ค่าคาดหมาย

สำหรับทฤษฎีความน่าจะเป็นแล้ว ค่าคาดหมาย () ของ ตัวแปรสุ่ม คือ ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก (weighted average) ของทุก ๆ ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม โดยในการคำนวณการถ่วงน้ำหนักจะใช้ค่าฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (probability density function) สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง หรือใช้ค่าฟังก์ชันมวลของความน่าจะเป็น (probability mass function) สำหรับตัวแปรวิยุต  หากกำหนดให้  เป็นตัวแปรสุ่ม จะแทนค่าคาดหมายของ  ด้วย  หรือ  หรือบางครั้งแทนด้วย  

ค่าความคาดหมายนี้เมื่อพิจารณาจากกฎว่าด้วยจำนวนมาก ก็คือค่าลิมิตแบบ almost surely ของค่าเฉลี่ยที่ได้จากการสุ่มตัวอย่าง โดยที่จำนวนการสุ่มโตเข้าสู่ค่าอนันต์
หรือกล่าวอย่างไม่เป็นทางการว่า ค่าความคาดหมายคือค่าเฉลี่ยจากการสุ่มวัดที่ทำหลาย ๆ ครั้งมาก ๆ

 นิยาม 
 ตัวแปรสุ่มวิยุต (discrete random variable), กรณีค่าจำกัด 
สมมติ ตัวแปรสุ่ม  มีโอกาสมีค่าเป็น  ด้วยความน่าจะเป็น , มีโอกาสมีค่าเป็น  ด้วยความน่าจะเป็น , ... , มีโอกาสมีค่าเป็น  ด้วยความน่าจะเป็น   ดังตาราง
+ตัวแปรสุ่มความน่าจะเป็น......
ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม  จะถูกนิยามได้เป็น



An illustration of the convergence of die roll sequence averages to the expected value of 3.5 as the number of rolls (trials) grows.|thumb|right|400 px
ตัวอย่างที่ 1. ให้  เป็นตัวแปรสุ่มแทนหน้าที่ออกจากการทอยลูกเต๋า ค่าที่เป็นไปได้ของ  คือ 1, 2, 3, 4, 5, และ 6, โดยแต่ละค่ามีโอกาสออกได้เท่า ๆ กัน (แต่ละค่ามีความน่าจะเป็น ) ค่าคาดหมายของ  คือ


ดังนั้นถ้าเราทอยลูกเต๋า  ครั้งและคำนวณค่าเฉลี่ย ของหน้าที่ออกแล้ว ค่าเฉลี่ยนี้จะลู่เข้าสู่ค่าคาดหมายเมื่อ  ใหญ่ขึ้น

 ตัวแปรสุ่มวิยุต (discrete random variable), กรณีค่าไม่จำกัด 
สมมติ ตัวแปรสุ่ม  มีโอกาสมีค่าเป็น , , ... ด้วยความน่าจะเป็น , , ... ตามลำดับ
ค่าคาดหมายของ  จะนิยามได้ว่า


ถ้าค่าของอนุกรมนี้ไม่เป็นการลู่เข้าสัมบูรณ์ จะเรียกว่า ค่าคาดหมายของ  ไม่ปรากฏ
ตัวอย่างเช่น สมมติ ตัวแปรสุ่ม  มีโอกาสมีค่าเป็น 1, −2, 3, −4, ..., ด้วยความน่าจะเป็น , , , , ..., โดย  (ค่าของ c นี้มีแค่เพื่อทำให้ผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดรวมเป็น 1)
ค่าของอนุกรมจะเป็น

ซึ่งลู่เข้าและลู่เข้าสู่ค่า 
แต่อนุกรมนี้ไม่ได้เป็นการลู่เข้าสัมบูรณ์ ดังนี้ค่าคาดหมายของ  ในกรณีนี้จึงไม่มี

 ตัวแปรต่อเนื่อง 
เมื่อตัวแปรสุ่ม  มีฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น  ค่าคาดหมายของ  สามารถคำนวณได้จาก


 คุณสมบัติค่าคาดหมาย 








เมื่อ  คือค่าคงที่,  และ  เป็นตัวแปรสุ่มจากการแจกแจงใด ๆ

 อ้างอิง 

หมวดหมู่:ทฤษฎีความน่าจะเป็น