อนิยาม

สำหรับวิชาคณิตศาสตร์ ตรรกศาสตร์ และระบบรูปนัย อนิยาม คือแนวคิดที่ไม่ได้นิยาม ที่สำคัญอนิยามไม่ได้นิยามโดยแนวคิดที่นิยามไว้ก่อนหน้า แต่เกิดจากแรงบันดาลใจโดยวิสาสะ โดยมากเกิดจากสหัชญาณ และประสบการณ์ในชีวิตประจำวัน บทบาทของอนิยามในทฤษฎีบทสัจพจน์ หรือระบบรูปนัยอื่น ๆ เหมือนกันกับบทบาทของอนิยาม

อนิยามในวิชาทฤษฎีสัจพจน์ บางครั้งจะกล่าวว่า "ได้นิยาม" โดยอนิยามอย่างน้อยหนึ่งอนิยาม แต่อาจทำให้เข้าใจผิดได้ ระบบรูปนัยไม่สามารถกำจัดอนิยามทั้งหลายได้เพราะการนิยามถอยหลังอนันต์ครั้ง

อัลเฟรด ตาร์สกี อธิบายบทบาทของอนิยามไว้ดังนี้:
เมื่อเราตั้งกฎอย่างหนึ่ง เราแยกแยะชุดของนิยามมาชุดเล็ก ๆ นิยามชุดนี้เราสามารถเข้าใจได้ทันที และเราเรียกการแสดงนี้เราเรียกว่า ศัพท์พื้นฐาน หรือ อนิยาม และเรานำศัพท์เหล่านี้มาใช้งานโดยไม่ทราบความหมาย ในขณะเดียวกันเรานำหลักการนี้มาใช้: จะไม่ใช้ศัพท์ใด ๆ ในกฎนี้มาพิจารณา เว้นแต่ความหมายได้กำหนดโดยอนิยามหรือศัพท์ใด ๆ ที่อธิบายความหมายไว้ก่อนหน้า ประโยคที่ตัดสินความหมายของศัพท์ด้วยวิธีนี้เรียก นิยาม...

ความคิดรวบยอดพื้นฐานของ เซต ในทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์เป็นตัวอย่างของอนิยาม มารี ไทล์ เขียน:
'นิยาม' ของ 'เซต' เป็นคำนิยามน้อยกว่าการอธิบายบางสิ่งซึ่งได้สถานะของศัพท์พื้นฐานอันไม่ได้นิยาม
มีหลักฐานแสดงว่าเธอยกคำพูดของเฟลิก เฮาส์ดอร์ฟฟ์ว่า : "เซตสร้างขึ้นโดยจัดวัตถุเดี่ยว ๆ รวมกันเป็นเซตทั้งเซต เซตเป็นความคิดแบบพหูพจน์เป็นหน่วยเดียว"

เมื่อระบบสัจพจน์ระบบหนึ่งเริ่มกล่าวถึงสัจพจน์ อนิยามอาจไม่ได้กล่าวถึงอย่างแจ่มแจ้ง ซูซาน ฮาก (1978) เขียนว่า "เซตของอนิยามบางครั้งกล่าวว่าให้นิยามโดยอ้อมของอนิยาม"

ตัวอย่าง พบใน
 ทฤษฎีเซตสามัญ เซตว่างเป็นอนิยาม (การกล่าวว่าเซตว่างมีอยู่เป็นสัจพจน์โดยอ้อม)
 สัจพจน์ของเปอาโน ฟังก์ชันตัวตามหลังและเลขศูนย์เป็นอนิยาม
 ระบบสัจพจน์ อนิยามจะขึ้นอยู่กับเซตของสัจพจน์ที่เลือกมาสำหรับระบบ เรื่องนี้อธิบายโดยอเลสซานโดร ปาโดอา ที่การประชุมนานาชาติของนักคณิตศาสตร์ ในปารัสในปี 1900
 เรขาคณิตแบบยุคลิด ภายใต้ระบบสัจพจน์ของดาฟิด ฮิลแบร์ท อนิยามได้แก่ จุด, เส้น, ระนาบ, ความเท่ากันทุกประการ, การอยู่ระหว่าง และ การเชื่อมต่อ
 เรขาคณิตแบบยุคลิด ภายใต้ระบบสัจพจน์ของจูเซ็ปเป เปอาโน อนิยามได้แก่ จุด, ส่วนของเส้นตรง และ การเคลื่อนไหว
 ปรัชญาคณิตศาสตร์ เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์พิจารณา "สิ่งที่ไม่สามารถนิยามได้ในคณิตศาสตร์" ว่าสร้างกรณีความเป็นตรรกศาสตร์ ในหนังสือ The Principles of Mathematics (1903) ที่เขาเขียน

 ดูเพิ่ม 
ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์
พื้นฐานเรขาคณิต
พื้นฐานคณิตศาสตร์
ตรรกคณิตศาสตร์
ทฤษฎีวัตถุ

อ้างอิง
 Susan Haak (1978) Philosophy of Logics, page 245, Cambridge University Press
 Alfred Tarski (1946) Introduction to Logic and the Methodology of the Deductive Sciences, page 118, Oxford University Press.
 Mary Tiles (2004) The Philosophy of Set Theory, page 99

หมวดหมู่:ตรรกศาสตร์
หมวดหมู่:ทฤษฎีเซต
หมวดหมู่:ปรัชญาตรรกศาสตร์