ความสูงมาตราส่วน

ในวิทยาศาสตร์บรรยากาศ, วิทยาศาสตร์โลก, และ วิทยาศาสตร์ดาวเคราะห์, ความสูงมาตราส่วน, ซึ่งมักแสดงด้วยตัวอักษร H, เป็นระยะทาง (ระยะทางแนวตั้ง หรือ รัศมี) ที่ ปริมาณทางกายภาพ จะลดลงด้วยปัจจัย e (ฐานของ ลอการิทึมธรรมชาติ, ซึ่งมีค่าประมาณ 2.718)

 ความสูงมาตราส่วนที่ใช้ในแบบจำลองความดันบรรยากาศง่าย ๆ 

สำหรับชั้นบรรยากาศของดาวเคราะห์ ความสูงมาตราส่วนคือการเพิ่มความสูงที่ทำให้ ความดันบรรยากาศ ลดลงด้วยปัจจัย e โดยความสูงมาตราส่วนจะคงที่สำหรับอุณหภูมิที่กำหนด สามารถคำนวณได้จาก

หรือในรูปแบบสมการเดียวกัน

โดยที่:
 kB = ค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน = 
 R = ค่าคงที่ก๊าซ
 T = ค่าเฉลี่ยของ อุณหภูมิ บรรยากาศในหน่วย เคลวิน = 250 K สำหรับโลก
 m = มวลเฉลี่ยของโมเลกุล (หน่วยกิโลกรัม)
 M = มวลเฉลี่ยของหนึ่งโมลของอนุภาคในชั้นบรรยากาศ = 0.029 กิโลกรัม/โมล สำหรับโลก
 g = ความเร่งเนื่องจาก แรงโน้มถ่วง ณ ตำแหน่งปัจจุบัน (m/s2)

ความดัน (แรงต่อหน่วยพื้นที่) ที่ความสูงหนึ่ง ๆ เป็นผลมาจากน้ำหนักของชั้นบรรยากาศที่อยู่เหนือขึ้นไป หากที่ความสูง z ชั้นบรรยากาศมี ความหนาแน่น ρ และความดัน P การเลื่อนขึ้นไปที่ความสูง dz จะลดความดันลงเป็นจำนวน dP ซึ่งเท่ากับน้ำหนักของชั้นบรรยากาศที่มีความหนา dz

ดังนั้น:

โดยที่ g คือความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง สำหรับ dz ขนาดเล็กสามารถสมมติว่า g เป็นค่าคงที่ เครื่องหมายลบหมายถึงเมื่อความสูงเพิ่มขึ้น ความดันจะลดลง ดังนั้น โดยใช้ สมการสถานะ สำหรับ ก๊าซอุดมคติ ที่มีมวลโมเลกุลเฉลี่ย M ที่อุณหภูมิ T ความหนาแน่นสามารถแสดงเป็น

การรวมสมการเหล่านี้จะให้ผลลัพธ์เป็น

ซึ่งสามารถรวมกับสมการของ H ที่กำหนดไว้ข้างต้นได้ว่า:

ซึ่งจะไม่เปลี่ยนแปลงเว้นแต่อุณหภูมิจะเปลี่ยน การรวมสมการข้างต้นและสมมติว่า P0 คือความดันที่ความสูง z = 0 (ความดันที่ ระดับน้ำทะเล) ความดันที่ความสูง z สามารถเขียนได้ว่า:

ซึ่งแปลว่าความดันจะ ลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียล ตามความสูง

ใน ชั้นบรรยากาศของโลก ความดันที่ระดับน้ำทะเล P0 มีค่าเฉลี่ยประมาณ , มวลโมเลกุลเฉลี่ยของอากาศแห้งเท่ากับ 28.964 u ดังนั้น m = 28.964 ×  =  เป็นฟังก์ชันของอุณหภูมิ ความสูงมาตราส่วนของชั้นบรรยากาศโลกคือ H/T = k/mg = (1.38/ (4.808×9.81) ) ×103 =  ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นความสูงมาตราส่วนต่อไปนี้สำหรับอุณหภูมิอากาศที่เป็นตัวแทน

 T = 290 K, H = 8500 m
 T = 273 K, H = 8000 m
 T = 260 K, H = 7610 m
 T = 210 K, H = 6000 m

ตัวเลขเหล่านี้ควรเปรียบเทียบกับอุณหภูมิและความหนาแน่นของชั้นบรรยากาศโลกที่พล็อตใน NRLMSISE-00 ซึ่งแสดงให้เห็นว่าความหนาแน่นของอากาศลดลงจาก 1200 g/m3 ที่ระดับน้ำทะเลเหลือ 0.53 = 0.125 g/m3 ที่ความสูง 70 กม. ซึ่งเป็นปัจจัย 9600 บ่งชี้ความสูงมาตราส่วนเฉลี่ยที่ 70/ln (9600) = 7.64 กม. ซึ่งสอดคล้องกับค่าเฉลี่ยอุณหภูมิอากาศในช่วงนั้นที่ใกล้เคียงกับ 260 K

หมายเหตุ:
 ความหนาแน่นสัมพันธ์กับความดันตาม กฎของแก๊สอุดมคติ ดังนั้นความหนาแน่นจะลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียลตามความสูงจากค่า ρ0 ที่ระดับน้ำทะเลซึ่งมีค่าประมาณ 1.2 กก./ม3
 ที่ความสูงมากกว่า 100 กม. ชั้นบรรยากาศอาจไม่ผสมผสานกันได้ดี ในกรณีนี้แต่ละสปีชีส์เคมีจะมีความสูงมาตราส่วนของตัวเอง
 ที่นี่ถือว่าอุณหภูมิและความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงคงที่ แต่ทั้งสองค่าอาจเปลี่ยนแปลงตามระยะทางที่ไกลออกไป

 ตัวอย่างของดาวเคราะห์ 

ความสูงมาตราส่วนโดยประมาณสำหรับดาวเคราะห์ในระบบสุริยะที่เลือก:

 ดาวศุกร์: 15.9 กม.
 โลก: 8.5 กม.
 ดาวอังคาร: 11.1 กม.
 ดาวพฤหัสบดี: 27 กม.
 ดาวเสาร์: 59.5 กม.
 ไททัน: 21 กม.
 ดาวยูเรนัส: 27.7 กม.
 ดาวเนปจูน: 19.1–20.3 กม.
 พลูโต: ~50 กม.

 ความสูงมาตราส่วนในดิสก์บาง 


สำหรับดิสก์ของก๊าซรอบวัตถุกลางที่ควบแน่น เช่น ดาวฤกษ์เริ่มต้น สามารถคำนวณระยะชั้นดิสก์ซึ่งคล้ายคลึงกับระยะชั้นของดาวเคราะห์ได้ เราเริ่มจากดิสก์ก๊าซที่มีมวลน้อยกว่าวัตถุกลางอย่างมาก เราสมมุติว่าดิสก์อยู่ในสมดุลไฮโดรสแตติกกับส่วนประกอบ z ของแรงโน้มถ่วงจากดาวฤกษ์ โดยที่แรงโน้มถ่วงจะชี้ไปที่กลางดิสก์:

โดยที่:

 G = ค่าคงที่แรงโน้มถ่วง ≈ 
 r = ระยะทางเชิงรัศมีจากศูนย์กลางของดาวฤกษ์หรือวัตถุกลาง
 z = ความสูง/ระยะห่างจากกลางดิสก์ (หรือศูนย์กลางของดาวฤกษ์)
 M* = มวลของดาวฤกษ์/วัตถุกลาง
 P = ความดันของก๊าซในดิสก์
  = ความหนาแน่นของมวลก๊าซในดิสก์

ในกรณีที่ถือว่าดิสก์บาง  และสมการสมดุลไฮโดรสแตติกจะเป็น:

ในการคำนวณความดันของก๊าซ สามารถใช้ กฎของก๊าซอุดมคติ:

โดยที่:
 T = อุณหภูมิของก๊าซในดิสก์ ซึ่งเป็นฟังก์ชันของ r แต่ไม่ขึ้นกับ z
  = มวลโมเลกุลเฉลี่ยของก๊าซ

การใช้ กฎของก๊าซอุดมคติ และสมการสมดุลไฮโดรสแตติกจะให้:

ซึ่งมีคำตอบเป็น:

โดยที่  คือความหนาแน่นของมวลก๊าซที่กลางดิสก์ที่ระยะ r จากศูนย์กลางของดาวฤกษ์ และ  คือระยะชั้นของดิสก์ โดยมี:

โดยที่  คือ มวลดวงอาทิตย์,  คือ หน่วยดาราศาสตร์ และ  คือ หน่วยมวลอะตอม

เป็นการประมาณที่ช่วยให้เห็นภาพ หากเรามองข้ามความแปรผันตามรัศมีในอุณหภูมิ  เราจะเห็นว่า  และดิสก์จะเพิ่มความสูงขึ้นเมื่อเคลื่อนที่ออกจากวัตถุกลาง

เนื่องจากสมมุติฐานว่าอุณหภูมิของก๊าซในดิสก์ T ไม่ขึ้นกับ z,  บางครั้งเรียกว่า ระยะชั้นของดิสก์ที่มีอุณหภูมิคงที่

 ระยะชั้นดิสก์ในสนามแม่เหล็ก 

สนามแม่เหล็กในดิสก์ก๊าซบางรอบวัตถุกลางสามารถเปลี่ยนแปลงระยะชั้นของดิสก์ได้ ตัวอย่างเช่น หากดิสก์ที่ไม่เป็นตัวนำไฟฟ้าอย่างสมบูรณ์หมุนผ่านสนามแม่เหล็กพอลอยดอล (เช่น สนามแม่เหล็กเริ่มต้นตั้งฉากกับระนาบของดิสก์) จะมีการผลิตสนามแม่เหล็กโทริคัล (เช่น ขนานกับระนาบดิสก์) ภายในดิสก์ ซึ่งจะทำให้ดิสก์ถูก "หนีบ" และบีบอัด ในกรณีนี้ ความหนาแน่นของก๊าซในดิสก์คือ

โดยที่ความหนาแน่น "ตัดขาด"  มีรูปแบบเป็น:

โดยที่:
  คือ ความสามารถในการนำของสุญญากาศ
  คือ ความสามารถในการนำไฟฟ้าของดิสก์
  คือ ความหนาแน่นของฟลักซ์แม่เหล็กของสนามพอลอยดอลในทิศทาง 
  คือ ความเร็วเชิงมุมการหมุนของวัตถุกลาง (หากสนามแม่เหล็กพอลอยดอลไม่ขึ้นกับวัตถุกลาง  สามารถตั้งเป็นศูนย์ได้)
  คือ ความเร็วเชิงมุมเคปเลอเรียนของดิสก์ที่ระยะ  จากวัตถุกลาง

สูตรเหล่านี้ให้ความสูงสูงสุดของดิสก์ที่มีแม่เหล็ก  เป็น:

ในขณะที่ระยะชั้นแม่เหล็ก e-folding  คือ:

 อ้างอิง 

หมวดหมู่:พลศาสตร์บรรยากาศ
หมวดหมู่:ตำแหน่งแนวดิ่ง