ตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง

ตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง () หรือเรียกว่า ตรรกศาสตร์ภาคแสดง () แคลคูลัสภาคแสดง () หรือตรรกศาสตร์บ่งปริมาณ () เป็นชนิดของระบบรูปนัยที่ใช้ในคณิตศาสตร์ ปรัชญา ภาษาศาสตร์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ตรรกศาสตร์อันดับหนึ่งใช้ตัวแปรบ่งปริมาณเหนือวัตถุที่ไม่ใช่เชิงตรรกะ และอนุญาตให้ใช้ประโยคที่ประกอบด้วยตัวแปร แทนที่จะเป็นประพจน์ เช่น "มนุษย์ทุกคนต้องตาย" ในตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง เราสามารถมี นิพจน์ในรูปแบบ "สำหรับทุก ๆ x ถ้า x เป็นมนุษย์ แล้ว x ต้องตาย" โดยที่ "สำหรับทุก ๆ x" คือตัวบ่งปริมาณ x คือตัวแปร และ "...เป็นมนุษย์" กับ "...ต้องตาย" คือภาคแสดงHodgson, J. P. E., Professor Emeritus ("First Order Logic"), Saint Joseph's University, Philadelphia, 1995. ซึ่งทำให้แตกต่างจากตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ซึ่งไม่ได้ใช้ตัวบ่งปริมาณหรือความสัมพันธ์Hughes, G. E., & Cresswell, M. J., A New Introduction to Modal Logic (London: Routledge, 1996), p.161. ในแง่นี้ ตรรกศาสตร์เชิงประพจน์จึงเป็นรากฐานของตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง

ทฤษฎีเกี่ยวกับหัวข้อใดหัวข้อหนึ่ง เช่น ทฤษฎีเซต ทฤษฎีสำหรับกรุปA. Tarski, Undecidable Theories (1953), p. 77. Studies in Logic and the Foundation of Mathematics, North-Holland หรือทฤษฎีรูปนัยทางคณิตศาสตร์ โดยปกติแล้วคือตรรกศาสตร์อันดับหนึ่งที่มาพร้อมกับองค์ประกอบเฉพาะเจาะจง ได้แก่ โดเมนของสรรพสาระซึ่งเป็นโดเมนที่ตัวแปรบ่งปริมาณจะครอบคลุมถึงฟังก์ชันต่าง ๆ จากโดเมนนั้นไปยังโดเมนนั้นเอง ภาคแสดงต่าง ๆ ที่นิยามไว้บนโดเมนนั้น และเซตของสัจพจน์ที่เชื่อว่าเป็นจริงเกี่ยวกับองค์ประกอบทั้งหมดเหล่านั้น คำว่า "ทฤษฎี" บางครั้งถูกเข้าใจในแง่ที่เป็นรูปนัยมากขึ้นว่าเป็นเพียงเซตของประโยคในตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง

คำว่า "อันดับหนึ่ง" ใช้เพื่อแยกแยะตรรกศาสตร์อันดับหนึ่งจากตรรกศาสตร์อันดับสูง ซึ่งในตรรกศาสตร์อันดับสูงนั้นมีภาคแสดงที่มีภาคแสดงหรือฟังก์ชันเป็นอาร์กิวเมนต์ได้ หรืออนุญาตให้มีการบ่งปริมาณเหนือภาคแสดง ฟังก์ชัน หรือทั้งสองอย่าง ในทฤษฎีอันดับหนึ่ง ภาคแสดงมักจะมีความเกี่ยวข้องกับเซต ในขณะที่ในทฤษฎีอันดับสูงที่มีการตีความ ภาคแสดงอาจถูกตีความว่าเป็นเซตของเซต

มีระบบนิรนัยสำหรับตรรกศาสตร์อันดับหนึ่งอยู่มากมาย ซึ่งเป็นไปตามคุณสมบัติทั้งสมบูรณ์ กล่าวคือข้อความที่สามารถพิสูจน์ได้ทั้งหมดนั้นเป็นจริงในทุกแบบจำลอง และบริบูรณ์ กล่าวคือ ข้อความทั้งหมดที่เป็นจริงในทุกแบบจำลองนั้นสามารถพิสูจน์ได้ แม้ว่าความสัมพันธ์ของผลพวงเชิงตรรกะจะตัดสินได้เพียงครึ่งหนึ่ง แต่ก็มีความก้าวหน้าอย่างมากในการพิสูจน์ทฤษฎีบทด้วยคอมพิวเตอร์ในตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง ตรรกศาสตร์อันดับหนึ่งยังสอดคล้องกับทฤษฎีบทอภิตรรกศาสตร์หลายข้อ ซึ่งทำให้ตรรกศาสตร์อันดับหนึ่งเอื้อต่อการวิเคราะห์ในทฤษฎีการพิสูจน์ เช่น ทฤษฎีบทเลอเวนไฮม์–สกูเล็ม และทฤษฎีบทความกระชับ

ตรรกศาสตร์อันดับหนึ่งเป็นมาตรฐานสำหรับการวางรูปแบบคณิตศาสตร์ให้เป็นสัจพจน์และมีการศึกษาในสาขารากฐานของคณิตศาสตร์ สัจพจน์เปอาโนและทฤษฎีเซตแซร์เมโล–แฟรงเคิลเป็นการวางระบบสัจพจน์ของทฤษฎีจำนวนและทฤษฎีเซตตามลำดับ ให้อยู่ในรูปแบบของตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง  อย่างไรก็ตาม ไม่มีทฤษฎีอันดับหนึ่งใดที่มีความสามารถมากพอที่จะอธิบายโครงสร้างที่มีโดเมนเป็นอนันต์ได้อย่างจำเพาะเจาะจง เช่น เซตของจำนวนธรรมชาติ หรือเส้นจำนวน ระบบสัจพจน์ที่สามารถอธิบายโครงสร้างทั้งสองได้อย่างสมบูรณ์ กล่าวคือ ระบบสัจพจน์เชิงประเภท สามารถสร้างขึ้นได้ในชนิดของตรรกศาสตร์ที่แข็งแกร่งกว่า เช่น ตรรกศาสตร์อันดับสอง

รากฐานของตรรกศาสตร์อันดับหนึ่งถูกพัฒนาขึ้นโดยก็อทโลพ เฟรเกอและชาลส์ แซนเดอส์ เพียร์ซโดยอิสระจากกันEric M. Hammer: Semantics for Existential Graphs, Journal of Philosophical Logic, Volume 27, Issue 5 (October 1998), page 489: "Development of first-order logic independently of Frege, anticipating prenex and Skolem normal forms"

อ้างอิง

หมวดหมู่:คณิตตรรกศาสตร์