การทดสอบการลู่เข้า

ในทาง คณิตศาสตร์ การทดสอบการลู่เข้าเป็นวิธีการทดสอบหาการลู่เข้า การลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ ช่วงลู่เข้า หรือลู่ออกของอนุกรมอนันต์  

 รายการการทดสอบ 

 ลิมิตของส่วนของผลบวก 
ถ้าลิมิตของส่วนของผลบวกหาค่าไม่ได้หรือไม่ใช่ศูนย์ นั่นคือ  แล้วอนุกรมจะลู่ออก ในแง่นี้ ผลบวกย่อยจะเป็นแบบโคชี เฉพาะในกรณีที่ลิมิตหาค่าได้และมีค่าเท่ากับศูนย์เท่านั้น การทดสอบจะสรุปไม่ได้ ถ้าลิมิตของส่วนของผลบวกเป็นศูนย์ สามารถเรียกอีกอย่างได้ว่า การทดสอบด้วยพจน์ที่ n  การทดสอบการลู่ออก หรือ การทดสอบอนุกรมลู่ออก

 การทดสอบด้วยอัตราส่วน 
สามารถเรียกอีกอย่างได้ว่า เกณฑ์ของดาล็องแบร์

 พิจารณาลิมิตสองลิมิต  และ   ถ้า  อนุกรมจะลู่ออก ถ้า  อนุกรมจะลู่เข้าโดยสัมบูรณ์  ถ้า  การทดสอบจะสรุปไม่ได้ และอนุกรมอาจลู่เข้าแบบสมบูรณ์ แบบมีเงื่อนไข หรือลู่ออกได้

 การทดสอบโดยราก 
สามารถเรียกอีกอย่างได้ว่า การทดสอบโดยรากที่ n หรือ เกณฑ์ของโคชี

 ให้

 เมื่อ  หมายถึงลิมิตซูพีเรียร์ (อาจได้  หากมีลิมิตก็จะมีค่าได้เดิม)
 ถ้า r < 1 แล้วอนุกรมนั้นจะลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ หาก r > 1 แล้วอนุกรมนี้จะลู่ออก ถ้า r = 1 การทดสอบโดยรากจะสรุปไม่ได้ และอนุกรมอาจลู่เข้าหรือลู่ออกจากกัน

การทดสอบรากจะเข้มกว่าการทดสอบอัตราส่วน เมื่อใดที่การทดสอบด้วยอัตราส่วนกำหนดการลู่เข้าหรือลู่ออกของอนุกรมอนันต์ การทดสอบรากก็จะกำหนดการลู่เช่นกัน แต่บทกลับอาจไม่เป็นจริงเสมอไป 

 การทดสอบด้วยปริพันธ์ 
อนุกรมสามารถเปรียบเทียบกับปริพันธ์เพื่อกำหนดการลู่เข้าหรือลู่ออก ให้  เป็น ฟังก์ชันไม่เป็นลบและลดลงทางเดียว โดยที่  ถ้าให้  แล้วอนุกรมนี้ก็จะลู่เข้า แต่ถ้าปริพันธ์ลู่ออก อนุกรมก็จะลุ่ออกด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คืออนุกรมของ  ลุ่เข้าก็ต่อเมื่อปริพันธ์ลู่เข้า

 การทดสอบโดยใช้อนุกรมพี 
บทย่อยที่ใช้กันบ่อยของการทดสอบด้วยปริพันธ์คือการทดสอบโดยใช้อนุกรมพี ให้  แล้ว  จะลู่เข้า ถ้า 

กรณีที่  จะได้อนุกรมฮาร์มอนิกที่ลู่ออก กรณีที่  คือปัญหาบาเซิล และอนุกรมจะลู่เข้าหา  โดยทั่วไปแล้ว สำหรับ  อนุกรมนี้จะเท่ากับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ที่นำไปใช้กับ  นั่นก็คือ 

 การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรง 
ถ้าอนุกรม  เป็นอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ และ  สำหรับ n ที่มากพอ แล้อนุกรม  จะลู่เข้าแบบสัมบูรณ์

 การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้ลิมิต 
ถ้า  (นั่นคือทุกสมาชิกของลำดับทั้งสองเป็นค่าบวก) และลิมิต  หาค่าได้ เป็นจำนวนจำกัดและไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นอนุกรมทั้งสองจะลู่เข้าหรือลู่ออกทั้งคู่

 การทดสอบด้วยการควบแน่นโคชี 
ให้  เป็นลำดับที่ไม่เป็นลบและไม่เพิ่ม แล้วผลรวม  จะลู่เข้า ก็ต่อเมื่อผลรวม  ลู่เข้า ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าลู่เข้าแล้ว  จะเป็นจริง

 การทดสอบของอาเบล 
สมมุติให้ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง

  เป็นอนุกรมที่ลู่เข้า
  เป็นลำดับทางเดียวและ
  มีขอบเขตจำกัด

แล้ว  ก็จะลู่เข้าด้วย

 การทดสอบการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ 
อนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ทุกอนุกรมจะลู่เข้า

 การทดสอบอนุกรมสลับ 
สมมุติให้ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง

  เป็นลำดับทางเดียว


แล้ว  และ  เป็นอนุกรมลู่เข้า การทดสอบนี้เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า เกณฑ์ของไลบ์นิทซ์

 การทดสอบของดิริชเลต์ 
ถ้า  เป็นลำดับของจำนวนจริง และ  ลำดับของจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับ





  สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก N

โดยที่ M เป็นค่าคงที่ ดังนั้นอนุกรม



ลู่เข้า

 การทดสอบการลู่เข้าของโคชี 
อนุกรม  จะลู่เข้าก็ต่อเมื่อสำหรับทุก  มีจำนวนนับ N ที่



เป็นจริงสำหรับทุก  และทุก  

 ทฤษฎีบทสโตลซ์–เชซาโร 
ให้  และ  เป็นลำดับของจำนวนจริงสองลำดับ สมมติว่า  เป็นลำดับลู่ออกทางเดียวโดยแท้ และลิมิตต่อไปนี้หาค่าได้



แล้วลิมิต



 การทดสอบแบบเอ็มของไวเออร์ชตราสส์ 
สมมติให้ (fn) เป็นลำดับของฟังก์ชันค่าจริงหรือค่าเชิงซ้อนที่ถูกกำหนดบนเซต A และมีลำดับของจำนวนไม่เป็นลบ (Mn) ที่สอดคล้องเงื่อนไข

  สำหรับทุก  และทุก , และ
  ลู่เข้า

แล้วอนุกรม



ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์และเอกรูปบน A

 ส่วนขยายของการทดสอบด้วยอัตราส่วน 
การทดสอบด้วยอัตราส่วนอาจไม่ชัดเจนเมื่อลิมิตของอัตราส่วนเท่ากับ 1  อย่างไรก็ตาม ส่วนขยายของการทดสอบด้วยอัตราส่วนบางครั้งช่วยให้สามารถจัดการกับกรณีนี้ได้

 การทดสอบของราเบ-ดูอาแมล 
ให้ {an} เป็นลำดับของจำนวนบวก

กำหนดให้



ถ้า



มีความเป็นไปได้สามทาง

 ถ้า L > 1 อนุกรมลู่เข้า (รวมถึงกรณี L = ∞)
 ถ้า L < 1 อนุกรมจะลู่ออก
 และถ้า L = 1 การทดสอบไม่สามารถสรุปผลได้

สูตรทางเลือกสำหรับการทดสอบนี้สามรถเขียนได้ดังนี้ ให้ an เป็นลำดับของจำนวนจริง แล้วถ้า b > 1 และ K (จำนวนธรรมชาติ) มีอยู่ได้ว่า



สำหรับทุก n > K ดังนั้นอนุกรม {an} จะลู่เข้า

 การทดสอบของเบอร์ทรานด์ 
ให้ {an} เป็นลำดับของจำนวนบวก นิยามให้



ถ้า



มีอยู่สามความเป็นไปได้ 

 ถ้า L > 1 อนุกรมจะลู่เข้า (รวมถึงกรณี L = ∞)
 ถ้า L < 1 อนุกรมจะลู่ออก
 และถ้า L = 1 การทดสอบนั้นไม่สามารถสรุปผลได้

 การทดสอบของเกาส์ 
ให้ {an} เป็นลำดับของจำนวนบวก ถ้า  สำหรับบาง β > 1 แล้ว  ลู่เข้าถ้า  และลู่ออกถ้า  

 การทดสอบของคุมเมอร์ 
ให้ {an} เป็นลำดับของจำนวนบวกแล้ว 

(1)  ลู่เข้าก็ต่อเมื่อมีลำดับ  ของจำนวนบวกและจำนวนจริง c > 0 โดยที่  -

(2)  จะลู่ออกก็ต่อเมื่อมีลำดับ  ของจำนวนบวกที่ทำให้ 

และ  ลู่ออก

 การทดสอบของอาบู-มุสตาฟา 
ให้  เป็นอนุกรมอนันต์ที่มีพจน์จริงและให้  เป็นฟังก์ชันจริงใด ๆ ที่  สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n และอนุพันธ์อันดับสอง  หาค่าได้ที่  แล้ว  ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ถ้า  และลู่ออกในกรณีอื่น 

 หมายเหตุ 

 สำหรับอนุกรมเฉพาะแบบบางประเภทจะทดสอบการลู่เข้าที่เจาะจง เช่น สำหรับอนุกรมฟูเรียร์ จะมีการทดสอบดินี

 ตัวอย่าง 
พิจารณาอนุกรม

การทดสอบด้วยการควบแน่นโคชีบอกว่า (i) ลู่เข้าแบบจำกัดถ้า

เป็นลู่เข้าแบบจำกัด เนื่องจาก



(ii) เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วน  (ii) จะลู่เข้าแบบจำกัดถ้าอัตราส่วนน้อยกว่าหนึ่ง (กล่าวคือ  ดังนั้น (i) จะลู่เข้าแบบจำกัดก็ต่อเมื่อ 

 การลู่เข้าของผลคูณ 
แม้ว่าการทดสอบส่วนใหญ่จะเกี่ยวข้องกับการลู่เข้าของอนุกรมอนันต์ แต่ก็สามารถใช้แสดงการลู่เข้าหรือการลู่ออกจากกันของผลคูณอนันต์ ได้เช่นกันสามารถทำได้โดยใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ให้  เป็นลำดับของจำนวนบวก แล้วผลคูณอนันต์  จะลู่เข้าก็ต่อเมื่ออนุกรมนี้  ลู่เข้า ในทำนองเดียวกัน ถ้า เป็นจริง แล้ว  จะเข้าใกล้ลิมิตที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม  ลู่เข้า

สามารถพิสูจน์ได้โดยการใช้ลอการิทึมของผลคูณและใช้การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้ลิมิตต 

 ดูเพิ่มเติม 

 กฎของโลปิตาล
 กฎการเลื่อน

 อ้างอิง 

 อ่านเพิ่มเติม 


หมวดหมู่:หน้าที่ใช้แถบข้างที่มีพารามิเตอร์ child