ขั้นตอนวิธีของเอ็ดมอนด์-คาป

ในด้านวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ และ ทฤษฎีกราฟ ขั้นตอนวิธีของเอ็ดมอนด์-คาป () เป็นขั้นตอนวิธีการแก้ปัญหาการไหลมากสุด () ใน ระบบเครือข่ายการไหล () โดยการนำเอาวิธีการของฟอร์ด-ฟูเกอร์สัน () มาใช้ โดยทำงานได้ในระยะเวลา  หากเปรียบเทียบกันในเชิงเส้นแล้วจะช้ากว่า () ซึ่งทำงานในเวลา  แต่ในความเป็นจริงจะพบว่า ขั้นตอนวิธีของเอ็ดมอนด์-คาป จะทำงานได้ดีกว่าหากเป็น กราฟไม่หนาแน่น () ขั้นตอนวิธีแก้ปัญหานี้ถูกเปิดเผยครั้งแรกในปี ค.ศ. 1970 โดยนายดีนิทซ์ (Yefim Dinitz) นักวิทยาศาสตร์ชาวยิว (อดีตเป็นชาวรัสเซีย) โดยมีชื่อว่าขั้นตอนวิธีของดีนิซ () ซึ่งทำงานได้ในเวลา  2 ปีต่อมา คือปี ค.ศ. 1972 แจ๊ค เอ็ดมอนด์ (Jack Edmonds) กับริชาร์ด คาป (Richard Karp) ได้เสนอวิธีแก้ปัญหานี้ในรูปแบบที่แตกต่างกันออกไปซึ่งถูกเรียกว่า ขั้นตอนวิธีของเอ็ดมอนด์-คาป

 ขั้นตอนวิธี 

ขั้นตอนวิธีนี้เหมือนขั้นตอนวิธีของฟอร์ด-ฟูเกอร์สัน ยกเว้นในส่วนของการค้นหาวิถีเพิ่มพูน () การค้นหาวิถีเพิ่มพูนในขั้นตอนวิธีนี้นั้น เราจะหาจากวิถีสั่นสุดที่ยังเหลือที่ว่างให้ไหลไปได้ด้วยการค้นทางกว้าง โดยให้แต่ละวิถีมีน้ำหนักของมันเอง โดยจะใช้เวลาทั้งหมดประมาณ  ซึ่งคำนวณจากการที่สามารถหาวิถีเพิ่มพูนในแต่ละครั้งได้ในเวลา  ซึ่งในการทำงานแต่ละรอบนั้นจะต้องมีวิถีที่อิ่มตัว (Saturated edge) เกิดขึ้นอีกอย่างน้อย 1 วิถี จากขั้นตอนวิธีดังกล่าวจะส่งผลให้ระยะทางจากต้นกำเนิดถึงวิถีอิ่มตัวล่าสุดจะต้องมากกว่าเดิมเสมอ จากขั้นตอนวิธีดังกล่าวเราพบว่าระยะทางของวิถีเพิ่มพูนสั้นสุดนั้นเติบโตขึ้นเป็นลำดับทางเดียว โดยอ้างอิงจากบทพิสูจน์ดังนี้

 รหัสเทียม 

สามารถดูรายละเอียดเชิงลึกได้ที่ขั้นตอนวิธีของฟอร์ด-ฟูเกอร์สัน

algorithm EdmondsKarp
     ข้อมูลนำเข้า:
         C[1..n, 1..n]  (เมตริกความจุ) 
         E[1..n, 1..?]  (รายการผมเพื่อนบ้าน) 
         s              (ก๊อก) 
         t              (อ่าง) 
     ข้อมูลนำออก:
         f              (ค่าอัตราการไหลสูงสุด) 
         F              (เมตริกซึ่งแสดงค่าอัตราการไหลสูงสุดในแต่ละวิถึ) 
     f := 0  (กำหนดค่าเริ่มต้นให้อัตราการไหล) 
     F := array (1..n, 1..n)  (ค่าความจุที่เหลือ จาก u ไป v หรือ C[u,v] - F[u,v]) 
     forever
         m, P := BreadthFirstSearch (C, E, s, t)
         if m = 0
             break
         f := f + m
          (การค้นแบบBacktrack และ สร้างวิถีการไหล) 
         v := t
         while v ≠ s
             u := P[v]
             F[u,v] := F[u,v] + m
             F[v,u] := F[v,u] - m
             v := u
     return (f, F)

 ขั้นตอนวิธี ค้นทางกว้าง (BreadthFirstSearch)
     ข้อมูลนำเข้า:
         C, E, s, t
     ข้อมูลนำออก:
         M[t]           (ความจุของวิถีที่พบ)          P              (ตารางบรรพบุรุษ)      P := array (1..n)
     for u in 1..n
         P[u] := -1
     P[s] := -2  (ตรวจสอบว่าก๊อกนี้ไม่ถูกค้นพบซ้ำ)      M := array (1..n)  (ค่าความจุระหว่างวิถีที่ถูกค้นพบกับปม)      M[s] := ∞
     Q := queue ()
     Q.push (s)
     while Q.size () > 0
         u := Q.pop ()
         for v in E[u]
              (ถ้ายังมีความจุให้ไหลได้ และ v ยังไม่เคยถูกค้นพบมาก่อน) ''
             if C[u,v] - F[u,v] > 0 and P[v] = -1
                 P[v] := u
                 M[v] := min (M[u], C[u,v] - F[u,v])
                 if v ≠ t
                     Q.push (v)
                 else                     return M[t], P
     return''' 0, P

 ตัวอย่าง 
กำหนดให้เครือข่ายมี 7 ปม โดยมีจุดเริ่มต้นก๊อก A และ จบที่อ่าง G และ ความจุ ดังแสดงตามภาพด้านล่าง

300px

ในทุกคู่  ที่ถูกเขียนบนวิถี  และ  คือ อัตราการไหลในปัจจุบัน และ ความจุของวิถีนั้น ตามลำดับ ค่าความจุที่เหลืออยู่จาก  ไป  คือ  ส่วนต่างของค่าความจุของวิถีนั้นและอัตราการไหลที่ไหลผ่านวิถีดังกล่าว

 ความจุ วิถี ผลลัพธ์ในระบบ   300px</td>   300px</td>   300px</td>   300px</td>

 อ้างอิง 
 E. A. Dinic (1970). "Algorithm for solution of a problem of maximum flow in a network with power estimation". Soviet Math. Doklady (Doklady) 11: 1277–1280.
 Jack Edmonds and Richard M. Karp (1972). "Theoretical improvements in algorithmic efficiency for network flow problems". Journal of the ACM 19 (2) : 248–264. doi:10.1145/321694.321699.
 Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest and Clifford Stein (2001). "26.2". Introduction to Algorithms (second ed.). MIT Press and McGraw–Hill. pp. 660–663. ISBN 0-262-53196-8.
 Algorithms and Complexity (see pages 63-69). http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AlgComp3.html 

หมวดหมู่:ขั้นตอนวิธีกราฟ
หมวดหมู่:การไหลในเครือข่าย