การทดสอบด้วยพจน์ที่ n

ในทางคณิตศาสตร์ การทดสอบด้วยพจน์ที่ n เพื่อหาการลู่ออก (อังกฤษ: nth-term test for divergence) เป็นการทดสอบแบบง่าย ๆ เพื่อตรวจภาวะการลู่ออกของอนุกรมอนันต์ถ้า  หรือลิมิตหาค่าไม่ได้ แล้ว  ลู่ออกผู้เขียนหลายรายไม่ได้ตั้งชื่อการทดสอบนี้ไว้หรือใช้ชื่อที่สั้นกว่า ตัวอย่าง Rudin (p.60) เขียนไว้แค่รูปประพจน์แย้งสลับที่และไม่ได้ตั้งชื่อไว้  Brabenec (p.156) เรียกไว้แค่ nth term test  Stewart (p.709) เรียกไว้ว่า Test for Divergence  Spivak (p. 473) เรียกไว้ว่า Vanishing Condition.

เมื่อทดสอบว่าอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก โดยทั่วไปการทดสอบนี้จะได้รับการใช้ก่อนเนื่องจากใช้งานง่าย

ในกรณีของการวิเคราะห์ p-แอดิก การทดสอบพจน์เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการลู่เข้า เนื่องมาจากอสมการสามเหลี่ยมอัลตราเมตริกที่มีสมบัติไม่อาร์คิมิดีส

 การใช้งาน 
การทดสอบด้วยพจน์ที่ n แตกต่างจากการทดสอบการลู่เข้าอื่น ๆ ที่แรงกว่า  เพราะการทดสอบโดยพจน์ไม่สามารถใช้พิสูจน์ได้ว่าอนุกรมนั้น ๆ ลู่เข้า โดยเฉพาะอย่างยิ่งบทกลับของการทดสอบด้วยพจน์ที่ n นั้นไม่จริง กล่าวคือถ้า  แล้ว  อาจลู่เข้าหรือไม่ก็ได้ อีกนัยหนึ่งคือถ้า  การทดสอบสรุปไม่ได้อนุกรมฮาร์มอนิกเป็นตัวอย่างของอนุกรมลู่ออกซึ่งพจน์ของอนุกรมลู่เข้า 0 เมื่อ  และสำหรับคลาสของอนุกรมพี


จะมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการทดสอบดังนี้

 หาก p ≤ 0 การทดสอบพจน์ที่ n บ่งบอกว่าอนุกรมลู่ออก
 หาก 0 < p ≤ 1 การทดสอบพจน์ที่ n ไม่ให้ข้อสรุป แต่อนุกรมนี้ลู่ออกจากการทดสอบปริพันธ์เพื่อหาการลู่เข้า
 หาก 1 < p การทดสอบพจน์ที่ n ไม่ให้ข้อสรุป แต่อนุกรมนี้ลู่เข้าจากการทดสอบปริพันธ์เพื่อหาการลู่เข้า

 บทพิสูจน์ 
โดยทั่วไปแล้วจะพิสูจน์การทดสอบด้วยพจน์ที่ n ผ่านการพิสูจน์ประพจน์แย้งสลับที่ถ้า  ลู่เข้าแล้ว 

 การจัดรูปลิมิต 
ให้ sn เป็นผลบวกย่อยของอนุกรม ดังนั้นสมมติฐานที่ว่าอนุกรมลู่เข้าหมายความว่า



สำหรับจำนวนจริง L บางตัว ดังนั้น



 หลักเกณฑ์ของโคชี 
หากสมมติให้อนุกรมลู่เข้า แสดงว่าอนุกรมนี้ผ่านการทดสอบการลู่เข้าของโคชี ฉะนั้นสำหรับทุก  จะมีจำนวนนับ N ที่ทำให้



เป็นจริงสำหรับทุก n > N และ p ≥ 1 ทั้งหมด เมื่อให้ p = 1 จะได้ว่าRudin (pp.59-60) ใช้วิธีการพิสูจน์นี้ แต่เริ่มด้วยรูปแบบอื่นของหลักเกณฑ์โคชี



 ขอบเขตการใช้งานของอนุกรม 
การทดสอบพจน์ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดนั้นใช้ได้กับอนุกรมอนันต์ของจำนวนจริง บทพิสูจน์สองข้อข้างต้นที่ใช้หลักเกณฑ์ของโคชีหรือความเป็นเชิงเส้นของลิมิต ยังใช้ได้กับปริภูมินอร์มอื่น ๆ  ได้ด้วย

 หมายเหตุ 

 อ้างอิง 









หมวดหมู่:การทดสอบการลู่เข้า
หมวดหมู่:หน้าที่ใช้แถบข้างที่มีพารามิเตอร์ child