ลูกตุ้มผกผัน

ลูกตุ้มผกผัน  () เป็นปัญหาพื้นฐานที่ใช้ในการเรียนการสอนและในการสาธิตการประยุกต์ทฤษฎีระบบควบคุม ลูกตุ้มผกผันเป็นระบบที่มีจุดสมดุลอยู่รอบแกนหมุนด้วยกันสองจุด ได้แก่จุดที่ลูกตุ้มตั้งตรงอยู่ในแนวดิ่ง และจุดที่ลูกตุ้มอยู่ทิ้งตัวลงในดิ่ง แต่จุดที่มีเสถียรภาพเมื่อไม่มีตัวควบคุมนั้นจะมีจุดเดียวคือ จุดที่แกนทิ้งตัวลงเท่านั้น ไม่ว่าเราจะปล่อยลูกตุ้มที่จุดใดก็ตาม ลูกตุ้มจะตกลงสู่จุดนี้เสมอ การที่จะทำให้ลูกตุ้มนี้สามารถตั้งตรงในแนวดิ่งได้นั้นขึ้นกับการใส่ตัวควบคุมที่เหมาะสมเข้าไปในระบบซึ่งมีได้หลากหลายวิธี และอีกทั้งยังสามารถออกแบบตัวควบคุมให้เป็นเชิงเส้น หรือแบบไม่เชิงเส้นก็ได้ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับความต้องการของผู้ออกแบบและความเหมะสมเดวิด บรรเจิดพงศ์ชัย, ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย "ระบบควบคุมพลวัต การวิเคราะห์ การออกแบบ และการประยุกต์ (Dynamical Control Systems Analysis, Design and Applications)" สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2551 (ISBN 978-974-03-2205-4)

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของลูกตุ้มผกผันM.W. Spong and M. Vidyasagar. Dynamics and Control of Root Manipulators. John Wiley, 1989Katsuhiko Ogata, Modern control engineering (Edition	5), Prentice Hall, 2010, ISBN 0136156738,9780136156734
ในที่นี้เราจะหาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของลูกตุ้มผกผันโดยใช้กลศาสตร์แบบลากร็องฌ์  (Lagrange's equations) และตั้งสมมติฐานเพื่อความง่ายต่อความเข้าใจและยังคงไม่สูญเสียความเป็นรูปแบบทั่วไปว่าระบบเคลื่อนที่อยู่ในระนาบ 2 มิติ แกน  ได้เท่านั้น โดยตัวแปรต่าง ๆ เราจะอ้างอิงตัวแปรเดียวกับที่ปรากฏในภาพ กล่าวคือ  คือ มุมที่แท่งลูกตุ้มทำกับแนวตั้งฉากกับพื้นโลก และให้แท่งลูกตุ้มมีความยาว  ให้แรงจากภายนอกเป็น  กระทำในทิศ   ดังภาพ และแรงโน้มถ่วงของโลกกระทำในแนวแกน  และกำหนดให้  เป็นระยะของรถในแกน  ที่แปรผันตามเวลา และสมการลากร็องฌ์ (Lagrangian) ของระบบเป็นดังต่อไปนี้ Simple Inverted Pendulum Cart Dynamics
Lagrangian Development by Jaspen Patenaude   โดย  คือพลังงานจลน์ของระบบ และ  คือพลังงานศักย์ของระบบ

โดย  เป็นความเร็วของของตัวรถ  เป็นความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล  ของมวลบนแท่งลูกตุ้ม

ทั้งนี้  และ  สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ  และ  ดังต่อไปนี้ 

ทำการลดรูป  ได้ผลเป็น

แทนสมการข้างต้นลงในสมการลากร็องฌ์ ได้ว่า:

และสมการการเคลื่อนที่:

แทนที่  ในสมการข้างต้นจะได้สมการที่อธิบายการเลือนที่ของลูกตุ้มแบบผกผันดังนี้ 

จะเห็นได้ว่าสมการที่ได้เป็นสมการไม่เชิงเส้นซึ่งยากที่จะนำไปออกแบบตัวควบคุม ในทางปฏิบัติผู้ออกแบบจะนิยมแปรงสมการไม่เชิงเส้นให้เป็นสมการเชิงเส้นก่อน โดยสมมุติว่าแท่งเพนดุลัมแกว่งอยู่ในช่วงมุมเล็ก ๆ ซึ่งประมาณเป็น  ได้ () ทั้งนี้เพื่อความง่ายต่อการออกแบบตัวควบคุม และง่ายต่อการอธิบายพฤติกรรมของระบบ

 ดูเพิ่ม 
ทฤษฎีระบบควบคุม
เซกเวย์
ลูกตุ้มผกผันแบบฟุรุตะ (Furuta pendulum)

อ้างอิง

 แหล่งข้อมูลอื่น 
 สื่อการสอนเกี่ยวกับทฤษฎีระบบควบคุม มีตัวอย่างเป็นลูกตุ้มแบบผกผัน ของ มหาวิทยาลัยคาร์เนกีเมลลอน  
 Katsuhiko Ogata, Modern control engineering (Edition	5), Prentice Hall, 2010, ISBN 0136156738,9780136156734
 Franklin; et al. (2005). Feedback control of dynamic systems, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0
 Norman S. Nise, Control Systems Engineering (Edition	6), John Wiley & Sons, 2010, ISBN 0470547561, 9780470547564
 เดวิด บรรเจิดพงศ์ชัย, ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย "ระบบควบคุมพลวัต การวิเคราะห์ การออกแบบ และการประยุกต์ (Dynamical Control Systems Analysis, Design and Applications)" สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2551 (ISBN 978-974-03-2205-4) 
 วิบูลย์ แสงวีระพันธุ์ศิริ,  ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล  คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย "การควบคุมระบบพลศาสตร์ (Control of Dynamic Systems)" สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2548 (ISBN 974-13-3393-5)

หมวดหมู่:ทฤษฎีระบบควบคุม
หมวดหมู่:วิศวกรรมศาสตร์
หมวดหมู่:เทคโนโลยี
หมวดหมู่:สิ่งประดิษฐ์และการประดิษฐ์