บทตั้งของซอร์น

บทตั้งของซอร์น () หรือ บทตั้งของซอร์น-กูราตอฟสกี เป็นบทตั้งสำคัญบทหนึ่งในวิชาทฤษฎีเซต ซึ่งกล่าวว่า "เซตจัดอันดับบางส่วนที่ทุกโซ่มีขอบเขตบน จะมีสมาชิกใหญ่สุด" บทตั้งนี้มีชื่อตาม มักซ์ ซอร์น และ กาซีมีแยช กูราตอฟสกี

บทตั้งนี้สามารถใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทอื่น ๆ ที่มีความสำคัญในคณิตศาสตร์ในสาขาหลากหลาย เช่น บทพิสูจน์ที่ว่าทุกปริภูมิเวกเตอร์จะมีฐาน ทฤษฎีบทฮาห์น-บานาคในสาขาการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน ทฤษฎีบทของไทโคนอฟในสาขาทอพอโลยี ทฤษฎีบทว่าทุกฟีลด์มีการปิดเชิงพีชคณิต และทฤษฎีบทที่ว่าทุกไอดีลแท้ของริงมีเอกลักษณ์จะเป็นสับเซตของไอดีลใหญ่สุด

บทตั้งของซอร์นสมมูลกันกับหลักการจัดอันดับดีและสัจพจน์ของการเลือก นั่นคือเพียงแค่ทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลร่วมกับข้อความใดข้อความหนึ่งจากทั้งข้อความข้างต้น จะสามารถพิสูจน์ข้อความที่เหลือได้ นอกจากนี้ยังมีหลักการความใหญ่สุดของเฮาส์ดอร์ฟเป็นข้อความหนึ่งที่สมมูลกับบทตั้งของซอร์น 

 ประวัติ 

เฟลิกซ์ เฮาส์ดอร์ฟได้พิสูจน์หลักการความใหญ่สุดของเฮาส์ดอร์ฟในปี ค.ศ. 1914 ซึ่งถือว่าเป็นรูปแบบแรก ๆ ของบทตั้งของซอร์น

กาซีมีแยช กูราตอฟสกีได้เสนอรูปแบบหนึ่งของบทตั้งนี้ในปี ค.ศ. 1922 ที่ใกล้เคียงกับแบบที่เราใช้ในปัจจุบัน มักซ์ ซอร์นค้นพบบทตั้งนี้อีกครั้งหนึ่งแยกจากของกูราตอฟสกี และตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1935

 เนื้อความของบทตั้ง  

โซ่ใน P คือสับเซตของ P ที่เป็นเซตอันดับทุกส่วน

 ข้อความที่สมมูลกัน 
มีข้อความจำนวนมากที่สมมูลกับบทตั้งของซอร์น ข้อความที่เป็นที่รู้จักกันทั่วไปได้แก่

 สัจพจน์การเลือก
 หลักการจัดอันดับดี
 หลักการความใหญ่สุดของเฮาส์ดอร์ฟ

นอกจากนี้บทตั้งของซอร์นยังใช้พิสูจน์ทฤษฎีบทสำคัญอื่น ๆ ในคณิตศาสตร์ บางครั้งผลลัพธ์ดังกล่าวยังสมมูลกับบทตั้งของซอร์นอีกด้วย ได้แก่
 ทฤษฎีบทฮาห์น-บานาค
 ทุกปริภูมิเวกเตอร์มีฐาน (ซึ่งสมมูลกับบทตั้งของซอร์น)
 ทุกริงสลับที่มีหนึ่งจะมีไอดีลใหญ่สุด
 ทฤษฎีบทของไทโคนอฟในทอพอโลยี (สมมูลกับบทตั้งของซอร์น)
 ทฤษฎีบทอุลตราฟิลเตอร์ ที่ว่าทุก ๆ ฟิลเตอร์แท้บทเซต X จะสามารถขยายไปเป็นอุลตราฟิลเตอร์บทเซต X ได้
 จากทฤษฎีบทอุลตราฟิลเตอร์ (นั่นคือจากบทตั้งของซอร์น) จะสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทความบริบูรณ์ของตรรกศาสตร์อันดับหนึ่งได้J.L. Bell & A.B. Slomson (1969). Models and Ultraproducts. North Holland Publishing Company.

 รายการอ้างอิง 

  ดูเพิ่ม 

 The Axiom of Choice ใน The Stanford Encyclopedia of Philosophy อธิบายประเด็นทางปรัชญาของสัจพจน์การเลือกและประวัติศาสตร์ของบทตั้งของซอร์น
 บทตั้งของซอร์นใน nLab

หมวดหมู่:ทฤษฎีเซต
หมวดหมู่:บทตั้ง