เซตกำลัง

ในวิชาคณิตศาสตร์ เซตกำลัง หรือ เพาเวอร์เซต () ของเซต S ใด ๆ เขียนแสดงด้วยสัญลักษณ์ , P(S), ℙ(S), ℘(S) หรือ 2S เป็นเซตของเซตย่อยทั้งหมดของ S รวมทั้งเซตว่าง และเซต S เอง ตามหลักทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ (เช่นสัจพจน์ ZFC) สัจพจน์แห่งเซตกำลังรองรับการมีอยู่ของเซตกำลังสำหรับเซตใด ๆDevlin (1979) หน้า 50

เซตย่อยใด ๆ ของ  เรียกว่า ครอบครัวของเซต บน S

ตัวอย่าง
ถ้า  เป็นเซต  แล้วเซตย่อยของ  ได้แก่:

  (อาจเขียนแทนด้วย  เรียกเซตว่าง)







ดังนั้นเซตกำลังของ  คือ 

สมบัติ

ถ้า  เป็นเซตจำกัดที่มีสมาชิก  ตัว แล้วจำนวนของเซตย่อยของ  คือ  ทำให้เกิดสัญกรณ์  สามารถพิสูจน์ได้ดังนี้
 เขียนเซตย่อยใด ๆ ของ  ในรูปแบบ  ซึ่ง  มีค่า  หรือ  ถ้า  สมาชิกตัวที่  ของ  อยู่ในเซตย่อย มิฉะนั้นสมาชิกตัวที่  ไม่อยู่ในเซตย่อย ดังนั้นจำนวนของเซตย่อยที่แตกต่างกันทั้งหมดที่สามารถสร้างโดยวิธีนี้คือ 

การอ้างเหตุผลแนวทแยงของคันทอร์ แสดงว่าเซตกำลังของเซต (ทั้งเซตจำกัดและเซตอนันต์) มี ภาวะเชิงการนับ มากกว่าเซตนั้น ๆ เสมอ (กล่าวคือเซตกำลังของเซตใด ๆ ต้องใหญ่กว่าเซตนั้น ๆ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีบทของคันทอร์แสดงว่าเซตกำลังของเซตอนันต์นับได้เป็นเซตอนันต์นับไม่ได้ ตัวอย่าง เช่น เซตกำลังของเซตของจำนวนธรรมชาติมีความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงกับเซตของจำนวนจริง (ดูหน้า cardinality of the continuum)

เซตกำลังของเซต S และการดำเนินการหายูเนียน อินเตอร์เซกชัน และ ส่วนเติมเต็ม สามารถมองเป็นตัวอย่างต้นแบบของพีชคณิตแบบบูล ที่จริงแล้วยังสามารถแสดงว่าพีชคณิตแบบบูลขนาดจำกัดใด ๆ เป็นสมสัณฐานกับพีชคณิตแบบบูลของเซตกำลังของเซตจำกัดบางเซต สำหรับพีชคณิตแบบบูลขนาดอนันต์ ข้อความนี้ไม่เป็นจริง แต่พีชคณิตแบบบูลขนาดอนันต์ทุกโครงสร้างสามารถแทนด้วยโครงสร้างพีชคณิตย่อย ของเซตกำลังของพีชคณิตแบบบูล (ดูหน้า Stone's representation theorem)

เซตกำลังของเซต S ก่อให้เกิด อาบีเลียนกรุป เมื่อพิจารณาด้วยการดำเนินการหาผลต่างสมมาตร (โดยมีเซตว่างเป็นสมาชิกเอกลักษณ์และแต่ละเซตเป็นตัวผกผันกับเซตนั้น ๆ) เซตกำลังของเซต S ยังก่อให้เกิดโมนอยด์สลับที่ เมื่อพิจารณาด้วยการดำเนินการหาอินเตอร์เซกชัน การพิสูจน์กฎการแจกแจงสามารถแสดงว่าเซตกำลังกับการดำเนินการทั้งสองนี้สร้างริงแบบบูล

แสดงเซตย่อยในรูปฟังก์ชัน 
ในวิชาทฤษฎีเซต XY เป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก Y ไป X  เพราะว่า "2" อาจนิยามเป็น {0,1} (ดูหน้า จำนวนธรรมชาติ) ดังนั้น 2S (นั่นคือ {0,1}S) เป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก S ไปยัง {0,1} เมื่อจำแนกฟังก์ชันตัวใดตัวหนึ่งใน 2S กับบุพภาพที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันนั้น จะเห็นว่ามีความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่าง 2S กับ  โดยแต่ละฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันบ่งชี้ของเซตย่อยที่เป็นสมาชิกของ กับสิ่งที่ฟังก์ชันบ่งชี้บ่งชี้  ฉะนั้น 2S และ  ถือว่าเท่ากันทุกประการเชิงทฤษฎีเซตได้ (ดังนั้นจึงมีมูลเหตุสำหรับการเขียนแทนเซตกำลังด้วย 2S สองประการ ได้แก่ การเขียนสับเซตแทนด้วยฟังก์ชันเป็นกรณีพิเศษของสัญกรณ์ XY และสมบัติของเซตกำลังข้างต้นว่า |2S| = 2|S|)

สัญกรณ์สามารถประยุกต์ใช้กับตัวอย่างข้างต้นที่  เพื่อให้เห็นสมสัณฐานกับจำนวนฐานสองตั้งแต่ 0 จนถึง 2n−1 โดย n เป็นจำนวนสมาชิกของเซต 
1 ในตำแหน่งที่สอดคล้องกันกับตำแหน่งสมาชิกที่ปรากฏใน S บ่งชี้ถึงการมีสมาชิกตัวนั้น
ๆ ดังนั้น {x, y} = 110

สำหรับเซตกำลังทั้งหมดของ S จะได้

 { } = 000 (ฐานสอง) = 0 (ฐานสิบ)
 {x} = 100 = 4
 {y} = 010 = 2
 {z} = 001 = 1
 {x, y} = 110 = 6
 {x, z} = 101 = 5
 {y, z} = 011 = 3
 {x, y, z} = 111 = 7

ความสัมพันธ์กับทฤษฎีบททวินาม
เซตกำลังมีความสัมพันธ์กับทฤษฎีบททวินาม จำนวนของเซตที่มีสมาชิก  ตัวในเซตกำลังของเซตที่มีสมาชิก  ตัวจะเท่ากับการจัดหมู่  เรียกอีกชื่อว่าสัมประสิทธิ์ทวินาม

ตัวอย่าง เซตกำลังของเซตขนาด 3 มี:

เซตขนาด 0  เซต
เซตขนาด 1  เซต
เซตขนาด 2  เซต
เซตขนาด 3  เซต

อ้างอิง

บรรณานุกรม






ซเซต
หมวดหมู่:มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์