ลิมิตของลำดับ

เมื่อจำนวนเต็มบวก  มีค่ามากขึ้น ค่า  จะเข้าใกล้  กล่าวได้ว่า "ลิมิตของลำดับ  เท่ากับ "
ในวิชาคณิตศาสตร์ ลิมิตของลำดับ () เป็นค่าซึ่งพจน์ของลำดับ "โน้มเอียง" เข้าหา หากลำดับใดมีลิมิต ลำดับนั้นเรียก ลู่เข้า () หากลำดับไม่ลู่เข้าจะเรียก ลู่ออก () มีคำกล่าวว่าลิมิตของลำดับเป็นความคิดมูลฐานซึ่งเป็นที่ลงเอยสุดท้ายของการวิเคราะห์ทั้งหมด

สามารถนิยามลิมิตในปริภูมิเมตริกหรือทอพอโลยีใดก็ได้ แต่มักจะเจอครั้งแรกในระบบจำนวนจริง

จำนวนจริง
320px|thumb|การลงจุดของลำดับลู่เข้า  แสดงในสีน้ำเงิน จะเห็นได้ว่าลำดับลู่เข้าลิมิตเมื่อ  เพิ่ม

ในจำนวนจริง จำนวน  เป็นลิมิตของลำดับ  ถ้าจำนวนในลำดับมีค่าเข้าใกล้  มากขึ้น ๆ และไม่เข้าใกล้จำนวนอื่น

ตัวอย่าง
ถ้า  สำหรับค่าคงตัว c แล้ว Proof: choose . For every , 
ถ้า  แล้ว Proof: choose  (the floor function). For every , .
ถ้า  เมื่อ  เป็นคู่ และ  เมื่อ  เป็นคี่ แล้ว  (ข้อเท็จจริงว่า  ต่อเมื่อ  เป็นคู่นั้นไม่เกี่ยวข้องกัน)
สำหรับจำนวนจริงใด ๆ อาจสามารถสร้างลำดับที่ลู่เข้าจำนวนนั้นได้โดยการใช้การประมาณทศนิยม ตัวอย่างเช่น ลำดับ  ลู่เข้า  หมายเหตุว่า ทศนิยม  เป็นลิมิตของลำดับก่อนหน้า นิยามโดย 
การหาลิมิตของลำดับอาจไม่ชัดเจนเสมอไป สองตัวอย่างได้แก่  (ซึ่งมีลิมิตเป็นจำนวน e) และ มัชฌิมเลขคณิต–เรขาคณิต (arithmetic–geometric mean) ซึ่ง ทฤษฎีบทบีบ (squeeze theorem) มักมีประโยชน์ในการหาลิมิตของกรณีเหล่านี้

 ข้อพิสูจน์ 

 อ้างอิง 
 Courant, Richard (1961). "Differential and Integral Calculus Volume I", Blackie & Son, Ltd., Glasgow.
 Frank Morley and James Harkness A treatise on the theory of functions  (New York: Macmillan, 1893)

หมวดหมู่:ลิมิต
หมวดหมู่:ลำดับและอนุกรม