ออกโทเนียน

ในคณิตศาสตร์ ออกโทเนียน () ​คือพีชคณิตบนฟีลด์การหารมาตรฐานที่อยู่เหนือจำนวนจริง มักจะใช้ตัวพิมพ์ใหญ่ O ตัวพิมพ์ใหญ่หนา O นอกจากออกโทเนียนแล้วยังมีพีชคณิตบนฟีลด์การหารมาตรฐานอีกสามตัวเหนือจำนวนจริง จำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน และควอเทอร์เนียน ออกโทเนียนมีแปดมิติ เป็นสองเท่าของจำนวนมิติในควอเทอร์เนียน ออกโทเนียนไม่มีคุณสมบัติการสลับที่และคุณสมบัติการเปลี่ยนหมู่การคูณ แต่มีคุณสมบัติที่อ่อนแอกว่าคุณสมบัติการเปลี่ยนหมู่ นั่นคือคุณสมบัติการมีทางเลือก

ออกโทเนียนไม่เป็นที่รู้จักกันมากเหมือนกับควอเทอร์เนียนหรือจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งถูกศึกษาและใช้งานกันมากกว่า อย่างไรก็ตาม ออกโทเนียนยังมีคุณสมบัติที่น่าสนใจ และเกี่ยวข้องกับโครงสร้างผิดปกติในคณิตศาสตร์ นอกจากนี้ออกโทเนียนยังมีการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีสตริง ทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษ และตรรกะควอนตัม

ออกโทเนียนถูกค้นพบในปี ค.ศ. 1843 โดยจอห์น ที. เกรฟส์ โดยได้รับแรงบันดาลใจมาจากการค้นพบควอเทอร์เนียนของเพื่อนของเขา เซอร์วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน แต่การตีพิมพ์ผลสรุปของเขานั้นช้ากว่าบทความเกี่ยวกับออกโทเนียนของอาร์เธอร์ เคย์ลีย์ ไปเล็กน้อยเท่านั้น โดยเคย์ลีย์ค้นพบออกโทเนียนเป็นอิสระจากเกรฟส์Appendix reprinted in The Collected Mathematical Papers, Johnson Reprint Co., New York, 1963, p. 127 และบางครั้งก็เรียกออกโทเนียนว่า จำนวนเคย์ลีย์ หรือ พีชคณิตเคย์ลีย์ นอกจากนี้ แฮมิลตันยังได้เขียนประวัติศาสตร์ช่วงต้นของการค้นพบของเกรฟส์อีกด้วยHamilton (1848), "Note, by Sir W. R. Hamilton, respecting the researches of John T. Graves, Esq.", Transactions of the Royal Irish Academy, 21: 338–341

 นิยาม 
ออกโทเนียนอาจมองให้เป็นหน่วยจำนวนจริงแปดหน่วย ออกโทเนียนทุกตัว คือ ผลรวมเชิงเส้นของหน่วยออกโทเนียน นั่นคือ

โดยที่  คือ สเกลาร์หรือส่วนจริง อาจใช้จำนวนจริง 1 แทนได้ นั่นคือ ทุกออกโทเนียน x สามารถเขียนได้อยู่ในรูป

การบวกลบออกโทเนียนสามารถทำได้โดยการบวกลบพจน์ที่สอดคล้องกันเหมือนควอเทอร์เนียน ในขณะที่การคูณยากกว่านั้น ผลคูณระหว่างออกโทเนียนสองจำนวนสามารถหาได้โดยการรวมผลคูณของทุก ๆ พจน์ ผลคูณของพจน์แต่ละคู่สามารถหาได้จากสูตรคูณของหน่วยออกโทเนียน เช่นตารางนี้เป็นต้น (ตารางนี้เขียนโดยอาร์เธอร์ เคย์ลีย์ ค.ศ. 1845 และจอห์น ที. เกรฟส์ ค.ศ. 1843)G Gentili, C Stoppato, DC Struppa and F Vlacci (2009), "Recent developments for regular functions of a hypercomplex variable", in Irene Sabadini; M Shapiro; F Sommen, Hypercomplex analysis (Conference on quaternionic and Clifford analysis; proceedings ed.), Birkhäuser, p. 168, ISBN 978-3-7643-9892-7

ตารางนี้สามารถสรุปอย่างคร่าว ๆ ได้ดังนี้

 สังยุค 
สังยุคของออกโทเนียน

คือ

ให้สังเกตว่าผลคูณของออกโทเนียนใด ๆ กับสังยุคของจำนวนนั้น จะได้จำนวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ

 อ้างอิง 
หมวดหมู่:พีชคณิต