ความสัมพันธ์สมมาตร

ความสัมพันธ์สมมาตร (Symmetric relation) เป็นประเภทของ ความสัมพันธ์แบบทวิภาค โดยนิยามอย่างเป็นทางการ ความสัมพันธ์ทวิภาค R บน เซต X จะเป็นสมมาตรก็ต่อเมื่อ:



ซึ่งสัญลักษณ์ aRb หมายถึง 

ตัวอย่างของความสัมพันธ์สมมาตรคือ ความสัมพันธ์ "เท่ากัน" เพราะหาก  เป็นจริงแล้ว  ก็จะเป็นจริงเช่นกัน หาก RT แทน ความสัมพันธ์ผกผัน ของ R แล้ว R จะเป็นสมมาตรก็ต่อเมื่อ 

สมมาตร พร้อมกับ ความสัมพันธ์สะท้อนกลับ และ ความสัมพันธ์ผ่านกันได้ เป็นคุณสมบัติที่กำหนด ความสัมพันธ์สมมูล

 ตัวอย่าง 

 ในคณิตศาสตร์ 

 "เท่ากับ" (การเท่ากัน) (ในขณะที่ "น้อยกว่า" ไม่ใช่สมมาตร)
 "เปรียบเทียบได้" สำหรับสมาชิกของ เซตที่เรียงบางส่วน
 "... และ ... เป็นจำนวนคี่":

ไฟล์:Bothodd.png

 นอกคณิตศาสตร์ 

 "แต่งงานกับ" (ในระบบกฎหมายส่วนใหญ่)
 "เป็นพี่น้องทางสายเลือด"
 "เป็น คำพ้องเสียง ของ"
 "เป็นเพื่อนร่วมงาน"
 "เป็นเพื่อนร่วมทีม"

 ความสัมพันธ์กับความสัมพันธ์แบบไม่สมมาตรและแบบแอนตี้สมมาตร 
ตามนิยาม ความสัมพันธ์ที่ไม่ว่างไม่สามารถเป็นได้ทั้งสมมาตรและ ความสัมพันธ์ไม่สมมาตร (ซึ่งหาก a มีความสัมพันธ์กับ b แล้ว b ไม่สามารถมีความสัมพันธ์กับ a แบบเดียวกันได้) อย่างไรก็ตาม ความสัมพันธ์สามารถไม่ใช่ทั้งสมมาตรและไม่สมมาตร เช่น "น้อยกว่าหรือเท่ากับ" และ "ล่า"

สมมาตรและ ความสัมพันธ์แอนตี้สมมาตร (ซึ่งกรณีเดียวที่ a มีความสัมพันธ์กับ b และ b มีความสัมพันธ์กับ a ได้ คือเมื่อ ) แท้จริงแล้วไม่ขึ้นต่อกัน ดังตัวอย่างเหล่านี้:
+ตัวอย่างทางคณิตศาสตร์สมมาตรไม่สมมาตรแอนตี้สมมาตรการเท่ากันหาร, น้อยกว่าหรือเท่ากับไม่แอนตี้สมมาตรความสมมูล ใน เลขคณิตแบบโมดูลาร์การหารจำนวนเต็ม ส่วนใหญ่ และ การสับเปลี่ยน ที่ไม่เป็นปกติ
+ตัวอย่างนอกคณิตศาสตร์สมมาตรไม่สมมาตรแอนตี้สมมาตรเป็นบุคคลเดียวกัน และแต่งงานกันเป็นรูปพหูพจน์ของไม่แอนตี้สมมาตรเป็นพี่น้องทางสายเลือดล่า

 คุณสมบัติ 
ความสัมพันธ์ที่เป็น ความสัมพันธ์สมมาตร และ ความสัมพันธ์ถ่ายทอดได้ จะเป็น ความสัมพันธ์เกือบสะท้อนกลับ (quasireflexive relation) เสมอ

วิธีหนึ่งในการนับจำนวนความสัมพันธ์แบบสมมาตรบนเซตที่มีสมาชิก n ตัว คือ สังเกตว่าในตัวแทนเมทริกซ์แบบไบนารีของความสัมพันธ์นั้น สามเหลี่ยมด้านบนขวาจะเป็นตัวกำหนดความสัมพันธ์ทั้งหมด ซึ่งสามารถกำหนดได้อย่างอิสระ ดังนั้นจะมีจำนวนความสัมพันธ์สมมาตรเท่ากับจำนวนเมทริกซ์ไบนารีขนาด  ที่กำหนดเฉพาะสามเหลี่ยมด้านบนขวาได้ ซึ่งก็คือ 2n(n+1)/2 แบบ

 หมายเหตุ 

 อ้างอิง 

 ดูเพิ่มเติม 




หมวดหมู่:สมบัติของความสัมพันธ์แบบทวิภาค