สัญกรณ์หลายดัชนี

สัญกรณ์หลายดัชนีเป็นสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ที่ลดความซับซ้อนของสูตรที่ใช้ในแคลคูลัสหลายตัวแปร สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย และทฤษฎีการแจกแจง ด้วยการวางนัยทั้วไปแนวคิดของดัชนี จำนวนเต็มให้เป็นหลายสิ่งอันดับของดัชนี

 นิยามและสมบัติพื้นฐาน 
หลายดัชนี n มิติ คือ  สิ่งอันดับ



ของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ (กล่าวคือสมาชิกของเซต  มิติของจำนวนธรรมชาติ เขียนด้วย )

สำหรับหลายดัชนี  และ  นิยามว่า

 ผลรวมและผลต่างตามส่วนประกอบ 

 อันดับบางส่วน 

 ผลรวมของส่วนประกอบ (ค่าสัมบูรณ์) 

 แฟกทอเรียล 

 สัมประสิทธิ์ทวินาม 

 สัมประสิทธิ์พหุนาม 
  เมื่อ 
 การยกกำลัง 

 อนุพันธ์ย่อยอันดับสูง 
  เมื่อ  (ดูเพิ่มที่เกรเดียนต์สี่มิติ) บางครั้งสัญลักษณ์  ก็ใช้ได้เช่นกัน 

 การประยุกต์ใช้บางบท 
สัญกรณ์หลายดัชนีช่วยให้สามารถขยายสูตรต่างๆ จากแคลคูลัสเบื้องต้นไปยังกรณีที่มีตัวแปรหลายตัวที่สอดคล้องกันได้ ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างบางส่วน ในกรณีต่อไปนี้  (หรือ )  , และ  (หรือ )

 ทฤษฎีบทพหุนาม

 ทฤษฎีบทหลายหวินาม
 สังเกตว่า เพราะ  เป็นเวกเตอร์ และ  เป็นหลายดัชนี นิพจน์ทางซ้ายจึงเป็นการเขียน  โดยย่อ
 สูตรไลบ์นิทซ์
 สำหรับฟังก์ชันปรับเรียบ  และ 
 อนุกรมเทย์เลอร์
 สำหรับฟังก์ชันวิเคราะห์  ที่มีตัวแปร  ตัวจะได้ว่า  สำหรับฟังก์ชันที่ปรับเรียบเพียงพอ จะมีการกระจายเทย์เลอร์ที่คล้ายคลึงกัน  ที่พจน์สุดท้าย (เศษเหลือ) จะขึ้นอยู่กับสูตรจริง ๆ ของเทย์เลอร์ เช่น สำหรับสูตรโคชี (มีเศษเหลือปริพันธ์) ได้ว่า  
 ตัวดำเนินการอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นวางนัยทั่วไป
 ตัวดำเนินการอนุพันธ์ย่อยอันดับที่  เชิงเส้นรูปนัยที่มีตัวแปร  ตัวเขียนได้ว่า 
 การหาปริพันธ์ทีละส่วน
 สำหรับฟังก์ชันปรับเรียบที่มีส่วนค้ำจุนกระชับในโดเมนมีขอบเขต  จจะได้ว่า  สูตรนี้ใช้ในนิยามของการกระจายและอนุพันธ์อ่อน

 ทฤษฎีบทตัวอย่าง 
ถ้า  เป็นหลายดัชนีและ  แล้ว 

 บทพิสูจน์ 
บทพิสูจน์ดังกล่าวเป็นไปตามกฎกำลังของอนุพันธ์สามัญ ถ้า α และ β อยู่ใน  แล้ว

สมมติให้ ,  และ  แล้วเราจะได้ว่า 

สำหรับแต่ละ  ใน , ฟังก์ชัน  ขึ้นอยู่กับเพียง   การหาอนุพันธ์ย่อยแต่ละอนุพันธ์ ในข้างต้นนี้ จึงลดเหลืออนุพันธ์สามัญที่สมนัยกัน  ดังนั้น จากสมการ (1) จะเห็นได้ว่า  หายไป ถ้า  อย่างน้อยหนึ่ง  ใน   หากไม่เป็นเช่นนั้น เช่น หาก  โดยที่เป็นหลายดัชนีแล้ว  สำหรับแต่ละ  และทฤษฎีบทก็เป็นไปตามนี้ ซ.ต.พ.

 ดูเพิ่ม 
 สัญกรณ์ไอน์สไตน์
 สัญกรณ์ดัชนี
 แคลคูลัสริชชี

 อ้างอิง 

 เซนต์เรย์มอนด์, เซเวียร์ (1991). บทนำเบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เทียม บทที่ 1.1 สำนักพิมพ์ CRC ไอเอสบีเอ็น 0-8493-7158-9

หมวดหมู่:สัญกรณ์คณิตศาสตร์
หมวดหมู่:คณิตศาสตร์เชิงการจัด
หมวดหมู่:หน้าที่ใช้แถบข้างที่มีพารามิเตอร์ child
หมวดหมู่:บทความที่มีบทพิสูจน์