ทฤษฎีบทของสจวร์ต

ทฤษฎีบทของสจวร์ต (Stewart's theorem) เป็นทฤษฎีบททางเรขาคณิตที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านข้างกับความยาวของ "ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอดกับจุดที่อยู่บนด้านตรงข้าม (Cevian)"เถาว์ทิพย์, วัฒนา, เอกสารประกอบการบรรยาย โครงการส่งเสริมโอลิมปิกวิชาการฯ ศูนย์ สอวน. (ค่ายที่ 2) เรขาคณิต. มหาวิทยาลัยขอนแก่น.หน้า. 32 ในรูปสามเหลี่ยม ชื่อของทฤษฎีบทนี้เป็นการให้เกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อต แมทธิว สจวร์ต (Matthew Stewart) ผู้เผยแพร่ทฤษฎีบทนี้ในปี ค.ศ. 1746Stewart, Matthew (1746), Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics, Edinburgh: Sands, Murray and Cochran "Proposition II"

 รายละเอียด 
กำหนดให้ a, b และ c เป็นความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม ให้ d เป็นความยาวของ cevian ไปทางด้านความยาว a หาก cevian แบ่งด้านความยาว a ออกเป็นสองส่วนของความยาว คือ m และ n โดยมี m ติดกับ c และ n ติดกับ b แล้วทฤษฎีบทของสจ๊วต ระบุว่า

ทฤษฎีบทนี้อาจเขียนขึ้นแบบสมมาตรโดยใช้ความยาวของส่วนที่แบ่งแล้ว นั่นคือใช้ความยาว AB ให้เป็นบวกหรือลบ ตามแต่ว่า A อยู่ทางซ้ายหรือขวาของ B ในการวางแนวที่แน่นอนของเส้น ในสูตรนี้ทฤษฎีบทกล่าวว่าถ้า A, B และ C เป็นจุดร่วมเส้นตรง (collinear points) และ P เป็นจุดใด ๆ แล้ว

Russell 1905, p. 3

ในกรณีพิเศษที่ cevian เป็นเส้นมัธยฐาน (Cevian แบ่งด้านตรงข้ามออกเป็นสองส่วนที่มีความยาวเท่ากัน) สามารถหาผลลัพธ์ได้จากทฤษฎีบทของอะพอลโลเนียส

 พิสูจน์ 
ทฤษฎีบทนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยการประยุกต์ใช้กฎของโคไซน์ (cos)Proof of Stewart's Theorem at PlanetMath.org.

ให้ θ เป็นมุมระหว่าง m และ d และ θ′ คือมุมระหว่าง n และ d โดย θ′ + θ = 180 องศา และดังนั้น cos θ′ = − cos θ โดยใช้กฎของโคไซน์ในสามเหลี่ยมเล็กสองรูปที่มีมุม θ และ θ′ ประกอบอยู่

คูณสมการแรกด้วย n และสมการที่สามด้วย m และนำมารวมกันเพื่อกำจัด cos θ จะได้

อีกวิธีหนึ่งทฤษฎีบทสามารถพิสูจน์ได้คือการวาดเส้นตั้งฉากจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมไปยังฐานและใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อหาความยาว b, c และ d ในแง่ของระดับความสูง ด้านซ้ายและขวาของสมการนั้นจะเป็นนิพจน์เดียวกัน

 ประวัติ 
จากตำราคณิตศาสตร์ของฮุตตันและเกรกอรี (Hutton & Gregory, 1843, หน้า 220) สจวร์ตเผยแพร่ผลเฉลยในปี ค.ศ. 1746 เมื่อเขาเป็นหนึ่งในผู้ที่มีสิทธิ์จะเข้ารับตำแหน่งเป็นศาสตราจารย์คณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยเอดินบะระแทนที่คอลิน แม็กคลอริน (Colin Maclaurin)  และตำราคณิตศาสตร์ของ ค็อกเซเตอร์และไกรต์เซอร์ (Coxeter & Greitzer, 1967, หน้า 6) ระบุว่าผลลัพธ์อาจเป็นที่ทราบโดยอาร์คิมีดีส เมื่อประมาณ 300 ปีก่อนคริสต์ศักราช  ฮุตตันและเกรกอรี (1843) กล่าวว่าผลเฉลยถูกใช้โดยโรเบิร์ต ซิมสัน (Robert Simson) ในปี ค.ศ. 1748 และโดยโทมัส ซิมป์สัน (Thomas Simpson) ในปี ค.ศ. 1752 และการปรากฏครั้งแรกในยุโรปเกิดขึ้นในงานของลาซาร์ การ์โน (Lazare Carnot) ในปี ค.ศ. 1803

 ดูเพิ่ม 


 อ้างอิง 

 บรรณานุกรม 




  ดูเพิ่ม 
 I.S Amarasinghe, Solutions to the Problem 43.3: Stewart's Theorem (A New Proof for the Stewart's Theorem using Ptolemy's Theorem), Mathematical Spectrum, Vol 43(03), pp. 138 – 139, 2011.


 แหล่งข้อมูลอื่น 
 .
 Stewart's Theorem ที่ PlanetMath.org.

หมวดหมู่:เรขาคณิตบนระนาบยุคลิด