ขั้นตอนวิธีโรห์ของพอลลาร์ด

ขั้นตอนวิธีโรห์ของพอลลาร์ด () เป็นขั้นตอนวิธีแบบสุ่มที่ใช้หาตัวประกอบของจำนวนประกอบที่มีค่ามาก โดยอาศัยคุณสมบัติของการหาร เพื่อให้หาตัวประกอบของเลขจำนวนนั้น ๆ ได้เร็ว ขั้นตอนวิธีนี้ จอห์น พอลลาร์ด (John Pollard) นำเสนอขึ้นในปี 1975 และต่อมา ริชาร์ด เบรนท์ (Richard Brent) ปรับปรุงในปี 1980

 แนวความคิดหลัก 
ขั้นตอนวิธีโรห์ของพอลลาร์ดมีพื้นฐานมาจาก ขั้นตอนวิธีการตรวจสอบการเกิดวงวนของฟลอยด์ (:en:Floyd's cycle-finding algorithm) และ จากการสังเกตถึงคุณสมบัติของตัวเลขที่จะมีคุณสมบัติหนึ่ง ๆ เหมือนกัน ซึ่งคล้ายกับในปัญหาวันเกิด (:en:Birthday problem, :en:Birthday paradox) นั่นคือ หากต้องการหาตัวเลข 2 ตัว x และ y ที่มีคุณสมบัติหารด้วยตัวเลข p แล้วมีเศษเหลือเท่ากัน หรือ x สมภาคกับ y มอดุโล p (x congruent y modulo p) จะมีความน่าจะเป็นเท่ากับ 0.5 หลังจากสุ่มตัวเลขมาแล้ว  ตัว หากให้ p เป็น ตัวประกอบหนึ่งของ n เมื่อ n คือตัวเลขที่ต้องการหาตัวประกอบ จะได้ว่า  เนื่องจาก p หาร  และ  ลงตัว

ขั้นตอนวิธีโรห์ จะใช้ f ฟังก์ชันมอดุโล n สำหรับการสร้างลำดับตัวเลขสุ่มเทียม (:en:pseudo-random sequence) โดยลำดับทั้งสองจะมีความเร็วในการเลื่อนลำดับต่างกัน 2 เท่า กล่าวคือ ลำดับหนึ่งจะเลื่อนไป 2 ขั้น ในขณะที่อีกลำดับ จะเลื่อนไปเพียง 1 ขั้นเท่านั้น
หากให้ x และ y เป็นตัวแทนสำหรับตัวเลขในลำดับทั้ง 2 ในขณะหนึ่ง จะทำการหาค่า ห.ร.ม. (GCD) ของ  และ  โดยถ้าหาก ห.ร.ม. มีค่า
เท่ากับ n จะทำให้ขั้นตอนวิธีนี้จบการทำงานลงด้วยความผิดพลาด เนื่องจาก ห.ร.ม. จะมีค่าเท่ากับ n ได้ เมื่อ x = y ซึ่งจาก ขั้นตอนวิธีการตรวจสอบการเกิดวงวนของฟลอยด์ จะได้ว่า ลำดับที่สร้างได้พบกับวงวน และการทำงานในครั้งต่อ ๆ ไปก็จะเป็นการทำงานซ้ำเดิมกับงานที่เคยทำไปแล้ว
เท่ากับ 1 แสดงว่า ยังหาตัวประกอบไม่เจอ ให้กลับไปเลือก x และ y จากลำดับตัวเลขสุ่มเทียมตัวต่อไป โดย xใหม่ = f(xเดิม) และ yใหม่ = f(f(yเดิม)) แล้วกลับไปทำแบบเดิมอีกครั้งหนึ่ง
เท่ากับ ค่าอื่น ๆ แสดงว่า ค่าที่ได้นั้น คือตัวประกอบตัวหนึ่งของ n นั่นเอง

 ขั้นตอนวิธี 
นำเข้า: n, เป็นเลขจำนวนเต็มที่ต้องการหาตัวประกอบ; และ f (x), เป็นฟังก์ชันสุ่มเทียมมอดุโล n

ส่งออก: ตัวประกอบของ n, หรือพบข้อผิดพลาด (หาไม่เจอ)
 x ← 2, y ← 2; d ← 1
 While d = 1:
 x ← f (x)
 y ← f (f (y))
 d ← GCD (|x − y|, n)
 If d = n, return failure. (พบข้อผิดพลาด)
 Else, return d

หมายเหตุ: ขั้นตอนวิธีนี้อาจจะไม่พบตัวประกอบ และแจ้งว่าพบข้อผิดพลาดถึงแม้ว่า n จะเป็นจำนวนประกอบ สำหรับกรณีนี้ให้เปลี่ยน f (x) และลองทำอีกครั้ง

หมายเหตุ: ขั้นตอนวิธีนี้ไม่สามารถทำงานได้หาก n เป็นจำนวนเฉพาะ เนื่องจาก d จะเป็น 1 เสมอ

 การปรับปรุง 
ในปี 1980 ริชาร์ด เบรนท์ ได้ตีพิมพ์ผลงานที่เร็วกว่า เขาได้ใช้แนวความคิดหลักเช่นเดียวกับ พอลลาร์ด แต่แตกต่างกันในเรื่องของขั้นตอนวิธีการตรวจสอบการเกิดวงวน โดยได้ใช้ วิธีการตรวจสอบการเกิดวงวนของเบรนท์ (Brent's cycle finding method) แทนขั้นตอนวิธีการตรวจสอบการเกิดวงวนของฟลอยด์

การเพิ่มประสิทธิภาพในครั้งต่อมาถูกกระทำโดย พอลลาร์ด และเบรนท์ ทั้ง 2 ได้พบว่า ถ้า  แล้ว  สำหรับทุกๆจำนวนเต็มบวก b ใดๆ กล่าวโดยละเอียดคือ แทนที่จะคำนวณหา  ทุกๆขั้น, จะทำการกำหนดค่า z เป็นผลคูณของ พจน์  จำนวน 100 พจน์ที่ติดกัน มอดุโล n และคำนวณหา  เพียงหนึ่งครั้ง โดยความเร็วที่เพิ่มขึ้นนั้นได้จากการเปลี่ยน การหา ห.ร.ม. จำนวน 100 ครั้ง เป็นการ คูณ มอดุโล n จำนวน 99 ครั้ง และ การหา ห.ร.ม 1 ครั้ง
แต่ในบางครั้ง วิธีนี้อาจจะทำให้ขั้นตอนวิธีเกิดข้อผิดพลาดโดยการใช้ตัวประกอบที่ซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มกำลัง 2 แต่ก็สามารถจะแก้ไข้ได้โดยย้อนกลับไปที่จุดที่  แล้วใช้ ขั้นตอนวิธีโรห์ แบบปกติจากจุดนั้น

 การใช้งาน 
ขั้นตอนวิธีโรห์มักถูกนำไปใช้ในการหาตัวประกอบของจำนวนที่มีขนาดใหญ่ ที่ไม่สามารถหาได้อย่างรวดเร็วด้วยขั้นตอนวิธีแบบปกติ โดยเฉพาะจำนวนที่เกิดจากการนำจำนวนเฉพาะขนาดใหญ่สองตัวคูณกัน

ขั้นตอนวิธีโรห์จะใช้เวลาในการหาตัวประกอบได้อย่างรวดเร็วหากตัวประกอบนั้นมีค่าน้อย ตัวอย่างเช่น บนเครื่องที่มีความเร็ว 3 GHz ขั้นตอนวิธิโรห์ของพอลลาร์ดสามารถหาตัวประกอบ 274177 ของจำนวนแฟร์มาต์ลำดับที่ 6 (18446744073709551617) ในเวลา 26 มิลลิวินาที; ขั้นตอนวิธีโรห์ที่ถูกปรับปรุงโดยเบรนท์ สามารถหาตัวประกอบเดียวกันนี้ในเวลา 5 มิลลิวินาที แต่สำหรับจำนวนที่เกิดจากจำนวนเฉพาะสองตัวคูณกัน และที่มีความยาวเท่ากันกับจำนวนแฟร์มาต์ลำดับที่ 6 นั้น (10023859281455311421) การทำงานหาตัวประกอบบนเครื่องเดียวกัน ขั้นตอนวิธีโรห์ของพอลลาร์ดต้องใช้เวลาถึง 109 มิลลิวินาทีถึงจะพบตัวประกอบ ส่วนขั้นตอนวิธีโรห์ที่ถูกปรับปรุงใช้เวลา 31 มิลลิวินาที

สำหรับ f ฟังก์ชันตัวสุ่มเทียมมอดุโล n จะเลือกใช้ฟังก์ชัน พหุนาม พร้อมกับค่าคงที่จำนวนเต็ม c โดยรูปแบบที่นิยมใช้มากที่สุดคือ


ขั้นตอนวิธีโรห์มีความโดดเด่นจากความสำเร็จในการหาตัวประกอบของจำนวนแฟร์มาต์ลำดับที่ 8 โดย พอลลาร์ด และ เบรนท์ ซึ่งใช้เวลาทั้งหมด 2 ชั่วโมงบนเครื่อง UNIVAC 1100/42

 ตัวอย่างการหาตัวประกอบ 
ให้ n = 8051 และ f (x) = (x2 + 1) mod 8051

 i xi yi GCD (│xi − yi│, 8051) 1  5  26  1 2  26  7474  1 3  677  871  97

97 เป็นตัวประกอบของ 8051 สำหรับการเปลี่ยนค่า c อาจจะให้คำตอบเป็นตัวประกอบอีกตัวคือ 83 แทนที่จะเป็น 97

 อัตราการเติบโต 
ขั้นตอนวิธีแบบสุ่มนี้ต้องแลกเปลี่ยนระหว่างเวลาที่ใช้ในการค้นหา กับโอกาสที่จะค้นพบตัวประกอบ นั่นคือหากต้องการให้โอกาสที่จะค้นพบตัวประกอบนั้นมีค่าสูง ก็จะต้องใช้เวลามากขึ้น ถ้าหาก n เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะที่มีความยาวเท่ากัน แต่มีค่าแตกต่างกัน ระยะเวลาที่ใช้สำหรับขั้นตอนวิธีนี้ จะต้องสุ่มตัวเลขมา O (n1/4 polylog (n)) ครั้ง ถึงจะมีความน่าจะเป็นในการค้นพบตัวประกอบเท่ากับ 0.5 สำหรับพจน์ n1/4 นั้นก็มาจากที่ n เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะที่มีความยาวเท่ากัน ดังนั้น n1/2 ก็จะได้ค่าที่ใกล้เคียงกับจำนวนเฉพาะที่เป็นตัวประกอบของ n และจากที่ทราบว่า ความน่าจะเป็นในการพบตัวประกอบเท่ากับ 0.5 เมื่อสุ่มตัวเลขมาแล้ว  ตัว เมื่อ p คือตัวประกอบของ n ดังนั้นหากแทนค่า p ด้วย n1/2 ก็จะได้พจน์ n1/4 (หมายเหตุ: การวิเคราะห์นี้เป็นเพียงการประมาณโดยคร่าว ๆ สำหรับการวิเคราะห์อย่างละเอียด ยังรอให้พิสูจน์อยู่)

 สรุป 
ขั้นตอนวิธีโรห์ของพอลลาร์ดช่วยให้สามารถแยกตัวประกอบของจำนวนใหญ่ ๆ ได้อย่างรวดเร็ว โดยอาศัยขั้นตอนวิธีแบบสุ่ม (ใช้ฟังก์ชันสร้างลำดับตัวเลขสุ่มเทียม) ซึ่งทำได้ดีกว่าขั้นตอนวิธีตามปกติที่จะใช้เวลานานกว่ามาก แต่ก็ต้องพึงระวังว่าคำตอบที่บอกว่าไม่พบตัวประกอบนั้นอาจจะผิด เพราะมีโอกาสที่หาแล้วไม่พบ เนื่องจากสุ่มตัวเลขไม่มากพอที่จะเจอตัวประกอบนั้น การนำขั้นตอนวิธีโรห์ไปใช้จึงต้องเลือกให้ดีว่า อยากจะให้ทำงานได้เร็วแค่ไหน อยากจะให้โอกาสผิดน้อยขนาดไหนถึงยอมรับได้ ซึ่งเป็นสองสิ่งที่ต้องแลกเปลี่ยนกัน โดยสรุป ขั้นตอนวิธีโรห์นี้สามารถนำไปใช้งานในการแยกตัวประกอบได้จริง และมีประสิทธิภาพที่น่าประทับใจอีกด้วย

 อ้างอิง 

  (this section discusses only Pollard's rho algorithm).


 แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม 
 เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Prime Factorization Algorithms" จากแมทเวิลด์.
 เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Pollard rho Factorization Method" จากแมทเวิลด์.
 เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Brents Factorization Method" จากแมทเวิลด์.
 เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Birthday Problem" จากแมทเวิลด์.

 ตัวอย่างเพิ่มเติม 
 ตัวอย่างในภาษาจาวา 
 ตัวอย่างในภาษาไพทอน
 ตัวอย่างโปรแกรมแสดงการหาตัวประกอบด้วยวิธีโรห์ของพอลลาร์ดด้วยภาษาจาวา 

หมวดหมู่:ขั้นตอนวิธีการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม