ระบบพิกัด

พิกัด หมายถึง ค่าของตัวเลขที่ใช้อธิบายตำแหน่งของจุดบนระนาบหรือปริภูมิ ตัวอย่างเช่น ระดับความสูงจากน้ำทะเลก็เป็นพิกัดอย่างหนึ่งที่อธิบายตำแหน่งของจุดเหนือระดับพื้นผิวโลก ส่วนระบบพิกัดคือวิธีการอย่างเป็นระบบที่มีการให้ค่าคู่อันดับหรือสามสิ่งอันดับแทนตำแหน่งของแต่ละจุดบนระนาบหรือปริภูมิ ซึ่งคู่อันดับหรือสามสิ่งอันดับหนึ่งชุดจะหมายถึงตำแหน่งเพียงตำแหน่งเดียวเท่านั้น ดังตัวอย่าง สามสิ่งอันดับที่ประกอบด้วย ละติจูด ลองจิจูด และอัลติจูด (ระดับความสูง) เป็นระบบพิกัดที่ใช้ระบุตำแหน่งของจุดเหนือพื้นผิวโลกและอื่น ๆ

พิกัดอาจนิยามได้ในบริบททั่วไป เช่น ถ้าหากเราไม่สนใจความสูง ดังนั้นละติจูดและลองจิจูดจึงสามารถเป็นระบบพิกัดเหนือพื้นผิวโลกก็ได้ โดยสมมติให้โลกมีรูปร่างใกล้เคียงทรงกลม พิกัดเช่นนี้เป็นสิ่งสำคัญในดาราศาสตร์ ซึ่งใช้สำหรับอธิบายตำแหน่งของวัตถุทางดาราศาสตร์บนท้องฟ้าโดยไม่สนใจระยะทาง (ดูเพิ่มที่ระบบพิกัดทรงกลมท้องฟ้า) อย่างไรก็ตาม บทความนี้จะมุ่งประเด็นไปที่ระบบพิกัดบนระนาบและปริภูมิสามมิติเท่านั้น เพื่อให้ง่ายต่อความเข้าใจในขอบเขตของคณิตศาสตร์มูลฐาน

 พิกัดคาร์ทีเซียน 

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสองมิติ จุด P ใด ๆ ในระนาบ xy สามารถแสดงให้อยู่ในรูปของคู่อันดับ (x, y) โดยที่
 พิกัด x คือระยะทางที่คิดเครื่องหมาย จากแกน y ไปยังจุด P และ
 พิกัด y คือระยะทางที่คิดเครื่องหมาย จากแกน x ไปยังจุด P

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติ จุด P ใด ๆ ในปริภูมิ xyz สามารถแสดงให้อยู่ในรูปของสามสิ่งอันดับ (x, y, z) โดยที่
 พิกัด x คือระยะทางที่คิดเครื่องหมาย จากระนาบ yz ไปยังจุด P และ
 พิกัด y คือระยะทางที่คิดเครื่องหมาย จากระนาบ xz ไปยังจุด P และ
 พิกัด z คือระยะทางที่คิดเครื่องหมาย จากระนาบ xy ไปยังจุด P

 พิกัดเชิงขั้ว 
ระบบพิกัดเชิงขั้วหรือเชิงมุม เป็นระบบพิกัดที่ตำแหน่งของจุดจุดหนึ่งจะถูกอธิบายด้วยการวัดระยะทางจากลักษณะสำคัญที่กำหนดไว้บางประการในปริภูมิ และมีการกางออกของมุมหนึ่งมุมหรือมากกว่า ซึ่งทั้งหมดเป็นระบบที่ปกติทั่วไปของพิกัดเชิงเส้นโค้ง (curvilinear coordinates)

คำว่า พิกัดเชิงขั้ว มักจะเป็นการอ้างถึง พิกัดวงกลมในสองมิติ สำหรับพิกัดเชิงขั้วอย่างอื่นที่ใช้กันตามปกติก็ยังมีพิกัดทรงกระบอกและพิกัดทรงกลม ซึ่งทั้งคู่อยู่ในสามมิติ

 พิกัดวงกลม 

ระบบพิกัดวงกลม เป็นระบบพิกัดเชิงขั้วในสองมิติ นิยามโดยจุดกำเนิด O และรังสี L (ส่วนของเส้นตรงที่มีปลายเปิดหนึ่งข้าง) ที่ออกมาจากจุดกำเนิด ซึ่ง L อาจเรียกได้ว่าเป็น แกนเชิงขั้ว ในพจน์ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เราสามารถเลือกจุด (0, 0) มาเป็นจุดกำเนิด O และรังสี L จะอยู่บนแกน x ที่เป็นบวก (ครึ่งส่วนทางขวาของแกน x)

ในระบบพิกัดวงกลม จุด P ใด ๆ สามารถเขียนแทนได้ด้วยคู่อันดับ (r, θ) โดยที่
 พิกัด r (รัศมี) คือระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุด P ซึ่งจะได้ r ≥ 0 และ
 พิกัด θ (มุมทิศ) คือขนาดของมุมที่อยู่ระหว่างแกนเชิงขั้ว กับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดกำเนิดกับจุด P โดยปกติจะวัดทวนเข็มนาฬิกา ซึ่งจะได้ 0° ≤ θ < 360°

การแปลงพิกัดจากระบบพิกัดวงกลมอันหนึ่งไปเป็นอีกอันหนึ่งสามารถกระทำได้ รวมทั้ง
 การเปลี่ยนทิศของแกนเชิงขั้ว (เช่นย้ายแกนไปอยู่ที่ทิศเหนือ)
 การเปลี่ยนการวัดมุมจากทวนเข็มนาฬิกาไปเป็นตามเข็มนาฬิกา หรือในทางกลับกัน
 การเปลี่ยนสเกล
นอกจากนั้น เรายังสามารถแปลงระบบพิกัดวงกลมไปเป็นพิกัดคาร์ทีเซียน แล้วแปลงพิกัดคาร์ทีเซียนนั้นให้เป็นพิกัดคาร์ทีเซียนอีกอันหนึ่ง จากนั้นจึงแปลงกลับมาเป็นพิกัดวงกลม ซึ่งการกระทำเหล่านี้เป็นสิ่งที่จำเป็นสำหรับ
 การเปลี่ยนจุดกำเนิด
 การเปลี่ยนสเกลในทิศทางเดียว
หรือเราสามารถกำหนดให้พิกัด θ มีค่าอยู่ในช่วงอื่นที่ต้องการก็ได้ยกตัวอย่างเช่น −180° < θ ≤ 180° เป็นต้น

พิกัดวงกลมช่วยให้เราสะดวกขึ้นในสถานการณ์ที่ว่าเรารู้เพียงแค่ระยะทาง หรือรู้เพียงแค่ทิศทางไปยังจุดที่พิจารณา

จำนวนเชิงซ้อน z ใด ๆ สามารถนำเสนอได้เป็นจุดหรือเวกเตอร์บนระนาบเชิงซ้อนด้วยพิกัดวงกลม (r, φ) โดยให้ r คือค่าสัมบูรณ์ของ z และ φ คืออาร์กิวเมนต์เชิงซ้อนของ z ซึ่งช่วยให้การคูณหรือการยกกำลังจำนวนเชิงซ้อนทำได้ง่ายขึ้น

 พิกัดทรงกระบอก 

ระบบพิกัดทรงกระบอก เป็นระบบพิกัดเชิงขั้วในสามมิติ จุด P ใด ๆ บนระบบพิกัดนี้สามารถนำเสนอด้วยสามสิ่งอันดับ (r, θ, h) ในพจน์ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนว่า
 พิกัด r (รัศมี) คือระยะทางจากแกน z ไปยังจุด P ซึ่งจะได้ r ≥ 0 และ
 พิกัด θ (มุมทิศ หรือ ลองจิจูด) คือขนาดของมุมที่อยู่ระหว่างแกน x ที่เป็นบวก กับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดกำเนิดกับเงาของจุด P ที่ฉายบนบนระนาบ xy โดยปกติจะวัดทวนเข็มนาฬิกา ซึ่งจะได้ 0° ≤ θ < 360° และ
 พิกัด h (ความสูง) คือระยะทางที่คิดเครื่องหมาย จากระนาบ xy ไปยังจุด P
หมายเหตุ: เราอาจเห็นว่าในบางตำราใช้ z แทน h ซึ่งไม่มีแบบใดถูกหรือผิด ขึ้นอยู่กับความหมายที่นิยาม

พิกัดทรงกระบอกอาจทำให้เกิดความซ้ำซ้อน ซึ่งเมื่อ r = 0 จะทำให้ θ ไม่มีความหมาย คือเป็นค่าอะไรก็ได้

พิกัดทรงกระบอกมีประโยชน์ในการวิเคราะห์ ระบบที่สมมาตรกับเส้นตรงเส้นหนึ่งที่เป็นแกน ตัวอย่างเช่น ทรงกระบอกที่ยาวเป็นอนันต์ มีสมการในพิกัดคาร์ทีเซียน x2 + y2 = c2 สามารถเขียนให้อยู่ในรูปอย่างง่ายในพิกัดทรงกระบอกได้ r = c เป็นต้น

 พิกัดทรงกลม 

ระบบพิกัดทรงกลม เป็นระบบพิกัดเชิงขั้วในสามมิติ จุด P ใด ๆ บนระบบพิกัดนี้สามารถนำเสนอด้วยสามสิ่งอันดับ (ρ, φ, θ) หรือ (ρ, θ, φ) ในพจน์ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนว่า
 พิกัด ρ (รัศมี) คือระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุด P ซึ่งจะได้ ρ ≥ 0 และ
 พิกัด φ (เซนิท, โคละติจูด, หรือมุมเชิงขั้ว) คือขนาดของมุมที่อยู่ระหว่างแกน z ที่เป็นบวก กับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดกำเนิดกับจุด P ซึ่งจะได้ 0° ≤ φ ≤ 180° และ
 พิกัด θ (มุมทิศ หรือ ลองจิจูด) คือขนาดของมุมที่อยู่ระหว่างแกน x ที่เป็นบวก กับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดกำเนิดกับเงาของจุด P ที่ฉายบนบนระนาบ xy โดยปกติจะวัดทวนเข็มนาฬิกา ซึ่งจะได้ 0° ≤ θ < 360°
และเนื่องจากพิกัดทรงกลมเขียนได้สองแบบ จึงต้องมีการประกาศรูปแบบก่อนใช้งานเพื่อมิให้เกิดความสับสน

แนวคิดของพิกัดทรงกลมสามารถขยายออกไปบนปริภูมิในมิติที่สูงขึ้นบนพิกัดไฮเพอร์สเฟียร์ (hyperspherical coordinates)

 การแปลงระหว่างระบบพิกัด 

เนื่องจากมีระบบพิกัดหลายระบบที่ใช้อธิบายตำแหน่งของจุดบนระนาบหรือปริภูมิ จึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะเข้าใจว่าระบบเหล่านั้นสัมพันธ์กันอย่างไร ความสัมพันธ์อย่างหนึ่งคือ การแปลงระหว่างระบบพิกัด ซึ่งจะมีสูตรสำหรับอธิบายระบบพิกัดหนึ่งในพจน์ของระบบพิกัดอื่น ตัวอย่างเช่น หากพิกัดคาร์ทีเซียน (x, y) และพิกัดเชิงขั้ว (r, θ) มีจุดกำเนิดอยู่ที่จุดเดียวกันและมีแกนเชิงขั้วอยู่บนแกน x ที่เป็นบวก ดังนั้นการแปลงพิกัดจากเชิงขั้วไปเป็นคาร์ทีเซียนสามารถคำนวณได้จาก x = r cos θ และ y = r sin θ เป็นต้น

 ดูเพิ่ม 
 ระบบพิกัด (coordinate system)
 การหมุนพิกัด (coordinate rotation)
 พิกัดเชิงเส้นโค้ง (curvilinear coordinates)
 พิกัดเชิงพาราโบลา (parabolic coordinates)
 เวกเตอร์ (vector)
 ฟีลด์เวกเตอร์ในพิกัดทรงกระบอกและพิกัดทรงกลม (vector fields in cylindrical and spherical coordinates)
 เดลในพิกัดทรงกระบอกและพิกัดทรงกลม (del in cylindrical and spherical coordinates)

 พิกัดทรงกลม 
 พิกัดทรงกลมท้องฟ้า

 แหล่งข้อมูลอื่น 
 ระบบพิกัดทรงกลม  และระบบพิกัดทรงกระบอก  โดย Frank Wattenberg
 http://www.physics.oregonstate.edu/bridge/papers/spherical.pdf
 http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html

หมวดหมู่:ระบบพิกัด
หมวดหมู่:คณิตศาสตร์มูลฐาน