ปัญหาวิถีสั้นสุด

ในทฤษฎีกราฟ ปัญหาวิถีสั้นสุด ()​ เป็นปัญหาที่ต้องการหาวิถีสั้นสุดระหว่างจุดยอด 2 จุดภายในกราฟ กล่าวคือในวิถีสั้นสุดนั้น ผลรวมของน้ำหนักในเส้นเชื่อมแต่ละเส้นรวมกันแล้วน้อยที่สุดในบรรดาวิถีทั้งหมด ตัวอย่างปัญหานี้เช่นการหาวิธีเดินทางจากจุดหนึ่งไปอีกจุดหนึ่งในแผนที่ ในกรณีนี้ จุดยอดแทนด้วยสถานที่ต่าง ๆ ส่วนเส้นเชื่อมแทนด้วยถนนหรือเส้นทาง และน้ำหนักบนเส้นเชื่อมแทนด้วยเวลาในการเดินทางด้วยถนนหรือเส้นทางนั้น ๆ

 นิยาม 

ปัญหาวิถีสั้นสุดอาจแตกต่างกันออกไป ตามแต่ประเภทของ กราฟ ที่กำลังจะดำเนินการ เช่น กราฟระบุทิศทาง/กราฟไม่ระบุทิศทาง/กราฟผสม หรือ กราฟถ่วงน้ำหนัก/กราฟไม่ถ่วงน้ำหนัก เป็นต้น วิถีสั้นสุดจากจุดยอด u ไป v คือวิถีที่มีจุดเริ่มต้นที่ u และจบที่ v โดยที่ผลรวมของน้ำหนักในวิถีนั้นน้อยที่สุดในบรรดาวิถีทั้งหมดจาก u ไป v สำหรับกราฟไม่ถ่วงน้ำหนัก นิยามให้วิถีสั้นสุดคือวิถีที่มีเส้นเชื่อมน้อยที่สุด

โดยทั่วไป ปัญหาวิถีสั้นสุดจะกำหนดจุดยอด u และ v มาให้และให้หาวิถีสั้นสุดระหว่างจุดยอดทั้งคู่ เรียกปัญหานี้ว่า ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบคู่เดียว นอกจากนี้ยังมีปัญหาวิถีสั้นสุดอยู่ด้วยกันอีก 3 รูปแบบ คือ
 ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบแหล่งต้นทางเดียว เป็นปัญหาที่ต้องการหาวิถีสั้นสุดจากจุดยอด v ไปจุดยอดอื่น ๆ ทั้งหมดในกราฟ
 ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบแหล่งปลายทางเดียว เป็นปัญหาที่ต้องการหาวิถีสั้นสุดจากจุดยอดทั้งหมดมาที่จุดยอด v ปัญหานี้ในกรณีของกราฟไม่ระบุทิศทางสามารถแก้ได้ทันทีโดยมองปลายทางเป็นต้นทาง แล้วแก้ไขปัญหาวิถีสั้นสุดแบบแหล่งต้นทางเดียวแทน ในกรณีกราฟระบุทิศทางก็สามารถลดรูปปัญหามาเป็นปัญหาวิถีสั้นสุดแบบแหล่งต้นทางเดียวได้เช่นกัน โดยกลับเส้นเชื่อมจากจุดยอด a ไป b เป็น b ไป a ก่อน แล้วแก้ไขปัญหาวิถีสั้นสุดแบบแหล่งต้นทางเดียวจาก v แทน
 ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบทุกคู่ เป็นปัญหาที่ต้องการหาวิถีสั้นสุดจาก u ไป v สำหรับทุก ๆ จุดยอด u , v ภายในกราฟ
สังเกตว่าปัญหาแต่ละรูปแบบสามารถแก้ได้โดยการแก้ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบคู่เดียวหลาย ๆ ครั้ง อย่างไรก็ตาม การแก้ไขปัญหาในแต่ละรูปแบบมีวิธีการที่แตกต่างกันออกไปซึ่งทำให้มีประสิทธิภาพมากกว่าการแก้ปัญหาปัญหาวิถีสั้นสุดแบบคู่เดียวหลาย ๆ ครั้ง

อันที่จริง ณ ปัจจุบัน ยังไม่มีขั้นตอนวิธีใดที่กรณีเลวร้ายสุดสามารถแก้ ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบคู่เดียว โดยที่มีประสิทธิภาพด้านเวลามากกว่า ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบแหล่งต้นทางเดียว ได้http://www.boost.org/libs/graph/doc/graph_theory_review.html#sec:shortest-paths-algorithms ดังนั้นเมื่อต้องการแก้ ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบคู่เดียว โดยทั่วไปก็จะแก้ ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบแหล่งต้นทางเดียว จนได้คำตอบที่ต้องการและจบขั้นตอนวิธี อย่างไรก็ตาม สำหรับกราฟพิเศษบางประเภทสามารถแก้ ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบคู่เดียว โดยการคำนวณล่วงหน้าได้ เช่น กราฟต้นไม้ กราฟเส้นตรง กราฟวัฏจักรเดียว เป็นต้น

 ขั้นตอนวิธี 
ขั้นตอนวิธีในการแก้ปัญหาวิถีสั้นสุด จะใช้แนวคิดของการ การคลายเส้นเชื่อม (relaxation) นั่นคือขณะเริ่มต้น คำตอบวิถีสั้นสุดจะยังไม่ถูกต้อง เส้นเชื่อม e จะเรียกว่า ตึง (tense) ถ้าสามารถใช้ e แล้วทำให้มีวิถีที่น้ำหนักรวมร้อยกว่าคำตอบที่มีอยู่ ดังนั้นขั้นตอนวิธีแก้ปัญหาวิถีสั้นสุดก็จะทำการคลายเส้นเชื่อมที่ตึง นั่นคือใช้เส้นเชื่อมที่ตึงเพื่อให้ได้คำตอบของวิถีสั้นสุดที่ดียิ่งขึ้นเรื่อย ๆ สุดท้ายเมื่อไม่พบเส้นเชื่อมที่ตึงก็แปลว่าวิถีที่ได้เป็นวิถีสั้นสุดแล้ว

ปัญหาวิถีสั้นสุดมองแต่เพียงการไปถึงได้ของจุดยอดต่าง ๆ เท่านั้น ดังนั้น สำหรับกราฟไม่ระบุทิศทางจึงสามารถแปลงเป็นกราฟระบุทิศทางได้ โดยการเปลี่ยนเส้นเชื่อมไม่มีทิศทาง เป็นเส้นเชื่อมมีทิศทาง 2 เส้นที่มีทิศทั้งไปและกลับ

สำหรับกราฟไม่ถ่วงน้ำหนัก จากนิยามที่กำหนดให้วิถีสั้นสุดคือมีจำนวนเส้นเชื่อมในวิถีน้อยที่สุด ดังนั้น จึงอาจกล่าวได้ว่าเส้นเชื่อมทุกเส้นมีความสำคัญเท่ากัน กล่าวคือกราฟไม่ถ่วงน้ำหนักจะเทียบเท่ากับกราฟถ่วงน้ำหนักที่เส้นเชื่อมทุกเส้นมีน้ำหนักเท่ากันและไม่เป็นลบ ตัวอย่างเช่น กราฟถ่วงน้ำหนักหนึ่งหน่วย (unit-weight graph) เป็นต้น

ขั้นตอนวิธีในการแก้ปัญหาที่ได้รับความนิยมและสำคัญมีดังนี้

 ขั้นตอนวิธีของไดค์สตรา ใช้แก้ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบแหล่งต้นทางเดียว โดยที่น้ำหนักของเส้นเชื่อมต้องไม่เป็นลบ
 ขั้นตอนวิธีของเบลแมน-ฟอร์ด ใช้แก้ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบแหล่งต้นทางเดียว โดยที่น้ำหนักของเส้นเชื่อมอาจเป็นลบได้
 ขั้นตอนวิธีเอสตาร์ ใช้แก้ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบแหล่งต้นทางเดียว โดยใช้ศึกษาสำนึกเพื่อเพิ่มความเร็วในการแก้ปัญหา
 ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล ใช้แก้ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบทุกคู่
 ขั้นตอนวิธีของจอห์นสัน ใช้แก้ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบทุกคู่ ซึ่งจะเร็วกว่าขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชลในกรณีของกราฟไม่หนาแน่น
ขั้นตอนวิธีอื่น ๆ และการนำมาใช้งานในรูปแบบต่าง ๆ อาจหาได้ที่ Cherkassky et al

 ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบแหล่งต้นทางเดียว 
ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบแหล่งต้นทางเดียวเป็นปัญหาที่ต้องการหาวิถีสั้นสุดจากจุดยอด v ไปจุดยอดอื่น ๆ ทั้งหมดในกราฟ ได้ต้นไม้วิถีสั้นสุดออกมาเป็นผลลัพธ์

 กราฟถ่วงน้ำหนักหนึ่งหน่วย 
 ทำการค้นตามแนวกว้าง ใช้เวลา O(V + E)http://www.cp.eng.chula.ac.th/~somchai/ULearn/Algorithms/index.htm โดย สมชาย ประสิทธิ์จูตระกูล

 กราฟอวัฏจักรระบุทิศทางสำหรับเส้นเชื่อมน้ำหนักใด ๆ 
 ทำการเรียงเชิงทอพอโลยีและกำหนดการพลวัต ใช้เวลา O(V + E)http://xlinux.nist.gov/dads/HTML/dagShortPath.html

 กราฟที่ไม่มีเส้นเชื่อมน้ำหนักติดลบ 
 ขั้นตอนวิธี  ความซับซ้อนทางด้านเวลา  ผู้คิดค้น  O(V4)    O(V2EL)   ขั้นตอนวิธีของเบลแมน-ฟอร์ด  O(VE)  ,   O(V2 log V)  , , Minty (cf. ),  ขั้นตอนวิธีของไดค์สตรา  O(V2)  ,  ...  ...  ... ขั้นตอนวิธีของไดค์สตราพร้อมใช้ฮีปฟีโบนัชชี  O(E + V log V)  ,   O(E log log L)  ,  Gabow's algorithm  O(V logE/V L)  ,   O(E + V√log L)  

 กราฟเชิงระนาบที่ไม่มีเส้นเชื่อมน้ำหนักติดลบ 

 กราฟสำหรับเส้นเชื่อมน้ำหนักใด ๆ 
 ขั้นตอนวิธีของเบลแมน-ฟอร์ด

 กราฟเชิงระนาบสำหรับเส้นเชื่อมน้ำหนักใด ๆ 

 ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบทุกคู่ 
 กราฟสำหรับเส้นเชื่อมน้ำหนักใด ๆ 
 ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล ใช้เวลา O(V3) เหมาะสำหรับกราฟหนาแน่นและนำมาใช้งานได้ง่ายมาก
 ขั้นตอนวิธีของจอห์นสัน ใช้เวลา O(V2log V + VE) เหมาะสำหรับกราฟไม่หนาแน่นซึ่งเวลาการทำงานจะดีกว่าการใช้ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชลเป็นอย่างมาก

 การนำไปใช้งาน 

 ปัญหาที่เกี่ยวข้อง 
 ปัญหาวิถีสั้นสุดบนระนาบแบบยุคลิด

 การมองด้วยกำหนดการเชิงเส้น 

 เนื้อหาที่เกี่ยวข้อง 
 การไหลในเครือข่าย
 ต้นไม้วิถีสั้นสุด
 ปัญหาวิถีสั้นสุดบนระนาบแบบยุคลิด
 การค้นแบบสองทิศทาง ขั้นตอนวิธีหาวิถีสั้นสุดแบบคู่เดียว

 อ้างอิง 
 หมายเหตุ 

 บรรณานุกรม 
















  Attributes Dijkstra's algorithm to Minty ("private communication") on p. 225.
  Here: vol.A, sect.7.5b, p. 103



 อ่านเพิ่ม 

  DTIC AD-661265.

หมวดหมู่:ปัญหาฟังก์ชันพหุนาม
หมวดหมู่:ขั้นตอนวิธีกราฟ
หมวดหมู่:ทฤษฎีเครือข่าย
หมวดหมู่:ปัญหาการคำนวณในทฤษฎีกราฟ