ไดเวอร์เจนซ์คัลแบ็ก–ไลบ์เลอร์

ไดเวอร์เจนซ์คัลแบ็ก–ไลบ์เลอร์ (Kullback–Leibler divergence) หรือเรียกย่อว่า ไดเวอร์เจนซ์เคแอล (KL divergence) เป็นมาตรวัดความแตกต่างระหว่างการแจกแจงความน่าจะเป็น 2 ครั้ง

ค่านี้มีการใช้งานในทฤษฎีความน่าจะเป็น และ ทฤษฎีสารสนเทศ และมีชื่อเรียกอื่นอีกหลายชื่อ เช่น

 ไดเวอร์เจนซ์ข้อมูล (information divergence)
 ไดเวอร์เจนซ์ไอ (I divergence)
 อัตราการขยายข้อมูล (information gain)
 เอนโทรปีสัมพัทธ์ (relative entropy)

นอกจากนี้ยังมีชื่อเรียกว่า ระยะทางคัลแบ็ก–ไลบ์เลอร์ ด้วย อย่างไรก็ตาม หน่วยวัดนี้ไม่เป็นไปตามนิยามความหมายของระยะทาง ดังนั้นจึงไม่ใช่ระยะทางจริงในแง่คณิตศาสตร์

ในการใช้งานจริง มักจะทำการคำนวณไดเวอร์เจนซ์คัลแบ็ก–ไลบ์เลอร์สำหรับการแจกแจงความน่าจะเป็น "ที่แท้จริง"  และการแจกแจงความน่าจะเป็นอื่นๆ  ตัวอย่างเช่นให้  เป็นข้อมูล, ค่าที่สังเกตได้, การแจกแจงความน่าจะเป็นที่คำนวณได้อย่างแม่นยำ ฯลฯ ส่วน  เป็นค่าทางทฤษฎี ค่าแบบจำลอง ค่าที่ทำนายของ  เป็นต้น

แนวคิดนี้ถูกใช้ครั้งแรกในปี 1951 โดย โซโลมอน คัลแบ็ก (Solomon Kullback) และ ริชาร์ด ไลบ์เลอร์ (Richard Leibler) เพื่อพิจารณาความแตกต่างระหว่างการแจกแจง 2 แบบ แนวคิดนี้แตกต่างจาก ไดเวอร์เจนซ์ ในการวิเคราะห์เวกเตอร์

ไดเวอร์เจนซ์คัลแบ็ก–ไลบ์เลอร์ไม่เพียงแต่ถูกนิยามสำหรับการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการแจกแจงแบบต่อเนื่องด้วย และไดเวอร์เจนซ์คัลแบ็ก–ไลบ์เลอร์สำหรับการแจกแจงแบบต่อเนื่องจะไม่เปลี่ยนค่าไปเนื่องจากการแปลงตัวแปร ดังนั้นจึงอาจกล่าวได้ว่าเป็นมูลฐานมากกว่าปริมาณอื่นๆ ในทฤษฎีสารสนเทศ เช่น เอนโทรปีของข้อมูล ซึ่งไม่ได้นิยามไว้ในส่วนที่เกี่ยวกับความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง และยังเปลี่ยนแปลงไปเมื่อมีการแปลงตัวแปร

 คำนิยาม 
ให้  และ  มีการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องค่าไดเวอร์เจนซ์คัลแบ็ก–ไลบ์เลอร์สำหรับ  และ  จะนิยามได้ดังนี้



โดยที่  และ  คือความน่าจะเป็นที่ค่าของตัวแปรสุ่มตามการแจกแจงความน่าจะเป็น  และ  จะเป็น  ตามลำดับ

ส่วนในกรณีที่  และ  เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่อง จะนิยามดังนี้



ในที่นี้  และ  เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของ  และ  ตามลำดับ

หรือโดยทั่วไปแล้ว ในกรณีที่  กับ  เป็น หน่วยวัดความน่าจะเป็นบนเซตที่วัดได้  และ  กับ  มี ความต่อเนื่องสัมบูรณ์ต่อมาตรวัด  จะสามารถนิยามได้ว่า



โดนในที่นี้  และ  เป็นค่าอนุพันธ์ราดอน–นีโกดิม (Radon–Nikodym derivative)

 อ้างอิง 

หมวดหมู่:สถิติศาสตร์
หมวดหมู่:ทฤษฎีสารสนเทศ
หมวดหมู่:ทฤษฎีความน่าจะเป็น