การแจกแจงปรกติหลายตัวแปร

การแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปร () เป็นการขยายวางนัยทั่วไปจากการแจกแจงแบบปรกติ (ตัวแปรเดียว) ไปเป็นหลายมิติ (หลายตัวแปร)
เวกเตอร์สุ่มที่มีการแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปร คือ ทุก ๆ ผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ของส่วนประกอบของเวกเตอร์มีการแจกแจงเป็นการแจกแจงแบบปรกติ

การแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปร มักใช้อธิบาย เซตของตัวแปรสุ่มหลาย ๆ ตัวที่มีความสัมพันธ์กัน โดยที่แต่ค่าของตัวแปรจะมีค่าเกาะกลุ่มอยู่ใกล้ ๆ กับค่ามัชฌิม

 สัญลักษณ์เครื่องหมายและการใช้พารามิเตอร์ 
การแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปร ของเวกเตอร์สุ่ม k มิติ (k-dimensional random vector)  สามารถเขียนได้ดังนี้:


หรือสามารถระบุจำนวนมิติของตัวแปรได้ดังนี้


โดยเวกเตอร์ค่ามัชฌิมที่มี k มิติ คือ

และ เมทริกซ์ของความแปรปรวนร่วมเกี่ยว (covariance matrix) ขนาด k x k คือ


 คำนิยาม 
เวกเตอร์สุ่ม  จะมีการแจกแจงแบบปรกติหลายตัวแปรได้ก็ต่อเมื่อเงื่อนไข ดังนี้Gut, Allan: An Intermediate Course in Probability, 2009, chapter 5:

<li> ทุก ๆ ผลรวมเชิงเส้น Y = a1X1 + … + akXk มีการแจกแจงเป็นการแจกแจงแบบปรกติ
นั่นคือ สำหรับเวกเตอร์ค่าคงที่ใด ๆ , ตัวแปรสุ่ม  จะมีการแจกแจงเป็นการแจกแจงแบบปรกติ

<li> เวกเตอร์สุ่ม Z (ขนาด ℓ มิติ) ที่สมาชิกของ Z เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปรกติ, เวกเตอร์ μ (ขนาด k มิติ), และ เมทริกซ์ A (ขนาด k×ℓ) มีอยู่จริง โดยที่ 

<li> เวกเตอร์ μ (ขนาด k มิติ) และ เมทริกซ์ Σ (ขนาด k×k) ที่สมมาตรและเป็น nonnegative-definite มีอยู่จริง โดยที่ characteristic function ของ X คือ


<li> ในกรณีที่ เมทริกซ์ของความแปรปรวนร่วมเกี่ยว Σ ไม่อยู่ในภาวะเอกฐาน (nonsigular) จะมีเวกเตอร์ μ (ขนาด k) และ เมทริกซ์ Σ (ขนาด k×k) ที่สมมาตรและเป็น positive-definite อยู่จริง โดยที่ ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (probability density function) ของ X จะเขียนได้ ดังนี้: 
โดย |Σ| เป็น ดีเทอร์มิแนนต์ ของ Σ

 บทความที่เกี่ยวข้อง 
 การแจกแจงแบบปรกติ

 อ้างอิง 

หมวดหมู่:การแจกแจงความน่าจะเป็น