Kategori teorisi

Kategori teorisi ya da Ulam kuramı, matematiksel yapılar ve bunlar arasındaki ilişkilerle soyut olarak ilgilenen bir matematik kuramıdır. Kategori kuramı, öğelere (nesnelere) yoğunlaşan küme kuramının aksine, nesneler arası ilişkilere (morfizmlere) odaklanır.

 Tarihi 
Bir kategori birbirileriyle ilişkili matematiksel nesneler sınıfının (örneğin grupların) özünü yakalamaya çalışır. Geleneksel olarak yapıldığı gibi tekil nesneler (gruplar) üzerine yoğunlaşmak yerine, bu nesneler arasındaki yapı muhafaza edici gönderimler (yani morfizmler) üzerine yoğunlaşır. Gruplar örneğinde bu gönderimler grup homomorfizmleridir. Bu şekilde farklı kategorileri funktorlar aracılığıyla ilişkilendirmek mümkündür. Funktorlar, bir kategorinin her nesnesini diğer kategorinin bir nesnesiyle ve bir kategorideki morfizmi diğerindeki bir morfizme ilişkilendiren fonksiyonların bir genelleştirmesidir. Sıkça topolojik uzayın temel grubu gibi "doğal yapılar" funktorlar şeklinde ifade edilebilir. Bunun ötesinde, bu tip yapılar "doğal bir bağıntıya" sahiptir ve bir funktoru diğerine ilişkilendirme yolu olan doğal transformasyon konseptine olanak tanır.

Kategoriler, funktorlar ve doğal transformasyonlar Samuel Eilenberg ve Saunders MacLane tarafından 1945 yılında ortaya atılmıştır. Başlangıçta bu nosyonlar, topolojide, özellikle cebirsel topolojide, geometrik ve sezgisel bir kavram olan homolojiden aksiyomatik bir yaklaşım olan homoloji teorisine geçişte önemli bir bölümdür.
Başkalarının yanı sıra Ulam tarafından (ya da kendisine atfen), benzer düşüncelerin 1930'ların sonunda Polonya okulunda ortaya çıktığı iddia edilmiştir.

Eilenberg/MacLane, kendi ifadelerine göre, bu kuramı geliştirirken doğal transformasyonları anlama çabasındaydılar. Bunu yapabilmek için funktorlar tanımlamak, funktorları tanımlamak için ise kategoriler tanımlamak gerekiyordu.

Günümüzde bu kuram, matematiğin tüm alanlarında uygulanmaktadır.

Kategoriler, nesneler ve morfizmler

Kategoriler
Bir kategori C aşağıdaki üç matematiksel durumu oluşturur:
 Bir sınıf ob(C), böyle ögelere nesneler denir;
 Bir sınıf hom(C), böyle ögelere biçimler veya göndermeler veya oklar denir. Her biçim f bir kaynak nesne a ve hedef nesne b var.  ifadesi, sözlü olarak ifadesi "f a'dan b'ye bir biçimdir". ifadesi - alternatif ifade olarak ,  veya  - a dan bye tüm biçimlerin hom-sınıf ifadesidir.
 Bir ikili işlem ∘, biçimlerin kompozisyonu denir, böylece a, b ve c herhangi üç nesne için, elimizde  var. nin kompozisyonu ve   veya gf olarak yazılır,Some authors compose in the opposite order, writing fg yazılır veya  için .Kategori teorisi kullanılarak bilgisayar bilimcileri çok sık yazmak   için aksiyom ile yönetilir:
 Birleşimlilik: Eğer ,  ve  ise  ve
 Özdeşlik: x nesnesi için, burada bir morfizm  var. x için özdeş morfizm  denir, böylece her  morfizm için, elimizde  var.
aksiyomlardan,buna  burada her nesne için tam bir özdeş morfizm sağlanabilir. Bazı yazarlar sadece kendi özdeş morfizmalarını  tanımlayarak verilen tanımından sapabilir.

Morfizmler

morfizmler boyunca ilişkiler ( gibi) değişmeli diyagramlar ile "noktalar" (köşeler) gösterimsel nesneler ve "oklar" gösterimsel biçimler sık sık kullanılarak gösterilmiştir.

Morfizmler için aşağıdaki özelliklerin herhangisi olabilir. Bir morfizm  bir:
 monomorfizm (veya monik) eğer  vurgusu  tüm  morfizmler için.
 epimorfizm (veya epik) eğer  vurgusu  tüm  morfizmler için.
 bimorfizm eğer f hem epik ve hem de moniktir.
 izomorfizm eğer burada bir morfizm  var böylece .Note that a morphism that is both epic and monic is not necessarily an isomorphism! An elementary counterexample: in the category consisting of two objects A ve B, özdeş biçimler ve from A dan Bye  bir tek morfizm f, f is both epic and monic but is not bir isomorphism.
 endomorfizm eğer . ise end(a) anın endomorfizminin sınıfını ifade eder.
 otomorfizm eğer f hem bir endomorfizm ve hem de bir izomorfizmdir. aut(a) anın otomorfizmlerinin sınıfını ifade eder.
 çekilme eğer fnin bir sağ tersi var, yani eğer burada bir morfizm  ile  varsa.
 kesit eğer f in bir sol tersi var, yani eğer burada bir morfizm  ile  varsa.

Her çekilme bir epimorfizmdir ve her kesit bir monomorfizmdir. Dahası, aşağıdaki üç durumun eşdeğeridir:
 f bir monomorfizm ve bir çekilmedir;
 f bir epimorfizm ve bir kesittir;
 f bir izomorfizmdir.

 Kaynakça 
 William Lawvere and Steve Schanuel: Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
 Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician, 2nd edition. Graduate Texts in Mathematics 5, Springer 1998
 Francis Borceux: Handbook of Categorical Algebra, volumes 50-52 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, 1994.

 Dış bağlantılar 
 Alexandre Stefanov'un serbest çevrimiçi matematik kaynakları listesinin Kategori Teorisi bölümü.

 Kaynakça 

*