กฎการหาอนุพันธ์

บทความนี้เป็นการสรุปสูตรและกฎการหาอนุพันธ์ หรือกฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันในแคลคูลัส

 กฎการหาอนุพันธ์เบื้องต้น 
ฟังก์ชันทั้งหมดเป็นฟังก์ชันของจำนวนจริง (R) ที่ให้ค่าจริง เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น แม้ว่าโดยทั่วไปแล้ว สูตรด้านล่างนี้จะใช้ได้ทุกเมื่อที่มีการนิยามไว้อย่างรัดกุมCalculus (5th edition), F. Ayres, E. Mendelson, Schaum's Outline Series, 2009, .Advanced Calculus (3rd edition), R. Wrede, M.R. Spiegel, Schaum's Outline Series, 2010, . รวมถึงกรณีของจำนวนเชิงซ้อน (C) ด้วยComplex Variables, M.R. Spiegel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (USA), 2009, 

 กฎพจน์ค่าคงที่ 
สำหรับฟังก์ชั่น  และ  และจำนวนจริง  และ  ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน  ในส่วน  คือ

 การพิสูจน์ 


บทพิสูจน์แสดงอนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่ใดๆ เป็น 0

 คำอธิบายททางเรขาคณิต 
อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด ๆ หนึ่งคือความชันของเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่จุดนั้น ความชันของฟังก์ชันคงที่เป็นศูนย์ เนื่องจากเส้นสัมผัสของฟังก์ชันคงที่เป็นแนวนอนและมุมเป็นศูนย์

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือค่าของฟังก์ชันคงที่ y จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อค่าของ x เพิ่มขึ้นหรือลดลง

 การหาอนุพันธ์เป็นเชิงเส้น 

สำหรับฟังก์ชัน และ  และจำนวนจริง  และ  ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน  ที่ส่วน  คือ 

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป 

กรณีพิเศษต่าง ๆ ได้แก่

 กฎตัวประกอบค่าคงที่ 
 กฎผลรวม 
 กฎผลต่าง 

 กฎผลคูณ 

สำหรับฟังก์ชั่น  และ  ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน  ในส่วน  คือ 

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป 


ไปที่แนวคิดของการจับคู่ และอนุพันธ์ที่เป็นการจับคู่  ซึ่งเขียนได้กระชับยิ่งขึ้นได้ดังนี้

 กฎลูกโซ่ 

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน  คือ

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป 

มักจะย่อเป็น 

สำหรับค่า  ใด ๆ เมื่อ , ถ้า  คือฟังก์ชันคงที่ โดยที่  แล้ว   

 กฎฟังก์ชันผกผัน 

ถ้าฟังก์ชัน  มีฟังก์ชันผกผัน  ซึ่งหมายความว่า  และ  แล้ว 

เมื่อ  จะเป็นกรณีพิเศษถ้า  แล้ว 

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป 

 กฎยกกำลัง พหุนาม ผลหาร และส่วนกลับ 

 กฎพหุนามหรือกฎยกกำลังเบื้องต้น 

ถ้า  สำหรับจำนวนจริงใดๆ  แล้ว



การรวมกฎยกกำลังเข้ากับกฎผลรวมและกฎการคูณด้วยค่าคงที่ ทำให้สามารถคำนวณอนุพันธ์ของพหุนามใด ๆ ได้

 กฎส่วนกลับ 

อนุพันธ์ของ  สำหรับฟังก์ชัน  (ไม่เป็นศูนย์ที่จุดใด) ใด ๆ คือ

  โดยที่  ไม่เป็นศูนย์

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป 



กฎส่วนกลับสามารถได้มาจากกฎผลหาร หรือจากการรวมกันของกฎยกกำลังและกฎลูกโซ่

 กฎผลหาร 

ถ้า  และ  เป็นฟังก์ชัน แล้ว

  โดยที่  ไม่เป็นศูนย์

ซึ่งสามารถได้มาจากกฎผลคูณและกฎส่วนกลับ

 กฎยกกำลังวางนัยทั่วไป 



ที่ซึ่งเมื่อทั้งสองฝั่งได้นิยามไว้อย่างรัดกุม

กรณีพิเศษ

 ถ้า  แล้ว  เมื่อ  เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ และ  เป็นบวก
 กฎส่วนกลับเป็นกรณีพิเศษโดยที่  

 อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม 

สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุก  แต่อนุพันธ์เมื่อ  ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน




สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุก  แต่ให้ผลเป็นจำนวนเชิงซ้อนหาก  -





  เมื่อ  คือฟังก์ชันดับเบิลยูลัมแบร์ท







 อนุพันธ์เชิงลอการิทึม 
อนุพันธ์เชิงลอการิทึมเป็นอีกวิธีหนึ่งในการระบุกฎสำหรับการหาอนุพันธ์ลอการิทึมของฟังก์ชัน (โดยใช้กฎลูกโซ่):

  โดยที่  เป็นบวก

อนุพันธ์เชิงลอการิทึม เป็นเทคนิคที่ใช้ลอการิทึมและกฎการหาอนุพันธ์เพื่อทำให้นิพจน์บางอย่างง่ายขึ้นก่อนที่จะนำอนุพันธ์ไปใช้จริง[ จำเป็นต้องอ้างอิง ]

ลอการิทึมสามารถใช้เพื่อลบเลขยกกำลัง แปลงการคูณเป็นการรวม และแปลงการหารเป็นการลบ ซึ่งแต่ละค่าอาจนำไปสู่นิพจน์ที่ง่ายขึ้นในการหาอนุพันธ์

 อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ 

ค่าสัมบูรณ์ในตารางด้านบนมีไว้สำหรับเมื่อช่วงของซีแคนต์ผกผันเป็น  และเมื่อช่วงของโคซีแคนต์ผกผันเป็น 

เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดฟังก์ชันแทนเจนต์ผกผันที่มีอาร์กิวเมนต์สองตัว   ค่าของฟังก์ชันอยู่ในช่วง  และสะท้อนจตุภาคของจุด  สำหรับจตุภาคที่หนึ่งและสี่ (เช่น  ) มี  อนุพันธ์ย่อยขอฟังก์ชันคือ

 และ

 อนุพันธ์ของฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก 

ดูฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกสำหรับข้อจำกัดเกี่ยวกับอนุพันธ์เหล่านี้

 อนุพันธ์ของฟังก์ชันพิเศษ 

 ฟังก์ชันแกมมา

  กับ  เป็น ฟังก์ชันไดแกมม่า ซึ่งแสดงโดยนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บทางด้านขวาของ  ในบรรทัดด้านบน
 ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์



 อนุพันธ์ของปริพันธ์ 

สมมติว่าจำเป็นต้องหาอนุพันธ์ในส่วน x ของฟังก์ชัน



ที่ฟังก์ชั่น  และ  ต่อเนื่องทั้ง  และ  ในบางบริเวณของระนาบ  รวมทั้ง   และฟังก์ชัน  และ  ต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ต่อเนื่องได้สำหรับ  - แล้วเมื่อ  -



สูตรนี้เป็นรูปแบบทั่วไปของ กฎอินทิกรัลของไลบ์นิซ และสามารถหาได้โดยใช้ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

 อนุพันธ์อันดับดับที่ n 
มีกฎบางกฎมีขึ้นสำหรับการคำนวณอนุพันธ์อับดับที่  ของฟังก์ชัน โดยที่  เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งรวมถึง

 สูตรของฟาอาดิบรูโน 
ถ้า  และ  สามารถหาอนุพันธ์ได้  ครั้ง  เมื่อ  และเซต  ประกอบด้วยคำตอบจำนวนเต็มไม่เป็นลบทั้งหมดของสมการไดโอแฟนไทน์  -

 กฎทั่วไปของไลบ์นิซ 
ถ้า  และ  สามารถหาอนุพันธ์ได้  ครั้ง  

 ดูเพิ่ม 














 อ้างอิง 

 ที่มาและอ่านเพิ่มเติม 
กฎเหล่านี้มีอยู่ในหนังสือหลายเล่ม ทั้งแคลคูลัสพื้นฐานและขั้นสูง ในวิชาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ สิ่งที่อยู่ในบทความนี้ (นอกเหนือจากอ้างอิงข้างต้น) สามารถพบได้ใน

 คู่มือคณิตศาสตร์ของสูตรและตาราง (ฉบับที่ 3), S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, .
 คู่มือสูตรฟิสิกส์ของเคมบริดจ์, G. Woan, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010, .
 วิธีทางคณิตศาสตร์สำหรับฟิสิกส์และวิศวกรรม, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010, .
 คู่มือ NIST ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์, FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert, CW Clark, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010, .

 แหล่งข้อมูลอื่น 

 เครื่องคำนวณอนุพันธ์พร้อมการทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

หมวดหมู่:ตารางทางคณิตศาสตร์
หมวดหมู่:รายชื่อเกี่ยวกับคณิตศาสตร์
หมวดหมู่:แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์
หมวดหมู่:หน้าที่ใช้แถบข้างที่มีพารามิเตอร์ child

หมวดหมู่:ทฤษฎีบทในการวิเคราะห์
หมวดหมู่:ทฤษฎีบทในแคลคูลัส
หมวดหมู่:เอกลักษณ์ทางคณิตศาสตร์