อนุพันธ์อันดับสอง

ในแคลคูลัส อนุพันธ์อันดับสอง () ของฟังก์ชัน  คือ อนุพันธ์ของอนุพันธ์ของ  อนุพันธ์อันดับสองสามารถกล่าวในลักษณะไม่เป็นทางการได้ว่าเป็น "อัตราการเปลี่ยนแปลงของอัตราการเปลี่ยนแปลง" ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่งของวัตถุเทียบกับเวลาคือความเร่งขณะหนึ่งของวัตถุ หรืออัตราที่ความเร็วของวัตถุเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา 

ในสัญกรณ์ไลบ์นิซโดยที่  คือ ความเร่ง,  คือ ความเร็ว,  คือ เวลา,  คือ ตำแหน่ง และ d คือ "เดลตา" หรือการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง นิพจน์สุดท้าย  คือ อนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่ง () เทียบกับเวลา

บนกราฟของฟังก์ชัน อนุพันธ์อันดับสองสอดคล้องกับความโค้ง หรือความเว้าของกราฟ กราฟของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะเว้าบนในขณะที่กราฟของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะโค้งในทิศตรงกันข้าม

 กฎยกกำลังอนุพันธ์อันดับสอง 
กฎยกกำลังสำหรับอนุพันธ์อันดับหนึ่ง หากกระทำสองครั้งจะสามารถสร้างกฎยกกำลังอนุพันธ์อันดับสองได้ดังนี้

 สัญกรณ์ 
อนุพันธ์อันดับสองของ  โดยมากจะเขียนเป็น  ซึ่งคือ

เมื่อใช้สัญกรณ์ของไลบ์นิซสำหรับอนุพันธ์ อนุพันธ์อันดับสองของตัวแปรตาม  เทียบตัวแปรอิสระ  จะเขียนได้ว่าที่มาของสัญกรณ์นี้คือ

 ตัวอย่าง 
เมื่อพิจารณาฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของ  คือ ฟังก์ชัน

อนุพันธ์อันดับสองของ  คือ อนุพันธ์ของ  กล่าวคือ

 ความสัมพันธ์กับกราฟ 

 ความเว้า 
อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน  สามารถใช้เพื่อกำหนด ความเว้า ของกราฟของ  ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นบวกเรียก เว้าบน (หรือ นูน) ซึ่งมีความหมายว่าใกล้จุดที่สัมผัสกับฟังก์ชัน เส้นสัมผัสจะอยู่ใต้กราฟของฟังก์ชัน ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะเรียกว่า เว้าล่าง (หรือ เว้า) และเส้นสัมผัสใกล้กับจุดที่สัมผัสจะอยู่เหนือกราฟของฟังก์ชัน

 จุดเปลี่ยนเว้า 
ถ้าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย กราฟของฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากเว้าล่างไปเป็นเว้าบนหรือกลับกัน จุดที่ทำให้เครื่องหมายเปลี่ยนนี้เรียกว่า จุดเปลี่ยนเว้า (inflection point) หากอนุพันธ์อันดับสองเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แล้วอนุพันธ์อันดับสองต้องมีค่าเป็นศูนย์ที่จุดเปลี่ยนเว้าใด ๆ แม้ว่าไม่ใช่ทุกจุดที่อนุพันธ์อันดับสองเป็นศูนย์จะต้องเป็นจุดเปลี่ยนเว้าก็ตาม

 การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง 
ความสัมพันธ์ระหว่างอนุพันธ์อันดับสองกับกราฟสามารถใช้เพื่อทดสอบว่าจุดนิ่งของฟังก์ชัน (คือ จุดที่ ) ว่าใช่ค่าสูงสุดเฉพาะที่หรือค่าต่ำสุดเฉพาะที่ไหม

 ถ้า , แล้ว  มีค่าสูงสุดเฉพาะที่ที่  
 ถ้า , แล้ว  มีค่าต่ำสุดเฉพาะที่ที่ 
 ถ้า  การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองใช้ไม่ได้กับจุด  นี้ อาจเป็นจุดเปลี่ยนเว้าได้

เหตุผลที่อนุพันธ์อันดับสองให้ผลลัพธ์เหล่านี้สามารถเห็นได้จากการเปรียบเทียบในชีวิตจริง พิจารณารถคันหนึ่งวิ่งไปข้างหน้าด้วยความเร็วสูงในตอนแรกแต่มีความเร่งเป็นลบ เห็นได้ชัดว่าตำแหน่งของรถ ณ จุดที่ความเร็วถึงศูนย์จะมีระยะทางเป็นค่าสูงสุดจากตำแหน่งเริ่มต้น หลังจากเวลานี้ ความเร็วจะกลายเป็นลบและรถจะถอยหลัง การเปรียบเทียบนี้ใช้ได้เช่นเดียวกับค่าต่ำสุด โดยทำให้รถในตอนแรกมีความเร็วเป็นลบมากแต่มีความเร่งเป็นบวกตรงกันข้ามกับกรณีของค่าสูงสุด

 ลิมิต 
สามารถเขียนลิมิตเพียงลิมิตเดียวแทนอนุพันธ์อันดับสองได้ดังนี้ลิมิตนี้เรียกว่าอนุพันธ์สมมาตรอันดับสอง อนุพันธ์สมมาตรอันดับสองอาจหาค่าได้ แม้ว่าอนุพันธ์อันดับสองโดยนิยามปกติจะหาไม่ได้ก็ตาม

นิพจน์ทางขวาสามารถเขียนเป็นผลหารเชิงผลต่างของผลหารเชิงผลต่างได้ดังนี้ลิมิตนี้สามารถมองได้เป็นรูปแบบที่ต่อเนื่องของผลต่างอันดับสองของลำดับ

อย่างไรก็ตาม การที่ลิมิตข้างต้นหาค่าได้ไม่ได้หมายว่าฟังก์ชัน  นั้นมีอนุพันธ์อันดับสอง ลิมิตข้างต้นให้ความเป็นไปได้ในการคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง แต่ไม่ใช่นิยาม ตัวอย่างค้าน เช่น ฟังก์ชันเครื่องหมาย  ซึ่งนิยามว่าฟังก์ชันเครื่องหมายไม่ต่อเนื่องที่ศูนย์ ดังนั้นอนุพันธ์อันดับสองที่  หาค่าไม่ได้ แต่ลิมิตข้างต้นหาค่าได้ที่ 

 การประมาณกำลังสอง 
เช่นเดียวกับอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการประมาณเส้นตรง อนุพันธ์อันดับสองก็เกี่ยวข้องกับการประมาณกำลังสองที่ดีที่สุดของฟังก์ชัน   เป็นฟังก์ชันกำลังสองซึ่งมีอนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองที่เหมือนกับของ  ที่จุดหนึ่ง ๆ  สูตรของการประมาณกำลังสองที่ดีที่สุดของ  รอบ ๆ จุด  คือการประมาณกำลังสองคือพหุนามเทย์เลอร์อันดับที่สองสำหรับฟังก์ชันที่มีจุดศูนย์กลางที่ 

 ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสอง 
เงื่อนไขขอบจำนวนมากสามารถหาสูตรสำหรับค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสองออกมาได้โดยชัดแจ้ง สมมติให้  และเงื่อนไขขอบดิริชเลต์เอกพันธ์ุ (เช่น  โดยที่  เป็นเวกเตอร์เฉพาะ) ค่าเฉพาะเป็น  และเวกเตอร์เฉพาะที่สอดคล้องกัน (เรียกอีกอย่างว่า ฟังก์ชันเฉพาะ ) คือ  จะได้  เมื่อ 

สำหรับกรณีอื่น ๆ ที่เป็นที่รู้จัก ดูที่ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสอง

 การวางนัยทั่วไปสู่มิติที่สูงขึ้น 

 เมทริกซ์เฮสเซียน 

อนุพันธ์อันดับสองวางนัยทั่วไปในมิติที่สูงกว่าผ่านแนวคิดของอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง สำหรับฟังก์ชัน  อนุพันธ์ย่อยอันดับสองประกอบด้วยอนุพันธ์ย่อยดังนี้

และอนุพันธ์ย่อยผสม

ในบางกรณี เช่นเมื่ออนุพันธ์อันดับสองทุกตัวเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เราสามารถนำอนุพันธ์อันดับสองทั้งหมดประกอบกันเป็นเมทริกซ์สมมาตร เรียกว่า เมทริกซ์เฮสเซียน ค่าเฉพาะของเมทริกซ์นี้สามารถใช้ทดสอบอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันหลายตัวแปร (ดูเพิ่มที่ การทดสอบอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง)

 ตัวดำเนินการลาปลาส 

การวางนัยทั่วไปอีกรูปแบบหนึ่งของอนุพันธ์อันดับสอง คือ ตัวดำเนินการลาปลาส ซึ่งเป็นตัวดำเนินการดิฟเฟอเรนเชียล  (หรือ ) ที่กำหนดโดย

ลาปลาเซียนของฟังก์ชันเท่ากับไดเวอร์เจนซ์ของเกรเดียนต์ และเท่ากับรอยของเมทริกซ์เฮสเซียน

 ดูเพิ่ม 

 ความเชิร์ป อนุพันธ์อันดับสองของเฟสขณะหนึ่ง
 ผลต่างอันตะ ใช้ในการประมาณอนุพันธ์อันดับสอง
 การทดสอบอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง
 ความสมมาตรของอนุพันธ์อันดับสอง

 อ้างอิง 

 อ่านเพิ่มเติม 

 สิ่งพิมพ์ 










 หนังสือออนไลน์ 











 แหล่งข้อมูลอื่น 

 อนุพันธ์อันดับสองแบบไม่ต่อเนื่องจากจุดที่เว้นระยะไม่เท่ากัน
หมวดหมู่:ฟังก์ชันและการจับคู่
หมวดหมู่:แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์
หมวดหมู่:คณิตวิเคราะห์
หมวดหมู่:หน้าที่ใช้แถบข้างที่มีพารามิเตอร์ child