อสมการโคชี-ชวาร์ซ

อสมการโคชี-ชวาร์ซ ( บางครั้งเรียก Bunyakovsky inequality หรือ Schwarz inequality, หรือ Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz inequality) เป็นอสมการที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์หลายสาขา อาทิเช่น วิชาพีชคณิตเชิงเส้น การวิเคราะห์เชิงจำนวนจริง พัฒนี อุดมกะวานิช, ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, การวิเคราะห์เชิงจำนวนจริง (Real Analysis), พ.ศ. 2545 โรงพิมพ์พิทักษ์การพิมพ์ ทฤษฎีความน่าจะเป็น และถือเป็นอสมการที่สำคัญที่สุดอสมการหนึ่งในสาขาคณิตศาสตร์J. Michael Steele, The Cauchy-Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, Ch. 1, Cambridge University Press (April 26, 2004), ISBN 052154677X, ISBN 978-0521546775 อสมการโคชี-ชวาร์ซมีรูปแบบทั่วไปอีกเรียกว่า อสมการของโฮลเดอร์ (Hölder's inequality)

 ประวัติ 
อสมการโคชี-ชวาร์ซในรูปของ อสมการของผลรวม ซึ่งเป็นกรณีอันตะถูกตีพิมพ์ครั้งแรกเมื่อปี ค.ศ. 1821 โดย ออกัสติน-หลุยส์ โคชี (Augustin-Louis Cauchy) ในขณะที่ วิกเตอร์ บันยาคอฟสกี้ (Viktor Bunyakovsky) ลูกศิษย์ของโคชี เสนออสมการในรูปแบบของอสมการปริพันธ์ที่เป็นกรณีทั่วไปกว่าในปี ค.ศ. 1859W. V.Ya. Bunyakovskii Bounjakowsky,   "Sur quelques inegalités concernant les intégrales aux différences finis"  Mem. Acad. Sci. St. Petersbourg (7), 1 (1859) และ เฮอร์มาน ชวาร์ซ (Hermann Schwarz) ค้นพบผลลัพธ์ในกรณีทั่วไปของผลคูณภายในเมื่อปี ค.ศ. 1885Earliest Known Uses of Some of the Words of MathematicsThe Bunyakovskii inequality is also known as the Schwarz inequality; however, Bunyakovskii published his study as early as 1859, whereas in H.A. Schwarz' work this inequality appeared as late as 1884 (without any reference to the work of Bunyakovskii)

 อสมการโคชี-ชวาร์ซ 

ให้  เป็นปริภูมิผลคูณภายใน และ 

โดยที่  คือผลคูณภายใน หลังจากถอดรากที่สองทั้งสองข้างของอสมการ และจัดรูปให้อยู่ในรูปของนอร์มของเวกเตอร์ จะได้ว่า



โดยที่อสมการทั้งสองข้างจะเท่ากันได้ก็ต่อเมื่อ  และ  เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน (ในทางเรขาคณิต,  และ  ขนานกัน หรือเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งเป็นเวกเตอร์ศูนย์)

ในกรณี  เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน และ  และ   อาจสามารถเขียนอสมการโคชี-ชวาร์ซในรูปแบบชัดแจ้งได้ดังนี้

โดยที่ x1, ..., xn, and y1, ..., yn เป็นสมาชิกของเวกเตอร์  และ  

หรือสามารถเขียนอยู่ในรูปที่กระชับคือ

 การพิสูจน์วัชรพงษ์ โขวิฑูรกิจ ,ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, คณิตศาสตร์วิศวกรรมไฟฟ้าขั้นสูง, สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2546 (ISBN 974-13-2533-9) หน้า 280 

พิจารณา กรณี  จะได้ว่าอสมการข้างต้นเป็นจริง ซึ่งเป็นกรณีไม่สำคัญ

พิจารณา กรณี 
ถ้า  เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ 
จากอสมการจะได้ว่า  

พบว่าถ้าแทน  ด้วย  แล้ว อสมการโคชี-ชวาร์ซ เป็นจริง

 อ้างอิง 

ค
ค
ค
ค