adı verilir. Basitçe  gösterimi kullanılır ve işlem belli ise her  için  yerine  yazılmaktadır. Bileşme aksiyomu sağlayan bir magmayı yarı grup, hem bileşme aksiyomu hem de etkisiz eleman özelliği sağlayan bir magmayı monoid denir. Ayrıca  grubu değişme özelliği de sağlıyorsa:

 Değişme: Her  için 

 grubu ya değişmeli grup ya da Abelyen grup denmektedir.

 Halka teorisi 
Eğer üzerinde birer tane toplama:  ve çarpma:  işlemleri tanımlanmış bir  kümesi aşağıdaki üç özelliği sağlıyorsa:

  değişmeli bir grup
  bir monoid
  işlemi  işlemi üzerine sağdan ve soldan dağılmalı

 kümesine halka adı verilir. Basitçe  gösterimi kullanılır. Toplama işlemin etkisiz elemanına genellikle , çarpma işlemin etkisiz elemanına da  simgeleri kullanılır.

 Alan teorisi 
Eğer  değişmeli halkası aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa:


  hariç her elemanın çarpma işlemiyle ters elemanı var

 halkasına alan adı verilir.

 Uygulamalar 
Genel olması nedeniyle soyut cebir, matematik ve bilimin birçok alanında kullanılır. Mesela, cebirsel topoloji, topolojileri incelemek için cebirsel nesneleri kullanır. 2003'te kanıtlanan Poincaré varsayımı, bir manifoldun bağlantılılık hakkında bilgi kodlayan temel grubunun, bir manifoldun küre olup olmadığını belirlemek için kullanılabileceğini ileri sürer. Cebirsel sayılar teorisi, tam sayılar kümesini genelleştiren çeşitli sayı halkalarını inceler. Andrew Wiles, cebirsel sayılar teorisinin araçlarını kullanarak Fermat'ın Son Teoremini kanıtladı.

Fizikte, gruplar simetri işlemlerini temsil etmek için kullanılır ve grup teorisinin kullanımı diferansiyel denklemleri basitleştirebilir. Gösterge teorisinde, yerel simetri gereksinimi bir sistemi tanımlayan denklemleri çıkarmak için kullanılabilir. Bu simetrileri tanımlayan gruplar Lie gruplarıdır ve Lie grupları ve Lie cebirlerinin incelenmesi fiziksel sistem hakkında çok şey ortaya çıkarır; örneğin, bir teorideki kuvvet taşıyıcılarının sayısı Lie cebirinin boyutuna eşittir ve bu bozonlar, Lie cebiri nonabelian ise aracılık ettikleri kuvvetle etkileşime girer.