โมเมนต์ความเฉื่อย

โมเมนต์ความเฉื่อย () เป็นคุณสมบัติของวัตถุที่จะกำหนดค่าความต้านทานต่อการเปลี่ยนแปลงของความเร็วเชิงมุมรอบแกนของการหมุนของมัน มันเป็นวิธีการหมุนของวัตถุอันเป็นผลมาจากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน ซึ่งระบุว่า "วัตถุทุกชนิดจะรักษาสภาพหยุดนิ่งหรือสภาพเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอเป็นเส้นตรงนอกจากจะมีแรงลัพธ์ที่มีค่าไม่เป็นศูนย์มากระทำ" I. Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica ในบริบทนี้ความเฉื่อยหมายถึงความต้านทานต่อการเปลี่ยนแปลง Definition of Inertia, thefreedictionary.com

โมเมนต์ความเฉื่อยถูกนำไปใช้กับการขยายตัวของวัตถุซึ่งมวลเป็นข้อจำกัดในการหมุนรอบแกน มันเกิดขึ้นจากการรวมกันของมวลและเรขาคณิตในการศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุอย่างต่อเนื่อง ส่วนประกอบของอนุภาค หรือที่รู้จักกันในชื่อว่า พลศาสตร์ของวัตถุแข็งเกร็ง (Dynamics of rigid body) มันเป็นโมเมนต์ความเฉื่อยของขั้วเสาที่ดำเนินการโดยนักไต่ลวดสลิงที่ต่อต้านการหมุนและช่วยให้นักไต่ลวดรักษาความสมดุลไว้ได้

บทนำ


เมื่อวัตถุกำลังหมุนรอบแกน, แรงบิดจะต้องถูกนำมาใช้เพื่อเปลี่ยนโมเมนตัมเชิงมุมของมัน ปริมาณของแรงบิดที่จำเป็นสำหรับการเปลี่ยนแปลงใด ๆ ก็ตามในโมเมนตัมเชิงมุมจะเป็นสัดส่วนกับขนาดของการเปลี่ยนแปลงนั้น ๆ ค่าคงที่ของความได้สัดส่วนเป็นคุณสมบัติของวัตถุที่รวมมวลและรูปร่างของมันเข้าไว้ด้วยกัน, ที่รู้จักกันว่าเป็นโมเมนต์ความเฉื่อย ในกลศาสตร์ดั้งเดิม

นิยาม
โมเมนต์ความเฉื่อย  สามารถเขียนได้ในรูปของอัตราส่วนระหว่างผลรวมของโมเมนตัมเชิงมุมระบบกับความเร็วเชิงมุมรอบแกนหมุนหลักของระบบได้ ดังนี้

ถ้าโมเมนตัมเชิงมุมของระบบมีค่าคงตัว แล้วโมเมนต์ความเฉื่อยจะมีค่าน้อยลง ในขณะที่ความเร็วเชิงมุมจะมีค่าเพิ่มขึ้น เมื่อรูปร่างของวัตถุไม่เปลี่ยนแปลง แล้วโมเมนต์ความเฉื่อยของระบบจะสามารถพิจารณาในเรื่องกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันได้ นั่นคือโมเมนต์ความเฉื่อยจะอยู่ในรูปของอัตราส่วนระหว่างทอร์กที่มากระทำต่อระบบกับความเร่งเชิงมุมรอบแกนหมุนหลัก คือ

สำหรับระบบเพนดูลัมอย่างง่าย สามารถนิยามโมเมนต์ความเฉื่อย  ได้ในรูปของผลคูณระหว่างมวลของวัตถุ  กับกำลังสองของระยะห่าง  จากจุดหมุนถึงวัตถุ

เพราะฉะนั้น โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบจึงขึ้นกับมวล และรูปร่างของวัตถุ รวมถึงระยะห่างจากจุดหมุนถึงมวลด้วย

ตัวอย่าง
เพนดูลัมอย่างง่าย
โมเมนต์ความเฉื่อยสามารถหาได้จากเพนดูลัมอย่างง่าย เพราะมันมีความต้านทานการหมุนเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลกอยู่ ในทางคณิตศาสตร์ โมเมนต์ความเฉื่อยของเพนดูลัมเป็นอัตราส่วนระหว่างทอร์กเนื่องจากแรงโน้มถ่วงกระทำรอบจุดหมุนกับความเร่งเชิงมุม สำหรับเพนดูลัมอย่างง่ายสามารถเขียนโมเมนต์ความเฉื่อย  ในรูปของผลคูณระหว่างมวลของวัตถุ  ต่อกำลังสองของระยะห่าง  จากจุดหมุนถึงวัตถุนั้น

โดยที่แรงโน้มถ่วงของโลกมากระทำต่อวัตถุของระบบเพนดูลัมอย่างง่าย แล้วทำให้เกิดทอร์ก  รอบแกนซึ่งตั้งฉากกับระนาบการหมุนของเพนดูลัม  เป็นปริมาณเวกเตอร์ คือ ระยะห่างจากวัตถุถึงแรงที่มากระทำ มีทิศตั้งฉากกับแรงนั้น และ  คือ แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุนั้น สำหรับ  จะเกี่ยวข้องกับความเร่งเชิงมุม  และวัตถุจะถูกจำกัดการเคลื่อนที่ให้มีลักษณะเป็นวงกลมเท่านั้น โดยที่ความเร่งในแนวการเคลื่อนที่ คือ 

เมื่อ  เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย มีทิศตั้งฉากกับระนาบการเคลื่อนที่ของเพนดูลัม สำหรับ  จะปรากฏในโมเมนตัมเชิงมุมของเพนดูลัมอย่างง่าย ซึ่งคำนวณมาจากความเร็ว  ของเพนดูลัมรอบแกนหมุน โดยที่  เป็นความเร็วเชิงมุมของวัตถุรอบจุดหมุน สามารถเขียนโมเมนตัมเชิงมุมได้เป็น

นอกจากนี้ยังสามารถหาพลังงานจลน์ของเพนดูลัมได้ ซึ่งขึ้นกับมวลและความเร็วของวัตถุ คือ

ตามปกติแล้ว โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบคือผลรวมค่า  ของทุก ๆ วัตถุในระบบนั้น คือ

 เทนเซอร์ของความเฉื่อย 
เมทริกซ์ของความเฉื่อยสามารถอธิบายได้โดยใช้เทนเซอร์ของความเฉื่อย ซึ่งจะประกอบด้วยโมเมนต์ความเฉื่อยในระบบพิกัด 3 แกน สามารถคำนวณผลลัพธ์ในเวลาเดียวกันได้ เมทริกซ์ของความเฉื่อยถูกสร้างจากเทนเซอร์ซึ่งมี 9 องค์ประกอบ เพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณเราจะเขียนในรูปของเมทริกซ์
เทนเซอร์ดีกรีสองหรือที่เราเรียกว่า เมทริกซ์สำหรับเทนเซอร์ของความเฉื่อยแล้วเขียนในรูปเมทริกซ์ได้เป็น


เป็นเรื่องที่เข้าใจได้ไม่ยากนัก เพราะวัตถุแข็งเกร็งในทางกลศาสตร์จะถูกกำหนดอย่างชัดเจนด้วยพิกัด x y z เช่น  I and I ในรูปขององค์ประกอบเทนเซอร์ของความเฉื่อย

แกนมุขสำคัญของความเฉื่อย
พิกัดภายในวัตถุที่ทำให้เทนเซอร์ความเฉื่อยเป็นเมทริกซ์ทแยง

สำหรับวัตถุแข็งเกร็งจะมีแกนหมุนอย่างน้อยสามแกนตั้งฉากกันและกัน เรียกว่า แกนหลักของความเฉื่อย ซึ่งจะเป็นแกนที่วัตถุหมุนได้ง่ายที่สุดโมเมนตัมเชิงมุมจะมีทิศเดียวกับความเร็วเชิงมุม แกนหลักนี้อาจทับกับแกน xyz หรือไม่ทับกันก็ได้ เมื่อวัตถุแข็งเกร็งหมุนรอบแกนหลักสำคัญของความเฉื่อยแกนใดแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุเกร็งจะเท่ากับโมเมนต์ของความเฉื่อยของวัตถุรอบแกนนั้นคูณกับความเร็วเชิงมุมของวัตถุ 

เราพิจารณาทิศทางของโมเมนตัมเชิงมุมและความเร็วเชิงมุม จะเห็นได้ว่า โดยทั่วไปโมเมนตัมเชิงมุมไม่จำเป็นต้องมีทิศทางในแนวเดียวกับความเร็วเชิงมุม โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุในกรณีทั่วไปไม่จำเป็นต้องมีทิศทางเดียวกับความเร็วเชิงมุม

วัตถุแข็งเกร็ง


วัตถุแข็งเกร็ง (Rigid body) คือกลุ่มของอนุภาคที่มีระยะห่างระหว่างอนุภาคคงตัว อย่างไรก็ตามระยะระหว่างอนุภาคจะมีค่าคงตัวก็ต่อเมื่ออุณหภูมิมีขนาดศูนย์เคลวิน ดังนั้นที่อุณหภูมิห้อง ระยะระหว่างอนุภาคมีการเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา เนื่องจากมีการสั่นของอนุภาคระยะที่ใช้จึงเป็นระยะเฉลี่ย หมายความว่าในการศึกษาการเคลื่อนที่ในระบบมหาภาค (macroscopic motion) จะไม่คำนึงถึงผลของระบบจุลภาค (microscopic motion) และในธรรมชาติวัตถุแข็งเกร็งจะมีความเสียรูป (deformation) เนื่องจากการเคลื่อนที่หรือการชนเกิดขึ้น ซึ่งในที่นี้ก็จะไม่คำนึงถึงเช่นเดียวกัน

จลนศาสตร์ของวัตถุแข็งเกร็ง

 ตำแหน่งเชิงเส้นและเชิงมุม 
ตำแหน่งของวัตถุแข็งเกร็ง คือ ตำแหน่งขององค์ประกอบของอนุภาคทั้งหมด เพื่อลดความซับซ้อนในการอธิบายของตำแหน่งดังกล่าว เราจะใช้คุณสมบัติที่วัตถุมีความแข็งเกร็ง ซึ่งทุก ๆ อนุภาคจะรักษาระยะห่างระหว่างอนุภาคอย่างเท่า ๆ กัน และถ้าหากวัตถุมีความแข็งเกร็ง อย่างน้อยจะอธิบายตำแหน่งของอนุภาค 3 อนุภาคที่ไม่เกิดการชน ซึ่งทำให้สามารถสร้างตำแหน่งของอนุภาคอื่น ๆ ทั้งหมด โดยที่ตำแหน่งของอนุภาคสามตัวที่ไม่ได้แปรเปลี่ยนตามเวลา และจะเรียบง่ายขึ้นถ้าใช้เทคนิคทางคณิตศาสตร์เข้ามาช่วย โดยมีธีการเทียบค่า ซึ่งตำแหน่งของวัตถุทั้งหมดอธิบายได้โดย 

ตำแหน่งเชิงเส้น หรือ ตำแหน่งของวัตถุแข็งเกร็ง คือตำแหน่งของของอนุภาคทั้งหมด กล่าวคือตำแหน่งหนึ่งของวัตถุแข็งเกร็ง เลือกเป็นจุดอ้างอิงของทั้งวัตถุ (โดยทั่วไปจะเลือกใช้จุดศูนย์กลางมวล หรือจุดกึ่งกลางมวล)
ตำแหน่งเชิงมุมของวัตถุ

ดังนั้น ตำแหน่งของวัตถุแข็งเกร็งจะมี 2 องค์ประกอบ คือ เชิงเส้น และเชิงมุม ตามลำดับ เช่นเดียวกันกับ จลนศาสตร์ และ พลังงานจลน์ ใช้ปริมาณอธิบายที่อธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็ง ที่มีทั้งเชิงเส้นและเชิงมุมเช่น ความเร็ว ความเร่ง โมเมนตัม การดล และพลังงานจลน์

ตำแหน่งเชิงเส้น สามารถที่จะแทนได้ด้วย เวกเตอร์ ซึ่งหางของเวกเตอร์ จะเริ่มต้นที่จุดอ้างอิงใด ๆ จากระบบพิกัด และ ปลายของเวกเตอร์จะชี้ไปยังจุดใด ๆ ที่เราสนใจบน วัตถุแข็งเกร็ง ซึ่งโดยปกติเริ่มจากจุดศูนย์กลางมวล หรือจุดกึ่งกลาง ซึ่งจุดอ้างอิงนี้หาได้โดย จุดกำเนิดของระบบพิกัดบนวัตถุแข็งเกร็ง

มีหลายทางในการคำนวณเพื่ออธิบาย แนวทางของ วัตถุแข็งเกร็ง ประกอบด้วย ชุดมุม 3 มุมของออยเลอร์ หรือ 4 มุม หรือ การใช้ เมททริกซ์ตรีโกณเมทริกซ์โดยตรง (อ้างอิงโดย เมทริกซ์การหมุน) กระบวนการทั้งหมดนี้ใช้แนวทางการหาค่าจาก ระบบพิกัด ซึ่งมีความสัมพันธ์กับวัตถุ หรือความสัมพันธ์ของระบบพิกัดจากการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งจากการสังเกต

โดยทั่วไป เมื่อวัตถุแข็งเกร็งเคลื่อนที่ ทั้งตำแหน่ง และแนวทางจะขึ้นกับเวลา ในสัมผัสจลนศาสตร์ ซึ่งการเปลี่ยนแปลงนี้อ้างอิงถึงการเลื่อนที่ และการหมุน (คือหมุนไปด้วยและเคลื่อนที่ไปด้วย) ของวัตถุ โดยเริ่มต้นจากสมมติฐานที่อ้างอิงจากตำแหน่ง (ไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับตำแหน่งจริงที่วัตถุเคลื่อนที่)

 ความเร็วเชิงเส้นและความเร็วเชิงมุม 
ความเร็ว หรือเรียกว่า ความเร็วเชิงเส้น และความเร็วเชิงมุม วัดได้โดยใช้กรอบอ้างอิง
ความเร็วเชิงเส้น ของวัตถุแข็งเกร็ง คือปริมาณเวกเตอร์ มีค่าเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงของเวลา เทียบกับตำแหน่งเชิงเส้นที่เปลี่ยนไป ดังนั้น ความเร็วจะอ้างอิงโดยถูกยึดกับตัววัตถุ ซึ่งมีเพียงการเลื่อนที่เท่านั้น (ไม่มีการหมุนเกิดขึ้น) ทุก ๆ จุดบท วัตถุแข็งเกร็ง เคลื่อนที่ด้วยความเร็ซที่เท่ากัน อย่างไรก็ตามเมื่อการเคลื่อนที่มีการหมุนด้วย ความเร็วเชิงเส้น และความเร็วเชิงมุมจะมีค่าไม่เท่ากัน แต่จะมีค่าเท่ากันถ้าการหมุนที่เกิดขึ้น ขนานไปกับแกนหมุน

ความเร็วชิงมุม คือ ปริมาณเวกเตอร์ที่อธิบายได้ด้วย อัตราเร็วเชิงมุม เมื่อเกิดการเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุแข็งเกร็งตามแนวแกนที่เกิดการหมุน (ซึ่งอธิบาย การที่แกนเกิดการหมุน ด้วยทฤษฎีบทการหมุนของออยเลอร์) และทุก ๆ จุดบนวัตถุแข็งเกร็ง จะมีความเร็วเชิงมุมเท่ากันในทุก ๆ เวลา ในขณะที่วัตถุแข็งเกร็งเกิดการหมุนเพียงอย่างเดียว ทุก ๆ จุดบนวัตถุแข็งเกร็งจะขึ้นอยู่กับ การหมุนของแกนเพียงอย่างเดียว ความสัมพันธ์ระหว่าง แนวทางกับความเร็วเชิงมุมไม่เกี่ยวข้องกันโดยตรงกับความสัมพันธ์ระหว่างตำแหน่งและความเร็วเชิงเส้น แนวทางของความเร็วเชิงมุม ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา เพราะว่าไม่มีความสัมพันธ์เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงระยะเชิงมุมกับความเร็วเชิงมุม

โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุรูปทรงต่าง ๆ
 คำอธิบาย  รูปทรงวัตถุ  โมเมนต์ความเฉื่อย แผ่นสี่เหลี่ยมผืนผ้าบางยาว h กว้าง w และมีมวล m(แกนหมุนอยู่ที่ขอบแผ่น) 170px แผ่นสี่เหลี่ยมผืนผ้าบางยาว h กว้าง w และมีมวล m(แกนหมุนอยู่ที่กึ่งกลางแผ่น) 170px   แท่งวัตถุยาว L และมีมวล m หมุนอยู่ตรงกลางซึ่งเป็นกรณีหนึ่งของแผ่นสี่เหลี่ยมผืนผ้าบางที่มีแกนหมุนอยู่ที่จุดกึ่งกลางของแผ่นมีความกว้าง w = L และความยาว h = 0frameless|upright    แท่งวัตถุยาว L และมีมวล m จุดหมุนอยู่ที่ปลายแท่งซึ่งเป็นกรณีหนึ่งของแผ่นสี่เหลี่ยมผืนผ้าบางที่มีแกนหมุนอยู่ที่ขอบแผ่นมีความกว้าง w = 0 และความยาว h = Lframeless|upright    ทรงสี่เหลี่ยมตัน กว้าง w ยาว d สูง h และมีมวล mสำหรับลูกบาศก์ที่มีความยาวด้าน จะมีโมเมนต์ความเฉื่อย  ไฟล์:moment of inertia solid rectangular prism.png ทรงสี่เหลี่ยมตัน กว้าง w ยาว d สูง hและมีมวล m หมุนรอบเส้นทแยงมุมที่ยาวที่สุดสำหรับลูกบาศก์ที่มีความยาวด้าน จะมีโมเมนต์ความเฉื่อย  140px

 อ้างอิง 

หมวดหมู่:หลักการสำคัญของฟิสิกส์
หมวดหมู่:กลศาสตร์
หมวดหมู่:ปริมาณทางกายภาพ