ขั้นตอนวิธีของคริสโตไฟด์

ขั้นตอนวิธีของคริสโตไฟด์ () ตั้งชื่อตาม นิคอส คริสโตฟิลด์ เป็นขั้นตอนวิธีในการแก้ปัญหาบางกลุ่มของปัญหาการเดินทางของพนักงานขาย ที่มีเส้นเชื่อมถ่วงน้ำหนักเป็นไปตามความไม่เสมอภาคของสามเหลี่ยม ซึ่งได้คำตอบที่มีอัตราส่วนการประมาณ เป็น 1.5 เท่าของคำตอบดีที่สุด

 รหัสเทียม 
 ให้  เป็นตัวแทนของปัญหาการเดินทางของพนักงานขาย,  เป็น กราฟบริบูรณ์ บนเซตของจุดยอด  ซึ่งมี  เป็นฟังก์ชันของน้ำหนักที่ไม่มีน้ำหนักติดลบในทุกๆเส้นเชื่อมบน 

ขั้นตอนที่ 1: สร้าง ต้นไม้ทอดข้ามที่น้อยที่สุด  จาก 

ขั้นตอนที่ 2: ให้  เป็นเซตของจุดยอดที่มี ระดับขั้น เป็นจำนวนคี่ ใน  และหา การจับคู่สมบูรณ์  ซึ่งมีน้ำหนักน้อยที่สุดใน กราฟบริบูรณ์ บนจุดยอดใน 

ขั้นตอนที่ 3: รวมเส้นเชื่อมของ  และ  เป็น มัลติกราฟ 

ขั้นตอนที่ 4: สร้างวงจรออยเลอร์ ใน 

ขั้นตอนที่ 5: สร้างวงจรแฮมิลตัน จากขึั้นตอนที่แล้วโดยข้ามจุดยอดที่เยี่ยมชมแล้วออกไป (shortcutting)

 อัตราส่วนการประมาณ 

ผลลัพธ์ของขั้นตอนวิธีนี้มีค่าเป็น 1.5 เท่าของของคำตอบดีที่สุด

พิสูจน์ได้ดังนี้:

ให้  แทนเซตของเส้นเชื่อมของคำตอบดีสุดของปัญหาการเดินทางของพนักงานขาย สำหรับ, เนื่องจาก เชื่อมต่อกันบริบูรณ์ จึงมีต้นไม้ทอดข้ามแน่ๆ ดังนั้น 

ให้  แทนเซตของเส้นเชื่อมของคำตอบดีสุดของปัญหาการเดินทางของพนักงานขาย สำหรับกราฟบริบูรณ์ที่ใช้จุดยอดจาก , เนื่องจากน้ำหนักของเส้นเชื่อมเป็นรูปสามเหลี่ยม ไม่ว่าจะเยี่ยมชมจุดยอดเพิ่มก็ไม่ทำให้น้ำหนักลดลง (ตามสมบัติความไม่เสมอภาคของสามเหลี่ยม) ทำให้เรารู้ว่า 

เราแสดงให้เห็นว่ามีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบของจุดยอดจาก ที่มีน้ำหนักต่ำกว่า  ซึ่งมีขอบบนเหมือนกันกับ  (  เป็นการจับคู่สมบูรณ์ที่มีน้ำหนักน้อยที่สุด), เนื่องจาก  จะมีจำนวนจุดยอดเป็นเลขคู่ จึงมีการจับคู่สมบูรณ์แน่ๆ

ให้  เป็นวิถีออยเลอร์ใน  แน่นอนว่า  และ  เป็นการจับคู่สมบูรณ์ และ มีเส้นเชื่อมในการจับคู่สมบูรณ์นี้ อย่างน้อยหนึ่งอันที่น้ำหนักน้อยกว่าหรือเท่ากับ 

ดังนั้น จาก  และคุณสมบัติความไม่เสมอภาคของสามเหลี่ยม ทำให้ทราบว่าขั้นตอนวิธีนี้มีอัตราส่วนการประมาณ เป็น 1.5

 ปัญหาอื่นๆที่เกี่ยวข้อง 
 ขั้นตอนวิธีเพื่อนบ้านใกล้สุด
 ลิน-เคอนิกฮัน ฮิวริสติก
 การแก้ปัญหาการเดินทางของพนักงานขายแบบคันคอด

 สรุป 

เนื่องจากปัญหาการเดินทางของพนักงานขายอยู่ในกลุ่มปัญหาเอ็นพีบริบูรณ์ ซึ่งการจะหาคำตอบนั้นทำได้ยาก เราจึงมักใช้ขั้นตอนวิธีการประมาณในการประมาณคำตอบแทน และขั้นตอนวิธีของคริสโตไฟด์ ก็เป็นแนวทางหนึ่ง โดยมีเงื่อนไขว่าเส้นเชื่อมในกราฟนั้นจะเป็นไปตามความไม่เสมอภาคของสามเหลี่ยม ซึ่งเปรียบได้กับเมืองบนโลกจริงที่ถ้าหากมีเส้นทางจาก  ไป  และจาก  ไป  แล้ว จะมีเส้นทางจาก  ไป  ซึ่งไม่ยาวกว่าเส้นทางจาก  ไป  บวกกับเส้นทางจาก  ไป  แน่ๆ (ทางจาก  ไป  เปรียบได้กับทางลัด) ด้วยข้อกำหนดนี้ในการทำขั้นตอนที่ 2 และ 3 จะเป็นการเพิ่มเส้นเชื่อมที่จำเป็นในการหาวงจรออยเลอร์เข้าไปในกราฟ และขึ้นตอนที่ 5 ก็คือการเลือกเดินทางลัดนั่นเอง ซึ่งผลของขั้นตอนวิธีนี้ รับประกันได้ว่า ไม่แย่ไปกว่า 1.5 เท่าของคำตอบที่ดีที่สุด

 บันทึก 
 ความไม่เสมอภาคของสามเหลี่ยม คือผลบวกของด้านสั้นสองด้านของสามเหลี่ยมใดๆ ไม่มีทางสั้นกว่าด้านยาวของสามเหลี่ยมนั้นๆ

 อ้างอิง 
 Approximation Algorithms
 Christofides's 3/2 Approximation for Matric TSP
 CHRISTOFIDES’ HEURISTIC
 NIST Christofides Algorithm Definition
 Nicos Christofides, Worst-case analysis of a new heuristic for the travelling salesman problem, Report 388, Graduate School of Industrial Administration, CMU, 1976.

หมวดหมู่:ขั้นตอนวิธีกราฟ
หมวดหมู่:ปัญหาการเดินทางของพนักงานขาย
หมวดหมู่:ขั้นตอนวิธีการประมาณ
หมวดหมู่:ต้นไม้ทอดข้าม