แมนิโฟลด์

ในคณิตศาสตร์ แมนิโฟลด์ () เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่ใกล้ ๆ แต่ละจุดจะเหมือนปริภูมิยูคลิเดียน หรือให้รัดกุมกว่านั้นคือแมนิโฟลด์มิติ  หรือเรียกว่า  -แมนิโฟลด์  เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่แต่ละจุดมีย่านใกล้เคียงที่สมานสัณฐานกับเซตเปิดในปริภูมิยุคลิเดียนมิติ 

ตัวอย่างแมนิโฟลด์หนึ่งมิติ เช่น เส้นตรงและวงกลม แต่ไม่รวมเส้นโค้งที่ตัดตัวเอง เช่น รูปเลข 8 ในขณะที่แมนิโฟลด์สองมิตินิยมเรียกว่าพื้นผิว (surface) ตัวอย่างพื้นผิว เช่น ระนาบ ทรงกลม ทอรัส และรวมไปถึงขวดไคลน์ และระนาบจริงเชิงภาพฉาย

แนวคิดเรื่องแมนิโฟลด์เป็นหัวใจหลักของเรขาคณิตและฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ทั้งนี้เพราะแมนิโฟลด์สามารถใช้อธิบายปริภูมิหรือโครงสร้างที่สลับซับซ้อนในเทอมของทอพอโลยีของปริภูมิที่ง่ายกว่าได้ นอกจากนี้อาจมองแมนิโฟลด์ว่าผลเฉลยของระบบสมการ หรือกราฟของฟังก์ชันได้ ซึ่งมีประยุกต์ใช้ในงานคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ที่ต้องสร้างภาพจากระบบพิกัด เช่น ระบบซีทีสแกน 

แมนิโฟลด์อาจมีโครงสร้างเพิ่มขึ้นมาได้อีก ตัวอย่างชั้นของแมนิโฟลด์ที่สำคัญ ได้แก่ แมนิโฟลด์หาอนุพันธ์ได้ (differentiable manifold) ซึ่งมีโครงสร้างหาอนุพันธ์ได้ทำให้สามารถใช้แคลคูลัสบนแมนิโฟลด์ได้ การระบุเมทริกรีมันเนียนบนแมนิโฟลด์สามารถใช้วัดระยะทางและมุมได้ แมนิโฟลด์ซิมเพลคติกเป็นปริภูมิเฟสในกลศาสตร์ดั้งเดิมรูปแบบแฮมิลโทเนียน และแมนิโฟลด์ลอเรนเซียนสี่มิติใช้จำลองปริภูมิ-เวลาในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

 ตัวอย่างของแมนิโฟลด์ 

 วงกลม 

วงกลมเป็นตัวอย่างของแมนิโฟลด์ที่ง่ายที่สุดถัดจากเส้นตรง ในวิชาทอพอโลยีไม่สนใจการบิดงอ ดังนั้นชิ้นส่วนเล็ก ๆ ของวงกลมจึงมีสมบัติเชิงทอพอโลยีเหมือนกันกับเส้นตรง พิจารณาส่วนของวงกลมหนึ่งหน่วย  x2 + y2 = 1 เฉพาะส่วนท่อนบนที่ค่าพิกัด y เป็นค่าบวก (แสดงด้วยส่วนสีเหลืองในรูป 1) ทุกจุดบนส่วนนี้สามารถระบุได้เพียงแบบเดียวโดยอาศัยค่าพิกัด x เท่านั้น  

ดังนั้นการฉายส่วนของวงกลมนี้ลงบนแกน x จะเป็นการส่งที่ต่อเนื่องและหาอินเวอร์สได้จากส่วนโค้งบน (top) ไปยังช่วงเปิด (−1, 1)

ฟังก์ชันแบบดังกล่าว และบริเวณเปิดที่ส่งไปหาเรียกรวมกันว่า ชาร์ท (charts, แผนที่) ในทำนองเดียวกันมีชาร์ทสำหรับส่วนล่าง (bottom) ส่วนซ้าย (left) และส่วนขวา (right) ของวงกลม 

รวมกันแล้วชาร์ททั้งหมดคลุมวงกลมทั้งวง และชาร์ททั้งสี่ประกอบกันเป็นแอตลาส (atlas) ของวงกลม

ชาร์ทบน  และชาร์ทขวา   ต่างมีส่วนทับกันบนโดเมนของมัน จะเห็นว่าเป็นบริเวณซ้อนทับระหว่างสีเหลืองและสีเขียว ซึ่งเป็นส่วนของวงกลมที่พิกัด  และ  เป็นบวกทั้งคู่ ชาร์ททั้งสองส่งส่วนซ้อนทับนี้ไปบนช่วง  แต่ว่าส่งต่างกัน ดังนั้นเราอาจพิจารณาฟังก์ชัน  ได้

ให้ a เป็นจำนวนจริงใด ๆ ในช่วง  แล้ว:

ฟังก์ชัน  แบบข้างต้นเรียกว่า transition map


ชาร์ททั้งสี่ไม่ใช่แอตลาสเดียวที่เป็นไปได้สำหรับวงกลม พิจารณาชาร์ท

และ

ในที่นี้ s คือความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด (x, y) และจุด (−1, 0) ในทำนองเดียวกัน t เป็นค่าลบของความชันของเส้นตรงที่ผ่านพิกัด (x, y) และ (+1, 0) จะได้การส่งอินเวอร์สจาก s ไปยัง (x, y) นั้นกำหนดโดย

สามารถตรวจสอบได้ว่า x2 + y2 = 1 สำหรับทุกค่า s และ t ชาร์ททั้งสองเป็นแอตลาสอันที่สองสำหรับวงกลม โดยมี transition map คือ

(สำหรับทุกจุดที่ทั้ง s และ t ไม่เป็นศูนย์)

แต่ละชาร์ทจะไม่มีจุดอยู่หนึ่งจุด ได้แก่ (−1, 0) สำหรับ s หรือ (+1, 0) สำหรับ t ตามลำดับ ฉะนั้นชาร์ทเดียวจึงไม่สามารถคลุมวงกลมทั้งวงได้ และสามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่มีชาร์ทเดียวอันใดสามารถคลุมวงกลมได้ทั้งหมด

 ทรงกลม 
ทรงกลมเป็นตัวอย่างของพื้นผิว ทรงกลมหนึ่งหน่วยที่กำหนดโดยสมการโดยปริยาย

สามารถใช้ชาร์ทหกอันคลุมได้ดังนี้ ระนาบ  จะตัดทรงกลมออกเป็นสองครึ่ง ( และ ) ซึ่งสามารถส่งไปยังดิสก์  ด้วยการฉายลงบนระนาบ   ทำให้ได้ชาร์ทสองอัน และอีกสี่ชาร์ทที่เหลือนั้นทำคล้าย ๆ กัน

เช่นเดียวกันกับวงกลม เราอาจหาชาร์ทที่เกือบคลุมทั้งทรงกลมเว้นแต่เพียงจุดหนึ่ง ฉะนั้นสองชาร์ทนั้นเพียงพอในการคลุมทรงกลม แต่ไม่สามารถทำได้ด้วยชาร์ทเดียว

ตัวอย่างนี้สำคัญในทางประวัติศาสตร์ และเป็นที่มาของคำว่าชาร์ทและแอตลาส พื้นผิวของโลกไม่สามารถทำออกมาเป็นแผนที่ระนาบเพียงอันเดียวได้ ฉะนั้นต้องใช้แอตลาสหรือสมุดแผนที่ (atlas) เพื่อครอบคลุมพื้นผิวของโลกทั้งหมด

 เส้นโค้งอื่น ๆ 
แมนิโฟลด์ไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิเชื่อมโยง (ติดกันเป็นชิ้นเดียว) ตัวอย่างเช่น วงกลมสองวงเป็นแมนิโฟลด์ และแมนิโฟลด์ไม่จำเป็นต้องเป็นเซตปิด ฉะนั้นส่วนของเส้นตรงที่ไม่มีจุดปลายก็เป็นแมนิโฟลด์ 

ตัวอย่างของแมนิโฟลด์ เช่น  พาราโบลา, ไฮเพอร์โบลา และทางเดินของจุดบนเส้นโค้งกำลังสาม  ซึ่งมีสองส่วน

ตัวอย่างของปริภูมิที่ไม่ใช่แมนิโฟลด์เช่น รูปเลข 8 ซึ่งไม่มีชาร์ทที่เหมาะสมสำหรับจุดตัดของวงกลมทั้งสองได้

 นิยามทางคณิตศาสตร์ 

ถ้าจะกล่าวโดยง่าย แมนิโฟลด์คือปริภูมิที่จำลองมาจากปริภูมิยูคลิเดียน แมนิโฟลด์อื่นที่ศึกษาเกิดจากการระบุโครงสร้างเพิ่มเติมไปบนแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีซึ่งจะได้นิยามด้านล่าง

 แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี 
ให้  เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี จะกล่าวว่า  เป็นแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี (topological manifold) หากมีสมบัติดังต่อไปนี้

  เป็นปริภูมิเฮาสดอร์ฟฟ์ (Hausdorff space) 
  เป็นปริภูมินับได้อันดับสอง (second countable)
  สมานสัณฐานเฉพาะที่กับปริภูมิยูคลิเดียนมิติ  (locally homeomorphic to )

เงื่อนไขการเป็นเป็นปริภูมิเฮาสดอร์ฟฟ์และการเป็นปริภูมินับได้อันดับสองเป็นเงื่อนไขทางทอพอโลยีที่ตัดกรณีที่ "ไม่เหมาะ" จะพิจารณาเช่น เส้นตรงยาว (long line) หรือเส้นตรงที่มีจุดกำเนิดสองจุด (line with two origins) 

เงื่อนไขที่เสนอว่าแมนิโฟลด์จำลองมาจากปริภูมิยูคลิเดียน คือการที่  สมานสัณฐานเฉพาะที่ กับปริภูมิยูคลิเดียนมิติ  นั่นคือแต่ละจุดจะมีย่านใกล้เคียงที่สมานสัณฐานกับปริภูมิยูคลิเดียนมิติ  สำหรับบางจำนวนนับ  ภาวะสมานสัณฐานสื่อถึงการมีคุณสมบัติเชิงทอพอโลยีเหมือน ๆ กันระหว่างปริภูมิยูคลิเดียนและย่านใกล้เคียงรอบแต่ละจุด

ค่า  ที่ปรากฏเรียกว่า มิติเฉพาะที่ (local dimension) ของแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี โดยทั่วไปเรากำหนดให้แมนิโฟลด์จะต้องมีมิติเฉพาะที่เท่ากันทุกจุด ซึ่งเป็นจริงสำหรับแมนิโฟลด์เชื่อมโยง แต่หนังสือบางเล่มอาจยอมให้แมนิโฟลด์ไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิเชื่อมโยง และแต่ละจุดอาจจะมีมิติที่แตกต่างกันE.g. see ; . 

ในมุมมองทางทฤษฎีชีฟ แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีเป็นปริภูมิมีริงเฉพาะที่ (locally ringed space) ที่มีชีฟโครงสร้างที่สมสัณฐานเฉพาะที่กับชีฟของฟังก์ชันต่อเนื่องบนปริภูมิยูคลิเดียน นี่เป็นมุมมองสำหรับแมนิโฟลด์ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

 หมายเหตุ 

 อ้างอิง 

 Freedman, Michael H., and Quinn, Frank (1990) Topology of 4-Manifolds. Princeton University Press. .
 Guillemin, Victor and Pollack, Alan (1974) Differential Topology. Prentice-Hall. . Advanced undergraduate / first-year graduate text inspired by Milnor.
 Hempel, John (1976) 3-Manifolds. Princeton University Press. .
 Hirsch, Morris, (1997) Differential Topology. Springer Verlag. . The most complete account, with historical insights and excellent, but difficult, problems. The standard reference for those wishing to have a deep understanding of the subject.
 Kirby, Robion C. and Siebenmann, Laurence C. (1977) Foundational Essays on Topological Manifolds. Smoothings, and Triangulations. Princeton University Press. . A detailed study of the category of topological manifolds.
 Lee, John M. (2000) Introduction to Topological Manifolds. Springer-Verlag. . Detailed and comprehensive first-year graduate text.
 Lee, John M. (2003) Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag. . Detailed and comprehensive first-year graduate text; sequel to Introduction to Topological Manifolds.
 Massey, William S. (1977) Algebraic Topology: An Introduction. Springer-Verlag. .
 Milnor, John (1997) Topology from the Differentiable Viewpoint. Princeton University Press. . Classic brief introduction to differential topology.
 Munkres, James R. (1991) Analysis on Manifolds.  Addison-Wesley (reprinted by Westview Press) . Undergraduate text treating manifolds in .
 Munkres, James R. (2000) Topology. Prentice Hall. .
 Neuwirth, L. P., ed. (1975) Knots, Groups, and 3-Manifolds. Papers Dedicated to the Memory of R. H. Fox. Princeton University Press. .
 Riemann, Bernhard, Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass, Sändig Reprint. .
 Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse. The 1851 doctoral thesis in which "manifold" (Mannigfaltigkeit) first appears.
 Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. The 1854 Göttingen inaugural lecture (Habilitationsschrift).
 Spivak, Michael (1965) Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. W.A. Benjamin Inc. (reprinted by Addison-Wesley and Westview Press). . Famously terse advanced undergraduate / first-year graduate text.
 Spivak, Michael (1999) A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (3rd edition) Publish or Perish Inc.  Encyclopedic five-volume series presenting a systematic treatment of the theory of manifolds, Riemannian geometry, classical differential geometry, and numerous other topics at the first- and second-year graduate levels.
 . Concise first-year graduate text.

 แหล่งข้อมูลอื่น 


 Dimensions-math.org (A film explaining and visualizing manifolds up to fourth dimension.)
 The manifold atlas  project of the Max Planck Institute for Mathematics in Bonn

หมวดหมู่:แมนิโฟลด์