สมการเลียปูนอฟ

ในทฤษฎีระบบควบคุม สมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่อง () คือ สมการในรูปแบบ

โดยที่  คือ เมทริกซ์เอร์มีเชียน (Hermitian matrix) และ  คือ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (conjugate transpose) ของ 

ในขณะที่ สมการเลียปูนอฟต่อเนื่อง  () คือ สมการในรูปแบบ

สมการเลียปูนอฟมักถูกใช้ในหลายสาขาของทฤษฎีระบบควบคุม เช่น ในการวิเคราะห์เสถียรภาพ และการควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด (optimal control) โดยชื่อของสมการนี้ตั้งตามชื่อของ อเล็กซานเดอร์ มิคาอิลโลวิช เลียปูนอฟ นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย (6 มิถุนายน ค.ศ. 1857 – 3 พฤศจิกายน ค.ศ. 1918)

การประยุกต์ใช้กับการวิเคราะห์เสถียรภาพ

ในที่นี้เรากำหนดให้  และ  และ  เป็นเมทริกซ์สมมาตร สัญลักษณ์  หมายถือว่า  คือ เมทริกซ์บวกแน่นอน (Positive-definite matrix)

ทฤษฎีเสถียรภาพกรณีเวลาต่อเนื่อง   ถ้ามี  และ  ที่สามารถทำให้  เป็นจริงแล้ว ระบบเชิงเส้น (linear system)  เสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ (globally asymptotically stable) โดยที่สมการกำลังสอง  นั้นจะนิยามเป็น ฟังก์ชันเลียปูนอฟ (Lyapunov function) ซึ่งใช้ในการตวรจสอบเสถียรภาพของระบบ

ทฤษฎีเสถียรภาพกรณีเวลาต่อเนื่องไม่ต่อเนื่อง  ถ้ามี  และ  ที่สามารถทำให้  เป็นจริงแล้ว ระบบเชิงเส้น  เสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ และ  นั้นคือฟังก์ชันเลียปูนอฟ

แง่มุมในการคำนวณ
สมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่องสามารถใช้ ส่วนเติมเต็มชูร์ (Schur complement) ในการคำนวณได้ดังขั้นตอนวิธีที่แสดงข้างล่างนี้

ซึ่งสมมูลกับ

นอกจากนี้ยังมีซอฟต์แวร์เฉพาะทางให้เลือกใช้ในการคำนวณสมการเลียปูนอฟ โดยในกรณีสมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่อง วิธีการของชูร์โดยกิตากาวา (Schur method of Kitagawa) Kitagawa, An Algorithm for Solving the Matrix Equation X = F X F' + S,  International Journal of Control, Vol. 25, No. 5, p745–753 (1977). มักเป็นที่นิยม ในขณะที่กรณีสมการเลียปูนอฟต่อเนื่องวิธีการของ บาร์เทล และ ชวาร์ซ‎R. H. Bartels and G. W. Stewart, Algorithm 432: Solution of the matrix equation AX + XB = C, Comm. ACM, 15 (1972), p820-826.  สามารถใช้ได้เช่นกัน

ผลตอบเชิงวิเคราะห์
เราสามารถหาผลตอบเชิงวิเคราะห์ (analytic solution) สำหรับกรณีสมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่อง โดนนิยามให้  เป็นตัวดำเนินการที่ทำการเรียงซ้อนคอลัมน์ของเมทริกซ์ และนิยาม  เป็น ผลคูณโครเน็คเคอร์ (Kronecker product) ระหว่าง  และ  และโดยการใช้ผลจาก
,
เราสามารถใช้

เมื่อ  คือ เมทริกซ์เอกลักษณ์ที่ conformableJ. Hamilton (1994), Time Series Analysis, equations 10.2.13 and 10.2.18. Princeton University Press.  จากนั้นเราสามารถแก้สมการสำหรับหาค่าของ  โดยการหาเมทริกซ์ผกผันหรือการแก้สมการเชิงเส้น โดยในการได้มาซึ่งค่า  ต้องมีการปรับขนาดของ  อย่างเหมาะสมด้วย

ดูเพิ่ม
 ฟังก์ชันเลียปูนอฟ
 สมการซิลเวสเตอร์ 
 สมการริกคาติกเชิงพืชคณิต (Algebraic Riccati equation)
 ทฤษฎีระบบควบคุม

อ้างอิง

แหล่งข้อมูลอื่น
 Online solver for arbitrary sized matrices.

หมวดหมู่:ทฤษฎีระบบควบคุม
ล