กฎไลบ์นิทซ์ทั่วไป

ใน แคลคูลัส กฎไลบ์นิทซ์ทั่วไป ตั้งชื่อตาม ก็อทฟรีท วิลเฮ็ล์ม ไลบ์นิทซ์ วางนัยทั่วไปให้กับกฎผลคูณของอนุพันธ์ของผลคูณฟังก์ชันสองฟังก์ชัน (เรียกอีกอย่างได้ว่า "กฎของไลบ์นิทซ์") ระบุไว้ว่าถ้า  และ  เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้  ครั้ง แล้วผลคูณ  สามารถหาอนุพันธ์ได้  ครั้ง และอนุพันธ์อันดับที่  จะได้ว่า  เมื่อ  เป็นสัมประสิทธิ์ทวินามและ  หมายถึงอนุพันธ์อันดับที่ j ของ f (และโดยเฉพาะ )

กฎดังกล่าวสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้กฎผลคูณและการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

 อนุพันธ์ลำดับที่สอง 
ตัวอย่างเช่น เมื่อ  กฎจะให้นิพจน์สำหรับอนุพันธ์อันดับสองของผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน

 มากกว่าสองฟังก์ชัน 
สูตรนี้สามารถวางนัยทั่วไปเป็นผลคูณของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ m ฟังก์ชัน f1,...,fm  โดยที่ผลรวมขยายไปทั่ว m-สิ่งอันดับ (k1,...,km) ของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบด้วย  และ  เป็นสัมประสิทธิ์อเนกนาม คล้ายกับสูตรอเนกนามในพีชคณิต

 บทพิสูจน์ 
บทพิสูจน์กฎไลบ์นิทซ์ทั่วไปโดยการใช้อุปนัย ให้  และ  เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้  ครั้ง กรณีฐานเมื่อ  อ้างว่า ซึ่งเป็นกฎผลคูณและทราบว่าเป็นจริง ต่อไปให้ถือว่าข้อความนั้นถือเป็นจริงเมื่อ  นั่นก็คือว่า 

แล้ว  และการอ้างดังกล่าวก็เป็นจริงสำหรับ 

 ความสัมพันธ์กับทฤษฎีบททวินาม 
กฎของไลบ์นิทซ์มีความคล้ายคลึงอย่างมากกับทฤษฎีบททวินาม และในความเป็นจริง ทฤษฎีบททวินามสามารถพิสูจน์ได้โดยตรงจากกฎของไลบ์นิทซ์โดยการใช้  และ  ซึ่งทำให้



แล้วหารทั้งสองข้างด้วย  

 แคลคูลัสหลายตัวแปร 
โดยใช้สัญกรณ์อเนกดัชนีสำหรับอนุพันธ์ย่อย ของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว กฎของไลบ์นิทซ์ระบุไว้โดยทั่วไปว่า 

สูตรนี้สามารถนำมาใช้เพื่อหาสูตรที่คำนวณสัญลักษณ์ขององค์ประกอบของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ได้ ในความเป็นจริงให้ P และ Q เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ (โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้เพียงพอหลายครั้ง) และ  เนื่องจาก R เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ สัญลักษณ์ของ R จึงกำหนดโดย: 

การคำนวณโดยตรงให้

โดยทั่วไปสูตรนี้เรียกว่าสูตรไลบ์นิทซ์ ใช้เพื่อกำหนดองค์ประกอบในพื้นที่ของสัญลักษณ์ ทำให้เกิดโครงสร้างวงแหวน

 ดูเพิ่มเติม 

 ดีริเวชัน
 แคลคูลัสเงามืด

 อ้างอิง 

หมวดหมู่:ทฤษฎีบทในแคลคูลัส
หมวดหมู่:ทฤษฎีบทในการวิเคราะห์
หมวดหมู่:เอกลักษณ์ทางคณิตศาสตร์
หมวดหมู่:กฎการหาอนุพันธ์
หมวดหมู่:หน้าที่ใช้แถบข้างที่มีพารามิเตอร์ child