การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรง

ในคณิตศาสตร์ การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบ ซึ่งบางครั้งเรียกว่า การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรง เพื่อแยกความแตกต่างจากการทดสอบที่คล้ายคลึงกัน (โดยเฉพาะการทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้ลิมิต) เป็นวิธีการอนุมานว่าอนุกรมอนันต์หรือปริพันธ์ไม่ตรงแบบ ลู่เข้าหรือลู่ออก ด้วยการเปรียบเทียบอนุกรมหรืออินทิกรัลนั้นกับอนุกรมหรืออินทิกรัลลู่เข้าที่ทราบ

 สำหรับอนุกรม 
ในแคลคูลัส การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบสำหรับอนุกรมโดยทั่วไป ประกอบด้วยประพจน์สองประพจน์ เกี่ยวกับอนุกรมอนันต์ที่มีพจน์ที่ไม่เป็นลบ (ค่าจริง) 

 ถ้ามีอนุกรมอนันต์  มาลู่เข้าและ  สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ (นั่นคือสำหรับทั้งหมด  สำหรับค่าคงที่ N บางค่า อนุกรมอนันต์  ลู่เข้าด้วย
 ถ้ามีอนุกรมอนันต์  ลู่ออกและ  สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ ดังนั้นอนุกรมอนันต์  ก็ลู่ออกด้วย

ให้ทราบว่า อนุกรมที่มีพจน์ที่โตเร็วกว่ามักจะ ครอบงำ อนุกรมที่มีพจน์ที่โตช้ากว่า 

นอกจากนี้ การทดสอบอาจระบุได้ในรูปของการลู่เข้าสัมบูรณ์ ซึ่งในกรณีนี้ การทดสอบยังใช้กับอนุกรมที่มีพจน์เชิงซ้อนได้ด้วย

 ถ้าอนุกรมอนันต์  ลู่เข้าสัมบูรณ์และ  สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ ดังนั้นอนุกรมอนันต์  ก็ลู่เข้าสัมบูรณ์เช่นกัน
 ถ้ามีอนุกรมอนันต์  ไม่ลู่เข้าสัมบูรณ์และ  สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ ดังนั้นอนุกรมอนันต์  ก็ไม่ลู่เข้าสัมบูรณ์

ให้ทราบว่า ในประพจน์สุดท้าย อนุกรม  ยังสามารถลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขสำหรับอนุกรมค่าจริง อาจเกิดขึ้นได้ถ้า an ไม่เป็นค่าที่ไม่เป็นลบหมด

คู่ประพจน์ที่สองนั้นเทียบเท่ากับคู่ประพจน์แรกในกรณีของอนุกรมค่าจริงเนื่องจาก  ลู่เข้าสัมบูรณ์ก็ต่อเมื่อ  อนุกรมที่มีพจน์ไม่เป็นลบ ลู่เข้า

 การพิสูจน์ 
บทพิสูจน์ประพจน์ทั้งหมดที่กล่าวไว้ข้างต้นมีความคล้ายคลึงกัน นี่เป็นบทพิสูจน์ของประพจน์ที่สาม

ให้  และ  เป็นอนุกรมอนันต์ เมื่อ  ลู่เข้าสัมบูรณ์ (ดังนั้น  ลู่เข้า) และโดยไม่สูญเสียนัยทั่วไป ให้ว่า  สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n พิจารณาผลรวมย่อย



เนื่องจาก  ลู่เข้าสัมบูรณ์  สำหรับบางจำนวนจริง T สำหรับทุก n



 เป็นลำดับที่ไม่ลดลงและ  ไม่เพิ่ม ให้  แล้วทั้ง  อยู่ในช่วง  ซึ่งยาว  ลดเหลือศูนย์เมื่อ  วิ่งไปอนันต์ แสดงให้เห็นว่า  เป็นลำดับโคชี และจะต้องลู่เข้าหาลิมิต ดังนั้น  ลู่เข้าสัมบูรณ์

 สำหรับปริพันธ์ 
การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบสำหรับปริพันธ์อาจเขียนได้ดังนี้ โดยถือว่าฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่อง f และ g บน  ด้วย b ที่เป็น  หรือจำนวนจริงอย่างใดอย่างหนึ่งซึ่ง f และ g แต่ละตัวมีเส้นกำกับแนวดิ่ง 

 ถ้าปริพันธ์ไม่ตรงแบบ  ลู่เข้าและ  สำหรับ  แล้วปริพันธ์ไม่ตรงแบบ  ลู่เข้าด้วยและ 
 ถ้ามีปริพันธ์ไม่ตรงแบบ  ลู่ออกและ  สำหรับ  แล้วปริพันธ์ไม่ตรงแบบ  ลู่ออกด้วย

 การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้อัตราส่วน 
การทดสอบอื่นสำหรับการลู่เข้าของอนุกรมค่าจริง ซึ่งคล้ายกับการทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรงข้างต้น และการทดสอบด้วยอัตราส่วน เรียกว่าการทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้อัตราส่วน 

 มีอนุกรมอนันต์  ลู่เข้าและ     และ  สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ แล้วอนุกรมอนันต์  ลู่เข้าด้วย
 ถ้ามีอนุกรมอนันต์  ลู่ออกและ    และ  สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ แล้วอนุกรมอนันต์  ลู่ออกด้วย

 ดูเพิ่มเติม 

 การทดสอบการลู่เข้า
 การลู่เข้า (คณิตศาสตร์)
 ทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบครอบงำ
 การทดสอบด้วยปริพันธ์สำหรับการลู่เข้า
 การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้ลิมิต
 ทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบทางเดียว

 หมายเหตุ 

 อ้างอิง 








หมวดหมู่:หน้าที่ใช้แถบข้างที่มีพารามิเตอร์ child
หมวดหมู่:การทดสอบการลู่เข้า