ขั้นตอนวิธีของคาร์เกอร์

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์และทฤษฎีกราฟ ขั้นตอนวิธีของคาร์เกอร์ () เป็น Monte Carlo method เพื่อคำนวณหา การตัดน้อยสุด (minimun cut) ของกราฟต่อเนื่อง ซึ่งถูกพัฒนาขึ้นโดย David Karger

โดยการตัดน้อยสุด คือ จำนวนเส้นเชื่อมน้อยสุดที่ต้องลบออกเพื่อให้กราฟแยกเป็น 2 ส่วน(component)

 ขั้นตอนวิธี 
หลักการของขั้นตอนวิธีนี้ใช้แนวคิดในการย่อเส้นเชื่อม  ในกราฟ หรือกล่าวได้ว่าเป็นการย่อเส้นเชื่อมทำให้ปม 2 ปมที่ต่อกับ e ซ้อนกัน ทำให้ลดจำนวนปมทั้งหมดของกราฟลงไปหนึ่งปม ขั้นตอนวิธีนี้จะดำเนินการย่อไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะเหลือปมในกราฟเพียง 2 ปมเท่านั้น ซึ่งการกระทำนี้มีความเป็นไปได้สูงที่ขั้นตอนวิธีนี้จะคืนการตัดน้อยสุด โดยจะคืนเซตของเส้นเชื่อมที่ต่อกับปมที่เหลือทั้งสอง

 การย่อ 
การกระทำนี้เอาเส้นเชื่อม  ที่มีปลาย  และ  และย่อมันลงในปมใหม่  ซึ่งจะกลายเป็นเส้นประชิด (adjacent) ของปมเก่าทั้งหมดที่ต่อกับ และ  โดยสามารถเขียนแนวคิดนี้ให้อยู่ให้รูปคณิตศาสตร์ได้

ให้กราฟ  และ , การย่อของ  ไปเป็น  (เขียนเป็น ) เป็น มัลติกราฟ เมื่อ:



และ:

  หรือ 

เป็นไปได้ที่จะพิสูจน์ว่าการกระทำนี้ไม่ได้ลดภาวะเชิงการนับของการตัดน้อยสุด แต่อาจเป็นการเพิ่มให้มากขึ้น

 รหัสเทียม 
รหัสเทียมนี้สามารถสร้างขึ้นโดยใช้ 2 ฟังก์ชัน

  function Karger(G, K)
  min := 
  for i = 1 to K do
    t := Full_contraction(G)
    if t < min then
      min := t
  return min

  function Full_contraction(G)
  for i := 1 to |V| - 2 do
    e := Random()
    G' = ( V', ') := 
    V := V'
     := '
  return ||

ฟังก์ชัน Full_contraction ทำการย่อเส้นเชื่อมตามขั้นตอนวิธีที่ได้ระบุไว้ จากนั้นทำซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะเหลือปมในกราฟเพียงสองปม จากนั้นจึงคืนค่าจำนวนเส้นเชื่อมระหว่างสองปมนั้น ซึ่งจะเท่ากับจำนวนตัดน้อยสุด
แต่มันไม่สามารถประกันได้ว่าขั้นตอนวิธีนี้จะคืนการตัดที่น้อยที่สุดจริง ๆ เพราะฉะนั้นการ excution Full_contraction K ครั้งโดยฟังก์ชัน Karger  จะส่ง parameter K เพื่อให้ทำการคำนวณค่าน้อยสุดเป็นจำนวน K ครั้ง และเก็บคำตอบครั้งที่น้อยที่สุด ซึ่งวิธีนี้จะช่วยลดโอกาสที่จะคืนค่าการตัดน้อยสุดผิด

 ประสิทธิภาพเชิงเวลา 
ฟังก์ชัน Full_contraction ใช้เวลาในการทำงานในรูปสัญกรณ์โอใหญ่ได้เป็น O(e) เมื่อe คือ จำนวนเชิงเชื่อม เนื่องจากต้องทำการลบเส้นเชื่อมทุกเส้นเชื่อมจนกว่าจะเหลือปมเพียง 2 ปม และการทำฟังก์ชัน Karger เป็นการทำ Full_contraction ซ้ำเป็นจำนวน K รอบ แต่เนื่องจาก K เป็นค่าคงที่ ดังนั้นประสิทธิภาพเชิงเวลาจึงยังคงเป็น O(e) หรือ O(V 2) สำหรับกราฟหนาแน่น

 อ้างอิง 

 David R. Karger, Global Min-cuts in RNC and Other Ramifications of a Simple Mincut Algorithm. Proceedings of the 4th Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms, January 1993
 David R. Karger and Clifford Stein, A New Approach to the Minimum Cut Problem. Journal of the ACM 43(4):601-640, 1996

หมวดหมู่:ขั้นตอนวิธี
หมวดหมู่:ทฤษฎีกราฟ
หมวดหมู่:ความต่อเนื่องของกราฟ