การแจกแจงปัวซง

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติวิเคราะห์ การแจกแจงปัวซง เป็นการแจกแจงที่อธิบายถึงจำนวนเหตุการณ์ที่สนใจ ซึ่งเกิดขึ้นในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่งและขอบเขตใดขอบเขตหนึ่ง การแจกแจงนี้สามารถประยุกต์ใช้กับจำนวนเหตุการณ์ในรูปแบบอื่นที่ไม่จำกัดแค่เวลา เช่น จำนวนเหตุการณ์ในพื้นที่หรือปริมาตรที่กำหนด การแจกแจงนี้ตั้งชื่อตามซีเมอง เดอนี ปัวซง นักคณิตศาสตร์ขาวฝรั่งเศส

ในการแจกแจงปัวซง หากจำนวนเหตุการณ์ที่มีการคาดหมายคือ λ ความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์  𝑘 ครั้งสามารถคำนวณได้จากสมการดังนี้:

ตัวอย่างเช่น ศูนย์รับสายโทรศัพท์ของบริษัทแห่งหนึ่งรับสายเฉลี่ย 𝜆 = 3 ครั้งต่อนาที ซึ่งจำนวนครั้งในการโทรของแต่ละนาทีเป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นจำนวนครั้งการโทร 𝑘 ครั้งในหนึ่งนาทีจึงมีลักษณะการแจกแจงแบบปัวซง เช่น โอกาสที่จะได้รับสายหนึ่งในสี่ครั้งต่อหนึ่งนาทีรวมกัน 0.77 ขณะที่การไม่รับสาย หรือรับสายมากกว่าห้าครั้งขึ้นไป จะมีโอกาสประมาณ 0.23

 คำจำกัดความ 
ถ้าตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง 𝑋 มีการแจกแจงปัวซองที่พารามิเตอร์ 𝜆>0 สามารถเขียนฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นได้ดังนี้:

โดยที่
  คือจำนวนครั้งของเหตุการณ์ ()
  คือค่าคงที่ของออยเลอร์ ()
 k! = k(k–1) ···  คือแฟกทอเรียล

จำนวนจริงบวก 𝜆 มีค่าเท่ากับค่าความคาดหมายของตัวแปรสุ่ม 𝑋 และมีค่าเท่ากับความแปรปรวนด้วยเช่นกัน

กรณีทั่วไปที่ทราบอัตราการเกิดเหตุการณ์เฉลี่ย 𝑟 ต่อหน่วยเวลา และพิจารณาช่วงเวลา 𝑡 หน่วย จะได้ว่า 𝜆=𝑟𝑡 และสามารถเขียนออกมาเป็นสูตรได้นี้:


 ตัวอย่าง 
การแจกแจงปัวซงสถานการณ์ที่จำนวนเหตุการณ์ที่อาจเกิดขึ้นมีจำนวนมาก แต่แต่ละเหตุการณ์เกิดขึ้นค่อนข้างน้อย เช่น
 การโทรศัพท์เข้าสู่ศูนย์รับสายโทรศัพท์ของบริษัทแห่งหนึ่งในต่ละช่วงเวลา
 จำนวนกัมมันตภาพรังสีที่สลายในช่วงเวลาหนึ่งนาที
 จำนวนผู้ป่วยที่เข้ารับการรักษาในโรงพยาบาลแต่ละวัน

อ้างอิง

หมวดหมู่:คณิตศาสตร์เชิงการจัดในการแจกแจง