กฎของโคไซน์

ในตรีโกณมิติ กฎของโคไซน์ () เป็นกฎที่เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมกับโคไซน์ของมุมหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมนั้น กฎของโคไซน์เขียนได้ดังสมการต่อไปนี้ กำหนดให้ชื่อของด้านและมุมเป็นไปตามรูปที่ 1

เมื่อ  เป็นมุมระหว่างด้านที่มีความยาว  และ  และตรงข้ามกับด้านที่มีความยาว 

กฎของโคไซน์นั้นกล่าวครอบคลุมถึงทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้วย ซึ่งเป็นทฤษฎีบทสำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น ถ้ามุม  เป็นมุมฉาก (มีขนาด 90° หรือ  เรเดียน) แล้ว  จะได้กฎของโคไซน์ที่ลดรูปเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัส

กฎของโคไซน์มีประโยชน์ในการคำนวณความยาวด้านที่สามของรูปสามเหลี่ยม เมื่อทราบความยาวด้านสองด้านและมุมที่มีด้านทั้งสองนั้นเป็นด้านประกอบ และสามารถคำนวณมุมของรูปสามเหลี่ยมได้ ถ้าทราบความยาวด้านทั้งสาม

 การพิสูจน์ 
 การใช้สูตรระยะทางระหว่างจุดสองจุด 
พิจารณารูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว , , , เมื่อ  คือ ขนาดของมุมตรงข้ามของด้านยาว  รูปสามเหลี่ยมรูปนี้สามารถวางบนระบบพิกัดคาร์ทีเชียนโดยการลงจุดดังรูปที่ 2

จากสูตรระยะทางระหว่างจุดสองจุด จะได้

จากนั้นแก้สมการ

ข้อดีของการพิสูจน์นี้ คือ มันไม่จำเป็นต้องพิจารณาแยกเป็นกรณีต่าง ๆ ว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม มุมฉาก หรือมุมป้าน

 การใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 
ไฟล์:Triangle.Labels.svg
ลากเส้นตรง  ให้ตั้งฉากกับ 

สมมติให้  ยาว  หน่วย

จาก  ดังนั้น 

โดยทฤษฎีบทของปีทากอรัส เราได้ว่า

เนื่องจาก 

นอกจากนี้เรายังได้ความสัมพันธ์

ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกัน

 ดูเพิ่ม 
 กฎของไซน์
 กฎของแทนเจนต์
 กฎของโคแทนเจนต์
 รายการเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

 แหล่งข้อมูลอื่น 

 Several derivations of the Cosine Law, including Euclid's at cut-the-knot
 Interactive applet of Law of Cosines

หมวดหมู่:ตรีโกณมิติ
หมวดหมู่:มุม
หมวดหมู่:รูปสามเหลี่ยม