ช่องว่างจำนวนเฉพาะ

ช่องว่างจำนวนเฉพาะ () หมายถึงผลต่างระหว่างจำนวนเฉพาะสองจำนวนที่อยู่ติดกัน ช่องว่างจำนวนเฉพาะในตำแหน่งที่ n เขียนแทนด้วย gn คือผลต่างระหว่างจำนวนเฉพาะตัวที่ n+1 กับ n ดังนี้

ดังนั้นเราจะได้ g1 = 1, g2 = g3 = 2, และ g4 = 4 เป็นต้น

ลำดับของช่องว่างจำนวนเฉพาะ 30 ตัวแรกมีดังนี้
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, ... 

 ข้อสังเกตเบื้องต้น 
สำหรับจำนวนเฉพาะ P ใด ๆ เราสามารถเขียน P# แทนความหมายของไพรมอเรียลของ P ซึ่งเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ไม่มากกว่า P และกำหนดให้ Q เป็นจำนวนเฉพาะที่อยู่ถัดจาก P ดังนั้น ลำดับนี้

คือลำดับของจำนวนประกอบที่อยู่ติดกัน Q−2 จำนวน ซึ่งหมายความว่ามีช่องว่างจำนวนเฉพาะอย่างน้อยที่เท่ากับ Q−1 ดังนั้น เราสามารถสร้างช่องว่างจำนวนเฉพาะให้มีขนาดใหญ่เท่าใดก็ได้ นั่นคือ สำหรับจำนวนเฉพาะ P ใด ๆ จะมีจำนวนเต็ม n ซึ่ง gn > P (เลือก n ที่ทำให้ pn มีค่ามากที่สุด และน้อยกว่า P# + 2)

ในความเป็นจริง ช่องว่างจำนวนเฉพาะที่เท่ากับ n อาจปรากฏเป็นค่าที่น้อยกว่า n# อย่างมาก ตัวอย่างเช่น ลำดับจำนวนประกอบที่เล็กที่สุด มี 71 จำนวนที่อยู่ระหว่าง 31398 และ 31468 ในขณะที่ 71# มีค่ามากถึง 27 หลัก นั่นคือ 557940830126698960967415390

ถึงแม้ว่าช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะจะเฉลี่ยเพิ่มขึ้นแบบลอการิทึมธรรมชาติบนจำนวนเต็ม อัตราของ ช่องว่างจำนวนเฉพาะมากสุด ก็จะแปรผันเพิ่มขึ้นไปตามความมหาศาลของจำนวนด้วย

ในทางตรงข้าม ข้อความคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่แฝดกล่าวว่า มี n ที่ทำให้ gn = 2 อยู่ไม่จำกัด

 ผลลัพธ์เชิงตัวเลข 
กระทั่งถึง พ.ศ. 2550 ช่องว่างจำนวนเฉพาะที่มากที่สุดที่มีการค้นพบ มีขนาด 2,254,930 หลัก ระบุจากจำนวนเฉพาะน่าจะเป็น (probable prime) ขนาด 86,853 หลักสองจำนวน ค้นพบโดย H. Rosenthal และ J. K. Andersen ส่วนช่องว่างจำนวนเฉพาะที่มากที่สุดที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว มีขนาด 337,446 หลัก จากจำนวนเฉพาะขนาด 7,996 หลักที่ค้นพบโดย T. Alm, J. K. Andersen และ François Morain

เราจะกล่าวว่า gn เป็น ช่องว่างจำนวนเฉพาะมากสุด (maximal prime gap) ถ้าหาก gm < gn สำหรับทุกค่าของ m < n เมื่อเดือนเมษายน พ.ศ. 2550 ช่องว่างจำนวนเฉพาะมากสุด ที่มากที่สุดค้นพบโดย Siegfried Herzog และ Tomás Oliveira e Silva มีขนาด 1,442 หลัก ซึ่งเป็นช่องว่างมากสุดลำดับที่ 74 ที่เกิดขึ้นหลังจากจำนวนเฉพาะ 804212830686677669Maximal Prime Gaps

อัตราส่วน (จำนวนหลักของ gn) / ln(pn) เรียกว่าเป็นอัตรา merit ของ gn ซึ่งมีค่าขึ้นลงไม่เท่ากัน มีค่ามากที่สุดเท่ากับ 1442 / log(804212830686677669) = 34.98

+ ช่องว่างจำนวนเฉพาะมากสุด 74 ตัวแรก (ไม่แสดงค่า n)+ ลำดับที่ 1 ถึง 25 #  gn  pn 1   1  2 2   2  3 3   4  7 4   6  23 5   8  89 6  14  113 7  18  523 8  20  887 9  22  112910  34  132711  36  955112  44  1568313  52  1960914  72  3139715  86  15592116  96  36065317 112  37026118 114  49211319 118  134953320 132  135720121 148  201073322 154  465235323 180  1705170724 210  2083132325 220  47326693+ ลำดับที่ 26 ถึง 50 #  gn  pn26 222  12216474727 234  18969565928 248  19191278329 250  38709613330 282  43627300931 288  129426849132 292  145316814133 320  230094254934 336  384261077335 354  430240735936 382  1072690465937 384  2067804829738 394  2236708495939 456  2505608208740 464  4265261834341 468  12797633467142 474  18222689623943 486  24116062414344 490  29750107579945 500  30337145524146 514  30459950853747 516  41660869582148 532  46169051001149 534  61448745352350 540  738832927927+ ลำดับที่ 51 ถึง 74 #  gn  pn51 582  134629431074952 588  140869549360953 602  196818855646154 652  261494171059955 674  717716261171356 716  1382904855970157 766  1958133419242358 778  4284228392535159 804  9087432941149360 806  17123134242052161 906  21820940543654362 916  118945996982548363 924  1686994940955803641132  1693182318746371651184  43841547845541059661198  55350776431903243671220  80873624627234849681224  203986478517455989691248  218034721194214273701272  305405826521087869711328  352521223451364323721356  401429925999153707731370  418032645936712127741442  804212830686677669       

 ผลลัพธ์ต่อ ๆ ไป 
ผลลัพธ์ของช่องว่างจำนวนเฉพาะต่อ ๆ ไป เป็นไปตามสัจพจน์ของเบอร์แทรนด์ ซึ่ง gn < pn

ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะกล่าวว่า "ความยาวเฉลี่ย" ของช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะ p กับจำนวนเฉพาะถัดไป มีค่าเท่ากับ ln p ซึ่งความยาวจริงของช่องว่างอาจมากกว่าหรือน้อยกว่านี้ก็ได้ อย่างไรก็ตาม จากทฤษฎีบทดังกล่าวเราสามารถคาดคะเนขอบเขตบนสำหรับความยาวของช่องว่างนั้น นั่นคือ ทุกค่าของ ε > 0 จะมีจำนวน N ที่ทำให้ gn < εpn สำหรับทุกค่าของ n > N

Guido Hoheisel ได้แสดงเป็นครั้งแรกG. Hoheisel, Primzahlprobleme in der Analysis, Sitzunsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 33, pages 3-11, (1930) ว่ามีค่าคงตัว θ < 1 ที่ทำให้

เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้อนันต์ ซึ่งแสดงให้เห็นว่า

สำหรับจำนวน n ที่มีขนาดมากเพียงพอ เราสามารถคาดคะเนว่าช่วงว่างจะดูเล็กลงเมื่อเทียบกับขนาดของจำนวนเฉพาะ นั่นคือ gn / pn จะมีค่าเข้าใกล้ศูนย์ เมื่อ n มีค่าเข้าใกล้อนันต์

Hoheisel เลือกค่าที่เป็นไปได้คือ 32999/33000 สำหรับแทนค่าของ θ ต่อมาก็ได้พัฒนาเป็น 249/250 โดย Hans HeilbronnH. A. Heilbronn, Über den Primzahlsatz von Herrn Hoheisel, Mathematische Zeitschrift, 36, pages 394-423, (1933) และเปลี่ยนเป็น 3/4 + ε สำหรับค่าใด ๆ ของ ε > 0 โดย ČudakovN. G. Tchudakoff, On the difference between two neighboring prime numbers, Math. Sb., 1, pages 799-814, (1936)

การพัฒนาครั้งหนึ่งที่สำคัญโดย Albert InghamIngham, A. E. On the difference between consecutive primes, Quarterly Journal of Mathematics (Oxford Series), 8, pages 255-266, (1937) ผู้ซึ่งกล่าวว่า ถ้าหาก

จะมีค่าคงตัว c ที่เป็นจำนวนบวก ที่ทำให้

สำหรับค่าใด ๆ ของ θ > (1 + 4c)/(2 + 4c) เมื่อ ζ คือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ และ π คือฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ ในเมื่อเราทราบว่าค่าของ c > 1/6 เป็นค่าที่ยอมรับได้ ดังนั้น θ จึงสามารถเป็นจำนวนใด ๆ ก็ได้ที่มากกว่า 5/8

จากความรู้ของ Ingham ส่งผลให้สามารถทราบได้ว่า จะมีจำนวนเฉพาะแทรกอยู่ระหว่าง n3 และ (n + 1)3 เสมอ ถ้า n มีขนาดใหญ่เพียงพอ ไม่เว้นแม้แต่สมมติฐานของ Lindelöf ซึ่งกล่าวว่าเราสามารถให้ค่า c เป็นจำนวนบวกใด ๆ แล้วทำให้มีจำนวนเฉพาะแทรกอยู่ระหว่าง n2 กับ (n + 1)2 ด้วยเงื่อนไขเดียวกัน (ดูเพิ่มที่ ข้อความคาดการณ์ของเลอช็องดร์) และเพื่อที่จะยืนยันคำกล่าวนี้ ผลลัพธ์ที่มีน้ำหนักอย่างเช่นข้อความคาดการณ์ของเครเมอร์อาจเป็นที่ต้องการ

Martin Huxley กล่าวว่าเราอาจสามารถใช้ค่า θ = 7/12 ก็ได้ และจากผลลัพธ์เมื่อเร็ว ๆ นี้ Baker, Harman และ Pintz ได้แสดงให้เห็นว่า θ สามารถเท่ากับ 0.525 ก็ได้

 ข้อความคาดการณ์เกี่ยวกับช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะ 
ถึงแม้ว่าผลลัพธ์ที่ดีกว่าจะสามารถเป็นไปได้ ถ้าหากให้สมมติฐานของรีมันน์เป็นจริง Harald Cramér ได้พิสูจน์แล้วว่า ช่องว่างจำนวนเฉพาะ g(p)

ตรงตามเงื่อนไขภายใต้สมมติฐานนี้ อย่างไรก็ตาม เขาได้คาดการณ์ว่าอาจจะมีช่องว่างที่มีขนาดเล็กกว่านี้อีก โดยคาดการณ์อย่างหยาบ ๆ ว่า

และปัจจุบันดูเหมือนว่าแนวโน้มของตัวเลขจะเข้าสู่แนวทางนี้ ดูเพิ่มที่ ข้อความคาดการณ์ของเครเมอร์

ข้อความคาดการณ์ของแอนดริกาได้ระบุว่า

 อ้างอิง 

 อ่านเพิ่ม 



 แหล่งข้อมูลอื่น 
 Thomas R. Nicely, Some Results of Computational Research in Prime Numbers -- Computational Number Theory. This reference web site includes a list of all first known occurrence prime gaps.


 Armin Shams, Re-extending Chebyshev's theorem about Bertrand's conjecture, does not involve an 'arbitrarily big' constant as some other reported results.
 Chris Caldwell, Gaps Between Primes; an elementary introduction
 Andrew Granville, Primes in Intervals of Bounded Length; overview of the results obtained so far up to and including James Maynard's work of November 2013.

หมวดหมู่:จำนวนเฉพาะ