เกรเดียนต์

ในแคลคูลัสเวกเตอร์ เกรเดียนต์ () คือการดำเนินการกับฟังก์ชันหลายตัวแปร  ซึ่งหาอนุพันธ์ได้ซึ่งมีค่าเป็นสเกลาร์ ผลลัพธ์ที่ได้คือสนามเวกเตอร์  ที่ค่าที่แต่ละจุดจะชี้ไปในทิศทางที่  มีค่ามากขึ้นที่สุด* 





  และขนาดของเวกเตอร์เท่ากับอัตราการเพิ่มขึ้นในทิศทางนั้น ๆ เรียกสนามเวกเตอร์นี้ว่า เกรเดียนต์ของ สัญลักษณ์  เรียกว่าสัญลักษณ์นาบลา (nabla) หรือ เดล (del)

เนื่องจากเกรเดียนต์ระบุทิศทางที่ฟังก์ชันมีค่าเพิ่มขึ้นมากที่สุด และทิศทางตรงกันข้ามของเกรเดียนต์ฟังก์ชันจะมีค่าน้อยที่สุด เกรเดียนต์จึงมีความสำคัญในวิชาการหาค่าเหมาะที่สุด เพื่อหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน  ด้วยขั้นตอนวิธีการเคลื่อนลงตามความชัน (gradient descent)

 แนวคิดจูงใจของเกรเดียนต์ 
พิจารณาห้องที่อุณหภูมิภายในกำหนดด้วยฟังก์ชันค่าสเกลาร์  นั่นคือที่จุด  อุณหภูมิที่ตำแหน่งนั้นคือ  และเป็นอิสระจากเวลา 

เกรเดียนต์ของ  ที่จุด  จะบอกทิศทางที่อุณหภูมิเพิ่มขึ้นเร็วที่สุดเมื่อเดินทางออกจากจุด  และขนาดของเกรเดียนต์จะระบุอัตราเร็วที่อุณหภูมิเพิ่มขึ้นในทิศทางนั้น

พิจารณาพื้นผิวที่ความสูงจากระดับน้ำทะเลที่จุด  กำหนดโดยฟังก์ชัน  เกรเดียนต์ของ  ที่จุด  จะเป็นเวกเตอร์ที่ชี้บอกทิศทางที่ชันมากที่สุดจากจุดนั้น และความชันจะเท่ากับขนาดของเวกเตอร์เกรเดียนต์ 

นอกจากนี้ เกรเดียนต์ยังสามารถใช้วัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันค่าสเกลาร์ในทิศทางอื่นนอกเหนือไปจากทิศทางของเกรเดียนต์เอง โดยการหาผลคูณจุด สมมติว่าความชันสูงสุดที่จุด ๆ หนึ่งบนเนินเขาเท่ากับ 40% ถนนขึ้นเนินที่ทำมุมอื่น ๆ ย่อมจะมีความชันน้อยกว่า เราสามารถหาความชันได้โดยหาผลคูณจุดระหว่างเกรเดียนต์ที่จุดที่สนใจ และเวกเตอร์หน่วยที่ชี้ไปตามทิศทางของถนน 

โดยทั่วไปกว่านั้น ถ้าฟังก์ชัน  ที่ระบุความสูงของเนิน เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ แล้วเกรเดียนต์ของ  คูณสเกลาร์กับเวกเตอร์หน่วยจะเท่ากับความชันของเนินในทิศทางนั้น หรือก็คืออนุพันธ์ระบุทิศทางของ  ในทิศทางของเวกเตอร์หน่วยนั้น

 สัญลักษณ์ที่ใช้ 
เกรเดียนต์ของฟังก์ชัน  ที่จุด  นิยมเขียนแทนด้วย  แต่อาจจะมีสัญลักษณ์อื่น ๆ เช่น

  : เพื่อเจาะจงความเป็นเวกเตอร์ของเกรเดียนต์

  and  : โดยใช้สัญกรณ์ของไอน์ชไตน์ (Einstein notation) โดยดรรชนีที่ซ้ำให้ถือว่าถูกบวกอยู่ ()

 นิยาม 
เกรเดียนต์ ของฟังก์ชันสเกลาร์  เขียนแทนด้วย  หรือ  นิยามให้เป็นสนามเวกเตอร์ซึ่งมีเพียงแบบเดียวที่ผลคูณจุดกับเวกเตอร์  ที่จุด  จะเท่ากับอนุพันธ์ระบุทิศทางของ  ไปตาม  นั่นคือ 

เมื่อพจน์ทางขวามือคืออนุพันธ์ระบุทิศทางของฟังก์ชัน  ในทางรูปนัยเราจะกล่าวว่าการหาอนุพันธ์เป็น ดูอัล ของเกรเดียนต์ มีวิธีการหาค่าของเกรเดียนต์หลายวิธีซึ่งเสนอไว้ด้านล่าง

สัญลักษณ์  เรียกว่าตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์สำหรับเวกเตอร์

ขนาดและทิศทางของเกรเดียนต์ไม่ขึ้นกับระบบพิกัดที่ใช้

 ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน 
ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติพร้อมกับเมตริกแบบยูคลิด เกรเดียนต์ถ้ามีค่าจะเป็นไปตามสมการ

เมื่อ , ,  เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยมาตรฐานในทิศทางของระบบพิกัด ,  และ  ตามลำดับ ตัวอย่างเช่น เกรเดียนต์ของฟังก์ชัน  คือ  หรือเขียนแทนด้วย

ในบางการใช้งานนิยมเขียนเกรเดียนต์เป็นเวกเตอร์แถวหรือเวกเตอร์หลัก

 อ้างอิง 

 บรรณานุกรม 















หมวดหมู่:แคลคูลัสเวกเตอร์