ทฤษฎีบทสังวัตนาการ

ทฤษฎีบทสังวัตนาการ (convolution theorem) เป็นทฤษฎีบทที่กล่าวว่าการแปลงฟูรีเย ของฟังก์ชันสังวัตนาการจะเท่ากับผลคูณของการแปลงฟูรีเย กล่าวคือ สังวัตนาการในโดเมนหนึ่งสอดคล้องกับผลคูณในอีกโดเมนหนึ่ง เช่น สังวัตนาการในโดเมนเวลาสอดคล้องกับผลคูณในโดเมนความถี่



โดยในที่นี้  แทนการแปลงฟูรีเยของ f และในทางกลับกันก็จะได้ว่า



และก็ใช้กับการแปลงฟูรีเยผกผันได้  ได้เช่นกัน



ทฤษฎีบทนี้ยังใช้ได้กับการแปลงอีกหลายแบบ ได้แก่ การแปลงลาปลัส, การแปลงลาปลัสสองทาง, การแปลง Z, การแปลงเมลลิน และ การแปลงฮาร์ตลีย์

ในการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก ทฤษฎีบทนี้สามารถนำไปประยุกต์ใช้กับการแปลงฟูรีเยที่กำหนดบนอาบีเลียนกรุปแบบจำกัดได้อีกด้วย

ทฤษฎีบทสังวัตนาการสามารถใช้เพื่อลดความซับซ้อนของการคำนวณได้ เช่น สำหรับการคำนวณลำดับยาว  หากคำนวณตามคำจำกัดความของสังวัตนาการแล้วจะต้องทำการคำนวณทั้งหมด  คู่ ดังนั้นความซับซ้อนในการคำนวณของการคูณจะเป็น  แต่ถ้าแปลงลำดับไปเป็นโดเมนความถี่โดยใช้การแปลงฟูรีเยแล้ว ก็แค่นำมาคูณกันเท่านั้น เมื่อรวมการคำนวณการแปลงฟูรีเยแบบเร็วแล้ว ความซับซ้อนในการคำนวณทั้งหมดเป็น 

 พิสูจน์ 

ให้  และ  อยู่ในปริภูมิ L1(Rn) แล้วให้  เป็นผลการแปลงฟูรีเยของ  ส่วน  เป็นผลการแปลงฟูรีเยของ 




โดยที่จุดระหว่าง x และ ν แสดงถึงผลคูณภายในบน Rn



แล้วจะได้ว่า



ดังนั้นตามทฤษฎีบทของฟูบีนี จะได้ว่า  ดังนั้นการแปลงฟูรีเย  จึงได้จากนิยามโดยการคำนวณปริพันธ์เป็น



จะเห็นว่า  ดังนั้นเราสามารถนำทฤษฎีบทของฟูบินีมาใช้กับตัวแปรข้างต้นได้อีกครั้ง (กล่าวคือ สลับลำดับการหาปริพันธ์)



แทนค่า  - 







ปริพันธ์ของทั้งสองก้อนนี้ก็คือ  และ  ดังนั้นได้ว่า



หมวดหมู่:การวิเคราะห์ฟูรีเย
หมวดหมู่:ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์
หมวดหมู่:การประมวลผลสัญญาณ
หมวดหมู่:หน้าที่มีการแปลที่ยังไม่ได้ตรวจทาน