การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ () เป็นรูปแบบหนึ่งของการเคลื่อนที่ที่เกิดขึ้นจากวัตถุหรืออนุภาค (โพรเจกไทล์) ซึ่งอยู่ในสนามโน้มถ่วง เช่น จากพื้นผิวโลก วัตถุเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางโค้ง ภายใต้การกระทำของแรงโน้มถ่วงเท่านั้น การคำนวณส่วนใหญ่มักจะละเว้นผลกระทบของแรงต้านอากาศเป็น

ความเร็วเริ่มต้น
เมื่อปล่อยให้โปรเจกไทล์เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเริ่มต้น  ซึ่งสามารถแยกเป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์ความเร็วได้ดังต่อไปนี้

องค์ประกอบ  และ  สามารถหาได้เมื่อทราบมุมเริ่มต้น  ดังนี้
 และ

ปริมาณจลนพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์
ในปี ค.ศ. 1638 กาลิเลโอ กล่าวในหนังสือ Two New Sciences ว่าสำหรับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์นั้น การเคลื่อนที่ทั้งในแนวดิ่งและแนวราบจะเป็นอิสระต่อกันGalileo Galilei, ''Two New Sciences ', Leiden, 1638, p.249
ความเร่ง
สำหรับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์จะเกิดความเร่งเฉพาะการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งเท่านั้น ส่วนแนวราบความเร็วจะคงตัวมีค่าเท่ากับ  การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งของวัตถุจะเป็นการเคลื่อนที่แบบตกอิสระ โดยมีความเร่งคงตัว The  คือ ความเร่งโน้มถ่วง. ( ที่ผิวโลก). องค์ประกอบของความเร่งคือ

 และ

ความเร็ว
องค์ประกอบของความเร็วในแนวราบของวัตถุจะไม่เปลี่ยนแปลงตลอดการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของความเร็วในแนวตั้งจะเพิ่มขึ้นแบบเชิงเส้นเพราะมีความเร่งเนื่องจากความโน้มถ่วงที่มีค่าคงที่ องค์ประกอบของความเร็วทั้งในทิศทาง x และ y สามารถรวมกันเพื่อแก้ปัญหาองค์ประกอบของความเร็ว ณ เวลา  ได้ดังนี้
 และ

ขนาดของความเร็ว (ภายใต้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)

การกระจัด
ณ เวลา  ใด ๆ การกระจัดของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ในแนวราบและแนวดิ่งคือ
 และ

ขนาดของการกระจัดคือ

พิจารณาสมการ
 และ

ถ้า  ถูกกำจัดออกระหว่างทั้งสองสมการ จะได้

เมื่อ   และ  เป็นค่าคงที่ สมการข้างต้นจะอยู่ในรูป

ซึ่ง  และ  เป็นค่าคงที่ สมการนี้เป็นสมการพาราโบลา ดังนั้นเส้นทางการเคลื่อนที่ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์จึงเป็นรูปพาราโบลา ถ้าทราบตำแหน่ง (x,y) ของโพรเจกไทล์ และมุมยิง ( หรือ ) ความเร็วเริ่มตั้น   สามารถหาได้จากการแก้สมการพาราโบลาข้างต้น ได้เป็น 

เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่
เวลาทั้งหมดที่วัตถุลอยอยู่ในอากาศหาได้จากสมการ

หลังจากที่วัตถุถูกยิงออกไปและตกกลับลงมาบนพื้นอีกครั้ง (แกน x) ดังนั้น 

ในที่นี้จะไม่สนใจแรงต้านของอากาศที่กระทำต่อวัตถุ

ถ้าจุดเริ่มต้นอยู่ที่ตำแหน่ง  เมื่อเทียบกับจุดตก เวลาที่วัตถุลอยอยู่ในอากาศ คือ 

สมการข้างต้นสามารถลดรูปเป็น

ถ้า  = 0 และ  = 0

ระยะสูงสุดของการเคลื่อนที่
จุดที่วัตถุเคลื่อนที่ขึ้นไปได้เป็นระยะสูงที่สุดก่อนที่จะตกกลับลงมา เรียกว่า จุดสูงสุดของการเคลื่อนที่ของวัตถุ ณ จุดนี้ องค์ประกอบของความเร็วในแนวดิ่ง  นั้นคือ

เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ไปถึงจุดสูงสุด

จากการกระจัดที่สูงที่สุดของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

ความสัมพันธ์ระหว่างระยะไกลสุดกับระยะสูงสุด
ความสัมพันธืระหว่างระยะไกลสุดบนแนวราบ  กับระยะสูงสุด  ที่  เป็น 

พิสูจน์

 × 

พิสัยของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

ในการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มวลของวัตถุจะไม่ส่งผลต่อระยะไกลสุดตามแนวราบและระยะสูงสุดของการเคลื่อนที่ เมื่อขว้างวัตถุออกไปด้วยความเร็วและทิศทางเดียวกัน ระยะไกลสุดตามแนวราบของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เรียกว่า "พิสัย"  คือ ระยะทางตามแนวราบจากจุดที่ขว้างวัตถุออกไปจนถึงจุดที่วัตถุตกกลับลงมาที่ตำแหน่งความสูงเริ่มต้น 

เวลาเมื่อตกถึงพื้น

จากการเคลื่อนที่ในแนวราบ ระยะทางของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เป็น

ดังนั้น

 จะมีค่าสูงสุดเมื่อ

ซึ่งสอดคล้องกับ

หรือ


ระยะทางในแนวราบ  ที่เคลื่อนที่ได้


เมื่อพื้นเรียบ (ความสูงเริ่มต้น ()) ระยะทางที่เคลื่อนที่ได้


ดังนั้นวัตถุจะเคลื่อนที่ได้ระยะทางไกลที่สุด เมื่อ  มีค่าเท่ากับ 45 องศา


การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทงานและพลังงาน
ตามทฤษฎีงานและพลังงาน  องค์ประกอบของความเร็วในแนวดิ่งคือ

สมการเหล่านี้จะไม่พิจารณาแรงต้านของอากาศ และถือว่าพื้นเป็นพื้นราบเรียบ

อ้างอิง

หมวดหมู่:กลศาสตร์