Matematik

küçükresim|Hesap Makinesi
Matematik (Yunanca μάθημα máthēma, "bilgi, çalışma, öğrenme"); sayılar, felsefe, uzay ve fizik gibi konularla ilgilenir. Matematikçiler ve filozoflar arasında matematiğin kesin kapsamı ve tanımı konusunda görüş ayrılığı vardır.

Matematikçiler örüntüleri araştırır ve bunları yeni konjektürler formüle etmekte kullanırlar. Bu konjektürlerin doğruluğunu veya yanlışlığını matematiksel ispat yoluyla çözmeye çalışırlar. Matematiksel yapılar gerçek fenomenleri iyi modelize ettiklerinde matematiksel düşünce doğa hakkında tahmin yürütmemizi ve onun iç yüzünü anlamamızı sağlayabilir. Matematik soyutlama ve mantığı kullanarak ve sistemli çalışmayla fiziksel objelerin şekillerini ve hareketlerini saymayı, hesaplamayı ve ölçmeyi mümkün kılar ve böylece gelişir. Pratik matematik yazılı kayıtlardan beri insan etkinliği olagelmiştir. Matematiksel problemlerinin çözümü için gerekli araştırma yıllarca hatta yüzyıllarca süren bir çaba gerektirebilmektedir.

İlk titiz kayıtlara Yunan matematiğinde rastlanır. (Özellikle Öklid'in Elementler kitabında) Giuseppe Peano (1858-1932), David Hilbert (1862-1943) ve diğerlerinin geç 19 yüzyılda belitsel sistemler üzerine kurdukları çalışmalarından beri matematiksel araştırmada doğruyu kurmanın geleneği değişti. (Artık uygun olarak seçilen aksiyom ve tanımlardan titiz bir şekilde tümdengelim yapılmaktadır.) Matematik Rönesans'a kadar görece yavaş gelişti. Sonra matematikteki yenilikler diğer yeni bilimsel keșiflerle etkileșerek matematiksel keșiflerde günümüzde hâlâ devam eden hızlı bir artış sağladı.

Galileo Galilei (1564-1642) "Kainat dediğimiz kitap, yazıldığı dil ve harfler öğrenilmedikçe anlaşılamaz. O, matematik dilinde yazılmış; harfleri üçgen, daire ve diğer geometrik şekillerdir. Bu dil ve harfler olmaksızın kitabın tek bir kelimesinin anlaşılmasına olanak yoktur. Bunlar olmaksızın yapılan karanlık bir labirentte amaçsızca dolaşmaktır." Carl Friedrich Gauss (1777-1855) matematiği bilimlerin kraliçesine benzetmiştir. Benjamin Peirce (1809-1880) matematik için bilimlerin sonuçlarının çizilmesi için gereken bilim demiştir. David Hilbert "Biz burada gelişigüzel konuşmayız. Matematik şart koşulan rastgele kuralların olduğu bir oyun gibi değildir. O yalnızca içsel gerekliliğin olduğu kavramsal bir sistemdir, aksi hiçbir şey değil." Albert Einstein (1879-1955), "Matematik kesin olduğunda gerçeği yansıtmaz, gerçeği yansıttığında kesin değildir." Fransız matematikçi Claire Voisin, "Matematikte yaratıcı itki, her yerinde kendini ifade etmeyi denemesidir." der.

Matematik dünya genelinde doğa bilimleri, mühendislik, teknoloji ve maliye gibi birçok alanın temel aracıdır. Uygulamalı matematik, matematiksel bilginin diğer alanlara uygulanmasıyla ilgilidir. Bu uygulamalar sayesinde istatistik ve oyun teorisi gibi tamamıyla yeni matematik disiplinleri doğmuştur. Ayrıca matematikçiler soyut matematikle akıllarında herhangi bir kullanım olmadan da yalnızca matematik yapmak için uğraşırlar. Soyut matematikle uygulamalı matematiği ayıran belirgin bir çizgi yoktur. Soyut matematikteki keşifler sıklıkla pratik matematik uygulamalarının başlatıcısı olurlar.

 Kökeni 

Matematik kelimesi, köken olarak Antik Yunanca'daki μάθημα (máthema) kelimesinden türetilmiştir. Bu kelime, "öğrenme", "bilme", "bilgi" veya "öğretim" anlamlarına gelir. Yunanca μαθηματικός (mathematikós) kelimesi ise "öğrenmeye yatkın" veya "öğrenmekten hoşlanan" anlamında kullanılmıştır. Matematik terimi, Latincede mathematica, Fransızcada ise mathématique formunda yer almış ve Türkçeye Fransızca üzerinden geçmiştir.

Osmanlı döneminde, matematik terimi yerine genellikle Arapça kökenli riyaziye kelimesi kullanılmıştır. Riyaziye, hesaplama ve matematik anlamlarına gelir. Modern Türkçede matematik, öğrenme, bilim ve bilgiyle ilişkilendirilen bu tarihsel kökenlerin bir devamı olarak kullanılmaktadır.

 Matematik eğitimi 

Matematik, hem bilimsel alanlarda hem de günlük yaşamda sıkça karşılaşılan bir disiplindir. Temelleri mantığa dayanan bu alan, bireylere zihinsel gelişim sağlarken rasyonel düşünme becerisi kazandırır. Matematik eğitimi, bireylere sistemli, mantıklı ve tutarlı bir düşünce yapısı kazandırmanın yanı sıra özgür ve ön yargısız bir düşünce ortamı yaratır.

Matematik dersleri, ilköğretimden yükseköğretime kadar tüm eğitim seviyelerinde yer alır. İlköğretim düzeyinde matematik, temel kavramların anlaşılması ve ortaöğretime hazırlık amacı taşırken; ortaöğretim düzeyinde ise yükseköğretim ve ileri düzey akademik çalışmalara temel oluşturur. Bu süreç, bireylerin problem çözme, analitik düşünme ve düzenli çalışma becerilerini geliştirmelerine olanak tanır.

 Matematiğin alanları 
Matematik, tarih boyunca sürekli gelişim göstermiş ve farklı alanlara ayrılmıştır. Rönesans öncesinde matematik, iki ana dal üzerinde yoğunlaşmaktaydı: aritmetik (sayıların işlenmesi) ve geometri (şekillerin incelenmesi). Bu dönemde numeroloji ve astroloji gibi sahte bilimler, matematikten açıkça ayrılmamıştı.

Rönesans döneminde matematiğin kapsamı genişledi ve iki yeni dal ortaya çıktı. Cebir, matematiksel ifadelerin sembollerle temsil edilmesi ve işlenmesi üzerine odaklanırken, kalkülüs değişken nicelikler arasındaki sürekli ilişkilerin incelenmesini sağladı. Kalkülüs, iki temel alt dala ayrılır: türev hesabı ve integral hesabı. Rönesans sonrası dönemde matematik, aritmetik, geometri, cebir ve kalkülüs olmak üzere dört ana dalda incelendi. Bu sınıflandırma 19. yüzyılın sonlarına kadar sürdü.

19. yüzyılda aksiyomatik yöntemin sistemleştirilmesi ve matematiğin temel krizlerinin çözülmesi, matematiğin hızla yeni alanlara ayrılmasını sağladı. Kombinatorik gibi alanlar uzun süredir incelenmekteydi ancak 17. yüzyıldan itibaren bağımsız bir matematik dalı olarak gelişti. Modern matematikte 2020 Matematik Konu Sınıflandırması, en az 63 birinci düzey alan tanımlamaktadır. Bu alanlardan bazıları (örneğin sayı teorisi ve geometri), tarihsel matematik alanlarına dayanırken diğerleri (örneğin matematiksel mantık ve temeller) 20. yüzyılda ortaya çıkmıştır.

 Modern Matematiğin Uygulamaları 
Matematik, günümüzde birçok bilimsel ve teknolojik alanda kullanılmaktadır. Örneğin:

 Fourier analizi, veri iletimi ve sıkıştırma algoritmalarında kullanılır. Uzun mesafelerde veri kaybını azaltmanın yanı sıra dijital müzik, video ve resimlerin sıkıştırılmasını sağlar.
 Fraktal geometri, anten tasarımı, kılcal damarların düzeni ve kan akışının modellenmesinde uygulanır.
 Diferansiyel denklemler ve sayısal analiz, dinamik sistemlerin modellenmesinde, uçak tasarımında ve uydu sistemlerinde kritik öneme sahiptir.
 Graf teorisi, veritabanlarının analizi ve internet ağlarının topolojik modellemesi gibi alanlarda kullanılır. Ayrıca, hastaneler gibi önemli tesislerin ideal dağılımlarını belirlemek için kullanılır.
 Algoritmalar, bilgisayar programlama ve yapay zekâ sistemlerinin temelini oluşturur.
 Cebirsel geometri, robotik modelleme ve bilgisayar oyunlarının tasarımı gibi teknik alanlarda uygulanır.

Bu örnekler, matematiğin hem teorik hem de uygulamalı alanlarda ne kadar geniş bir yelpazeye yayıldığını göstermektedir. Matematik, bilimsel gelişmelerin yanı sıra modern teknolojinin de vazgeçilmez bir parçasıdır.

 Matematiğin konuları 
 Sayı teorisi 
küçükresim|Bu, asal sayıların dağılımını gösteren Ulam spirali'dir. Sarmaldaki koyu köşegen çizgiler, artık Hardy ve Littlewood'un Sanısı F olarak bilinen bir varsayım olan ikinci dereceden bir polinomun asal olması ile bir değeri olması arasındaki varsayımsal yaklaşık bağımsızlığa işaret eder.
Sayı teorisi, sayıların, yani doğal sayılar 'nin işlenmesiyle başladı ve daha sonra tam sayılara  ve rasyonel sayılara  doğru geliştirildi. 
Eskiden sayı teorisine aritmetik denirdi ancak günümüzde bu terim çoğunlukla sayısal hesaplamalar için kullanılır. Sayı teorisinin kökeni eski Babil ve muhtemelen Çin'e dayanmaktadır. Önde gelen ilk sayı teorisyenleri Öklid ve Diophantus idi. Sayı teorisinin soyut biçimindeki modern çalışması büyük ölçüde Pierre de Fermat ve Leonhard Euler'e atfedilir. Alan, Adrien-Marie Legendre ve Carl Friedrich Gauss'un katkılarıyla meyvesini verdi. 
Kolayca ifade edilen birçok sayı probleminin, matematiğin her yerinden gelişmiş yöntemler gerektiren çözümleri vardır. Öne çıkan bir örnek Fermat'nın son teoremi‘dir. Bu varsayım 1637'de Pierre de Fermat tarafından ifade edildi ancak yalnızca 1994 yılında Andrew Wiles tarafından
cebirsel geometri, kategori teorisi ve homolojik cebir'den şema teorisini içeren araçlar kullanılarak kanıtlandı.

Başka bir örnek, 2'den büyük her çift tam sayının iki asal sayı'nın toplamı olduğunu öne süren Goldbach hipotezi'dir. 1742'de Christian Goldbach tarafından ifade edilen, büyük çabalara rağmen bugüne kadar kanıtlanmamıştır.

Sayı teorisi, analitik sayı teorisi, cebirsel sayı teorisi, sayıların geometrisi (yöntem yönelimli), diophantine denklemleri ve aşkınlık teorisi dâhil olmak üzere birçok alt alanı içerir.
{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="20"
|  ||  ||  ||  || || || ||||
|-
| Doğal sayılar  || Tam sayılar || Rasyonel sayılar||İrrasyonel sayılar || Reel sayılar || Karmaşık sayılar||DördeylerGirard, P. R. The quaternion group and modern physics (1984) Eur. J. Phys. vol 5, p. 25–32.  ||Asal sayılar||Sabitler
|}

{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="20"
|  ||  ||  ||  ||π,e|| || ||
|-
| Hiperbolik sayılar|| Çifte karmaşık sayılar || P-sel sayılar||Ardışık sayılar || Aşkın sayı || Mükemmel sayı||İkili sayılar||Sıfır
|}

 Geometri 

küçükresim|Bir kürenin yüzeyinde, Öklid geometrisi yalnızca yaklaşık olarak doğrudur. Daha büyük ölçeklerde üçgenin açılarının toplamı 180°'ye eşit değildir.

Geometri, matematiğin en eski dallarından biridir. Doğrular, açılar ve daireler gibi şekillerle ilgili ampirik tariflerle başladı ve esasen yer ölçümünün ve mimari'nin ihtiyaçları için geliştirildi ancak o zamandan beri diğer birçok alt alana yayıldı.

Temel yenilik eski Yunanlar tarafından kanıtlar kavramının getirilmesiydi ve her iddianın "kanıtlanması" gerekliliği vardı. Örneğin iki uzunluğun eşit olduğunu ölçerek doğrulamak yeterli değildir. Uzunlukların eşit olup olmadıkları önceden kabul edilmiş sonuçlardan (teoremler) ve birkaç temel ifadeden çıkarım yapılarak kanıtlanmalıdır. Temel ifadeler apaçık anlaşılabilir olduklarından (varsayımlar) veya çalışma konusu tanımın parçası olduklarından (aksiyomlar) ispata tabi değildirler. Tüm matematiğin temelini oluşturan bu ilke ilk olarak geometri için geliştirildi ve Öklid tarafından MÖ 300 civarında Elementler adlı kitabında sistemleştirildi.

Ortaya çıkan Öklid geometrisi Öklid düzleminde (düzlem geometrisi) ve üç boyutlu Öklid uzayındaki çizgilerden, düzlemlerden ve dairelerden inşa edilmiş şekillerin ve düzenlemelerinin incelenmesidir.

Öklid geometrisi, René Descartes'ın Kartezyen koordinatları tanıttığı 17. yüzyıla kadar yöntem veya kapsam değişikliği olmadan geliştirildi. Bu büyük bir paradigma değişikliği idi. Çünkü gerçek sayıları doğru parçalarının uzunlukları olarak tanımlamak yerine (bkz. sayı doğrusu), noktaların koordinatlarını (sayılar) kullanarak temsiline imkân verdi. Bu, kişinin geometrik problemleri çözmek için cebiri (ve daha sonra kalkülüsü veya hesabı) kullanmasına imkân verir. Bu, geometriyi iki yeni alt alana ayırdı: tamamen geometrik yöntemler kullanan sentetik geometri ve sistematik olarak koordinatları kullanan analitik geometri.

Analitik geometri, daireler ve doğrularla ilgili olmayan eğrilerin çalışılmasına izin verir. Bu tür eğriler fonksiyonların grafiği olarak tanımlanabilir (çalışması diferansiyel geometri'ye yol açtı). Ayrıca kapalı denklemler, genellikle cebirsel denklemleri (cebirsel geometri'yi doğuran) olarak da tanımlanabilir. Analitik geometri ayrıca üç boyuttan daha yüksek Öklid uzaylarını dikkate almayı mümkün kılar.

19. yüzyılda matematikçiler, paralel varsayımı izlemeyen Öklid dışı geometrileri keşfettiler. Bu varsayımın doğruluğunu sorgulayarak, bu keşfin Matematiğin temellerini ortaya çıkarmada Russel paradoksu ile birleştiği görüldü. Krizin bu yönü, aksiyomatik yöntemi sistematik hâle getirerek ve seçilen aksiyomların doğruluğunun matematiksel bir problem olmadığını benimseyerek çözüldü. Buna karşılık aksiyomatik yöntem ya aksiyomları değiştirerek ya da uzay'ın belirli dönüşümleri altında değişmez olan özellikleri dikkate alarak elde edilen çeşitli geometrilerin incelenmesine imkân verir.

Günümüzde geometrinin alt alanları şunlardır:
 16. yüzyılda Girard Desargues tarafından tanıtılan Projektif geometri, paralel çizgiler'in kesiştiği sonsuzda noktalar ekleyerek Öklid geometrisini büyütür. Bu, kesişen ve paralel çizgiler için işlemleri birleştirerek klasik geometrinin birçok yönünü kolaylaştırır.
 Afin geometri, paralellik ile ilgili ve uzunluk kavramından bağımsız özelliklerin incelenmesi.
 Diferansiyel geometri, diferansiyel fonksiyonları kullanılarak tanımlanan eğrilerin, yüzeylerin ve bunların genellemelerinin incelenmesi
 Manifold teorisi, daha geniş uzaya gömülü olması gerekmeyen şekillerin incelenmesi
 Riemann geometrisi, eğri uzaylarda mesafe özelliklerinin incelenmesi
 Cebirsel geometri, polinomlar kullanılarak tanımlanan eğrilerin, yüzeylerin ve bunların genellemelerinin incelenmesi
 Topoloji, sürekli deformasyonlar altında tutulan özelliklerin incelenmesi
 Cebirsel topoloji, cebirsel yöntemlerin, özellikle homolojik cebirin topolojide kullanımı
 Ayrık geometri, geometride sonlu yapılanmaların incelenmesi
 Dışbükey geometri, önemini optimizasyon uygulamalarından alan dışbükey kümelerin incelenmesi,
 Karmaşık geometri, gerçek sayıların karmaşık sayılar ile yer değiştirilmesiyle elde edilen geometri

Cebirsel geometri -- Analitik geometri -- Diferansiyel geometri -- Diferansiyel topoloji -- Cebirsel topoloji -- Lineer cebir --Fraktal geometri

{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
| 96px || 96px || 96px || 96px || 96px 
|-
|Geometri || Trigonometri || Diferansiyel geometri || Topoloji || Fraktal geometri||
|}

 Hesap 
Aritmetik -- Analiz -- Türev -- Kesirli hesap -- Fonksiyonlar -- Trigonometrik fonksiyonlar

 96px  96px  96px  96px  96px Kalkülüs  Vektör hesabı Diferansiyel denklemler  Dinamik sistem  Kaos teorisi

 Temel matematiksel yapılar 
Monoid -- Öbek (matematik) -- Halkalar -- Cisim (Cebir) -- Topolojik Uzaylar -- Çokkatlılar -- Hilbert aksiyomları -- Sıralamalar

 Temel matematiksel kavramlar 
Cebir -- Kümeler -- Sayılar -- Bağıntılar--Fonksiyonlar -- Limit -- Süreklilik -- Türev ve Türevlenebilirlik -- Analitik geometri -- İntegrallenebilirlik -- Matris --Determinantlar -- Eşyapı -- Homotopi -- İyi-sıralılık ilkesi -- Sayılabilirlik -- Soyutluk -- Oran -- Orantı -- Polinom -- Permütasyon -- Kombinasyon -- Logaritma -- Diziler -- Seriler -- Lineer cebir

 Matematiğin ana dalları 
Soyut cebir -- Sayılar teorisi -- Cebirsel geometri -- Grup teorisi -- Analiz -- Topoloji -- Graf teorisi -- Genel cebir -- Kategori teorisi -- Matematiksel mantık -- Türevsel denklemler -- Kısmi türevsel denklemler -- Olasılık -- Kompleks fonksiyonlar teorisi

{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
| 96px || 96px || 96px || 96px
|-
| Sayılar teorisi || Soyut cebir || Grup teorisi || Graf teorisi
|}

 Sonlu matematik 
Kombinatorik -- Saf küme teorisi -- Olasılık -- Hesap teorisi -- Sonlu matematik -- Kriptografi -- Graf teorisi -- Oyun teorisi

{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
|  || 96px || 96px || 96px
|-
| Kombinatorik || Hesap teorisi || Kriptografi || Graf teorisi
|}

 Uygulamalı matematik 
Mekanik -- Sayısal analiz -- Optimizasyon -- Olasılık -- İstatistik -- Finansal matematik

 Ünlü teoriler ve hipotezler 
Fermat'nın son teoremi -- Riemann hipotezi -- Süreklilik hipotezi -- P=NP -- Goldbach hipotezi -- Gödel'in yetersizlik teoremi -- Poincaré hipotezi -- Cantor'un diagonal yöntemi -- Pisagor teoremi -- Merkezsel limit teoremi -- Hesabın temel teoremi -- İkiz asallar hipotezi -- Cebirin temel teoremi -- Aritmetiğin temel teoremi -- Dört renk teoremi -- Zorn önsavı -- Fibonacci dizisi

 Temeller ve yöntemler 
Matematik felsefesi -- Sezgici matematik -- Oluşturmacı matematik -- Matematiğin temelleri -- Kümeler teorisi -- Sembolik mantık -- Model teorisi -- Kategori teorisi -- Teorem ispatlama -- Mantık -- Tersine matematik -

{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
| || 176x176px || 135x135px
|-
| Matematiksel mantık || Küme || Kategori Teorisi ||
|}

 Matematik yazılımları 

 Fx Draw
 Macsyma
 MAP
 Maple
 Math Type
 Mathcad
 Mathematica
 MathML
 Matlab
 Maxima
 Mupat
GeoGebra

 Ayrıca bakınız 

 Kaynakça 

 Dış bağlantılar 
 Toplum ve bilimler açısından matematik 
 Matematik Felsefesi 
 Açıköğretim- Matematik öğretimi Hakkında Bilgi
 Matematik Öğretimi Hakkında 
 Açıköğretim Matematik Öğrenmek
 Modern Matematik 


Kategori:Formal bilimler
Kategori:Matematik terimleri
Kategori:Ana madde konuları