ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป

ในทางเรขาคณิต ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยม (อังกฤษ: Semiperimeter) คือครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูป แม้ว่าจะสามารถหาค่าจากเส้นรอบวงแบบง่าย ๆ แต่ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปปรากฏบ่อยในสูตรที่เกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม และรูปอื่น ๆ จนต้องมีชื่อเรียกแยกต่างหาก เมื่อครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปใช้เป็นส่วนหนึ่งของสูตร โดยทั่วไปจะแสดงด้วยตัวอักษร 

 รูปสามเหลี่ยม 
ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปมักใช้กับรูปสามเหลี่ยม โดยสูตรสำหรับความยาวครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมที่มีด้ายยาว 



 คุณสมบัติ 
ในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ในจุดยอดใด ๆ ที่จุดที่วงกลมแนบนอกสัมผัสด้านตรงข้ามรูปสามเหลี่ยม จะแบ่งเส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วนที่มีความยาวเท่ากัน ทำให้เกิดเส้นสองเส้น ซึ่งแต่ละเส้นมีความยาวเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป หาก  เป็นดังที่แสดงในรูป เซกเมนต์ที่เชื่อมจุดยอดกับเส้นสัมผัสวงกลมแนบนอกด้านตรงข้าม (  แสดงเป็นสีแดงในแผนภาพ) เรียกว่าเส้นแบ่งพื้นที่ และ



เส้นแบ่งพื้นที่ทั้งสามจวบกันที่จุดนาเกลของรูปสามเหลี่ยม

เส้นแบ่งเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมคือเส้นตรงที่แบ่งครึ่งเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมและมีจุดปลายจุดหนึ่งอยู่ที่จุดกึ่งกลางของด้านใดด้านหนึ่งจากสามด้าน ดังนั้นเส้นแบ่งเส้นรอบรูปใด ๆ เช่น เส้นแบ่งพื้นที่ใด ๆ ก็ตาม จะแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วน โดยแต่ละส่วนมีความยาวเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป เส้นแบ่งเส้นรอบรูปสามเส้นนี้จวบกันอยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงกลมสไปเกอร์ ซึ่งเป็นวงกลมแนบในของรูปสามเหลี่ยมมัธยฐาน โดยจุดศูนย์กลางสไปเกอร์ คือศูนย์กลางมวลของจุดทั้งหมดบนเส้นขอบของรูปสามเหลี่ยม

เส้นที่ผ่านศูนย์กลางในของรูปสามเหลี่ยมจะแบ่งครึ่ง เส้นรอบรูปก็ต่อเมื่อเส้นดังกล่าวแบ่งครึ่งพื้นที่ด้วย

ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากับเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมมัธยฐาน

จากอสมการสามเหลี่ยม ความยาวด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมจะน้อยกว่าความยาวครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป

 สูตรที่เกี่ยวข้องกับครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป 

 สำหรับรูปสามเหลี่ยม 
พื้นที่  ของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ คือผลคูณของรัศมีใน (รัศมีของวงกลมที่แนบในรูปสามเหลี่ยมนั้น) และความยาวครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป:



พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถคำนวณได้จากครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปและความยาวด้าน  โดยใช้ สูตรของเฮรอน:



รัศมีวงกลมล้อม  ของรูปสามเหลี่ยมสามารถคำนวณได้จาก ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปและความยาวด้าน:



สูตรนี้สามารถหาได้จากกฎของไซน์

รัศมีใน คือ



จากกฎของโคแทนเจนต์ จะให้โคแทนเจนต์ของครึ่งหนึ่งของมุมที่จุดยอดของรูปสามเหลี่ยมในรูปของครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวง, ด้าน และรัศมีใน

ความยาวของเส้นแบ่งครึ่งมุม ตรงข้ามกับด้านที่มีความยาว  คือ



ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก รัศมีของวงกลมแนบนอกบนด้านตรงข้ามมุมฉาก มีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป คือผลรวมของรัศมีในและสองเท่าของรัศมีวงล้อม พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคือ  โดยที่  เป็นแขนของมุมฉาก

 สำหรับรูปสี่เหลี่ยม 
สูตรสำหรับหาครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมที่มีความยาวด้าน  คือ



สูตรพื้นที่รูปสามเหลี่ยมหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปนั้นยังสามารถใช้ได้กับรูปสี่เหลี่ยมสัมผัสวง ซึ่งมีวงกลมแนบในและมีคู่ของด้านตรงข้ามที่มีความยาวรวมกันเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป (ตามทฤษฎีบทพิทอท ) —พื้นที่คือผลคูณของรัศมีในและครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป:



รูปที่ง่ายที่สุดของสูตรของพรหมคุปต์ สำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมมีรูปแบบคล้ายกับสูตรของเฮรอนสำหรับพื้นที่รูปสามเหลี่ยม:



สูตรของเบรชไนเดอร์สามารถสรุปรูปสี่เหลี่ยมนูนทั้งหมดได้:



ซึ่ง  และ  เป็นสองมุมตรงข้ามกัน

ด้านทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมสองศูนย์กลาง คือสี่คำตอบของสมการกำลังสี่ที่กำหนดความยาวรอบรูปโดยครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป รัศมีใน และรัศมีวงล้อม

 รูปหลายเหลี่ยมปกติ 
พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมนูนปกติ คือผลคูณของครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปและความยาวของเส้นตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางไปยังด้านใดด้านหนึ่ง (Apothem)

 รูปวงกลม 
ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปวงกลม เรียกอีกอย่างว่า ครึ่งเส้นรอบวง และจะแปรผันตรงกับรัศมี 



ค่าคงที่ของความได้สัดส่วนคือ จำนวนพาย หรือ 

 ดูเพิ่มเติม 

 ครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง

 เชิงอรรถและรายการอ้างอิง 

 แหล่งข้อมูลอื่น 


หมวดหมู่:เรขาคณิตสามเหลี่ยม
หมวดหมู่:เรขาคณิต