ฟังก์ชันซีตาของรีมัน

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันซีตาของรีมัน () เป็นฟังก์ชันที่นิยามโดย 

ซึ่งตั้งตามชื่อของแบร์นฮาร์ท รีมัน นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ฟังก์ชันนี้มีความสำคัญในด้านทฤษฎีจำนวนเนื่องจากว่ามันสามารถบ่งบอกถึงการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะได้ และยังสามารถประยุกต์ใช้ในทางฟิสิกส์ ความน่าจะเป็น และสถิติได้

 สูตรผลคูณของอ็อยเลอร์  
ในปี ค.ศ. 1737 อ็อยเลอร์ค้นพบความเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันซีตาของรีมันและจำนวนเฉพาะ ซึ่งพิสูจน์เอกลักษณ์ดังกล่าว

การพิสูจน์เอกลักษณ์นี้ ใช้เพียงสูตรสำหรับอนุกรมเรขาคณิต และ ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตเท่านั้น เนื่องจากอนุกรมฮาร์มอนิก เมื่อ s = 1 เป็นอนุกรมลู่ออก

สูตรผลคูณของออยเลอร์สามารถใช้เพื่อคำนวณความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นที่จำนวนเต็มใด ๆ หารด้วยจำนวนเฉพาะ (หรือจำนวนเต็ม) p ลงตัว คือ  ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ตัวเลขจำนวน s ตัวหารด้วยจำนวนเฉพาะนี้ลงตัวคือ  และความน่าจะเป็นที่จะหารไม่ลงตัว คือ  สำหรับจำนวนเฉพาะ ดังนั้นความน่าจะเป็นจะได้มาจากผลคูณของลำดับของจำนวนเฉพาะทั้งหมด นั่นคือ

 ดูเพิ่ม 
 สมมติฐานของรีมัน

หมวดหมู่:ฟังก์ชันและการจับคู่