การดำเนินการ (คณิตศาสตร์)

การดำเนินการ () ในทางคณิตศาสตร์และตรรกศาสตร์ หมายถึง การกระทำหรือลำดับขั้นตอนซึ่งสร้างค่าใหม่ขึ้นเป็นผลลัพธ์ โดยการรับค่าเข้าไปหนึ่งตัวหรือมากกว่า การศึกษาส่วนใหญ่ใช้การดำเนินการทวิภาค (เช่น การดำเนินการอาริตี 2) ได้แก่ การบวกและการคูณ ส่วนการดำเนินการเอกภาค (เช่น การดำเนินการอาริตี 1) ได้แก่ ตัวผกผันการบวกและตัวผกผันการคูณ ส่วนการดำเนินการอาริตี 0 หรือการดำเนินการศูนย์ภาคคือค่าคงตัว ผลคูณผสมคือตัวอย่างของการดำเนินการอาริตี 3 ที่เรียกว่าการดำเนินการไตรภาค โดยทั่วไปแล้ว อาริตีสามารถมีได้เป็นอนันต์ แต่อย่างไรก็ตาม บางครั้งก็มีการรวมการดำเนินการอนันต์ (infinitary operation) ด้วย

ประเภทของการดำเนินการ
การดำเนินการสามารถแบ่งได้เป็นสองประเภทใหญ่ ๆ ได้แก่ การดำเนินการเอกภาคและการดำเนินการทวิภาค การดำเนินการเอกภาคจะใช้ค่าที่ป้อนเข้าไปเพียงหนึ่งค่าเช่น นิเสธ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ส่วนการดำเนินการทวิภาคจะใช้สองค่าเช่น การบวก การลบ การคูณ การหาร การยกกำลัง ส่วนการดำเนินการศูนย์ภาค คือค่าคงตัว

การดำเนินการสามารถเกี่ยวข้องกับวัตถุทางคณิตศาสตร์อย่างอื่นที่นอกเหนือจากจำนวนก็ได้ ตัวอย่างเช่น ค่าเชิงตรรกะ จริง และ เท็จ สามารถใช้กับตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์อย่าง and, or, not; เวกเตอร์สามารถบวกและลบกันได้; ฟังก์ชันประกอบสามารถใช้เป็นการหมุนของวัตถุหลาย ๆ ครั้งได้; การดำเนินการของเซตมีทั้งแบบทวิภาคคือยูเนียน อินเตอร์เซกชัน และแบบเอกภาคคือคอมพลีเมนต์ เป็นต้น

การดำเนินการบางอย่างอาจไม่สามารถนิยามได้บนทุก ๆ ค่าที่เป็นไปได้ เช่น ในจำนวนจริง เราจะไม่สามารถหารด้วยศูนย์หรือถอดรากที่สองจากจำนวนลบ ค่าเริ่มต้นสำหรับการดำเนินการได้นิยามมาจากเซตเซตหนึ่งที่เรียกว่าโดเมน และเซตที่เป็นผลลัพธ์เรียกว่าโคโดเมน แต่ค่าที่แท้จริงที่เกิดจากการดำเนินการนั้นอาจออกมาเป็นเรนจ์ อาทิการถอดรากที่สองในจำนวนจริงจะให้ผลลัพธ์เพียงจำนวนที่ไม่เป็นลบ ดังนั้นโคโดเมนคือเซตของจำนวนจริง แต่เรนจ์คือเซตของจำนวนที่ไม่เป็นลบเท่านั้น

การดำเนินการอาจเกี่ยวข้องกับวัตถุสองชนิดที่ต่างกันก็ได้ ตัวอย่างเช่น เราสามารถคูณเวกเตอร์ด้วยปริมาณสเกลาร์เพื่อเปลี่ยนขนาดของเวกเตอร์ และผลคูณภายใน (inner product) ของสองเวกเตอร์จะให้ผลลัพธ์ออกมาเป็นสเกลาร์ การดำเนินการหนึ่ง ๆ อาจจะมีหรือไม่มีสมบัติบางอย่าง เช่นสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม การสลับที่ และอื่น ๆ

ค่าที่ใส่เข้ามาในการดำเนินการอาจเรียกว่า ตัวถูกดำเนินการ, อาร์กิวเมนต์, ค่ารับเข้า ส่วนค่าที่ได้ออกไปจากการดำเนินการเรียกว่า ค่า, ผลลัพธ์, ค่าส่งออก การดำเนินการสามารถมีตัวถูกดำเนินการหนึ่งค่า สองค่า หรือมากกว่าก็ได้

การดำเนินการนั้นคล้ายกับตัวดำเนินการแต่ต่างกันที่มุมมอง ตัวอย่างเช่น หากใครคนหนึ่งกล่าวว่า "การดำเนินการของการบวก" จะเป็นการเน้นจุดสนใจไปที่ตัวถูกดำเนินการและผลลัพธ์ ในขณะที่อีกคนหนึ่งกล่าวว่า "ตัวดำเนินการของการบวก" จะเป็นการมุ่งประเด็นไปที่กระบวนการที่จะทำให้เกิดผลลัพธ์ หรือหมายถึงฟังก์ชัน + : S × S → S ซึ่งเป็นมุมมองนามธรรม

 นิยามแบบทั่วไป 
การดำเนินการ ω นิยามโดยฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ

เมื่อเซต Xj คือโดเมน เซต Y คือโคโดเมน และ k ที่เรียกว่า อาริตี้ (arity) คือจำนวนอาร์กิวเมนต์ของการดำเนินการ ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ดังนั้นการดำเนินการเอกภาคจะมีอาริตี้เท่ากับ 1 และการดำเนินการทวิภาคจะมีอาริตี้เท่ากับ 2 เป็นต้น ส่วนการดำเนินการที่มีอาริตี้เท่ากับ 0 จะเรียกว่า การดำเนินการสุญภาค คือจะมีสมาชิกเพียงโคโดเมน Y ส่วนการดำเนินการที่มีอาริตี้เท่ากับ k จะเรียกว่า การดำเนินการ k ภาค ดังนั้น การดำเนินการ k ภาค จึงเป็นความสัมพันธ์ที่เป็นฟังก์ชัน k+1 ภาค จากโดเมนทั้งหมด k เซต ไปยังโคโดเมนเซตเดียว

นิยามที่กล่าวไว้ข้างต้นเป็นการดำเนินการที่มีภาคจำกัด ซึ่งหมายถึงมีจำนวนอาร์กิวเมนต์เป็นจำนวนจำกัด k ตัว สิ่งนี้ทำให้เกิดส่วนขยายที่เป็นข้อกังขาว่าการดำเนินการจะสามารถมีอาริตี้เป็นอนันต์ได้หรือไม่ ทั้งจำนวนเชิงการนับและจำนวนเชิงลำดับที่ หรือแม้แต่เซตที่กำหนดดัชนีอาร์กิวเมนต์ขึ้นเองตามอำเภอใจ

 ดูเพิ่ม 
 เลขคณิต
 พีชคณิต

อ้างอิง

หมวดหมู่:คณิตตรรกศาสตร์
หมวดหมู่:คณิตศาสตร์มูลฐาน
หมวดหมู่:พีชคณิตนามธรรม