ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนาม

ในพีชคณิต ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนาม () หรือทฤษฎีบทเล็กของเบซู (ตั้งชื่อตามเอเตียน เบซู (Étienne Bézout)) เป็นการประยุกต์ใช้การหารพหุนามแบบยุคลิด (Euclidean division of polynomial) ซึ่งทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าเศษเหลือจากการหารพหุนาม  ด้วยพหุนามเชิงเส้น  เท่ากับ  และ  เป็นตัวหารของ  ก็ต่อเมื่อ Larson, Ron (2014), College Algebra, Cengage Learning เป็นคุณสมบัติที่เรียกว่าทฤษฎีบทตัวประกอบ (factor theorem)

 ตัวอย่าง 
 ตัวอย่าง 1 
ให้  การหารพหุนาม  ด้วย  ให้ผลหาร  และเหลือเศษ  เพราะฉะนั้น 

 ตัวอย่าง 2
แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามเป็นจริงกับพหุนามดีกรี 2  ใด ๆ ด้วยการจัดรูปพีชคณิต:

คูณทั้งสองฝั่งด้วย (x − r) ได้

ในเมื่อ  เป็นเศษเหลือ เราได้แสดงให้เห็นแล้วว่า 

 การพิสูจน์ 
ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามตามมาจากขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดสำหรับพหุนามที่บอกว่าเมื่อกำหนดพหุนามสองตัว (ตัวตั้งหาร) และ  (ตัวหาร) จะมีพหุนามผลหาร  และพหุนามเศษเหลือ  เพียงชุดเดียวที่สอดคล้องกับสมการ
 และ  หรือ 

ถ้าตัวหาร  เมื่อ r เป็นค่าคงตัว ก็อาจเป็นได้ทั้ง  หรือมีดีกรี 0 ซึ่งในทั้งสองกรณี  เป็นค่าคงตัวที่ขึ้นอยู่กับ  คือ

เมื่อกำหนดให้  ในสูตรนี้แล้วก็จะได้:

มีการพิสูจน์ที่ต่างกันเล็กน้อยซึ่งอาจดูพื้นฐานกว่าสำหรับบางคน เริ่มต้นจากการสังเกตว่า  เป็นผลรวมเชิงเส้นของพจน์ในรูป  ซึ่งแต่ละพจน์สามารถหารได้ด้วย  เพราะ 

 การประยุกต์ 
ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามสามารถใช้เพื่อหา  ด้วยการคำนวนหาเศษเหลือ  แต่การหารยาวพหุนาม (polynomial long division) ก็ยากกว่าการหาค่าฟังก์ชันไปเลย และการหารสังเคราะห์ (synthetic division) คำนวณได้ง่ายกว่า ดังนั้นเราอาจสามารกหาค่าของฟังก์ชันได้ด้วยการใช้การหารสังเคราะห์และทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนาม

ทฤษฎีบทตัวประกอบเป็นการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลืออีกเรื่องหนึ่ง: ถ้าเศษเหลือเท่ากับศูนย์ ตัวหารสมการเชิงเส้นนั้นเป็นตัวประกอบของพหุนาม สามารถหาตัวประกอบของพหุนามได้ด้วยการใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบซ้ำหลายครั้งLarson, Ron (2011), Precalculus with Limits, Cengage Learning

 อ้างอิง 

หมวดหมู่:ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับพหุนาม