กึ่งแกนเอก

กึ่งแกนเอก () เป็นตัวแปรสำคัญค่าหนึ่งที่แสดงสมบัติของวงรีหรือไฮเพอร์โบลาใน เรขาคณิต และใช้กับวงโคจรของวัตถุท้องฟ้าในทางดาราศาสตร์ด้วย

 วงรี 
สำหรับวงรี กึ่งแกนเอกคือรัศมีตามแนวแกนเอก เส้นตรงที่ลากผ่านกึ่งแกนเอก จะลากผ่านจุดศูนย์กลางและจุดโฟกัสทั้ง 2 จุด และยังตัดจุดที่มีความโค้งมากที่สุด 2 จุดบนเส้นรอบวงวงรี สำหรับในกรณีของวงกลม ค่ากึ่งแกนเอกจะเท่ากับรัศมี

ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวกึ่งแกนเอก  คือ กึ่งแกนโท , ความเยื้องศูนย์กลาง  และ กึ่งเลตัสเรกตัม  เป็นดังต่อไปนี้

ถ้าให้จุดโฟกัสและ  คงที่ และจุดโฟกัสอีกจุดหนึ่งเคลื่อนห่างไกลออกไปมาก ๆ ในทิศทางหนึ่ง ในที่สุดจะได้เป็นพาราโบลา ในกรณีนี้  และ  จะเข้าใกล้อนันต์ แต่  จะเพิ่มขึ้นเร็วกว่า  

กึ่งแกนเอกคือค่าเฉลี่ยของระยะทางต่ำสุดและสูงสุดจากจุดโฟกัสจุดหนึ่งไปยังจุดหนึ่งบนเส้นรอบวงของวงรี ถ้าเขียนในระบบพิกัดเชิงขั้ว โดยจุดโฟกัสจุดหนึ่งอยู่ที่จุดกำเนิด และอีกจุดหนึ่งอยู่ในทิศทางบวกตามแกน x จะได้ว่า

และค่าเฉลี่ยของค่าต่ำสุด  และค่าสูงสุด  จะเป็น


 ไฮเพอร์โบลา 
ในไฮเพอร์โบลา กึ่งแกนเอกคือระยะครึ่งหนึ่งของระยะห่างระหว่างเส้นโค้งทั้งสองข้าง ในกรณีที่แกนเอกอยู่ในแนวแกน x จะได้ว่า

หรืออาจเขียนในรูปของเลตัสเรกตัม  และความเยื้องศูนย์กลาง  เป็น


 ดาราศาสตร์ 
ในกลศาสตร์ท้องฟ้า คาบการโคจร  ของวัตถุท้องฟ้าขนาดเล็กในวงโคจรเป็นวงกลมหรือวงรีรอบดาวฤกษ์สามารถแสดงได้ด้วยสูตรต่อไปนี้



ในที่นี้
  คือกึ่งแกนเอกของวงโคจร
  เป็นผลคูณของค่าคงที่ความโน้มถ่วงและมวล

จากสูตรนี้ จะเห็นได้ว่าคาบการโคจรของวงโคจรวงรีที่มีกึ่งแกนเอกวงโคจรเท่ากันจะมีค่าเท่ากันโดยไม่คำนึงถึงค่าความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร

ในทางดาราศาสตร์ กึ่งแกนเอกเป็นหนึ่งในองค์ประกอบของวงโคจรที่สำคัญที่สุดพร้อมกับคาบการโคจร ในระบบสุริยะ กึ่งแกนเอกของวงโคจรมีความสัมพันธ์กับคาบการโคจรตามกฎข้อที่สามของเค็พเพลอร์

โดยที่  คือคาบการโคจรในหน่วยปี และ  คือกึ่งแกนเอกในหน่วยดาราศาสตร์ สมการนี้ได้จากการสมการปัญหาวัตถุสองชิ้นของไอแซก นิวตัน โดยลดความซับซ้อนของพจน์ความโน้มถ่วงลง

ในที่นี้
  คือค่าคงตัวความโน้มถ่วง
  คือมวลของดาวปฐมภูมิ
  คือมวลของดาวทุติยภูมิ

เนื่องจากโดยปกติแล้ว  จะมีค่ามากกว่า  มาก ผลกระทบจากค่า  จึงถูกละเว้น ซึ่งนำไปสู่สมการของเค็พเพลอร์

 การคำนวณกึ่งแกนเอกของวงโคจรจากเวกเตอร์ตำแหน่ง 
ในกลศาสตร์ท้องฟ้า กึ่งแกนเอกของวงโคจร  สามารถคำนวณได้จากเวกเตอร์ตำแหน่งของวัตถุท้องฟ้า ถ้าวงโคจรเป็นวงรีจะได้ว่า

ถ้าเป็นไฮเพอร์โบลาจะได้ว่า

โดยที่

ถ้ารู้มวลของดาวฤกษ์และพลังงานศักย์โดยรวมแล้วก็จะหาค่ากึ่งแกนเอกได้โดยไม่ต้องคำนึงถึงความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร

ในที่นี้
  เป็นความเร็ววงโคจรที่ได้จากเวกเตอร์ความเร็ว
  เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของดาวหลัก
  เป็นค่าคงที่ความโน้มถ่วง
  เป็นมวลของดาวหลัก

 ตัวอย่าง 
สถานีอวกาศนานาชาติมีคาบการโคจร 91.74 นาที และกึ่งแกนเอกของวงโคจรเป็น 6738 กม.

 ดูเพิ่ม 
 กึ่งแกนเอกและกึ่งแกนโท

หมวดหมู่:กลศาสตร์
หมวดหมู่:วงโคจร