ชั้น (ทฤษฎีเซต)

ในทฤษฎีเซตและการประยุกต์ทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด ชั้น () คือกลุ่มของเซต (หรือบางครั้งเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ) ที่สามารถนิยามได้อย่างชัดเจนด้วยสมบัติที่สมาชิกทั้งหมดของชั้นดังกล่าวมีร่วมกัน ชั้นทำหน้าที่เป็นวิธีในการมีกลุ่มของวัตถุที่มีลักษณะคล้ายเซต ในขณะเดียวกันก็มีความแตกต่างจากเซต เพื่อหลีกเลี่ยงปฏิทรรศน์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งปฏิทรรศน์ของรัสเซลล์ นิยามที่แน่นอนของคำว่า "ชั้น" ขึ้นอยู่กับบริบททางรากฐาน ในการศึกษาเกี่ยวกับทฤษฎีเซตแซร์เมโล–แฟรงเคิล แนวคิดเรื่องชั้นถือเป็นแนวคิดแบบอรูปนัย ในขณะที่ทฤษฎีเซตอื่น ๆ เช่น ทฤษฎีเซตแบบฟอน นอยมันน์–แบร์ไนส์–เกอเดิล ได้มีการกำหนดชั้นแท้ (proper class) ด้วยสัจพจน์ เช่น ให้เป็นกลุ่มของสิ่งที่ไม่เป็นสมาชิกของกลุ่มอื่น

ชั้นที่ไม่เป็นเซต (ในความหมายแบบอรูปนัยในทฤษฎีเซตแซร์เมโล–แฟรงเคิล) เรียกว่า ชั้นแท้ (proper class) และชั้นที่เป็นเซตบางครั้งเรียกว่า ชั้นเล็ก (small class) ตัวอย่างเช่น ชั้นของจำนวนเชิงอันดับที่ทั้งหมด และชั้นของเซตทั้งหมด เป็นชั้นแท้ในระบบรูปนัยหลายระบบ

ในงานเขียนด้านทฤษฎีเซตของไควน์มักใช้คำว่า "ชั้นสูงสุด" (ultimate class) แทนคำว่าชั้นแท้ โดยเน้นย้ำว่า ในระบบที่เขาพิจารณา ชั้นบางชนิดไม่สามารถเป็นสมาชิกของสิ่งใดได้อีก และด้วยเหตุนี้จึงเป็นพจน์สุดท้ายในสายโซ่ภาวะสมาชิกใด ๆ ที่ชั้นสูงสุดเป็นส่วนหนึ่ง

นอกเหนือจากทฤษฎีเซต คำว่า "ชั้น" บางครั้งถูกใช้เป็นคำที่มีความหมายเหมือนกันกับคำว่า "เซต" การใช้คำในลักษณะนี้สืบทอดมาจากช่วงเวลาในอดีตที่คำว่าชั้นกับเซตยังไม่ได้ถูกแยกความแตกต่างกันอย่างชัดเจนดังเช่นในศัพท์เฉพาะด้านทางทฤษฎีเซตสมัยใหม่Bertrand Russell (1903). The Principles of Mathematics,  Chapter VI: Classes, via Internet Archive การกล่าวถึง "ชั้น" จำนวนมากในคริสต์ศตวรรษที่ 19 และก่อนหน้านั้น แท้จริงแล้วกำลังอ้างถึงเซต หรืออาจกล่าวได้ว่าเกิดขึ้นโดยที่ยังไม่ได้พิจารณาว่าชั้นบางชนิดไม่สามารถจัดเป็นเซตได้

อ้างอิง

หมวดหมู่:ทฤษฎีเซต