ทฤษฎีบทของกรีน

ทฤษฎีบทของกรีน () เป็นทฤษฎีบทในแคลคูลัสเวกเตอร์ซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่างอินทิกรัลตามเส้นรอบเส้นโค้งปิดอย่างง่าย  กับอินทิกรัลสองชั้นเหนือบริเวณ  ในระนาบที่ถูกล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง  นั้น ทฤษฎีบทของกรีนเป็นกรณีพิเศษใน 2 มิติของทฤษฎีบทของสโตกส์    

 ทฤษฎีบท 
ให้  เป็นเส้นโค้งปิดใด ๆ ที่มีทิศทางบวก (positively oriented) เป็นเส้นโค้งปรับเรียบเป็นช่วง ๆ (piecewise smooth) และเป็นเส้นโค้งอย่างง่าย (simple) ในระนาบ  และให้  เป็นบริเวณในระนาบที่ถูกล้อมรอบด้วยเส้นโค้งปิด  นี้ ถ้า  และ  เป็นฟังก์ชันของ  ซึ่งหาค่าได้บนบริเวณเปิดอันหนึ่งที่บรรจุบริเวณ  และอนุพันธ์ย่อยของทั้งสองฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องแล้ว 

โดยการอินทิเกรตตามเส้นโค้ง  เป็นการอินทิเกรตในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

ในทางฟิสิกส์ ทฤษฎีบทของกรีนจะใช้ในการแก้ปัญหาอินทิกรัลของของไหลในสองมิติ ในเรขาคณิตและการทำรังวัดสามารถใช้ทฤษฎีบทของกรีนหาพื้นที่ของรูปร่างด้วยการอินทิเกรตไปตามเส้นขอบของรูปร่างนั้น

 ประวัติ 
ทฤษฎีบทนี้ได้ชื่อตามจอร์จ กรีน ซึ่งกล่าวถึงผลลัพธ์ที่ใกล้เคียงกับทฤษฎีบทในบทความนี้ในปี ค.ศ. 1828 ในบทความ An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism (ความเรียงว่าด้วยบทประยุกต์การวิเคราะห์เชิงคณิตศาสตร์กับทฤษฎีของไฟฟ้าและแม่เหล็ก) ในปี ค.ศ. 1846 โอกุสแต็ง-หลุยส์ โกชี ตีพิมพ์บทความที่มีทฤษฎีบทของกรีนปรากฏเป็นประโยครองสุดท้ายA. Cauchy (1846) "Sur les intégrales qui s'étendent à tous les points d'une courbe fermée"  (ว่าด้วยอินทิกรัลที่นิยามไปบนทุกจุดของเส้นโค้งปิด), Comptes rendus, 23: 251–255. ซึ่งเป็นครั้งแรกที่ทฤษฎีบทของกรีนในรูปแบบที่พบได้ทั่วไปถูกตีพิมพ์ครั้งแรก รีมันน์เป็นคนแรกที่พิสูจน์ทฤษฎีบทของกรีนในปริญญานิพนธ์ว่าด้วยทฤษฎีของฟังก์ชันเชิงซ้อนตัวแปรเดียวของเขา

 อ้างอิง 

หมวดหมู่:ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์
หมวดหมู่:แคลคูลัสเวกเตอร์