รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ในทางเรขาคณิต รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน คือรูปสี่เหลี่ยมชนิดหนึ่งที่มีด้านตรงข้ามขนานกันจำนวนสองคู่ ในบริบทของเรขาคณิตแบบยูคลิด ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีความยาวเท่ากัน และมุมตรงข้ามก็มีขนาดเท่ากัน ความสมนัยของด้านตรงข้ามและมุมตรงข้ามเป็นผลทางตรงจากสัจพจน์เส้นขนานแบบยูคลิด (Euclidean Parallel Postulate) นั่นคือไม่มีเงื่อนไขอันใดที่สามารถพิสูจน์โดยไม่อ้างถึงสัจพจน์เส้นขนานแบบยูคลิดหรือบทบัญญัติเทียบเท่า

รูปทรงที่คล้ายกันในสามมิติคือทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน

 สมบัติ 
 ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นเส้นขนาน (โดยนิยาม) หมายความว่าเมื่อต่อด้านออกไปจะไม่บรรจบกัน
 ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยาวเท่ากัน
 มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีขนาดเท่ากัน
 มุมภายในที่อยู่ติดกันรวมกันเป็นมุมประกอบสองมุมฉาก (รวมกันได้ 180°)
 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นสองเท่าของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากการแบ่งด้วยเส้นทแยงมุมหนึ่งเส้น
 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานก็ยังเท่ากับขนาดของผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ของด้านที่อยู่ติดกัน
 เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน
 เส้นตรงใด ๆ ที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะแบ่งครึ่งพื้นที่พอดีDunn, J. A., and J. E. Pretty, "Halving a triangle", Mathematical Gazette 56, May 1972, p. 105.
 การแปลงสัมพรรค (affine transformation) ที่ไม่ใช่ภาวะลดรูป ทำให้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานกลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานอีกรูปหนึ่ง การแปลงสัมพรรคที่ทำให้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานกลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีเป็นจำนวนอนันต์
 รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีสมมาตรแบบหมุน (หรือสมมาตรเชิงวงกลม) ในอันดับสอง (หมุนครั้งละ 180°) และถ้ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีสมมาตรแบบสะท้อนสองแกน แสดงว่ามันคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหรือไม่ก็รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
 เส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยาวเท่ากับ 2 (a + b) เมื่อ a และ b คือความยาวของด้านที่อยู่ติดกัน
 ผลรวมของกำลังสองของด้านทั้งสี่ เท่ากับผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมทั้งสองPosamentier, Alfred S., and Charles T. Salkind, Challenging Problems in Geometry, Dover, second edition, 1996: p. 217, item 10-5. ดูเพิ่มที่กฎรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

 ประเภท 
 รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมุมไม่ฉาก (rhomboid) คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มุมภายในไม่เป็นมุมฉาก ความหมายตรงข้ามกับรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
 รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากและรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มุมภายในทุกมุมเท่ากัน (มุมฉาก)
 รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ด้านทุกด้านยาวเท่ากัน
 รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ด้านทุกด้านยาวเท่ากันและมุมภายในทุกมุมเท่ากัน (มุมฉาก)

 การพิสูจน์ว่าเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน 
การพิสูจน์ว่าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน กระทำได้โดยใช้ทฤษฎีบทรูปสามเหลี่ยมสมภาค (เท่ากันทุกประการ) ดังนี้

 (มุมแย้งภายในเส้นขนานมีขนาดเท่ากัน)
 (มุมแย้งภายในเส้นขนานมีขนาดเท่ากัน)
เนื่องจากมุมเหล่านี้เป็นมุมที่เกิดจากเส้นตรงที่ลากผ่านเส้นขนาน AB และ DC

นอกจากนี้ ด้าน AB ก็ยาวเท่ากับ DC เนื่องจากด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยาวเท่ากัน

เพราะฉะนั้นรูปสามเหลี่ยม ABE กับรูปสามเหลี่ยม CDE เท่ากันทุกประการด้วยสัจพจน์ มุม-ด้าน-มุม ดังนั้นจะได้

เนื่องจากเส้นทแยงมุม AC กับ BD ประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวเท่ากันในแต่ละเส้น จึงสรุปว่าเส้นทแยงมุมทั้งสองแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน

 สูตรพื้นที่ 
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตามที่ปรากฏในภาพ (แสดงด้วยสีฟ้า) คือพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดหักออกด้วยพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสองรูป (แสดงด้วยสีส้ม) เนื่องจากพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากคือ

และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหนึ่งรูปคือ

ดังนั้นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากับ

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านสองด้านที่อยู่ติดกันยาวเท่ากับ a และ b และทำมุม θ สูตรพื้นที่อีกสูตรหนึ่งคือ

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านสองด้านที่อยู่ติดกันยาวเท่ากับ a และ b โดยที่ a ≠ b และเส้นทแยงมุมทั้งสองเส้นตัดกันทำมุม γ คำนวณได้จากสูตรนี้Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral", Mathematical Gazette, July 2009.

 พื้นที่บนระบบพิกัด 
กำหนดให้ a และ b เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิสองมิติ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ทั้งสองสามารถคำนวณได้จาก

กำหนดให้ a และ b เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ n มิติ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ทั้งสองสามารถคำนวณได้จาก

กำหนดให้จุด a, b, c เป็นจุดในปริภูมิสองมิติ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากจุดยอดทั้งสามสามารถคำนวณได้ดังนี้

 อ้างอิง 

 ดูเพิ่ม 
 กฎรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
 รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหลักมูล

 แหล่งข้อมูลอื่น 

 Parallelogram and Rhombus - Animated course (Construction, Circumference, Area)

 Interactive Parallelogram --sides, angles and slope
 Area of Parallelogram at cut-the-knot
 Equilateral Triangles On Sides of a Parallelogram at cut-the-knot
 Definition and properties of a parallelogram with animated applet
 Interactive applet showing parallelogram area calculation interactive applet

ด