จำนวนฟีโบนัชชี

จำนวนฟีโบนัชชี หรือ เลขจำนวนฟีโบนัชชี () คือจำนวนเต็มที่อยู่ในลำดับจำนวนเต็มดังต่อไปนี้

 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946 ... 
โดยนิยามความสัมพันธ์ว่า จำนวนถัดไปเท่ากับผลบวกของจำนวนสองจำนวนก่อนหน้า และสองจำนวนแรกก็คือ 0 และ 1 ตามลำดับ ลำดับของจำนวนดังกล่าวเรียกว่า ลำดับจำนวนฟีโบนัชชี ()

หากเขียนให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์ ลำดับ Fn ของจำนวนฟีโบนัชชีนิยามด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิดดังนี้

โดยกำหนดค่าเริ่มแรกให้ Lucas p. 3


ชื่อของจำนวนฟีโบนัชชีตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีชื่อ เลโอนาร์โดแห่งปีซา (Leonardo de Pisa) ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในนามฟีโบนัชชี (Fibonacci) ผู้ค้นพบจำนวนฟีโบนัชชีในต้นศตวรรษที่ 13

 รูปปิด 
เนื่องจากลำดับฟีโบนัชชีเป็นลำดับที่นิยามด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้น เราจึงสามารถหารูปปิดของจำนวนฟีโบนัชชีได้ โดยสมการแสดงรูปปิดของจำนวนฟีโบนัชชี มีชื่อเรียกว่า สูตรของบิเนต์ มีดังต่อไปนี้

โดย  เป็นตัวเลขที่รู้จักกันโดยทั่วไปว่าอัตราส่วนทอง

พิจารณาสมการพหุนาม  เมื่อคูณทั้งสองข้างด้วย  เราได้ว่า

ผลเฉลยของสมการ  ได้แก่  และ  ดังนั้น

{|
| || =  และ
|-
| || = 
|}

พิจารณาฟังก์ชัน

 เมื่อ  และ  เป็นจำนวนจริงใดๆ 

เราได้ว่าฟังก์ชันเหล่านี้สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดที่ใช้นิยมเลขฟีโบนัชชี

{|
|||
|-
| ||
|-
| ||
|-
| ||
|}

เลือก  and  เราได้ว่า

และ

เราสามารถใช้ข้อความนี้เป็นขั้นฐานของการพิสูจน์แบบอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ของข้อความ  และใช้เอกลักษณ์ของ  พิสูจน์ขั้นอุปนัยได้ เราจึงสามารถสรุปว่า

 สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ  ทุกตัว

เนื่องจาก  สำหรับทุกๆ  เราจึงได้ว่า  จึงเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้  ที่สุด หรือเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์โดยใช้ฟังก์ชันพื้น (floor function) ได้ว่า

 ความสัมพันธ์กับอัตราส่วนทอง 

โยฮันเนส เคปเลอร์ ค้นพบว่าอัตราส่วนของจำนวนฟีโบนัชชีที่ติดกันลู่เข้าสู่อัตราส่วนทอง กล่าวคือ

 ลู่เข้าสู่อัตราส่วนทอง 

การพิสูจน์:

สำหรับจำนวนจริง  เราได้ว่า
{|
|-
|
|
|-
| ||
|-
| || ,
|}

เนื่องจาก  ดังนั้น 

เนื่องจากจำนวนฟีโบนัชชีคือ  เมื่อ  และ  ลิมิตของอัตราส่วนของเลขฟีโบนัชชีที่ติดกันจึงสอดคล้องกับสมการข้างบนด้วย

 รูปเมทริกซ์ 
ระบบสมการความแตกต่างเชิงเส้นที่อธิบายลำดับฟีโบนัชชีได้คือ

และมีรูปปิดคือ

ด้วยรูปปิดดังกล่าว การคำนวณค่าฟีโบนัชชีจึงสามารถคำนวณได้โดยใช้จำนวนการดำเนินการเลขคณิต O(log n) หรือใช้เวลา O(M(n) log(n)) โดยที่ M(n) คือเวลาในการคูณเลข n หลัก 2 ตัว. โดยใช้วิธียกกำลังโดยการยกกำลังสอง กล่าวคือ

เมื่อให้ x เป็นเมทริกซ์ จึงสามารถหาค่า Fn ได้ในเวลาที่กล่าวไว้แล้ว

ลำดับฟีโบนัชชีในธรรมชาติ
สิ่งที่ปรากฏตามธรรมชาติมิได้มีแต่รูปร่างง่ายๆ เท่านั้น บางอย่างมีรูปร่างที่มีแบบแผนทางคณิตศาสตร์ที่ยุ่งยากขึ้นไปอีก ตัวอย่างที่น่าสนใจของธรรมชาติที่เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของ คณิตศาสตร์ชั้นสูง ได้แก่ เส้นโค้งก้นหอย ซึ่งมีคุณสมบัติว่า ถ้าลากเส้นตรงจากจุดหลายของเกลียวข้างในสุดไปตัดกับเส้นโค้งแล้ว มุมที่เกิดจากเส้นตรงนั้นกับเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดตัดจะเท่ากันเสมอดังรูป มุม A = มุม B = มุม C เส้นโคังที่มีลักษณะเป็นก้นหอยจะพบได้ในหอยบางชนิด เช่น หอยทาก

นอกจากนี้ยังมีความโค้งของงาช้าง ความโค้งของเกสรดอกทานตะวัน ตาสับปะรดและตาลูกสน ก็มีลักษณะคล้ายส่วนของเส้นโค้งก้นหอยด้วย 
ยังมีเรื่องที่น่าสนใจในธรรมชาติที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์อีก จากการศึกษาเส้นโค้งของตาลูกสน ตาสับปะรด และเกสรดอกทานตะวัน จะเห็นว่าเส้นโค้งที่หมุนตามเข็มนาฬิกาของตาลูกสนมีจำนวน 5 เส้น และหมุนทวนเข็มนาฬิกามีจำนวน 3 เส้น หรืออาจกล่าวได้ว่า จำนวนเส้นโค้งสองแบบมีอัตราส่วนเป็น 5 ต่อ 8 สำหรับตาสับปะรด เส้นโค้งตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา มีอัตราส่วนเป็น 8 ต่อ 13 เส้นโค้งที่เกิดจากเกสรดอกทานตะวันตามเข็มนาฬิกา และทวนเข็มนาฬิกามีอัตราส่วนเป็น 21 ต่อ 34  ปรากฏการณ์นี้เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของเลขฟีโบนัชชี

 การนำไปใช้ 
จำนวนฟีโบนัชชีมีความสำคัญในการวิเคราะห์ประสิทธิภาพของยูคลีเดียนอัลกอริทึมซึ่งใช้ในการหาตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองจำนวน โดยยูคลิเดียนอัลกอริทึมจะทำงานได้ช้าที่สุดถ้าข้อมูลเข้าเป็นจำนวนฟีโบนัชชีสองตัวที่ติดกัน

ยูริ มาทิยาเซวิช พิสูจน์ได้ว่าจำนวนฟีโบนัชชีมีนิยามในรูปของผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน์ ซึ่งความจริงข้อนี้นำไปสู่การแก้ปัญหาข้อที่ 10 ของฮิลแบร์ท

จำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถเขียนอยู่ในรูปของผลบวกของจำนวนฟีโบนัชชีที่ไม่ติดกินได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น ความจริงข้อนี้เป็นที่รู้จักกันในนามทฤษฎีบทของเซคเคนดอร์ฟ การเขียนจำนวนเต็มในรูปดังกล่าวเรียกว่า การนำเสนอแบบเซคเคนดอร์ฟ

ตัวกำเนิดจำนวนสุ่มเทียมบางตัวใช้จำนวนฟีโบนัชชีเป็นเครื่องมือในการสร้างเลขสุ่ม

จำนวนฟีโบนัชชีถูกใช้กำหนดความยาวของส่วนประกอบต่างๆ ของงานศิลปะ และถูกใช้ในการเทียบเสียงเครื่องดนตรี ผลงานเพลงที่มีความเกี่ยวข้องกับจำนวนฟีโบนัชชี ได้แก่ เพลงสำหรับเครื่องสาย เครื่องประกอบจังหวะ และซีเลสตา ของ เบลา บาท็อก, และเพลงแลเทอราทัส ของวงทูล ซึ่งมีจำนวนพยางค์ในวรรคของเนื้อร้องเท่ากับจำนวนฟีโบนัชชี ("Black/Then/White are/All I see/In my infancy/Red and yellow then came to be")

 อ้างอิง 




 Arakelian, Hrant (2014), Mathematics and History of the Golden Section. Logos, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0, (rus.) 

ฟ