พีชคณิตเชิงเรขาคณิต

ในทางคณิตศาสตร์ พีชคณิตเชิงเรขาคณิต () (และรู้จักในชื่อพีชคณิตคลิฟฟอร์ด) เป็นส่วนขยายของพีชคณิตมูลฐานเพื่อใช้กับวัตถุทางเรขาคณิต เช่น เวกเตอร์ พีชคณิตเชิงเรขาคณิตสร้างขึ้นจากการตำเนินการมูลฐานสองตัวคือการบวกและผลคูณเชิงเรขาคณิต การคูณเวกเตอร์ให้ผลลัพธ์ในมิติที่สูงขึ้นเรียกมัลติเวกเตอร์ เมื่อเทียบกับรูปนัยนิยมอื่นที่กระทำกับวัตถุทางเรขาคณิต น่าสังเกตว่าพีชคณิตเชิงเรขาคณิตมีการหารเวกเตอร์ (แต่โดยทั้วไปไม่ทุกสมาชิกที่ทำได้) และการบวกของวัตถุต่างมิติ

แฮร์มัน กรัสมันได้อธิบายผลคูณเชิงเรขาคณิตนี้ไว้สั้น ๆ โดยมากสนใจพัฒนาพีชคณิตภายนอกที่คล้ายกัน จากนั้นใน ค.ศ. 1878 วิลเลียม คิงดอน คลิฟฟอร์ดได้ขยายผลงานของกรัสมันได้สร้างสิ่งที่ตอนนี้โดยทั่วไปเรียกกันว่าพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดเพื่อเป็นเกียรติแก่เขา (แต่คลิฟฟอร์ดเองเลือกที่จะเรียกว่าพีชคณิตเชิงเรขาคณิต) คลิฟฟอร์ดได้นิยามพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดกับผลของมันไว้ว่าเป็นการรวมกันของพีชคณิตแบบกรัสมันและพีชคณิตควอเทอร์เนียน การเพิ่มคู่ของผลคูณภายนอกกรัสมันยอมให้การใช้พีชคณิตแบบกรัสมัน-เคย์ลี และแบบคงรูปของอันหลังรวมกับพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดแบบคงรูปผลให้เกิดพีชคณิตเชิงเรขาคณิตแบบคงรูป (อังกฤษ: conformal geometric algebra: CGA) ให้โครงร่างสำหรับเรขาคณิตแบบฉบับ ในทางปฏิบัติ การตำเนินการเหล่านี้และอนุพันธ์ยอมให้เกิดการสมนัยกันของสมาชิก ปริภูมิย่อยและการตำเนินการของพีชคณิตที่มีความหมายทางเรขาคณิต เป็นเวลาหลายทศวรรษที่พีชคณิตเชิงเรขาคณิตค่อนข้างถูกละเลย ถูกบดบังไปมากโดยแคลคูลัสเวกเตอร์แล้วพัฒาขึ้นใหม่เพื่ออธิบายแม่เหล็กไฟฟ้า คำว่า"พีชคณิตเชิงเรขาคณิต"เป็นที่นิยมอีกครั้งในช่วงทศวรรษ1960 โดยเฮสเทเนส ผู้บอกความสำคัญต่อฟิสิกส์สัมพัทธภาพ

สเกลาร์และเวกเตอร์มีความหมายเหมือนปกติ และประกอบเป็นปริภูมิย่อยที่เด่นชัดในพีชคณิตเชิงเรขาคณิต  ไบเวกเตอร์เป็นตัวแทนที่ธรรมชาติกว่าของปริมาณเวกเตอร์เทียมของแคลคูลัสเวกเตอร์ โดยปกติจะนิยามโดยใช้ผลคูณเชิงเวกเตอร์ เช่น พื้นที่กำหนดทิศ มุมหมุนกำหนดทิศ ทอร์ค โมเมนตัมเชิงมุม และสนามแม่เหล็ก ไทรเวกเตอร์สามารถแทนปริมาตรกำหนดทิศ และอื่น ๆ สมาชิกตัวหนึ่งเรียกว่าเบลดอาจใช้แทนปริภูมิย่อยของ  และภาพฉายเชิงตั้งฉากบนปริภูมิย่อยนั้น การหมุนและการสะท้อนจะแสดงเป็นสมาชิก ต่างจากพีชคณิตเวกเตอร์ พีชคณิตเชิงเรขาคณิตโดยธรรมชาติจะรองรับมิติจำนวนเท่าไหร่ก็ได้ และรูปกำลังสองใด ๆ เช่นในสัมพัทธภาพ

ตัวอย่างการใช้งานพีชคณิตเชิงเรขาคณิตในฟิสิกส์ได้แก่ พีชคณิตกาลากาศ (และพีชคณิตของปริภูมิกายภาพที่ไม่พบบ่อย) และพีชคณิตเชิงเรขาคณิตแบบคงรูป แคลคูลัสเชิงเรขาคณิต ส่วนขยายของพีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่รวมอนุพันธ์และปริพันธ์ สามารถใช้กำหนดทฤษฎีอื่น ๆ เช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ต.ย. โดยใช้พีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดแทนรูปแบบเชิงอนุพันธ์  พีชคณิตเชิงเรขาคณิตได้รับการสนับสนุนจากโดยเฉพาะเดวิด เฮสเทเนส และคริส ดอรัน ให้เป็นกรอบทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการสำหรับฟิสิกส์  ผู้เสนออ้างว่าให้คำอธิบายที่กระทัดรัดและเข้าใจง่ายในหลายสาขารวมทั้งกลศาสตร์แบบฉบับและควอนตัม ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้า และสัมพัทธภาพ พีชคณิตเชิงเรขาคณิตยังสามารถใช้เป้นเครื่องมือในการคำนวนในคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ และวิทยาการหุ่นยนต์

 นิยามและสัญกรณ์ 
มีหลากหลายวิธีที่นิยามระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิต วิธีดั้งเดิมของเฮสเทเนสเป็นเชิงสัจพจน์ "เต็มไปด้วยความสำคัญทางเรขาคณิต" และสมมูลกับพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดสากล

ให้ปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด  บนฟีลด์  ด้วยรูปแบบเชิงเส้นคู่สมมาตร (การคูณภายใน) ตัวอย่าง ยูคลิเดียนหรือลอเรนต์เซียนเมตริก)   พีชคณิตเชิงเรขาคณิตของปริภูมิกำลังสอง  นั้นเป็นพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ด  สมาชิกในนั้นเรียกว่ามัลติเวกเตอร์ พีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดโดยทั่วไปแล้วจะกำหนดนิยามเป็นพีชคณิตผลหารของพีชคณิตเทนเซอร์ แต่การกำหนดนิยามแบบนี้นามธรรม ดั้งนั้นนิยามดังต่อไปนี้จะเสนอโดยไม่ต้องใช้พีชคณิตนามธรรม

 คำนิยาม  พืชคณิตการเปลี่ยนหมู่เอกลักษณ์  ที่มีรูปแบบเชิงเส้นคู่  เป็นพีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ดของปริภูมิกำลังสอง  ถ้า
มี  และ  เป็นปริภูมิย่อยแยกกัน
  สำหรับ  
  ก่อกำเนิด  เป็นพีชคณิต
  ไม่ได้ถูกก่อกำเนิดโดยปริภูมิย่อยแท้ของ 

เพื่อปกปิดรูปแบบเชิงเส้นคู่สมมาตรลดรูป เงื่อนไขสุดท้ายต้องได้รับการแก้ไข สามารถแสดงได้ว่าเงื่อนไขนี้บอกได้ว่าเป็นผลคูณเชิงเรขาคณิตเพียงอย่างเดียว

สำหรับที่เหลือของบทความนี้ จะพิจรณาแต่กรณีจริงที่  สัญกรณ์  ( ตามลำดับ) จะใช้แสดงระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่มีรูปแบบเชิงเส้นคู่  มีซิกเนเจอร์เป็น  ( ตามลำดับ)

ผลคูณในพีชคณิตนี้เรียกว่าผลคูณเชิงเรขาตณิต และผลคูณในพีชคณิตภายนอกที่มีอยู่เรียกว่าผลคูณภายนอก (บ่อยครั้งเรียกว่าผลคูณลิ่ม) โดยมาตรฐานจะแสดงการคูณเหล่านี้โดยการเขียนติดกัน (โดยไม่เขียนสัญกรณ์การคูณ) และสัญกรณ์  ตามลำดับ

นิยามที่ได้กล่าวไปนั้นยังค่อนข้างเป็นนามธรรม ดังนั้นจะสรุปสมบัติของผลคูณเชิงเรขาคณิตที่นี่  สำหรับมัลติเวกเตอร์ :

  (สมบัติการปิด)
  เมื่อ  เป็นสมาชิกเอกลักษณ์ (การมีอยู่ของสมาชิกเอกลักษณ์)
  (สมบัติการเปลี่ยนหมู่)
  และ  (สมบัติการแจกแจง)
  สำหรับ 

ผลคูณภายนอกมีสมบัติเหมือนกัน ยกเว้นสมบัติสุดท้ายได้รับการแทนที่โดย  สำหรับ 

สังเกตว่าในสมบัติสุดท้ายข้างบน จำนวนจริง  ไม่จำเป็นต้องไม่เป็นลบ ถ้า  ไม่เป็นบวกแน่นอน  สมบัติที่สำคัญหนึ่งของผลคูณเชิงเรขาคณิตคือการมีอยู่ของสมาชิกที่มีตัวผกผันการคูณ  สำหรับเวกเตอร์  ถ้า  แล้ว  มีเท่ากับ  สมาชิกที่ไม่ใช่ศูนย์ของพีชคณิตนี้ไม่จำเป็นว่าจะมีตัวผกผันการคูณเสมอ  ตัวอย่างเช่น ถ้า  เป็นเวกเตอร์ใน  เมื่อ  แล้วสมาชิก  จะเป็นทั้งสมาชิกนิจพลไม่ชัดและตัวหารของศูนย์ ดังนั้นจึงไม่มีตัวผกผัน

โดยปกติจะระบุ  และ  กับเรนจ์ภายใต้การซ้อนธรรมชาติ  และ   ในบทความนี้ การระบุนี้จะได้รับการสมมติ คำว่าสเกลาร์และเวกเตอร์จะอ้างถึงสมาชิกของ  และ  ตามลำดับเสมอ (และเรนจ์ภายใต้การซ้อนนี้)

  ผลคูณเชิงเรขาคณิต 

200px|right|thumb|ให้เวกเตอร์สองตัว  และ  ถ้าผลคูณเชิงเรขาคณิต  คือแบบต่อต้านการสลับที่; ผลคูณนั้นจะตั้งฉาก (บน) เพราะ  ถ้าสลับที่ได้ ผลคูณนั้นจะขนาน (ล่าง) เพราะ 

สำหรับเวกเตอร์  และ  เราสามารถเขียนผลคูณเชิงเรขาคณิตสองเวกเดอร์ใด ๆ ของ  และ  เป็นผลบวกของผลคูณสมมาตรและผลคูณอสมมาตร


จึงกำหนดนิยามของการคูณภายในเป็น

ทำให้ผลคูณสมมาตรสามาตรเขียนได้เป็น


ในทางกลับกัน  ได้รับการกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยพีชคณิตนี้  ผลคูณอสมมาตรคือผลคูนภายนอกของสองเวกเตอร์ ผลคูณของพีชคณิตภายนอกที่อยู่ภายใน:


แล้วโดยการบวกตรง ๆ:
  คือรูปไม่ทั่วไปหรือรูปเวกเตอร์ของผลคูณเชิงเรขาคณิต

ผลคูณภายในและภายนอกมีความสัมพันธ์กับแนวคิดในพีชคณิตเวกเตอร์ ในทางเรขาคณิต  และ  จะขนานก็ต่อเมื่อผลคูณเชิงเรขาคณิตเท่ากับผลคูณภายใน ในทางกลับกัน  และ  จะตั้งฉากก็ต่อเมื่อผลคูณเชิงเรขาคณิตเท่ากับผลคูณภายนอก ในระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตซึ่งกำลังสองของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เป็นบวก ผลคูณภายในของเวกเตอร์ทั้งสองสามารถระบุได้ว่าคือผลคูณจุดในพีชคณิตเวกเตอร์ ผลคูณภายนอกสามารถระบุได้ว่าคือพื้นที่มีเครื่องหมายที่โดนล้อมโดยสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยมีด้านเป็นเวกเตอร์  ผลคูณไขว้ของสองเวกเตอร์ใน  มิติที่มีรูปแบบกำลังสองเป็นบวกแน่นอนดกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับผลคูณภายนอก

ระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่สนใจส่วนใหญ่มีรูปแบบกำลังสองไม่ลดรูป  ถ้ารูปแบบกำลังสองลดรูปโดยสมบูรณ์แล้ว ผลคูณภายในระหว่างสองเวกเตอร์ใด ๆ จะมีค่าเป็นศูนย์ และระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตนั้นจะเป็นเพียงแค่ระบบระบบพีชคณิตภายนอก  บทความนี้จะพูดถีงระบบพีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่ไม่ลดรูป เว้นแต่จะระบุไว้

ผลคูณภายนอกโดยธรรมชาติจะขยายเป็นตัวดำเนินการทวิภาคเชิงเส้นคู่เปลี่ยนหมู่ได้ของสองสมาชิกในระบบพีชคณิต สอดคล้องกับเอกลักษณ์


เมื่อผลบวกรวมทุกการสับเปลี่ยนของเลขดัชนี ที่มี  เป็นเครื่องหมายของการสับเปลี่ยน และ  เป็นเวกเตอร์ (ไม่ใช่สมาชิกทั่วไปของระบบพีชคณิต)  เนื่องจากทุกสมาชิกของระบบพีชคณิตสามารถเขียนในรูปของผลบวกของผลคูณในรูปนี้ สามารถนิยามผลคูณภายนอกสำหรับทุกคู่ของสมาชิกระบบพีชคณิต มาจากนิยามของผลคูณภายนอกก่อระบบพีชคณิตสลับ

 เบลด เกรด และฐานหลัก 
มัลติเวกเตอร์ที่เป็นผลคูณภายนอกของ  เวกเตอร์ที่อิสระเชิงเส้นเรียกว่าเบลด และมีเกรด   มัลติเวกเตอร์ที่เป็นผลบวกของเบลดเกรด  เรียกว่ามัลติเวกเตอร์ (เอกพันธุ์) เกรด   จากสัจพจน์สมบัติการปิด ทุกมัลติเวกเตอร์ที่เป็นผลบวกของเบลด

 การจำลองทางเรขาคณิต 

 ความหมายทางเรขาคณิตในแบบจำลองปริภูมิเวกเตอร์ 

 การฉาย และรีเจกชัน 

สำหรับเวกเตอร์  ใด ๆ และเวกเตอร์  ใด ๆ ที่หาตัวผกผันได้ 

เมื่อภาพฉายของ  บน  (หรือส่วนขนาน) คือ

และรีเจกชันของ  จาก  (หรือส่วนที่ตั้งฉาก) คือ


ใช้แนวคิดว่า -เบลด  เป็นตัวแทนปริภูมิย่อยของ  และทุกมัลติเวกเตอร์มารถเขียนในรูปของพจ์ของเวกเตอร์ สามารวางนัยการฉายของมัลติเวกเตอร์ทั่วไปบน -เบลด  ที่หาตัวผกผันได้ ให้อยู่ในรูปทั่วไปได้เป็น

และรีเจกชันสามารถนิยามได้เป็น


การฉายและรีเจกชันสามารถวางนัยทั่วไปได้กับเบลดศูนย์  โดยการเปลี่ยนตัวผกผัน  ด้วยตัวผกผันเทียม เทียบกับผลคูณย่อ ผลลัพธ์ของการฉายทับกันสนิททั้งสองกรณีสำหรับเบลดไม่เป็นศูนย์ สำหรับเบลดศูนย์  นิยามของการฉายที่ได้ให้มานี้ด้วยผลคูณย่อตัวแรกแทนที่จะเป็นตัวที่สองที่ซึ่งควรใช้ตัวผกผันเทียม เพราะเมื่อนั้นผลลัพท์จะจำเป็นต้องอยู่ในปริภูมิย่อยที่มี  เป็นตัวแทน
การฉายวางนัยทั่วไปผ่านสภาพเชิงเส้นไปยังมัลติเวกเตอร์ทั่วไป  การฉายจะไม่เป็นเชิงเส้นที่  และไม่สามารถวางนัยทั่วไปกับวัตถุ  ที่ไม่ใช่เบลดได้ 

 การสะท้อน 
การสะท้อนอย่างง่ายในระนาบเกินเขียนได้ง่ายในพีชคณิตนี้ผ่านการคอนจูเกตด้วยเวกเตอร์ สามารถก่อกำเนิดกรุปของการหมุนและการหมุนไม่ตรงแบบทั่วไป
link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:GA_reflection_along_vector.svg|left|thumb|200x200px|การสะท้อนของเวกเตอร์  ตามเวกเตอร์   มีแค่เวกเตอร์ประกอบของ  ที่ขนานกับ  จะติดลบ
ภาพสะท้อน  ของเวกเตอร์  ตามเวกเตอร์  หรือโดยสมมูล ในระนาบเกินตั้งฉากกับ  ผลลัพธ์ของการสะท้อนจะเป็น 


 การหมุน 
ถ้ามีผลคูณเวกเตอร์  แล้วจะเขียนการผันกลับได้เป็น


ให้เป็นตัวอย่าง สมมติว่า  เราจะได้


ปรับขนาด  เพื่อที่  แล้ว

ดังนั้น  ไม่เปลี่ยนแปลงขนาดของ   ยังสามารถแสดงได้ว่า


ดังนั้นการแปลง  ทำให้ทั้งขนาดและมุม (ระหว่างเวกเตอร์) คงสภาพ จึงสามารถระบุได้ว่าเป็นการหมุนหรืแการหมุนไม่ตรงแบบ เรียก  ว่าโรเตอร์ ถ้าเป็นการหมุนแท้ (ตามที่เป็นอยู่ถ้าสามารถเขียนได้อยู่ในรูปผลคูณของเวกเตอร์คู่ตัว) และเป็นตัวอย่างของสิ่งใน GA ที่เรียกว่าเวอร์เซอร์

มีวิธีทั่วไปในการหมุนเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับมัลติเวกเตอร์ในรูป  ที่ก่อให้เกิดการหมุน  ในระนาบและทิศทางกำหนดโดย -เบลด 

โรเตอร์เป็นรูปทั่วไปของควอเทอร์เนีนรบนปริภูมิ -มิติ

 ตัวอย่างและการประยุกต์ใช้ 

 ปริมาตรเกินของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยเวกเตอร์ 
สำหรับเวกเตอร์  และ  ที่แผ่เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานจะได้ 


 แคลคูลัสเชิงเรขาคณิต 
บทความหลัก แคลคูลัสเชิงเรขาคณิตพีชคณิตของปริภูมิกายภาพ 

แคลคูลัสเชิงเรขาคณิตขยายรูปนัยนิยมเพื่อรวมการอนุพันธ์และการปริพันธ์รวมถึงเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และรูปแบบเชิงอนุพันธ์

โดยพื้นฐาน อนุพันธ์เวกเตอร์ได้นิยามเพื่อให้ทฤษฎีบทของกรีนในพีชคณิตเชิงเรขาคณิตเป็นจริง


จึงสามารถกล่าวได้ว่า 


เป็นผลคูณเชิงเรขาคณิต วางนัยทั่วไปได้กับทฤษฎีบทของสโตรกส์อย่างมีผล (รวมทั้งในรูปแบบเชิงอนุพันธ์ด้วย)

ใน 1 มิติ เมื่อ  เป็นเส้นโค้งที่มีจุดปลายเป็น  และ  แล้ว

จะย่อลงเป็น

หรือทฤษฎีมูลฐานของแตลคูลัสเชิงปริพันธ์

และที่ได้รับพัฒนาคือแนวคิดของแมนิโฟลด์เวกเตอร์และทฤษฎีการปริพันธ์เชิงเรขาคณิต (ที่วางนัยทั่วไปกับรูปแบบเชิงอนุพันธ์)

 ประวัติ 

 ดูเพิ่ม 

 เปรียบเทียบระหว่างพีชคณิตเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเรขาคณิต
 พีชคณิตแบบคลิฟฟอร์ด
 พีชคณิตแบบกรัสมัน-เคย์ลี
 พีชคณิตปริภูมิ-เวลา
 สปิเนอร์
 ควอเทอร์เนียน
 พีชคณิตของปริภูมิกายภาพ
 พีชคณิตเชิงเรขาคณิตสากล

 หมายเหตุ 

 อ้างอิง 

 แหล่งข้อมูลอื่น 

 จัดเรียงตามลำดับเวลา





























 . Chapter 1 as PDF





  Extract online at https://davidhestenes.net/geocalc/html/UAFCG.html #5 New Tools for Computational Geometry and rejuvenation of Screw Theory


























 แหล่งข้อมูลอื่น 

 A Survey of Geometric Algebra and Geometric Calculus Alan Macdonald, Luther College, Iowa
 Imaginary Numbers are not Real – the Geometric Algebra of Spacetime . Introduction (Cambridge GA group)
 Geometric Algebra 2015, Masters Course in Scientific Computing, from Dr. Chris Doran (Cambridge)
 Maths for (Games) Programmers: 5 – Multivector methods – comprehensive introduction and reference for programmers, from Ian Bell
 IMPA Summer School 2010 Fernandes Oliveira Intro and Slides
 University of Fukui E.S.M. Hitzer and Japan GA publications
 Google Group for GA
 Geometric Algebra Primer Introduction to GA, Jaap Suter
 Geometric Algebra Resources curated wiki, Pablo Bleyer
 Applied Geometric Algebras in Computer Science and Engineering 2018 Early Proceedings
 bivector.net Geometric Algebra for CGI, Vision and Engineering community website
 AGACSE 2021 Videos
คำแปลภาษาอังกฤษของหนังสือและวิจัยก่อนหน้า
 G. Combebiac, "calculus of tri-quaternions" (Doctoral dissertation)
 M. Markic, "Transformants: A new mathematical vehicle. A synthesis of Combebiac's tri-quaternions and Grassmann's geometric system. The calculus of quadri-quaternions"
 C. Burali-Forti, "The Grassmann method in projective geometry" A compilation of three notes on the application of exterior algebra to projective geometry
 C. Burali-Forti, "Introduction to Differential Geometry, following the method of H. Grassmann" Early book on the application of Grassmann algebra
 H. Grassmann, "Mechanics, according to the principles of the theory of extension" – one of his papers on the applications of exterior algebra

กลุ่มวิจัย
 Geometric Calculus International. Links to Research groups, Software, and Conferences, worldwide
 Cambridge Geometric Algebra group. Full-text online publications, and other material
 University of Amsterdam group
 Geometric Calculus research & development (archive of Hestenes's website at Arizona State University)
 GA-Net blog and newsletter archive. Geometric Algebra/Clifford Algebra development news
 Geometric Algebra for Perception Action Systems. Geometric Cybernetics Group (CINVESTAV, Campus Guadalajara, Mexico)

พีชคณิตเชิงเรขาคณิต