เรขาคณิตวิเคราะห์

เรขาคณิตวิเคราะห์ (analytic geometry, coordinate geometry หรือ Cartesian geometry) เป็นคณิตศาสตร์แขนงหนึ่งที่ศึกษาเรขาคณิต ผ่านระบบพิกัด ซึ่งแตกต่างจากเรขาคณิตสังเคราะห์ที่ไม่ใช้ระบบพิกัด แต่ใช้ความสัมพันธ์ระหว่างรูปร่างรูปทรงเรขาคณิตแทน

เรขาคณิตวิเคราะห์เป็นพื้นฐานของฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์ ในการเดินอากาศ วิศวกรรมการบินและอวกาศ นอกจากนี้ยังเป็นพื้นฐานของเรขาคณิตสมัยใหม่เกือบทั้งหมด ซึ่งรวมไปถึงเรขาคณิตเชิงพีชคณิต เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ เรขาคณิตวิยุต และเรขาคณิตเชิงคณนา 

โดยทั่วไปแล้วเรขาคณิตวิเคราะห์ใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเพื่อให้ได้สมการของระนาบ เส้นตรง และวงกลมในสองหรือสามมิติ ในหนังสือแบบเรียนทั่วไป เรขาคณิตวิเคราะห์ยังหมายรวมไปถึงการศึกษาเส้นโค้งภาคตัดกรวย เหตุผลที่พีชคณิตของจำนวนจริงสามารถพิสูจน์ผลลัพธ์ในเรขาคณิตได้เป็นผลจากสัจพจน์ของคันตอร์-เดเดคินด์ 

ระบบพิกัด


ในเรขาคณิตวิเคราะห์ เราระบุระบบพิกัดให้แก่ระนาบ ซึ่งทำให้จุดแต่ละจุดบนระนาบมีพิกัดระบุด้วยคู่อันดับของจำนวนจริง ในทำนองเดียวกัน ปริภูมิสามมิติแบบยูคลิดสามารถให้ระบบพิกัดเป็นสามสิ่งอันดับของจำนวนจริงได้ พิกัดของจุดขึ้นอยู่กับการเลือกให้จุดได้เป็นจุดกำเนิด ต่อไปนี้เป็นระบบพิกัดที่นิยมใช้Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals, 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning. 

ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

ระบบพิกัดที่นิยมใช้มากที่สุดคือระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ซึ่งแต่ละจุดจะมีพิกัดตามแนวแกน x ที่ระบุตำแหน่งตามแนวนอน และพิกัดตามแนวแกน y ซึ่งระบุตำแหน่งตามแนวตั้งเมื่อวัดจากจุดกำเนิด โดยทั่วไปจะเขียนพิกัดเป็นคู่อันดับ (x, y) และระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามารถใช้ในสามมิติได้ และพิกัดจะเป็นสามสิ่งอันดับ (x, y, z)

ระบบพิกัดเชิงขั้ว

ในระบบพิกัดเชิงขั้ว ทุกจุดบนระนาบจะมีพิกัดระบุโดยระยะทาง r ว่าห่างจากจุดกำเนิดเท่าใด และมุม θ ซึ่งวัดในแนวทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x บวก ในระบบพิกัดเชิงขั้วเราเขียนแทนพิกัดด้วยคู่อันดับ (r, θ)

เราสามารถเปลี่ยนระบบพิกัดจากระบบพิกัดคาร์ทีเซียน และระบบพิกัดเชิงขั้วได้ด้วยสูตรดังนี้ ระบบพิกัดเชิงขั้วสามารถขยายไปยังปริภูมิสามมิติได้โดยใช้ระบบพิกัดทรงกระบอก และระบบพิกัดทรงกลม

 ระบบพิกัดทรงกระบอก 

ในระบบพิกัดทรงกระบอก จุดแต่ละจุดจะแทนด้วยความสูง z, รัศมี r ที่วัดจากแกน z และมุม θ ที่วัดว่าภาพฉายของจุดลงบนระนาบ xy ทำมุมกับแกน x เท่าใด

 ระบบพิกัดทรงกลม 

ในระบบพิกัดทรงกลม จุดแต่ละจุดจะแทนด้วยระยะห่าง ρ วัดจากจุดกำเนิด, มุม θ ที่วัดว่าภาพฉายของจุดลงบนระนาบ xy ทำมุมกับแกน x เท่าใด, และมุม φ ที่วัดว่าจุดนั้นทำมุมเท่าใดกับแกน z ชื่อตัวแปรของแต่ละมุมอาจต่างออกไปในวิชาฟิสิกส์

สมการและเส้นโค้ง
ในเรขาคณิตวิเคราะห์ คำตอบทั้งหมดของสมการที่มีตัวแปรเป็นพิกัดจะเป็นสับเซตของระนาบ ซึ่งเรียกว่าเซตผลเฉลย หรือทางเดินของจุด ตัวอย่างเช่นสมการ y = x จะได้เป็นเซตของจุดทั้งหมดบนระนาบที่พิกัด x และพิกัด y มีค่าเท่ากัน จุดเหล่านี้ประกอบกันเป็นเส้นตรง และเรากล่าวว่าสมการ y = x เป็นสมการของเส้นตรงดังกล่าว โดยทั่วไปแล้วสมการกำลังหนึ่งจะให้เส้นตรงทั้งหมด และสมการกำลังสองจะให้ภาคตัดกรวยPercey Franklyn Smith, Arthur Sullivan Gale (1905)Introduction to Analytic Geometry, Athaeneum Press

โดยทั่วไปแล้วสมการหนึ่งสมการจะได้เป็นเส้นโค้งหนึ่งเส้นบนระนาบ แต่อาจจะไม่เป็นจริงเสมอไป อาทิ สมการ  x = x ได้ระนาบทั้งหมด และสมการ x2 + y2 = 0 มีเพียงจุด (0, 0) จุดเดียวเท่านั้น ในสามมิติ สมการหนึ่งสมการมักจะให้ผิว และเส้นโค้งจะเป็นรอยตัดระหว่างผิวสองผิว หรืออาจระบุด้วยระบบสมการอิงตัวแปรเสริมWilliam H. McCrea, Analytic Geometry of Three Dimensions
Courier Dover Publications, Jan 27, 2012 

เส้นตรงและระนาบ

เส้นตรงในระนาบที่ให้พิกัดคาร์ทีเซียนทุกเส้นได้จากสมการเส้นตรง หรือสมการกำลังหนึ่ง ในสองมิติ สมการของเส้นตรงทุกเส้นที่ไม่ใช่เส้นในแนวตั้งจะนิยมเขียนในรูปความชันและจุดตัด (slope-intercept form):

เมื่อ:
 m เป็นความชันของเส้นตรง
 b คือจุดตัดแกน y ของเส้นตรง
 x เป็นตัวแปรอิสระของฟังก์ชัน y = f(x)

ในสามมิติ เราสามารถระบุระนาบได้ด้วยวิธีที่คล้ายกันกับในสองมิติ ด้วยการระบุจุดหนึ่งจุดที่อยู่บนระนาบ และเวกเตอร์หนึ่งเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบ (เรียกว่า เวกเตอร์ปรกติ) ที่ระบุความชันของระนาบ 

ภาคตัดกรวย

ในระบุพิกัดคาร์ทีเซียน กราฟของสมการกำลังสองในสองมิติจะเป็นภาคตัดกรวยเสมอ แต่มีกรณีที่อาจจะได้ภาคตัดกรวยลดรูป สมการทั่วไปที่สุดของภาคตัดกรวยคือ

โดยที่  ไม่เป็น 0 พร้อมกัน

เนื่องจากเราสามารถคูณสมการข้างต้นด้วยจำนวนจริงไม่เป็นศูนย์ แล้วยังได้สมการที่มีทางเดินของจุดเป็นแบบเดิม เราสามารถมองภาคตัดกรวยว่าเป็นจุดในปริภูมิเชิงภาพฉาย  ใน 5 มิติได้

สมการภาคตัดกรวยสามารถจำแนกได้โดยพิจารณาดิสคริมิแนนต์, Section 3.2, page 45

ถ้าภาคตัดกรวยไม่ใช่ภาคตัดกรวยลดรูป (คือไม่ใช่จุดหรือไม่ใช่เซตว่าง) แล้ว
 ถ้า , สมการที่ได้คือสมการของวงรี
 ถ้า  และ , สมการที่ได้คือสมการของวงกลม ซึ่งเป็นกรณีเฉพาะของวงรี
 ถ้า , แล้วสมการที่ได้คือสมการของพาราโบลา
 ถ้า , แล้วสมการที่ได้คือสมการของไฮเพอร์โบลา
 และถ้า , แล้วสมการที่ได้คือสมการของไฮเพอร์โบลามุมฉาก


 อ้างอิง