ผลคูณอนันต์

ในคณิตศาสตร์ ผลคูณอนันต์ () ของลำดับ a1, a2, a3, ... ซึ่งเขียนแทนด้วย 



นิยามเป็นลิมิตของผลคูณย่อย a1a2...an เมื่อ n เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัด ผลคูณนี้เรียกว่า ลู่เข้า เมื่อลิมิตนี้มีอยู่และไม่เป็นศูนย์ มิฉะนั้นจะกล่าวว่าผลคูณนี้ลู่ออก โดยปกติแล้ว กรณีที่ลิมิตเป็นศูนย์ถูกพิจารณาเป็นพิเศษ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่เทียบเคียงได้กับอนุกรมอนันต์ มีแหล่งข้อมูลบางแหล่งที่อนุญาตให้ผลคูณลู่เข้าเป็น 0 หากมีตัวประกอบในลำดับเพียงจำนวนจำกัดที่เป็นศูนย์และผลคูณของส่วนที่ไม่เป็นศูนย์นั้นไม่ใช่ศูนย์ แต่สำหรับความเรียบง่าย ในบทความนี้จะไม่นับกรณีแบบนี้ หากผลคูณลู่เข้า ลิมิตของลำดับ an เมื่อ n เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัดจะต้องเป็น 1 เสมอ แต่บทกลับของทฤษฎีบทนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นจริง 

ตัวอย่างที่รู้จักกันดีที่สุดของผลคูณอนันต์ เช่นสูตรสำหรับค่า π เช่น ผลคูณต่อไปนี้ เป็นของ Viète (ซึ่งเป็นผลคูณอนันต์ที่ค้นพบเป็นอันแรกในวิชาคณิตศาสตร์) และของ Wallis ตามลำดับ: 

 เกณฑ์ในการลู่เข้า 
ผลคูณของจำนวนจริงบวก 



จะลู่เข้าสู่จำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม 



ลู่เข้าเช่นเดียวกัน ทฤษฎีบทนี้ช่วยให้สามารถแปลงเกณฑ์ในการลู่เข้าสำหรับอนุกรมอนันต์เป็นเกณฑ์การลู่เข้าสำหรับผลคูณอนันต์ได้ เกณฑ์เดียวกันอาจนำไปใช้กับผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน (รวมถึงจำนวนจริงลบ) โดยการใช้กิ่ง (branch) ของฟังก์ชันลอการิทึมซึ่งเป็นไปตามข้อบังคับว่า ln(1) = 0 โดยมีเงื่อนไขว่าผลคูณลู่ออกหากมี an เป็นจำนวนอนันต์ที่ตกอยู่นอกเหนือโดเมนของ ln แต่หากมีเพียงจำนวนจำกัดสามารถข้ามได้ 

สำหรับผลคูณของจำนวนจริงที่แต่ละ  หรือเขียนเป็น  จะได้อสมการ 



ซึ่งแสดงว่าผลคูณจะลู่เข้าถ้าอนุกรมอนันต์ของ pn ลู่เข้า ทฤษฎีบทนี้ต้องอาศัย ทฤษฎีบทการลู่เข้าทางเดียว (Monotone convergence theorem) สำหรับบทกลับสามารถเห็นได้จากการสังเกตว่า ถ้า  แล้ว 



ดังนั้นโดยการทดสอบโดยการเปรียบเทียบลิมิต (limit comparison test) จะได้ว่าอนุกรมทั้งสองคือ 

 และ  

เทียบเท่ากัน นั่นคือทั้งสองจะลู่เข้าทั้งคู่หรือลู่ออกทั้งคู่เสมอ 

บทพิสูจน์เดียวกันยังแสดงให้เห็นว่า หาก  แล้ว  ลู่เข้าหาจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม  ลู่เข้า 

หากอนุกรม  ลู่ออกไปสู่  แล้วลำดับของผลคูณย่อยของ an จะลู่เข้าหาศูนย์ แต่ผลคูณอนันต์นั้นจะเรียกว่า ลู่ออกไปสู่ศูนย์ 

สำหรับ  ที่ไม่บังคับเครื่องหมาย การลู่เข้าของ  ไม่เพียงพอต่อการสรุปว่าผลคูณ  ลู่เข้าหรือไม่ แต่หาก  ลู่เข้า แล้วจะบอกได้ว่าการลู่ของอนุกรม (ที่ไม่มีค่าสัมบูรณ์) กับผลคูณจะเป็นแบบเดียวกัน คือลู่เข้าทั้งคู่หรือลู่ออกทั้งคู่ และหาก  ลู่เข้าก็จะบอกได้เช่นเดียวกัน

 รูปผลคูณของฟังก์ชัน 
ผลลัพธ์ที่สำคัญอย่างหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาผลคูณอนันต์ คือฟังก์ชันทั่ว (entire function) f(z) ทุกฟังก์ชัน (นั่นคือ ทุกฟังก์ชันที่เป็นโฮโลมอร์ฟิกในระนาบเชิงซ้อน) สามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณอนันต์ของฟังก์ชันทั่วที่แต่ละตัวมีรากอย่างมากที่สุดหนึ่งค่า โดยทั่วไปถ้า f มีรากอันดับ m ที่จุดกำเนิดและมีรากเชิงซ้อนอื่น ๆ ที่ u1, u2, u3, ... (แต่ละค่าไล่ซ้ำจำนวนครั้งเท่ากับอันดับของราก) แล้ว 



เมื่อ λn เป็นจำนวนเต็มไม่ลบที่สามารถเลือกเพื่อให้ผลคูณลู่เข้า และ φ(z) เป็นฟังก์ชั่นทั่วบางฟังก์ชัน (ซึ่งแปลว่าพจน์หน้าผลคูณจะไม่มีรากในระนาบเชิงซ้อน) การแยกตัวประกอบข้างต้นทำได้หลายแบบ เนื่องจากขึ้นอยู่กับการเลือกค่าสำหรับ λn อย่างไรก็ตามสำหรับฟังก์ชั่นส่วนใหญ่จะมีจำนวนเต็มไม่ลบต่ำสุด p ที่เมื่อ λn = p แล้วผลคูณลู่เข้า เราเรียกผลคูณนี้ว่า รูปผลคูณบัญญัติ (canonical product representation) p นี้เรียกว่า อันดับ (rank) ของผลคูณบัญญัตินั้น ในกรณีที่ p = 0 จะได้เป็น 



ซึ่งถือได้ว่าเป็นนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต โดยในกรณีพหุนาม ผลคูณมีพจน์จำกัด และ φ (z) เป็นค่าคงที่ 

นอกเหนือจากตัวอย่างเหล่านี้ รูปผลคูณของฟังก์ชันต่าง ๆ เช่น: 
ขั้วอย่างง่าย (simple pole)ฟังก์ชัน sincมาจากออยเลอร์ มีสูตรค่าพายของ Wallis เป็นกรณีพิเศษฟังก์ชันแกมมาส่วนกลับฟังก์ชันซิกมาของไวเออร์ชตราส หมายถึง แลตทิซที่ไม่มีจุดกำเนิดเครื่องหมาย q-Pochhammerใช้ใน q-analog theory มีฟังก์ชันออยเลอร์เป็นกรณีพิเศษฟังก์ชันทีตาของรามานุจันแสดงผลคูณสามชั้นของจาโคบี ใช้ในการเขียนฟังก์ชันทีตาของจาโคบีฟังก์ชันซีตาของรีมันน์pn หมายถึง ลำดับของจำนวนเฉพาะ เป็นกรณีพิเศษของผลคูณออยเลอร์
โดยลำดับสุดท้ายไม่ใช่รูปผลคูณแบบที่กล่าวถึงข้างต้นเนื่องจาก ζ ไม่ใช่ฟังก์ชันทั่ว โดยรูปผลคูณนี้ ζ (z) ลู่เข้าเฉพาะเมื่อในขอบเขต Re (z) > 1 ซึ่งเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ โดยเทคนิคการต่อเนื่องวิเคราะห์ (analytic continuation) ฟังก์ชันนี้สามารถขยายไปเป็นฟังก์ชันการวิเคราะห์ที่เป็นเอกลักษณ์ (ซึ่งยังเรียกว่า ζ (z)) บนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดยกเว้นที่จุด z = 1 ซึ่งมีขั้วอย่างง่าย

 ดูเพิ่ม 

 อนุกรมอนันต์ 
 เศษส่วนต่อเนื่อง 
 การดำเนินการทวิภาควนซ้ำ 

 อ้างอิง 

หมวดหมู่:การคูณ
หมวดหมู่:คณิตวิเคราะห์
หมวดหมู่:ลำดับและอนุกรม