โดเมน (ฟังก์ชัน)

โดเมน () ของฟังก์ชัน คือเซตของอาร์กิวเมนต์ที่ป้อนลงในฟังก์ชันซึ่งได้นิยามไว้แล้ว Paley, H. Abstract Algebra, Holt, Rinehart and Winston, 1966 (p. 16). ตัวอย่างเช่น โดเมนของฟังก์ชันโคไซน์คือจำนวนจริงทั้งหมด ในขณะที่โดเมนของฟังก์ชันรากที่สองคือจำนวนใด ๆ ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 0 เท่านั้น (ซึ่งกรณีทั้งสองไม่รวมจำนวนเชิงซ้อน) สำหรับการนำเสนอฟังก์ชันด้วยกราฟในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน x-y โดเมนคือช่วงบนแกน x ที่กราฟครอบคลุม หรือเรียกว่า พิกัดที่หนึ่ง (abscissa)

 นิยาม 
กำหนดให้ฟังก์ชัน f : X → Y หมายความว่าเซต X ซึ่งเป็นค่าป้อนเข้าคือโดเมนของ f และเซต Y ก็คือโคโดเมนของ f

ส่วนเรนจ์ของ f คือเซตของผลลัพธ์ทั้งหมดที่ออกมาจากฟังก์ชัน f นั่นคือเซต { f (x) : x ∈ X }  Smith, William K.  Inverse Functions, MacMillan, 1966 (p. 8). เรนจ์จึงสามารถเป็นเซตเดียวกับโคโดเมน หรือเป็นเซตย่อยของโคโดเมนก็ได้ ซึ่งเรนจ์จะมีขนาดเล็กกว่าโคโดเมนถ้า f ไม่เป็นฟังก์ชันทั่วถึง (surjective function)

ฟังก์ชันที่นิยามไว้อย่างดี จะจับคู่สมาชิกทุกตัวของโดเมนเข้ากับสมาชิกของโคโดเมน สมมติว่ามีฟังก์ชัน f ที่นิยามโดย
f (x) = 1 / x
ไม่มีผลลัพธ์สำหรับ f (0) (ดูเพิ่มที่ การหารด้วยศูนย์) ดังนั้นเซตของจำนวนจริง R จึงไม่สามารถเป็นโดเมนของฟังก์ชันนี้ ในกรณีนี้ฟังก์ชันจะต้องนิยามว่าโดเมนเป็น R \ {0} หรือเพิ่มเงื่อนไขเมื่อ x เป็น 0 อย่างใดอย่างหนึ่ง ถ้าเราขยายบทนิยามของ f ให้เป็นดังนี้
f (x) = 1 / x ; เมื่อ x ≠ 0
f (0) = 0
ฟังก์ชันนี้จึงจะให้ผลสำหรับจำนวนจริงทุกค่าที่ป้อนเข้า และมีโดเมนเป็น R

ฟังก์ชันใด ๆ สามารถจำกัดลดทอนโดเมนลงไปเป็นเซตย่อยของมันได้ เช่นฟังก์ชัน g : A → B เราสามารถจำกัดเซต A ลงไปเป็นเซต S (โดยที่ ) จะได้ว่า 

 โดเมนของฟังก์ชันบางส่วน 
การใช้งานทางคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน ได้กำหนดความหมายของโดเมนของฟังก์ชันบางส่วนไว้แตกต่างกัน นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ รวมทั้งผู้ที่ศึกษาทฤษฎีเวียนเกิด ให้ความหมาย "โดเมนของ f" เป็นเซตของค่า x ทั้งหมดที่ f (x) ได้นิยามไว้ แต่นักคณิตศาสตร์บางท่าน และผู้ที่ศึกษาทฤษฎีหมวดหมู่ พิจารณาว่าโดเมนของฟังก์ชัน f : X → Y ก็ยังคงเป็น X โดยไม่คำนึงถึงว่า f (x) จะมีผลลัพธ์สำหรับทุกค่า x ใน X หรือไม่

 อ้างอิง 

หมวดหมู่:ฟังก์ชันและการจับคู่
หมวดหมู่:ทฤษฎีเซต