การแปลงเฮาส์โฮลเดอร์

การแปลงเฮาส์โฮลเดอร์ () ในคณิตศาสตร์ และในปริภูมิสามมิติ เป็นการสะท้อนเวกเตอร์กับระนาบ ในปริภูมิยูคลิเดียนทั่วไป การแปลงเฮาส์โฮลเดอร์เป็นการแปลงเชิงเส้นซึ่งเวกเตอร์กับระนาบเกินที่ผ่านจุดกำเนิด

อัลสตัน สกอตต์ เฮาส์โฮลเดอร์ ตีพิมพ์ผลงานเกี่ยวกับการแปลงชนิดนี้เป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2501 การแปลงเฮาส์โฮลเดอร์เป็นเครื่องมือสำคัญในการหาการแยก QR ของเมทริกซ์

 นิยามและสมบัติ 
ระนาบเกินที่จะใช้สะท้อนเวกเตอร์นั้นสามารถแทนได้โดยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย  ซึ่งตั้งฉากกับระนาบเกินนั้น

ถ้า  คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ การแปลงเชิงเส้นที่กล่าวในบทนำของบทความนี้สามารถแทนใดโดยเมทริกซ์เฮาส์โฮลเดอร์



โดยแมทริกซ์เฮาส์โฮลเดอร์มีสมบัติดังต่อไปนี้
 มันเป็นเมทริกซ์สมมาตร: 
 มันเป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก: 
 ดังนั้นมันจึงเป็นอาวัตนาการ: 

และ  สะท้อนเวกเตอร์  ใด ๆ กับระนาบเกินที่ตั้งฉากกับ  โดยข้อความนี้สามารถแสดงให้เห็นจริงได้โดยสมการ

เมื่อ  คือผลคูณจุดของ  และ  ซึ่งมีค่าเท่ากับระยะห่างของจุดปลายที่ไม่ใช่จุดกำเนิดของ  จากระนาบเกินที่ตั้งฉากกับ  ด้วยเหตุนี้จุดปลายที่ไม่ใช่จุดกำเนิดของ  จึงอยู่คนละข้างของระนาบเกินกับจุดปลายของ  และห่างจากระนาบเกินเท่ากับระยะห่างจากจุดปลายของ  กับระนาบเกิน กล่าวคือเป็นภาพสะท้อนของ  นั่นเอง

 การประยุกต์ใช้ในการแยก QR 
ในการแยก QR เราต้องการเขียนเมทริกซ์  ที่กำหนดให้ในรูป  โดย  เป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉากและ  เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านบน เราสามารถใช้การแปลงเฮาส์โฮลเดอร์ในการคำนวณ  และ  ได้ดังต่อไปนี้

ให้  แทนเวกเตอร์  ที่มีศูนย์อยู่  ตัว ให้  แทนนอร์มของเวกเตอร์  ใด ๆ และให้  เป็นเวกเตอร์หลักที่ 1 ของ  แล้ว กำหนด

และ

( คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด ) เป็นการแปลงเฮาส์โฮลเดอร์ที่สะท้อนเวกเตอร์กับระนาบเกินที่ตั้งฉากกับ  แล้ว เราจะได้ว่า

หรือ

โดยที่  เป็นเมทริกซ์ขนาด  กล่าวคือ  ทำให้หลักแรกของ  มีสมาชิกที่ไม่ใช่ศูนย์อยู่เพียงตัวเดียว

เราสามารถใช้กรรมวิธีข้างต้นหาการแปลงเฮาส์โฮลเดอร์  ที่ทำให้

และ , , ,  ที่มีผลเช่นเดียวกันกับ , , ,  ตามลำดับ และเมื่อเราให้

สำหรับ  แล้ว เราจะได้ว่า

เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านบน ดังนั้น

และเนื่องจาก  ทุกตัวเป็นเมทริกซ์ฮาส์โฮลเดอร์ซึ่งเป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก ทำให้  เป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉากตามไปด้วย  จึงเป็นการแยก QR ตามที่เราต้องการ

ขั้นตอนวิธีตามที่ได้บรรยายข้างต้น สามารถนำไปเขียนเป็นโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่ทำการคำนวณด้วยจำนวนจุดเลื่อนซึ่งมีเสถียรภาพทางตัวเลข เป็นผลให้เราสามารถแก้สมการเชิงเส้น และหาค่าเฉพาะเจาะจงของเมทริกซ์ได้โดยค่าที่หาได้จะไม่คลาดเคลื่อนมากนักหากเมทริกซ์ที่เป็นข้อมูลเข้ามีเลขเงื่อนไขต่ำ

 อ้างอิง 

 Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 5 (4), 1958, 339-342. DOI:10.1145/320941.320947
 David D. Morrison, Remarks on the Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 7 (2), 1960, 185-186. DOI:10.1145/321021.321030

หมวดหมู่:เรขาคณิต
หมวดหมู่:พีชคณิตเชิงเส้น
หมวดหมู่:เมทริกซ์