รูปวงรี

วงรี () เป็นเส้นโค้งทางคณิตศาสตร์ซึ่งล้อมรอบจุดโฟกัสสองจุดและทำให้ผลรวมของระยะทางจากจุดบนเส้นโค้งไปหาจุดโฟกัสแต่ละจุดเป็นค่าคงที่ จากนิยามนี้ วงรีถือเป็นนัยทั่วไปของวงกลม นั่นคือ วงกลมเป็นกรณีพิเศษของวงรีที่มีจุดโฟกัสซ้อนกันเป็นจุดเดียว ความยืดของวงรีแสดงด้วยค่าความเยื้องศูนย์กลาง ซึ่งสำหรับวงรีอาจมีค่าได้ตั้งแต่ 0 (กรณีพิเศษของวงกลม) และมากเข้าใกล้ 1 เท่าใดก็ได้ แต่ไม่ถึง 1 (ซึ่งจะกลายเป็นพาราโบลา) วงรียังสามารถนิยามเป็นเซตของจุด ที่สำหรับแต่ละจุดในเซต อัตราส่วนของระยะทางไปหาจุดที่กำหนด (ซึ่งจะเป็นหนึ่งในจุดโฟกัส) ต่อระยะทางไปหาเส้นที่กำหนด (เรียกว่าเส้นไดเรกทริกซ์) เป็นค่าคงที่ ซึ่งค่าคงที่นี้จะเท่ากับความเยื้องศูนย์กลางข้างต้น

วงรีเป็นภาคตัดกรวย นั่นคือ เกิดจากการตัดกันของทรงกรวยกับระนาบ (ดูภาพขวา) และยังเป็นภาคตัดของทรงกระบอก ยกเว้นเฉพาะกรณีที่ระนาบตัดขนานกับแกนทรงกระบอก

 นิยาม 
วงรีมักนิยามเป็นโลกัสของจุดในระนาบสองมิติ โดยจากจุดโฟกัส  กับ  และระยะทาง  จะนิยามวงรีเป็นเซตของจุด  ทั้งหมดที่ทำให้ผลบวกของระยะทาง  กับ  เป็น  หรือเขียนเป็นสัญกรณ์ว่า 



(กรณีที่  จะลดรูปเป็นเส้นตรง ดังนั้นเพื่อให้เป็นวงรีจะต้องบังคับ )

จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดโฟกัสทั้งสอง เรียกว่า จุดศูนย์กลาง ของวงรี เส้นตรงที่ผ่านจุดโฟกัสทั้งสองเรียกว่าแกนเอก และเส้นที่ผ่านจุดศูนย์กลางและตั้งฉากกับแกนเอกเรียกว่า แกนโท แกนเอกตัดกับวงกลมที่ จุดยอด ซึ่งห่างจากจุดศูนย์กลาง  หน่วย ระยะทางจากจุดโฟกัสไปจุดศูนย์กลางเรียกว่า ระยะโฟกัส  อัตราส่วน  คือ ความเยื้องศูนย์กลาง

 สมบัติ 
ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน วงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่  แกนเอกขนานแกน x ยาว  แกนโทขนานแกน y ยาว  เขียนสมการได้เป็น:

ความเยื้องศูนย์กลางของวงรีเป็นไปตามสูตร

หากใช้ระบบสมการอิงตัวแปรเสริม จะสามารถเขียนวงรีในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็น

หากแทน  จะได้สมการตัวแปรเสริมอีกรูปคือ

ในพิกัดเชิงขั้ว หากใช้จุดศูนย์กลางของวงรีเป็นจุดกำเนิด และวัดมุมเทียบกับแกนเอก จะได้เป็นสมการ

แต่หากใช่จุดโฟกัสเป็นจุดกำเนิด จะได้สมการที่ง่ายกว่า คือ

วงรีมีพื้นที่  เห็นได้จากการมองวงรีเป็นวงกลมรัศมี ที่ถูกยืดออก  เท่า จึงได้พื้นที่เป็น  หรืออาจพิสูจน์จากการอินทิเกรต โดยจัดรูปสมการวงรี  เป็น อินทิเกรตจาก  ถึง  จะได้พื้นที่ครึ่งบน ดังนั้นได้เป็น

ความยาวรอบรูปของวงรีไม่สามารถเขียนเป็นสูตรอย่างง่ายได้ โดยมีค่าเท่ากับอินทิกรัล

เมื่อ  เป็นปริพันธ์วงรีสมบูรณ์ชนิดที่สอง (Complete elliptic integral of the second kind) 

สูตรความยาวรอบรูปสามารถเขียนในรูปอนุกรมอนันต์ได้เป็น

รามานุจันได้ให้สูตรประมาณค่าความยาวรอบรูปว่า

หมวดหมู่:เส้นโค้ง
หมวดหมู่:ภาคตัดกรวย