Del işlemcisi

Yöney analizinde del işlemcisi, 3 boyutlu Kartezyen koordinatlarda nabla işlemcisine denk gelir ve  simgesiyle gösterilir.

Bu işlemci fiziksel matematikte ve yöney analizinde büyük kolaylık sağlaması bakımından bir uzlaşımdır. Temelde parçalı türevdir ve tam türevin çarpanlarından biri olarak düşünülebilir. Bilinen çarpma ve çarpım işlemleriyle yöneysel ve sayıl alanlara etkir. Ancak bilinen çarpmayla kullanıldığı halde değişmeli değildir, yazılımda sağ tarafındaki çarpana uygulanır.

 Tanım 
Del işlemcisi tam türevden tanımlanır:

O halde, işlemci

olarak tanımlanmış olur. Burada  işlemcisi parçalı türev, 'ler de birim yöneydir. =(1,2,3)
n-boyutlu Öklit uzayında bu gösterim:

olarak genellenebilir. Buradaki  'ler birim yöneylerdir ve =1, 2, ..., n alınır.

Ayrıca Einstein toplam uzlaşımı gereği nabla işlemcisi tensör olarak:

şeklinde de gösterilebilir. tensör gösteriminde  'ye etkiyen del işlemcisi virgülle de gösterilebilir:

Burada =1,2,3 alınır.

 Örnekler 
 Del işlemcisinin matematikteki çeşitli kullanım alanları: yön türevi, diverjans, dönül, laplasyen.
 Elektromanyetizmada Maxwell Denklemleri del işlemcisiyle ifade edilir.  ve  sırasıyla serbest yüklerin yoğunluğu ve akısı olmak üzere,





 Fizikte korunumlu kuvvetler için potansiyel ifadesi yazılır, bu yüzden korunumlu bir  kuvveti için:

ifadesi geçerlidir ki burada  göndermesi, eğer  elektriksel kuvvetse elektrik alan, eğer  manyetik kuvvetse manyetik alan ya da eğer  kütleçekim kuvveti ise kütleçekimi alanıdır.
 Dalga denkleminde

 d'Alembert İşlemcisi

 Özel görelilikte del işlemcisi 
Genelde 3 boyutlu Öklityen uzay ile 4 boyutlu Minkowski uzayı arasındaki fark bu maddede de uygulandığı gibi genellikle 3-yöneyler Latin abecesiyle (i, j, k,...) gösterilirken 4-yöneylerin yunan abecesiyle ( ) gösterilmektedir.

Del işlemcisi genel olarak her yöne ait parçalı türevdir. Einstein'ın Özel Görelilik kuramında 4-del işlemcisi şu şekilde tanımlanır:

Burada  alınır ve c ışık hızıdır.

Tensör gösteriminde virgül türev olarak ifade edilir:

Burada  alınır.

 Maxwell denklemlerinin tensör gösterimi 

Maxwell Denklemler tensörlerle ifade edilebilir. Kaldı ki bu şekilde dört tane olan denklem sayısı ikiye inmiş olur.

Bu denklemleri daha da sade yazabiliriz:

Buradaki  çarpanı Levi-Civita Tensörüdür.

 Kaynakça 

Kategori:Analiz (matematik)