ฟองน้ำเมงเงอร์

ฟองน้ำเมงเงอร์ () คือชื่อเรียกของแฟร็กทัลอย่างหนึ่งที่เป็นส่วนขยายในสามมิติของเซตคันทอร์ (Cantor set) กับพรมเซียร์พินสกี (Sierpinski carpet) ซึ่งบางตำราอาจเรียกว่า ฟองน้ำเมงเงอร์-เซียร์พินสกี หรือ ฟองน้ำเซียร์พินสกี และหมายรวมไปถึงแฟร็กทัลหรือกราฟที่เป็นซับเซตของฟองน้ำเมงเงอร์ด้วย เหตุที่เรียกว่าฟองน้ำคือแฟร็กทัลในสามมิตินี้มีรูพรุนทั่วทั้งวัตถุคล้ายฟองน้ำ คาร์ล เมงเงอร์ นักคณิตศาสตร์ชาวออสเตรีย เป็นผู้อธิบายโครงสร้างและลักษณะของแฟร็กทัลชนิดนี้เป็นครั้งแรกใน ค.ศ. 1926

 การสร้างฟองน้ำเมงเงอร์ 
การสร้างฟองน้ำเมงเงอร์สามารถอธิบายได้ดังนี้
 เริ่มต้นจากทรงลูกบาศก์ (รูปแรก) เป็นฟองน้ำเมงเงอร์ระดับศูนย์
 แบ่งย่อยแต่ละหน้าออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 9 รูป ซึ่งทำให้ทรงลูกบาศก์ถูกแบ่งออกเป็น 27 ชิ้นย่อย คล้ายลูกบาศก์ของรูบิค
 นำทรงลูกบาศก์ย่อยที่อยู่ตรงกลางของทุกหน้าออก รวมทั้งชิ้นที่อยู่ตรงกลางภายใน เหลือไว้เพียง 20 ชิ้น เป็นฟองน้ำเมงเงอร์ระดับหนึ่ง (รูปที่สอง)
 ทำซ้ำขั้นตอนที่ 1 ถึง 3 กับทรงลูกบาศก์ย่อยที่เหลือ
การทำซ้ำรอบสองจะได้ฟองน้ำระดับสอง (รูปที่สาม) รอบสามจะได้ฟองน้ำระดับสาม (รูปที่สี่) เป็นเช่นนี้ต่อไปเรื่อย ๆ
600px|center|ฟองน้ำเมงเงอร์ระดับศูนย์ถึงสาม
จำนวนชิ้นของทรงลูกบาศก์จะเพิ่มทีละ 20 เท่าจากระดับก่อนหน้า หรืออธิบายได้จาก  เมื่อ n คือจำนวนรอบของการทำซ้ำ ในข้อแรกซึ่งยังไม่มีการวนรอบ จะมีทรงลูกบาศก์เพียงชิ้นเดียว ()
 รอบ  จำนวน  ผลรวม 0  1  1 1  20  21 2  400  421 3  8,000  8,421 4  160,000  168,421 5  3,200,000  3,368,421 6  64,000,000  67,368,421

 นิยามทั่วไป 
ฟองน้ำเมงเงอร์สามารถนิยามได้จาก

เมื่อ  คือทรงลูกบาศก์หนึ่งหน่วย และ

ดังนั้นฟองน้ำเมงเงอร์ในระดับอนันต์ จึงมีพื้นที่ผิวเป็นอนันต์ จำนวนหน้าเป็นอนันต์ และมีปริมาตรเป็นศูนย์

 อ้างอิง 
 Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces, (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in Classics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor,  Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
 Karl Menger, Dimensionstheorie, (1928) B.G Teubner Publishers, Leipzig.

 ดูเพิ่ม 
 รูปสามเหลี่ยมเซียร์พินสกี (Sierpinski triangle)
 ทรงสี่หน้าเซียร์พินสกี (Sierpinski tetrahedron)

 แหล่งข้อมูลอื่น 

 An interactive Menger sponge
 Fractal polyhedra  (VRML) and interactive Java models 
 Puzzle Hunt — Video explaining Zeno's paradoxes using Menger-Sierpinski sponge
 Menger Sponge Animations  — Menger Sponge Animations up to Level 9, discussion of optimization for 3d

หมวดหมู่:แฟร็กทัล
หมวดหมู่:เส้นโค้ง
หมวดหมู่:ปริภูมิทอพอโลยี