อนุพันธ์สมมาตร

ในคณิตศาสตร์ อนุพันธ์สมมาตรเป็นการดำเนินการที่วางนัยทั่วไปกับอนุพันธ์สามัญ

นิยามว่า

นิพจน์ภายในลิมิตบางทีเรียกว่าผลหารผลต่างสมมาตร ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์สมมาตรได้ที่จุด x ถ้าอนุพันธ์สมมาตรหาค่าได้ที่จุดนั้น

ถ้าฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ (ในความหมายทั้วไป) ที่จุดนั้น จุดนั้นก็จะหาอนุพันธ์สมมาตรได้ แต่ไม่จำเป็นจะเป็นจริงในทางกลับกัน ตัวอย่างค้านที่พบบ่อยคือฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์  จะไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่  แต่สามารถหาาอนุพันธ์สมมาตรได้ 0  สำหรับฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ ผลหารผลต่างสมมาตรให้การประมาณทางตัวเลขของอนุพันธ์ได้ดีกว่าผลหารผลต่างปกติ

อนุพันธ์สมมาตร ณ จุด ๆ หนึ่งเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอนุพันธ์ทางซ้ายและทางขวาที่จุดนั้น ถ้าหาค่าสองอย่างนั้นได้

ทั้งทฤษฎีบทของโรลล์และทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยไม่จำเป็นจะเป็นจริงสำหรับอนุพันธ์สมมาตร บางประพจน์ที่คล้ายกันแต่อ่อนกว่าได้รับการพิสูจน์

 ตัวอย่าง 
link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Modulusfunction.png|right|thumb|กราฟของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ สังเกตการหักมุมที่  นำไปสู่การหาค่าอนุพันธ์ได้ที่   ฟังก์ชันนี้จึงไม่สามารถหาอนุพันธ์สามัญที่  ได้  แต่อนุพันธ์สมมาตรหาค่าได้ที่ 
 ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ 
สำหรับฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์  ใช้สัญกรณ์  สำหรับอนุพันธ์สมมาตร ที่  จะได้

ดังนั้นอนุพันธ์สมมาตรจึงหาค่าได้ที่  แล้ามีค่าเป็น 0 แม้ว่าอนุพันธ์สามัญจะหาค่าไม่ได้ที่จุดนั้นก็ตาม (เนื่องจากการหักมุมในกราฟที่ )

สังเกตว่าในตัวอย่างนี้ทั้งอนุพันธ์ทางซ้ายและทางขวาที่ 0 หาค่าได้เป็น -1 และ +1 ตามลำดับ ต่าเฉลี่ยจึงได้ 0 ตามที่คาดไว้
link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Graphinversesqrt.png|right|thumb|กราฟของ  สังเกตความไม่ต่อเนื่องที่  ฟังก์ชันนี้จึงไม่สามารถหาอนุพันธ์สามัญที่  ได้ แต่อนุพันธ์สมมาตรหาค่าได้ที่ 

 ฟังก์ชัน x−2 
สำหรับฟังก์ชัน  ที่  จะได้

สำหรับฟังก์ชันนี้อนุพันธ์สมมาตรหาค่าได้ที่  ส่วนอนุพันธ์สามัญจะหาค่าไม่ได้ที่  เนื่องจากความไม่ต่อเนื่องในส่วนโค้งที่จุดนั้น  นอกจากนี้ทั้งอนุพันธ์ทางซ้ายและทางขวาเป็นอนันต์ที่ 0 เป็นตัวอย่างของภาวะไม่ต่อเนื่องสำคัญ

 ฟังก์ชันดิริชเลต์ 
ฟังก์ชันดิริชเลต์ นิยามว่า

สามารถหาอนุพันธ์สมมาตรได้ที่ทุก  แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์สมมาตรได้ที่  ใด ๆ หรือสามารถหาอนุพันธ์สมมาตรได้ที่จำนวนตรรกยะแต่ไม่ได้ทีจำนวนอตรรกยะ

 การวางนัยทั่วไป 

แนวคิดนี้สามารถการวางนัยทั่วไปยังอนุพันธ์สมมาตรอันดับสูงอื่น ๆ และทั้งปริภูมิยุคลิด n-มิติ

 อนุพันธ์สมมาตรอันดับสอง 
อนุพันธ์สมมาตรอันดับสองสามารถนิยามได้ดังนี้

ถ้าอนุพันธ์สามัญอันดับสองหาค่าได้ แล้วอนุพันธ์สมมาตรอันดับสองหาค่าได้ และจะมีค่าเท่ากัน  อนุพันธ์สมมาตรอันดับสองอาจหาค่าได้ แม้ว่าอนุพันธ์สามัญอันดับสองจะหาค่าไม่ได้ก็ตามดังตัวอย่าง พิจารณาฟังก์ชันเครื่องหมาย  ซึ่งได้นิยามไว้ว่าฟังก์ชันเครื่องหมายไม่ต่อเนื่องที่ศูนย์ ดังนั้นอนุพันธ์สามัญอันดับสองสไหรับ  จะหาค่าไม่ได้ แต่อนุพันธ์สมมาตรอันดับสองหาค่าได้สำหรับ 

 ดูเพิ่ม 

 แบบแผนผลต่างกลาง
 จุดความหนาแน่น
 การวางนัยทั่วไปต่าง ๆ กับอนุพันธ์
 ฟังก์ชันต่อเนื่องแบบสมมาตร

 อ้างอิง 

 แหล่งข้อมูลอื่น 


 Approximating the Derivative by the Symmetric Difference Quotient (Wolfram Demonstrations Project)

หมวดหมู่:แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์