ฟังก์ชันก่อกำเนิด

ในทางฟิสิกส์ ฟังก์ชันก่อกำเนิด (Generating function approach) คือการใช้อนุพันธ์ย่อยสร้างสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายถึงพลศาสตร์ของระบบ ตัวอย่างทั่วไป เช่น ฟังก์ชันแบ่งส่วน (Partition function) ของกลศาสตร์สถิติ หรือฮามิลโทเนียน (Hamiltonian) หรือฟังก์ชันที่ทำหน้าที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง 2 เซตของตัวแปรคาโนนิคัล (Canonical variable) สำหรับการแปลงแบบบัญญัติ (Canonical transformation)
สำหรับการแปลงแบบบัญญัติ เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของการแปลงฟังก์ชันระหว่าง  และ  ซึ่งทั้งสองเซตจะต้องเป็นไปตามหลักการฮามิลตัน (Hamilton's principle) โดยสามารถเขียนสมการลากรานจ์ได้ คือ  และ  ตามลำดับ โดยที่การแปลงเลอจองก์ (Legendre transform) จะต้องมีค่าคงตัว นั่นคือ :

ทั้งสองสมการจะได้ความสัมพันธ์ ดังนี้

โดยที่  จะเป็นฟังก์ชันก่อกำเนิด ขึ้นกับพิกัดและโมเมนตัมทั้งในระบบเก่า ( หรือ ) และระบบใหม่ ระบบเก่า ( หรือ ) และ  จะเป็นตัวปรับขนาดของการแปลง (Scale transformation) สำหรับการแปลงแบบบัญญัติจะให้ 

สำหรับการแปลงแบบบัญญัติ จะมีฟังก์ชันก่อกำเนิดทั้งหมด 4 รูปแบบ ดังนี้

 รูปแบบที่ 1 ของฟังก์ชันก่อกำเนิด 
 ขึ้นกับพิกัดของทั้งระบบเก่าและใหม่

สามารถเขียนสมการได้ ดังนี้

เนื่องจากพิกัดระบบเก่าและใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ

 รูปแบบที่ 2 ของฟังก์ชันก่อกำเนิด 
 ขึ้นกับพิกัดของระบบเก่ากับโมเมนตัมของระบบใหม่

สามารถเขียนสมการได้ ดังนี้

เนื่องจากพิกัดของระบบเก่าและโมเมนตัมของระบบใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ

 รูปแบบที่ 3 ของฟังก์ชันก่อกำเนิด 
 ขึ้นกับโมเมนตัมของระบบเก่ากับพิกัดของระบบใหม่

สามารถเขียนสมการได้ ดังนี้

เนื่องจากโมเมนตัมของระบบเก่าและพิกัดของระบบใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ

 รูปแบบที่ 4 ของฟังก์ชันก่อกำเนิด 
 ขึ้นกับโมเมนตัมของทั้งระบบเก่าและใหม่

สามารถเขียนสมการได้ ดังนี้

เนื่องจากโมเมนตัมของระบบเก่าและใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ

หมวดหมู่:การยกกำลัง
หมวดหมู่:คณิตศาสตร์เชิงการจัดในการแจกแจง
หมวดหมู่:ลำดับและอนุกรม