สมสัณฐาน

ในคณิตศาสตร์ สมสัณฐาน () คือฟังก์ชันการส่งหรือฟังก์ชันสัณฐานที่รักษาโครงสร้างไว้ระหว่างโครงสร้างสองโครงสร้างที่มีประเภทเดียวกัน ซึ่งสามารถย้อนกลับได้ด้วยฟังก์ชันการส่งแบบผกผัน โครงสร้างทางคณิตศาสตร์สองโครงสร้างจะถือว่าสมสัณฐานก็ต่อเมื่อมีฟังก์ชันสมสัณฐานระหว่างโครงสร้างทั้งสอง

ความสนใจในฟังก์ชันสมสัณฐานอยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่าวัตถุสมสัณฐานสองชิ้นมีคุณสมบัติเหมือนกัน (ยกเว้นข้อมูลเพิ่มเติม เช่น โครงสร้างเพิ่มเติมหรือชื่อของวัตถุ) ดังนั้น โครงสร้างแบบสมสัณฐานจึงไม่สามารถแยกแยะได้จากมุมมองของโครงสร้างเพียงอย่างเดียว และมักสามารถระบุได้ ในศัพท์เฉพาะทางคณิตศาสตร์ กล่าวกันว่าวัตถุสองชิ้นเป็นสิ่งเดียวกับภายใต้ฟังก์ชันสมสัณฐาน ตัวอย่างทั่วไปที่ไม่สามารถระบุโครงสร้างแบบสมสัณฐานได้คือ เมื่อโครงสร้างเป็นโครงสร้างย่อยของโครงสร้างที่ใหญ่กว่า ตัวอย่างเช่น ปริภูมิย่อยทั้งหมดที่มีมิติหนึ่งของปริภูมิเวกเตอร์จะสมสัณฐานกัน แต่ไม่สามารถระบุเป็นสิ่งเดียวกันได้

อัตสัณฐาน (automorphism) คือฟังก์ชันสมสัณฐานจากโครงสร้างหนึ่งไปยังตัวมันเอง ฟังก์ชันสมสัณฐานระหว่างโครงสร้างสองโครงสร้างเรียกว่าฟังก์ชันสมสัณฐานแบบบัญญัติ (การส่งแบบบัญญัติที่เป็นฟังก์ชันสมสัณฐาน) หากมีฟังก์ชันสมสัณฐานเพียงฟังก์ชันเดียวระหว่างโครงสร้างทั้งสอง (ดังเช่นในกรณีของคำตอบของคุณสมบัติสากล) หรือหากฟังก์ชันสมสัณฐานนั้นมีความเป็นธรรมชาติมากกว่า (ในบางแง่มุม) เมื่อเทียบกับฟังก์ชันสมสัณฐานอื่น ๆ ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนเฉพาะ p ทุกฟิลด์ที่มีองค์ประกอบ p จะเป็นฟังก์ชันสมสัณฐานแบบบัญญัติ โดยมีฟังก์ชันสมสัณฐานเฉพาะตัว ทฤษฎีบทฟังก์ชันสมสัณฐานให้ฟังก์ชันสมสัญญาณแบบบัญญัติที่ไม่เฉพาะตัว

คำว่าฟังก์ชันสมสัณฐานส่วนใหญ่ใช้เรียกโครงสร้างทางพีชคณิตและประเภท ในกรณีของโครงสร้างทางพีชคณิต ฟังก์ชันการส่งจะเรียกว่า ฟังก์ชันสาทิสสัณฐาน และฟังก์ชันสาทิสสัณฐานจะเป็นฟังก์ชันสมสัณฐานก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง

ในสาขาต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันสมสัณฐานมีชื่อเฉพาะ ขึ้นอยู่กับประเภทของโครงสร้างที่กำลังพิจารณา ตัวอย่างเช่น

 สมมิติ (isometry) คือ ฟังก์ชันสมสัณฐานของปริภูมิอิงระยะทาง
 สมานสัณฐาน (homeomorphism) คือ ฟังก์ชันสมสัณฐานของปริภูมิเชิงทอพอโลยี
 อนุพันธสัณฐาน (diffeomorphism) คือ ฟังก์ชันสมสัณฐานของปริภูมิที่มีโครงสร้างเชิงอนุพันธ์ ซึ่งโดยทั่วไปคือแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้
 สัณฐานซิมเพล็กติก (symplectomorphism) คือ ฟังก์ชันสมสัณฐานของแมนิโฟลด์ซิมเพล็กติก
 การเรียงสับเปลี่ยน คือ ฟังก์ชันอัตสัณฐานของเซต
 ในเรขาคณิต ฟังก์ชันสมสัณฐานและฟังก์ชันอัตสัณฐานมักถูกเรียกว่า การแปลง เช่น การแปลงคงรูป การแปลงสัมพรรค และการแปลงเชิงภาพฉาย

ทฤษฎีประเภท ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นรูปแบบที่เป็นทางการของแนวคิดการส่งฟังก์ชันระหว่างโครงสร้างต่าง ๆ เป็นภาษาที่สามารถนำมาใช้เพื่อรวมแนวคิดในการเข้าถึงแง่มุมต่าง ๆ ของแนวคิดพื้นฐานเหล่านี้ได้

หมวดหมู่:การสมมูล