ทรงกลม

ทรงกลม (อังกฤษ : sphere จากกรีกโบราณ , ) เป็นวัตถุทางเรขาคณิตซึ่งอาจมองว่าเป็นวงกลมในสามมิติ นิยามที่รัดกุมของทรงกลม คือเซตของจุดในสามมิติที่อยู่ห่างจากจุดกำหนดจุดหนึ่งเป็นระยะทาง  เสมอ จุดกำหนดจุดนั้นเรียกว่า จุดศูนย์กลางทรงกลม (centre) และค่า  เรียกว่ารัศมีของวงกลมนั้น ทรงกลมปรากฏขึ้นเป็นลายลักษณ์อักษรครั้งแรกในงานคณิตศาสตร์ยุคกรีกโบราณ

ทรงกลมเป็นวัตถุพื้นฐานในคณิตศาสตร์หลากหลายสาขา ทรงกลมและรูปทรงที่เกือบเป็นทรงกลมปรากฎทั้งในธรรมชาติและในกิจกรรมของมนุษย์ อาทิ ฟองสบู่ มีในภาวะสมดุลจะเป็นทรงกลม ในทางภูมิศาสตร์นิยมถือว่าโลกมีสัณฐานเป็นทรงกลม และทรงกลมท้องฟ้าเป็นแนวคิดสำคัญในดาราศาสตร์

 สมการของทรงกลม 
ในเรขาคณิตวิเคราะห์ ทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่  และรัศมี  คือทางเดินของจุด  ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ



เนื่องจากสูตรข้างต้นเป็นพหุนามกำลังสอง ทรงกลมจึงเป็นพื้นผิวกำลังสอง ซึ่งเป็นพื้นผิวเชิงพีชคณิตประเภทหนึ่ง

ให้  เป็นจำนวนจริงที่ซึ่ง  และกำหนด



แล้วจะได้ว่าสมการ



ไม่เป็นคำตอบเป็นจำนวนจริงถ้า  และเราเรียกสมการนี้ว่าเป็นสมการของทรงกลมจินตภาพ (imaginary sphere) ถ้า  แล้วผลเฉลยหนึ่งเดียวของสมการ  คือจุด  และสมการในรูปแบบนี้เรียกว่าเป็นสมการของทรงกลมจุดเดียว (point sphere) และในกรณีที่  สมการ เป็นสมการของทรงกลมที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่  และมีรัศมีเท่ากับ .

ถ้า  ในสมการข้างต้นเป็นศูนย์ แล้ว  เป็นสมการของระนาบ ฉะนั้นเราอาจมองว่าระนาบคือทรงกลมที่มีรัศมีเป็นอนันต์และจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดที่อนันต์.

 สมบัติของทรงกลม 

 ปริมาตร 
ในสามมิติ ปริมาตรภายในทรงกลมมีค่าเท่ากับ



เมื่อ  คือรัศมี และ  คือความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของทรงกลม อาร์คิมิดีสเป็นคนแรกที่ได้สูตรนี้โดยแสดงให้เห็นว่าปริมาตรของทรงกลมมีค่าเป็นสองเท่าของปริมาตรของพื้นที่เปล่าในทรงกระบอกที่ทรงกลมนั้นบรรจุอยู่ข้างใน. เราเรียกทรงกระบอกนั้นว่า ทรงกระบอกล้อมรอบของทรงกลม (circumscribed cylinder) ซึ่งมีความสูงและความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของฐานเท่ากับทรงกลมนั้น

เราสามารถพิสูจน์ข้อความข้างต้นได้ โดยสร้างกรวยกลับหัวภายในครึ่งทรงกลม แล้วสังเกตว่าพื้นที่ภาคตัดขวางของกรวยบวกกับพื้นที่ภาคตัดขวางของทรงกลมเท่ากับพื้นที่ภาคตัดขวางของทรงกระบอก แล้วใช้หลักการของคาวาเลียรี (Cavalieri's principle) นอกจากนี้อาจใช้แคลคูลัสเชิงปริพันธ์พิสูจน์สูตรนี้ได้ เช่นด้วยการอินทิเกรตแบบจานเพื่อหาปริมาตรปิดล้อม

 พื้นที่ผิว 
พื้นที่ผิวของทรงกลมรัศมี  คือ



อาร์คิมิดีสเป็นบุคคลแรกที่พิสูจน์สูตรนี้ โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าการฉายภาพทรงกลมไปยังทรงกระบอกล้อมรอบนั้นรักษาพื้นที่. 

ทรงกลมเป็นรูปทรงที่มีพื้นที่ผิวน้อยที่สุดในบรรดารูปทรงที่มีปริมาตรเท่ากัน และมีปริมาตรมากที่สุดในบรรดารูปทรงที่มีพื้นที่ผิวเท่ากัน ดังนั้นทรงกลมจึงปรากฎในธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น ฟองสบู่หรือฟองอากาศ และหยดน้ำขนาดเล็กจะมีรูปทรงเกือบเป็นทรงกลมเพราะแรงตึงผิวพยายามบังคับให้พื้นที่ผิวมีค่าน้อยที่สุด

 สมบัติทางเรขาคณิตอื่น ๆ 
ทรงกลมสร้างได้จากการหมุนวงกลมครึ่งรอบผ่านเส้นผ่านศูนย์ผ่านของมัน. มีทรงกลมเพียงหนึ่งเดียวที่ผ่านจุดที่กำหนดให้สี่จุดที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกัน

หมวดหมู่:เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์
หมวดหมู่:เรขาคณิตมูลฐาน
หมวดหมู่:พื้นผิว
หมวดหมู่:ทอพอโลยี
หมวดหมู่:ทรงกลม

 หมายเหตุและอ้างอิง 

 หมายเหตุ 

 อ้างอิง 

 ดูเพิ่ม 

 .

 .
 .
 .