การเพิ่มปริมาตรลูกบาศก์เป็นสองเท่า

การเพิ่มปริมาตรลูกบาศก์เป็นสองเท่า หรือปัญหาดีเลียน () เป็นปัญหาทางเรขาคณิตในสมัยโบราณ ปัญหานี้กำหนดว่า เมื่อกำหนดขอบของลูกบาศก์ลูกหนึ่งแล้ว จะต้องสร้างขอบของลูกบาศก์ลูกที่สองซึ่งมีปริมาตรเป็นสองเท่าของลูกบาศก์ลูกแรก เช่นเดียวกับปัญหาที่เกี่ยวข้องอย่างการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่าพื้นที่วงกลมและการแบ่งมุมออกเป็นสามส่วน ปัจจุบันทราบกันดีแล้วว่าการเพิ่มปริมาตรลูกบาศก์เป็นสองเท่าไม่สามารถทำได้โดยใช้เพียงวงเวียนและสันตรงเท่านั้น แต่แม้แต่ในสมัยโบราณก็มีการค้นพบวิธีแก้ปัญหาที่ใช้วิธีการอื่น ๆ แล้ว

ยูโตเซียสกล่าวว่า อาร์คีตัสเป็นคนแรกที่แก้ปัญหาการเพิ่มปริมาตรลูกบาศก์เป็นสองเท่า (หรือที่เรียกว่าปัญหาดีเลียน) ได้สำเร็จด้วยโครงสร้างทางเรขาคณิตที่แยบยล ปีแยร์ ว็องต์แซ็ล ได้พิสูจน์อย่างสมบูรณ์ว่าไม่มีวิธีที่จะแก้ปัญหาได้โดยใช้เพียงวงเวียนและสันตรงในปี ค.ศ. 1837

ในทางพีชคณิต การเพิ่มปริมาตรลูกบาศก์หนึ่งหน่วยเป็นสองเท่าต้องอาศัยการสร้างส่วนของเส้นตรงที่มีความยาว  โดยที่  หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ  ซึ่งก็คือ รากที่สามของ 2 เหตุผลคือลูกบาศก์ที่มีความยาวด้านเป็น 1 จะมีปริมาตรเท่ากับ  และลูกบาศก์ที่มีปริมาตรเป็นสองเท่าของค่านี้ (ปริมาตรเท่ากับ 2) จะมีความยาวด้านเป็นรากที่สามของ 2 ดังนั้นความเป็นไปไม่ได้ที่จะเพิ่มปริมาตรลูกบาศก์เป็นสองเท่าจึงเทียบเท่ากับประพจน์ที่ว่า  ไม่เป็นจำนวนสร้างได้ ซึ่งเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าพิกัดของจุดใหม่ที่สร้างด้วยวงเวียนและสันตรงเป็นรากของพหุนามเหนือฟีลด์ที่สร้างจากพิกัดของจุดก่อนหน้า ซึ่งมีดีกรีไม่เกินกำลังสอง นี่หมายความว่าดีกรีของภาคขยายฟีลด์ที่สร้างโดยจุดสร้างได้จะต้องเป็นกำลังของ 2 อย่างไรก็ตาม ภาคขยายฟีลด์ที่สร้างโดย  นั้น มีดีกรีเท่ากับ 3 ซึ่งไม่เป็นกำลังของ 2 ทำให้  ไม่สามารถสร้างได้ด้วยวงเวียนและสันตรง

อ้างอิง

หมวดหมู่:เรขาคณิตบนระนาบยุคลิด