การจำกัดฟังก์ชัน

ในคณิตศาสตร์ การจำกัดฟังก์ชัน  เป็นฟังก์ชันใหม่ เขียนว่า  หรือ  ได้มาโดยการเลือกโดเมน  ที่เล็กกว่าโดเมนของฟังก์ชันเดิม   แล้วสามารถกล่าวได้ว่าฟังก์ชัน  ขยาย 

 นิยามแบบรูปนัย 
ให้  เป็นฟังก์ชันจากเซต  ไปยังเซต   ถ้าเซต  เป็นเซตย่อยของ  แล้วการจำกัดฟังก์ชัน  ไปยัง เป็นฟังก์ชัน   โดยที่  สำหรับ  ในแบบอรูปนัย การจำกัดฟังก์ชัน  ไปยัง เป็นฟังก์ชันเดียวกันกับ  แต่ได้นิยามไว้เฉพาะบน 

หากมองฟังก์ชั่น  เป็นความสัมพันธ์  บนผลคูณคาร์ทีเซียน  แล้วการจำกัดฟังก์ชัน  ไปยัง  สามารถใช้กราฟแทนได้โดย



ที่คุ่  แทนคู่อันดับในกราฟ 

 ส่วนขยาย 
ฟังก์ชั่น  เป็นฟังก์ชันส่วนขยาย  หากเมื่อใดก็ตาม  อยู่ในโดเมนของ  แล้ว  ก็อยู่ในโดเมนของ  และ   นั่นคือถ้า  และ 

ส่วนขยายเชิงเส้น (หรือส่วนขยายต่อเนื่อง ฯลฯ ตามลำดับ) ของฟังก์ชัน  เป็นส่วนขยายของ  ซึ่งเป็นการส่งเชิงเส้นเช่นกัน (หรือการส่งต่อเนื่อง ฯลฯ ตามลำดับ)

 ตัวอย่าง 

 การจำกัดฟังก์ชันที่ไม่เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง  ไปยังโดเมน  คือฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
 ฟังก์ชันแฟกทอเรียล คือการจำกัดฟังก์ชันแกมมาไปยังจำนวนเต็มบวก โดยมีการเลื่อนอาร์กิวเมนต์ไปหนึ่ง 

 คุณสมบัติของการจำกัดฟังก์ชัน 

 การจำกัดฟังก์ชัน  ไปยังทั้งโดเมน  คืนค่าฟังก์ชันเดิม ซึ่งคือ 
 การจำกัดฟังก์ชันสองครั้งก็เหมือนกับการจำกัดฟังก์ชันเพียงครั้งเดียว นั่นคือ ถ้า  แล้ว 
 การจำกัดฟังก์ชันเอกลักษณ์ บนเซต  ไปยังเชตย่อย  ของ  เป็นเพียงการส่งโดยเป็นเซตย่อยจาก  ไปยัง   Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974.  (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011.  (Paperback edition).
 การจำกัดฟังก์ชันต่อเนื่องยังคงต่อเนื่อง  

 บทประยุกต์ 

 ฟังก์ชันผกผัน 
เพื่อให้ฟังก์ชันมีฟังก์ชันผกผัน ฟังก์ชันนั้นจะต้องเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง หากฟังก์ชัน  ไม่ใช่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง อาจสามารถกำหนดฟังก์ชันผกผันบางส่วนของ  โดยการจำกัดโดเมน ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน  ที่ได้นิยามไว้โดยทั้ง  จะไม่ใช่แบบหนึ่งต่อหนึ่งเพราะ  สำหรับ  ใด ๆ  อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันจะกลายเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งหากเราจำกัดบนเฉพาะโดเมน  ในกรณีนั้น 

(หากเราจำกัดเฉพาะโดเมน  แทน แล้วค่าผกผันคือค่าลบของรากที่สองของ ) อีกวิธีหนึ่งคือไม่จำเป็นต้องจำกัดโดเมนหากเราอนุญาตให้ฟังก์ชันผกผันเป็น ฟังก์ชันหลายค่า

 ตัวดำเนินการการเลือก 

ในพีชคณิตเชิงสัมพันธ์ การเลือก (บางครั้งเรียกว่าการจำกัดเพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนกับการใช้ SELECT ของ SQL) เป็นการดำเนินการเอกภาคที่เขียนด้วย  หรือ  ที่

  และ  ชื่อลักษณะประจำ
  เป็นการดำเนินการทวิภาคบนเซต 
  เป็นค่าคงที่
  เป็นความสัมพันธ์ (ฐานข้อมูล)

การเลือก  จะเลือกหลายสิ่งอันดับทั้งหมดใน  ซึ่งสำหรับ  เป็นจริงระหว่างลักษณะประจำ  และ 

ดังนั้นตัวดำเนินการเลือกจะจำกัดไปยังเซตย่อยของฐานข้อมูลทั้งหมด

 บทตั้งการเชื่อม 

บทตั้งการเชื่อมเป็นผลในโทโพโลยี ซึ่งโยงความต่อเนื่องของฟังก์ชันกับความต่อเนื่องของการจำกัดไปยังเซตย่อย

ให้  เป็นเซตย่อยปิดสองเซต (หรือเซตย่อยเปิดสองเซต) ของปริภูมิโทโพโลยี  เช่นนั้น  และให้  เป็นปริภูมิโทโพโลยีด้วย ถ้า  ต่อเนื่องเมื่อจำกัดไปยังทั้ง  และ  แล้ว  ต่อเนื่อง

ผลนี้ทำให้สามารถใช้ฟังก์ชันต่อเนื่องสองฟังก์ชันที่นิบามไว้บนเซตย่อยที่ปิด (หรือเปิด) ของปริภูมิโทโพโลยีและสร้างฟังก์ชันใหม่ได้

 ชีฟ 

ชีฟให้วิธีวางนัยทั่วไปในการจำกัดให้กับวัตถุอื่นนอกเหนือจากฟังก์ชัน

ในทฤษฎีชีฟเราจะกำหนดวัตถุ  ในแคทิกอรีของแต่ละเซตเปิด  ของปริภูมิโทโพโลยี และกำหนดให้วัตถุต้องเป็นไปตามเงื่อนไขประการต่าง ๆ  เงื่อนไขที่สำคัญที่สุดคือต้องมีมอร์ฟิซึมจำกัด ระหว่างวัตถุทุกคู่ที่เชื่อมโยงกับเซตเปิดซ้อน นั่นคือถ้า  แล้วก็มีมอร์ฟิซึม  ที่สอดคล้องคุณสมบัติต่อไปนี้ ซึ่งนิยามมาเพื่อเลียนแบบการจำกัดฟังก์ชัน

 สำหรับทุกเซตเปิด  ของ   มอร์ฟิซึมจำกัด  คือมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์บน 
 ถ้ามีเซตเปิดสามเซต  แล้วได้การประกอบคือ 
 (ความเฉพาะที่) ถ้า  เป็นเซตปกเปิดของเซตเปิด  และถ้า โดยที่  สำหรับทุกเซต  ของเซตปกแล้ว   และ
 (การเชื่อม) ถ้า  เป็นเซตปกเปิดของเซตเปิด  และถ้าสำหรับทุก  จะมีภาคตัด  ที่ให้มาโดยที่สำหรับทุกคู่  ของเซตปก การจำกัด  และ  ต้องกันบนส่วนซ้อนเหลื่อม  แล้วมีภาคตัด  ที่ทำให้  สำหรับทุก 

พวกวัตถุทั้งหมดดังกล่าวเรียกว่า ชีฟ หากตรงตามแค่คุณสมบัติสองข้อแรก ก็จะเรียกว่า ก่อนชีฟ

 การจำกัดทางซ้ายและขวา 
โดยนัยทั่วไปแล้วการจำกัด (หรือการจำกัดโดเมน หรือการจำกัดทางซ้าย)  ของความสัมพันธ์ทวิภาค  ระหว่าง  และ  อาจกำหนดให้เป็นความสัมพันธ์ที่มีโดเมน  โคโดเมน  และกราฟ  ในทำนองเดียวกัน เราสามารถกำหนด การจำกัดทางขวา หรือการจำกัดเรนจ์  แท้จริงแล้วสามารถกำหนดการจำกัดความสัมพันธ์ได้ n ภาค เช่นเดียวกับเซตย่อยที่เป็นความสัมพันธ์ เช่น ความสัมพันธ์ของผลคูณคาร์ทีเซียน  สำหรับความสัมพันธ์ทวิภาค กรณีเหล่านี้ไม่สอดคล้องกับรูปแบบของชีฟ

 การปฏิจำกัด 
การปฏิจำกัดโดเมน (หรือ การลบโดเมน) ของฟังก์ชันหรือความสัมพันธ์ทวิภาค  (ที่มีโดเมน  และโคโดเมน  ) โดยเซต  อาจนิยามได้ว่าเป็น  เป็นการลบสมาชิกทั้งหมดของ  จากโดเมน   บางครั้งเขียนว่า  ⩤   ในทำนองเดียวกัน การปฏิจำกัดเรนจ์ (หรือ การลบเรนจ์) ของฟังก์ชันหรือความสัมพันธ์ทวิภาค  โดยเซต  ถูกกำหนดให้เป็น  เป็นการลบสมาชิกทั้งหมดของ  จากโคโดเมน  บางครั้งเขียนว่า  ⩥ 

 ดูเพิ่มเติม 








 อ้างอิง 

หมวดหมู่:ทฤษฎีชีฟ