ระบบเลขฮินดู–อาหรับ

ระบบเลขฮินดู–อาหรับ () หรือ ระบบเลขอินเดีย–อาหรับ ()Audun Holme, Geometry: Our Cultural Heritage, 2000 เป็นระบบเลขฐานสิบแบบสัญกรณ์ตำแหน่งที่ใช้แพร่หลายที่สุดในโลก บางครั้งระบบเลขฮินดู–อาหรับเรียกว่า ระบบเลขฮินดู (Hindu numeral system) หรือระบบเลขอาหรับ (Arabic numeral system){{efn|"เมื่อจักรวรรดิอาหรับแผ่ขยายและติดต่อกับอินเดีย ชาวอาหรับได้รับเอาระบบเลขฮินดูและขั้นตอนวิธีช่วงต้น" ("When the Arabian empire was expanding and contact was made with India, the Hindu numeral system and the early algorithms were adopted by the Arabs.")<ref>

ระบบเลขนี้คิดค้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียระหว่างคริสต์ศตวรรษที่ 1–4 ต่อมานักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับนำไปใช้ในคริสต์ศตวรรษที่ 9 ระบบเลขฮินดู–อาหรับรู้จักแพร่หลายจากผลงานของมุฮัมมัด อิบน์ มูซา อัลเคาะวาริซมี นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซีย: "นักประวัติศาสตร์คาดเดาถึงภาษาแม่ของอัลเคาะวาริซมี อัลเคาะวาริซมีอาจพูดภาษาเปอร์เซียเนื่องจากเขาเกิดในดินแดนเดิมของเปอร์เซีย เป็นไปได้เช่นกันว่าเขาพูดภาษาฆวารัซม์ ซึ่งเป็นภาษาสูญแล้วในภูมิภาคนั้น" ("Historians have speculated on al-Khwarizmi's native language. Since he was born in a former Persian province, he may have spoken the Persian language. It is also possible that he spoke Khwarezmian, a language of the region that is now extinct.") (ว่าด้วยการคำนวณด้วยเลขฮินดู ประมาณ ค.ศ. 825) และอัลคินดี นักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับ (ว่าด้วยการใช้เลขฮินดู ประมาณ ค.ศ. 830) ก่อนจะเข้าสู่ยุโรปสมัยกลางช่วงสมัยกลางยุครุ่งโรจน์

ระบบเลขฮินดู–อาหรับใช้รูปอักขระ 10 ตัว (เดิมมี 9 ตัว) ตัวเลขเหล่านี้พัฒนามาจากตัวเลขพราหมีซึ่งแยกย่อยเป็นตัวเลขหลายแบบในช่วงสมัยกลาง โดยสามารถแบ่งได้เป็น 3 กลุ่มใหญ่ ได้แก่ ตัวเลขอาหรับตะวันตกใช้ในยุโรปและอัลมัฆริบ, ตัวเลขอาหรับตะวันออกใช้ในตะวันออกกลาง และตัวเลขอินเดียที่ใช้คู่กับชุดตัวอักษรต่าง ๆ ในอนุทวีปอินเดีย

 ต้นกำเนิด 
ระบบเลขฮินดู–อาหรับหรือระบบเลขอินเดีย–อาหรับคิดค้นโดยนักคณิตศาสตร์ในอินเดีย นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียและอาหรับเรียกระบบเลขนี้ว่า "เลขฮินดู" ต่อมาในยุโรปเรียกว่า "เลขอาหรับ" เนื่องจากระบบเลขนี้เข้าสู่ยุโรปผ่านทางพ่อค้าชาวอาหรับ

 สัญกรณ์ตำแหน่ง 
ระบบเลขฮินดู–อาหรับถูกออกแบบเพื่อแสดงค่าประจำของตัวเลขแต่ละตัวและค่าหลักในตำแหน่งที่ตัวเลขนั้นปรากฏ ต่อมามีการใช้สัญลักษณ์แบ่งเลขฐานสิบ (เดิมทำเป็นสัญลักษณ์เหนือตัวเลข แต่ปัจจุบันใช้เครื่องหมายมหัพภาค (.) หรือจุลภาค (,)) นอกจากนี้ยังมีสัญลักษณ์สำหรับทศนิยมซ้ำ ซึ่งสมัยใหม่นิยมขีดแนวนอนเหนือกลุ่มตัวเลขที่ซ้ำกัน ดังนั้นในระบบเลขนี้จึงใช้สัญลักษณ์เพียง 13 ตัว (ตัวเลข 10 ตัว, สัญลักษณ์แบ่งเลขฐานสิบ, ขีดแนวนอนและเครื่องหมายลบสำหรับจำนวนลบ)

แม้ว่าระบบเลขฮินดู–อาหรับจะใช้ร่วมกับอักษรไร้สระ ซึ่งทั่วไปเขียนจากขวาไปซ้าย แต่ตัวเลขที่มีค่ามากที่สุดจะอยู่ที่ด้านซ้าย ดังนั้นจึงเป็นการอ่านจากซ้ายไปขวา แต่กระนั้นไม่จำเป็นต้องอ่านตัวเลขจากค่ามากไปค่าน้อยเสมอไป การเขียนลักษณะนี้พบได้ในเอกสารที่ใช้ระบบการเขียนจากซ้าย–ขวาผสมกับขวา–ซ้าย

 สัญลักษณ์ 
ระบบเลขฮินดู–อาหรับมีชุดสัญลักษณ์เพื่อใช้แสดงเป็นตัวเลขหลายแบบ สัญลักษณ์นี้ส่วนใหญ่พัฒนามาจากตัวเลขพราหมีที่ใช้ในอนุทวีปอินเดียช่วงศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสตกาล ก่อนจะแยกย่อยเป็นสัญลักษณ์ที่หลากหลายในสมัยกลาง ชุดสัญลักษณ์นี้สามารถแบ่งได้เป็น 3 กลุ่มใหญ่ ได้แก่
 ตัวเลขอาหรับหรือตัวเลขอาหรับตะวันตก ใช้กับอักษรละติน อักษรซีริลลิกและชุดตัวอักษรกรีก
 ตัวเลขอาหรับตะวันออกหรือตัวเลขอาหรับ–อินเดีย ใช้กับชุดตัวอักษรอาหรับ
 ตัวเลขอินเดีย ใช้กับตระกูลอักษรพราหมี

 การเปรียบเทียบรูปอักขระ 

 สัญลักษณ์  ใช้กับชุดตัวอักษร  เลข 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  ชุดตัวอักษรอาหรับ, อักษรละติน, อักษรซีริลลิก และชุดตัวอักษรกรีก  ตัวเลขอาหรับ                     อักษรเบรลล์ ตัวเลขเบรลล์ 𑁦  𑁧  𑁨  𑁩  𑁪  𑁫  𑁬  𑁭  𑁮  𑁯  อักษรพราหมี  ตัวเลขพราหมี ०  १  २  ३  ४  ५  ६  ७  ८  ९  อักษรเทวนาครี  ตัวเลขเทวนาครี                     อักษรทมิฬ  ตัวเลขทมิฬ ০  ১  ২  ৩  ৪  ৫  ৬  ৭  ৮  ৯  อักษรนาครีตะวันออก  ตัวเลขเบงกาลี ੦  ੧  ੨  ੩  ੪  ੫  ੬  ੭  ੮  ੯  อักษรคุรมุขี  ตัวเลขคุรมุขี ૦  ૧  ૨  ૩  ૪  ૫  ૬  ૭  ૮  ૯  อักษรคุชราต  ตัวเลขคุชราต 𑙐‎  𑙑  𑙒  𑙓‎  𑙔‎  𑙕  𑙖  𑙗  𑙘  𑙙  อักษรโมฑี  ตัวเลขโมฑี ୦  ୧  ୨  ୩  ୪  ୫  ୬  ୭  ୮  ୯  อักษรโอริยา  ตัวเลขโอริยา ᱐  ᱑  ᱒  ᱓  ᱔  ᱕  ᱖  ᱗  ᱘  ᱙  อักษรสันถาลี  ตัวเลขสันถาลี 𑇐  𑇑  𑇒  𑇓  𑇔  𑇕  𑇖  𑇗  𑇘  𑇙  อักษรศารทา  ตัวเลขศารทา ౦  ౧  ౨  ౩  ౪  ౫  ౬  ౭  ౮  ౯  อักษรเตลูกู  ตัวเลขเตลูกู ೦  ೧  ೨  ೩  ೪  ೫  ೬  ೭  ೮  ೯  อักษรกันนาดา  ตัวเลขกันนาดา ൦  ൧  ൨  ൩  ൪  ൫  ൬  ൭  ൮  ൯  อักษรมลยาฬัม  ตัวเลขมลยาฬัมอักษรมณีปุระตัวเลขมณีปุระ ෦  ෧  ෨  ෩  ෪  ෫  ෬  ෭  ෮  ෯  อักษรสิงหล  ตัวเลขสิงหล 𑓐  𑓑‎  𑓒‎  𑓓‎  𑓔  𑓕‎  𑓖‎  𑓗  𑓘  𑓙‎  อักษรติรหุตา  ตัวเลขติรหุตา ༠  ༡  ༢  ༣  ༤  ༥  ༦  ༧  ༨  ༩  อักษรทิเบต  ตัวเลขทิเบต ၀  ၁  ၂  ၃  ၄  ၅  ၆  ၇  ၈  ၉  ตัวอักษรมอญ–พม่า  ตัวเลขพม่า ᠐  ᠑  ᠒  ᠓  ᠔  ᠕  ᠖  ᠗  ᠘  ᠙  อักษรมองโกเลีย  ตัวเลขมองโกเลีย ០  ១  ២  ៣  ៤  ៥  ៦  ៧  ៨  ៩  อักษรเขมร  ตัวเลขเขมร ๐  ๑  ๒  ๓  ๔  ๕  ๖  ๗  ๘  ๙  อักษรไทย  ตัวเลขไทย ໐  ໑  ໒  ໓  ໔  ໕  ໖  ໗  ໘  ໙  อักษรลาว  ตัวเลขลาว ꧐  ꧑  ꧒  ꧓  ꧔  ꧕  ꧖  ꧗  ꧘  ꧙  อักษรชวา  ตัวเลขชวา                     ภาษาอาหรับ  ตัวเลขอาหรับตะวันออก                     ชุดตัวอักษรเปอร์เซีย / ภาษาดารี / อักษรปาทาน                       ชุดตัวอักษรอูรดู / อักษรชาห์มุขี  〇/零  一  二   三   四   五   六   七   八  九  เอเชียตะวันออก  ตัวเลขจีน, ตัวเลขเวียดนาม, ตัวเลขญี่ปุ่นและตัวเลขเกาหลี ο/ō  Αʹ  Βʹ  Γʹ Δʹ  Εʹ  Ϛʹ  Ζʹ  Ηʹ  Θʹ  ภาษากรีกสมัยใหม่  ตัวเลขกรีก

 ประวัติศาสตร์ 
ระบบเลขฮินดู–อาหรับมีที่มาจากตัวเลขพราหมีซึ่งใช้มาก่อนสากลศักราช ตัวเลขพราหมีแทนที่ตัวเลขขโรษฐีที่ใช้มาตั้งแต่ศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสตกาล ตัวเลขพราหมีและตัวเลขขโรษฐีใช้ควบคู่กันในจักรวรรดิเมารยะ และปรากฏในพระราชกฤษฎีกาอโศกช่วงศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสตกาลFlegg (2002), pp. 6ff. พบสัญลักษณ์ในจารึกศาสนาพุทธสมัย 300 ปีก่อนคริสตกาลที่ต่อมากลายเป็นเลข 1, 4 และ 6 นอกจากนี้มีบันทึกการใช้สัญลักษณ์ที่ต่อมาเป็นเลข 2, 4, 6, 7 และ 9 ในหนึ่งศตวรรษต่อมา อย่างไรก็ตามตัวเลขพราหมีไม่ใช่ระบบเลขฐานสิบที่แสดงค่าประจำตัวเลขและค่าหลักในตำแหน่งตัวเลข รวมถึงไม่มีเลข 0 ดังนั้นแนวคิดค่าประจำหลักและการใช้เลข 0 จึงเป็นการพัฒนาขึ้นในภายหลัง

 พัฒนาการ 

ข้อเขียนบัคชาลี (ราว ค.ศ. 224–383) เป็นตัวอย่างแรก ๆ ที่กล่าวถึงค่าประจำหลักและการใช้เลขศูนย์ แนวคิดเกี่ยวกับเลขศูนย์ได้รับการเพิ่มเติมในตำรา Brahmasphuta Siddhanta ของพรหมคุปตะสมัยคริสต์ศตวรรษที่ 7Henry Thomas Colebrooke. Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara, London 1817, p. 339 (online)

ระบบเลขฮินดู–อาหรับเข้าสู่โลกอิสลามผ่านผลงานของนักคณิตศาสตร์ตะวันออกกลางหลายคน เช่น On the Calculation with Hindu Numerals (ว่าด้วยการคำนวณด้วยเลขฮินดู) ของมุฮัมมัด อิบน์ มูซา อัลเคาะวาริซมี (ค.ศ. 825), On the Use of the Hindu Numerals (ว่าด้วยการใช้เลขฮินดู) ของอัลคินดี (ค.ศ. 830), The Arithmetics of India (เลขคณิตแห่งอินเดีย) ของอะบูล-ฮะซัน อัลอูคลีดีซี (ประมาณ ค.ศ. 952) และ Principles of Hindu Reckoning (หลักการคำนวณฮินดู) ของคุชยาร์ กิลานี (คริสต์ศตวรรษที่ 10–11)

 เข้าสู่ยุโรป 

พบการใช้เลขฮินดู–อาหรับในยุโรปครั้งแรกใน โคเดกซ์วิกิลานุส (Codex Vigilanus) เอกสารตัวเขียนสีวิจิตรที่รวบรวมบันทึกเหตุการณ์ในฮิสเปเนียตั้งแต่สมัยโบราณถึงคริสต์ศตวรรษที่ 10 ต่อมาช่วงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 10 แกรแบร์แห่งออริลแลกได้ค้นพบและศึกษาองค์ความรู้ของชาวอาหรับที่แอบบีย์ในคาตาลันก่อนจะพัฒนาลูกคิดที่ใช้เลขฮินดู–อาหรับ 1–9 หลังเขาได้รับเลือกเป็นสมเด็จพระสันตะปาปาซิลเวสเตอร์ที่ 2 ในปี ค.ศ. 999

เลโอนาร์โด ฟีโบนัชชี นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีเป็นบุคคลที่ส่งเสริมการใช้ระบบเลขฮินดู–อาหรับให้แพร่หลายในยุโรป ในหนังสือ Liber Abaci (ตำราการคำนวณ) ของเขากล่าวถึงเลขฮินดู–อาหรับว่า Modus Indorum (วิธีของชาวอินเดีย) และบรรยายถึงการนำไปใช้ ประสิทธิภาพและประโยชน์ทางคณิตศาสตร์และการค้า อย่างไรก็ตาม การแนะนำเลขฮินดู–อาหรับของฟีโบนัชชียังจำกัดอยู่ในวงผู้มีการศึกษา จนกระทั่งอดัม รีส นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันเผยแพร่ Calculating on the Lines and with a Quill (การคำนวณเส้นด้วยปากกาขนนก) ในปี ค.ศ. 1522 โดยมุ่งเป้าที่ลูกมือฝึกหัดของนักธุรกิจและช่างฝีมือ

เลขอาหรับ (ชื่อที่ชาวยุโรปในสมัยนั้นใช้เรียก) ใช้ในทางคณิตศาสตร์ในคริสต์ศตวรรษที่ 12 และแทนที่ตัวเลขโรมันในการใช้ทั่วไปในคริสต์ศตวรรษที่ 15HLeonardo Pisano: "Contributions to number theory". Encyclopædia Britannica Online, 2006. p. 3. Retrieved 18 September 2006. 

 การใช้ในเอเชียตะวันออก 
ใน ค.ศ. 690 พระนางบูเช็กเทียนประกาศใช้อักษรจีนพระนางบูเช็กเทียน หนึ่งในนั้นมีตัวอักษร "〇" ซึ่งต่อมาใช้เป็นเลขศูนย์ในตัวเลขจีน

โคตมะ สิทธา นักคณิตศาสตร์จากอินเดียแนะนำเลขฮินดูที่มีเลขศูนย์ในจีนในปี ค.ศ. 718 แต่ไม่ประสบความสำเร็จเนื่องจากนักคณิตศาสตร์จีนมีไม้คำนวณ (counting rods) ที่สามารถคำนวณเลขฐานสิบที่มีค่าประจำหลักได้

มีการใช้สัญลักษณ์ 〇 แทนเลขศูนย์ในตัวเลขซูโจวซึ่งเป็นตัวเลขที่ใช้ในจีนก่อนตัวเลขฮินดู–อาหรับ นักประวัติศาสตร์บางส่วนสันนิษฐานว่าเป็นการรับมาจากการแนะนำของโคตมะ สิทธาในปี ค.ศ. 718 แต่บางส่วนเชื่อว่ามาจากสัญลักษณ์ □

จีนและญี่ปุ่นเลิกใช้ไม้คำนวณและเปลี่ยนมาใช้เลขฮินดู–อาหรับในคริสต์ศตวรรษที่ 19

 การแพร่หลายของตัวเลขอาหรับตะวันตก 
ตัวเลขอาหรับตะวันตกใช้ทั่วไปในยุโรปตั้งแต่ยุคบารอก ก่อนจะแพร่หลายไปทั่วโลกพร้อม ๆ กับการแผ่ขยายของการใช้อักษรละติน ตัวเลขอาหรับตะวันตกยังได้รับความนิยมและเข้าแทนที่ตัวเลขอาหรับแบบอื่นที่เคยใช้ในหลายพื้นที่ หรือเป็นหนึ่งในตัวเลขที่ใช้ควบคู่ไปกับตัวเลขที่ใช้ในประเทศ (ดูที่ตัวเลขจีนและตัวเลขญี่ปุ่น)

 ดูเพิ่ม 
 ตัวเลขอาหรับ
 เลขฐานสิบ
 ระบบเลข
 0
 ประวัติศาสตร์ระบบเลขฮินดู–อาหรับ
 ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์
 สัญกรณ์ตำแหน่ง

 หมายเหตุ 

 อ้างอิง 

หมวดหมู่:ระบบเลข
หมวดหมู่:คณิตศาสตร์มูลฐาน
หมวดหมู่:สิ่งประดิษฐ์ของอินเดีย