สมการเชิงอนุพันธ์แบร์นูลลี

ในคณิตศาสตร์ สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ในรูปแบบ



เรียกว่า สมการแบร์นูลลี () เมื่อ ,  ซึ่งสมการนี้ตั้งชื่อตาม ยาคอบ แบร์นูลลี (Jakob Bernoulli) ผู้ซึ่งนำเสนอสมการรูปแบบนี้ไว้ในปี ค.ศ. 1695  สมการแบร์นูลลี นั้นมีความน่าสนใจเพราะสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นที่  (nonlinear differential equations) มีผลตอบแม่นตรง (exact solution)

 ตัวอย่าง 
 ตัวอย่างที่ 1 
พิจารณา

หารตลอดทั้งสมการ


ให้  เมื่อทำการหาอนุพันธ์จะได้ว่า



ทำการหาปริพันธ์ 

เนื่องจาก  ดังนั้น  มีค่าเท่ากับ

 ตัวอย่างที่ 2 
พิจารณาสมการแบร์นูลลี 

โดยชัดเจน  เป็นหนึ่งในผลลัพธ์
เมื่อหารด้วย  จะได้

เมื่อเปลี่ยนตัวแปรได้รูปแบบสมการใหม่ 

ซึ่งสามารถหาแก้สมการได้โดยใช้ตัวประกอบปริพันธ์ 

คูณด้วย ,

โดยที่ ด้านซ้ายคืออนุพันธ์ของ  ดำเนินการหาปริพันธ์ทั้งสองข้างของสมการจะได้สมการ



ผลลัพธ์  คือ

และ .

การโปรแกรมใน Math Lab

เราสามารถทำการตรวจสอบกับในโปรแกรมแมตแล็บ (MATLAB) โดยใช้ symbolic toolbox โดยการใช้รหัสดังข้างล่างนี้

ให้ผลตอบทั้งสองดูเพิ่มเติมได้จาก solution โดย  โดยที่ผลตอบ  จะไม่แสดงผลเพราะเป็นกรณีชัดแจ้ง (trivial case) อยู่แล้ว:

 อ้างอิง 

 . Cited in .
 .

 ดูเพิ่ม 




บ