การค้นหาในแนวกว้าง

ในทฤษฎีกราฟ การค้นหาตามแนวกว้าง () คือขั้นตอนวิธีในการท่องกราฟอย่างหนึ่ง โดยในขณะที่กำลังท่องกราฟมายังจุดยอดหนึ่ง ๆ นั้น จะมีการกระทำสองอย่างคือ: (ก) เข้าเยี่ยมและตรวจสอบจุดยอดดังกล่าว (ข) เข้าถึงจุดยอดข้างเคียงของจุดยอดดังกลาว การท่องกราฟจะเริ่มต้นที่จุดยอดรากที่กำหนดและไปยังจุดยอดอื่น ๆ จนเกิดเป็นต้นไม้แบบทอดข้าม การท่องกราฟอีกรูปแบบที่คล้ายคลึงกันคือการค้นหาในแนวลึก

การค้นในลักษณะนี้ถูกใช้เป็นแนวคิดพื้นฐานในการแก้ปัญหาทฤษฎีกราฟรวมถึงการค้นในปริภูมิสถานะ

เนื่องจากมีลักษณะของการแวะผ่านปมไปทีละระดับ จึงเรียกอีกอย่างว่า การค้นทีละระดับ (Level-order search)

 ลักษณะโดยทั่วไป 
การค้นตามแนวกว้าง มีลักษณะการค้นหาลงไปทีละระดับ โดยการตรวจสอบระดับลูกทั้งหมดก่อน จึงลงไประดับถัดไป ซึ่งสามารถสร้างการค้นแบบนี้โดยใช้แถวคอย เพื่อให้ปมถูกค้นตามลำดับของระดับชั้น

เนื่องจากการค้นแบบนี้เป็นการค้นที่มีระบบ กล่าวคือไม่มีการตัดสินใจเลือกเส้นทางระหว่างการค้น แต่จะทำการค้นไปเรื่อย ๆ ตามรูปแบบจนเจอคำตอบ จึงจัดอยู่ในกลุ่มของการค้นแบบ Blind Search หรือ Uniformed Search

 ขั้นตอนวิธี 

 เพิ่มปมเริ่มต้นลงในแถวคอย
 นำปมออกจากแถวคอย ทำสัญลักษณ์แสดงการแวะผ่านแล้ว จากนั้นตรวจสอบดังนี้
 ถ้าเป็นปมที่สนใจหรือคำตอบ ให้ยุติการค้นหาและส่งคืนค่าผลลัพธ์
 ทำการเพิ่มปมลูกที่ยังไม่เคยแวะผ่านทุกปมลงในแถวคอย
 หากแถวคอยว่าง แสดงว่าจบการค้นหา
 หากแถวคอยไม่ว่าง ให้กลับไปขั้นตอนที่ 2

 codes 
 เมื่อกำหนดสถานะของปมดังนี้
 WHITE ปมยังไม่เคยถูกค้น
 GRAY ปมอยู่ในแถวคอย
 BLACK ปมถูกค้นเรียบร้อยแล้ว

        BFS(G(V,E), s) {
            for each v in V {
                color[v] <- WHITE;
            }
            Q = an empty queue;
            Q.enqueue(s);
            color[s] <- GRAY
            while (Q is not an empty queue) {
                u <- Q.dequeue();
                color[u] <- BLACK;
                for(each v that adjacent with u) {
                    if(color[v]=WHITE) {
                        Q.enqueue(v);
                        color[v] = GRAY;
                    }
                }
            }
        }

 ตัวอย่าง 
445|center
 ภาพตัวอย่างแสดงการเชื่อมโยงของเมืองในประเทศโรมาเนีย
 เมื่อใช้การค้นตามแนวกว้างกับกราฟนี้ จะได้ลำดับการค้นดังนี้
        Arad > Timisora > Zerind > Sibiu > Craivora > Oradea > Rimnicu > Fagaras > Pitesti > Bucharest

 คุณสมบัติ 
 ความซับซ้อนด้านพื้นที่ 
 เมื่อกำหนดให้หนึ่งปมมีปมลูก b และกราฟมีความสูง h จะพบว่าในแต่ละระดับจะมีจำนวนปมทั้งสิ้น bh
 ดังนั้นสามารถวิเคราะห์ความซับซ้อนของพื้นที่ได้เป็น O(bh)
 นอกจากนี้ยังสามารถแทนความซับซ็อนของพื้นที่ในรูปของจำนวนปมคือ O(|V|) เมื่อ V แทนเซ็ตของปมในกราฟ
 ความซับซ้อนด้านเวลา 
 พิจารณาลำดับการผ่านปมของการค้นตามแนวกว้างจะพบว่าในแต่ละครั้งของการค้นหา จะผ่านปมหนึ่งๆเพียงหนึ่งครั้งเท่านั้น ดังนั้นจึงใช้เวลาไม่เกิน O(|V|)
 ในขณะเดียวกัน การผ่านเส้นเชื่อมในแต่ละครั้งของการค้นจะผ่านเพียงเส้นละหนึ่งครั้งเช่นกัน ดังนั้นจึงใช้เวลาไม่เกิน O(|E|)
 ดังนั้นในกรณีเลวร้ายที่สุดของการค้นตามแนวกว้างที่ต้องผ่านทุกปมและทุกเส้นเชื่อม จะสามารถวิเคราะห์เวลาของการทำงานได้เป็น O(|V| + |E|)
 ความสมบูรณ์ 
 หากมีคำตอบหรือปมที่สนใจอยู่ในกราฟ ไม่ว่ากราฟนั้นจะเป็นกราฟอนันต์หรือไม่ การค้นตามแนวกว้างจะสามารถการันตีได้ว่าจะต้องเจอคำตอบเสมอ
 การได้คำตอบเหมาะสมที่สุด 
 คำตอบแรกที่ได้จากการค้นหาตวามแนวกว้าง จะมีระยะห่างจากปมเริ่มต้นเป็นระยะทางสั้นที่สุดเสมอ (เมื่อวัดจากจำนวนเส้นเชื่อม)
 แต่ในกรณีที่เป็นกราฟมีน้ำหนัก (Weighted Graph) คำตอบที่ได้อาจไม่ใช่ระยะทางสั้นสุด ซึ่งสามารถแก้ไขได้โดยการใช้การค้นหาตามค่าทุนอย่างมีเอกรูป

 การประยุกต์ใช้งาน 
การค้นตามแนวกว้างสามารถใช้ในการแก้ปัญหาต่าง ๆ ของทฤษฏีกราฟได้ เช่น
 การหาจุดยอดภายในส่วนประกอบที่เชื่อมกัน
 หาวงจรอย่างง่าย ในกราฟ
 หาป่าไม้แผ่ขยาย ในกราฟ
 หาระยะทางสั้นสุดระหว่างสองปม เช่น ขั้นตอนวิธีของพริมและขั้นตอนวิธีของไดค์สตรา
 ตรวจสอบความเป็นกราฟสองส่วน (Bipartiteness)
 ใช้ในขั้นตอนวิธีของเชนีย์
 ใช้ในขั้นตอนวิธีของฟอร์ด-เฟอลเกอสัน (Ford–Fulkerson method) ในการคำนวณการไหลสูงสุด (Maximum Flow) ในเครือข่ายการไหล (Flow Network)

 อ้างอิง 



 http://www.personal.kent.edu/~rmuhamma/Algorithms/MyAlgorithms/GraphAlgor/breadthSearch.htm
 http://intelligence.worldofcomputing.net/ai-search/breadth-first-search.html

 แหล่งข้อมูลอื่น 

 Breadth-First Search in JAVA
 JAWAA Animation: Breadth-First Search
 http://www.cp.eng.chula.ac.th/~somchai/ULearn/Algorithms/index.htm
 http://ww3.algorithmdesign.net/handouts/BFS.pdf
 Edmonds’s Non-Bipartite Matching Algorithm

หมวดหมู่:ขั้นตอนวิธีการค้นหา