กฎของเบนฟอร์ด

กฎของเบนฟอร์ด () หรือ กฎเลขโดดตัวแรก หมายถึง ความถี่การกระจายเลขโดดในหลายแหล่งข้อมูลในชีวิตจริง (แต่ไม่ใช่ทั้งหมด) ในการกระจายนี้ ปรากฏว่าเลข 1 เป็นเลขหลักแรกมากถึงราว 30% ของทั้งหมด ขณะที่เลขมากกว่า 1 มีความถี่เป็นเลขหลักแรกน้อยกว่า โดยเลข 9 เป็นเลขหลักแรกน้อยกว่า 5% ของทั้งหมด กฎของเบนฟอร์ดยังว่าด้วยการกระจายคาดหมายของเลขโดดหลักอื่นด้วย ซึ่งมาใกล้การกระจายเป็นรูปแบบเดียวกัน

พบว่าผลลัพธ์นี้ใช้ได้กับชุดข้อมูลหลากหลาย รวมถึงใบแจ้งหนี้ไฟฟ้า ที่อยู่ถนน ราคาหลักทรัพย์ จำนวนประชากร อัตราตาย ความยาวแม่น้ำ ค่าคงตัวทางฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ และกระบวนการซึ่งอธิบายด้วยกฎเลขยกกำลัง ซึ่งพบได้บ่อย กฎของเบนฟอร์ดมีแนวโน้มแม่นยำที่สุดเมื่อค่ามีการกระจายตัวที่หลากหลายอันดับของขนาด  

กราฟที่แสดงขวามือแสดงกฎของเบนฟอร์ดสำหรับฐาน 10 มีนัยทั่วไปของกฎต่อจำนวนที่แสดงในฐานอื่น (เช่น ฐาน 16) และยังมีนัยทั่วไปตั้งแต่เลขโดดหลักแรกจนถึงเลขโดด n หลักแรก

กฎนี้ได้ชื่อตามนักฟิสิกส์ แฟรงก์ เบนฟอร์ด ซึ่งระบุใน ค.ศ. 1938 (subscription required) แม้ไซมอน นิวคอมบ์จะเคยระบุไว้ก่อนแล้วใน ค.ศ. 1881 (subscription required)

 นิยาม 
เซตของจำนวน เรียกว่าเป็นไปตามกฎของเบนฟอร์ด เมื่อหลักแรกสุด d มีการกระจายตามสูตรความน่าจะเป็น

ซึ่งคิดเป็นตัวเลขได้เป็น:

 ขนาดสัมพัทธ์ของ  1   2   3   4   5   6   7   8   9  
จากสูตรแสดงว่า โอกาส P(d) แปรผันตรงกับพื้นที่ระหว่าง d กับ d + 1 บนสเกลลอการิทึม ซึ่งตรงกับการที่ลอการิทึมของจำนวนมีการแจกแจงเอกรูป 

ตัวอย่างเช่น จำนวน x ใด ๆ ที่ 1≤ x < 10 จะขี้นต้นด้วย 1 ถ้า 1 ≤ x < 2 และขึ้นต้นด้วย 9 ถ้า 9 ≤ x < 10 แต่จากการแจกแจงเอกรูปของลอการิทึม เราจึงคำนึงจากการที่ x ขี้นต้นด้วย 1 ถ้า log 1 ≤ log x < log 2 และขึ้นต้นด้วย 9 ถ้า log 9 ≤ log x < log 10 ซึ่งช่วง [log 1, log 2] มีขนาดกว้างกว่า [log 9, log 10] มาก (0.301 กับ 0.046 ตามลำดับ) จึงมีโอกาสสูงกว่าที่ x จะขึ้นต้นด้วย 1

 กฎของเบนฟอร์ดในฐานอื่น ๆ 
สูตรกฎของเบนฟอร์ดข้างต้น สามารถใช้ในฐาน b ≥ 2 ใด ๆ ได้โดยปรับลอการิทึมให้เป็นฐาน b เป็นสูตรทั่วไปว่า

ในกรณีฐานสอง กฎของเบนฟอร์ดกล่าวว่าทุกจำนวน (นอกจาก 0) ขึ้นต้นด้วย 1 ซึ่งเป็นจริงอย่างเห็นชัด

 กฎของเบนฟอร์ดสำหรับหลักนอกเหนือจากหลักแรก 
กฎของเบนฟอร์ดสามารถใช้กับหลักแรกมากกว่าหนึ่งหลักTheodore P. Hill, "The Significant-Digit Phenomenon", The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 4, (Apr., 1995), pp. 322–327. Official web link (subscription required). Alternate, free web link. โดยโอกาสที่จำนวนจะขึ้นด้วยเลขหลายหลัก n คือ

เช่น โอกาสที่จำนวนจะขึ้นต้นด้วย 314 คือ 

จากสูตรนี้ สามารถหาความน่าจะเป็นของเลขโดดในตำแหน่งที่ไม่ใช่หลักแรกได้ เช่น โอกาสที่จำนวนใด ๆ จะมี 3 อยู่ในตำแหน่งที่สอง เท่ากับโอกาสที่จำนวนนั้นจะขึ้นต้นด้วยจำนวนใด ๆ ใน {13, 23, ...93} เท่ากับ

ในทำนองเดียวกัน โอกาสที่ d (d = 0, 1, 2, ...9) จะอยู้ในตำแหน่งที่ n เท่ากับ

ซึ่งเมื่อ n เพิ่มขึ้นการแจกแจงนี้จะขยับเข้าหาการแจกแจงเอกรูปอย่างรวดเร็วดังตารางTheodore P. Hill, "The Significant-Digit Phenomenon", The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 4, (Apr., 1995), pp. 322–327. Official web link (subscription required). Alternate, free web link.
เลขโดด0123456789ตำแหน่งที่ 1N/A30.1%17.6%12.5%9.7%7.9%6.7%5.8%5.1%4.6%ตำแหน่งที่ 212%11.4%10.9%10.4%10%9.7%9.3%9%8.8%8.5%ตำแหน่งที่ 310.2%10.1%10.1%10.1%10%10%9.9%9.9%9.9%9.8%

 อ้างอิง 

หมวดหมู่:กฎทางสถิติศาสตร์
หมวดหมู่:ทฤษฎีการแจกแจงความน่าจะเป็น