เรขาคณิต

เรขาคณิต (; , geometria; geo = พื้นดิน/โลก, metria = วัด) เป็นสาขาความรู้ที่เกี่ยวข้องกับรูปทรง รูปร่าง ขนาดและตำแหน่งของวัตถุในปริภูมิ  

ในช่วงก่อนคริสต์ศตวรรษที่ 19 เรขาคณิตแบบยุคลิดแทบจะเป็นเรขาคณิตแบบเดียวที่เป็นที่รู้จักและถูกศึกษามากที่สุด เรขาคณิตแบบยุคลิดเป็นการศึกษาเรขาคณิตบนระนาบ และเรขาคณิตในปริภูมิสามมิติ โดยมี จุด เส้น ระนาบ ระยะทาง มุม พื้นผิว และความโค้งเป็นพื้นฐาน เรขาคณิตอีกแบบที่เป็นที่รู้จักคือเรขาคณิตทรงกลม ซึ่งใช้ในการศึกษาดาราศาสตร์ และการเดินทาง

ในช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 19 มีการค้นพบใหม่ ๆ ที่ขยายสาขาเรขาคณิตออกไปโดยกว้าง หนึ่งในนั้นคือ Theorema Egregium (ทฤษฎีบทอันน่าทึ่ง) โดย คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ ซึ่งกล่าวโดยคร่าวว่า ความโค้งเกาส์เซียน ของพื้นผิวเป็นคุณสมบัติเฉพาะของพื้นผิวที่สามารถวัดได้จากบนพื้นผิวนั้น และไม่ขึ้นอยู่กับปริภูมิแวดล้อมที่พื้นผิวนั้นอาศัยอยู่ใน การค้นพบนี้นำไปสู่เรขาคณิตแบบรีมันน์ 

ถัดมาในช่วงหลังคริสต์ศตวรรษที่ 19 มีการค้นพบเรขาคณิตในรูปแบบอื่นที่นอกเหนือไปจากเรขาคณิตแบบยุคลิดโดยปฏิเสธสัจพจน์เส้นขนานของยุคลิด  ผ่านงานของ นิโคไล อิวาโนวิช โลบาเชฟสกี และ ยานอส โบลไย ปัจจุบันเรียกเรขาคณิตที่ไม่มีสัจพจน์เส้นขนานว่า เรขาคณิตแบบไม่ยุคลิด เรขาคณิตที่ใช้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพของอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ เป็นตัวอย่างหนึ่งของเรขาคณิตแบบไม่ยุคลิดซึ่งมีชื่อเสียงที่สุด

ในปัจจุบันเรขาคณิตได้ขยายออกไปกว้างขวางมาก และแบ่งย่อยออกไปตามเครื่องมือที่ใช้ในการศึกษาปัญหาทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ เรขาคณิตเชิงพีชคณิต เรขาคณิตเชิงคณนา เรขาคณิตวิยุต และอื่น ๆ หรือแบ่งตามสมบัติที่เรขาคณิตนั้นแตกต่างไปจากเรขาคณิตแบบยุคลิด เช่น เรขาคณิตโพรเจคทีฟไม่มีแนวคิดเกี่ยวกับระยะทางและเส้นขนาน เรขาคณิตสัมพรรคไม่มีแนวคิดเกี่ยวกับมุมและระยะทาง เป็นต้น

นอกจากนี้แล้ว เรขาคณิตยังมีบทประยุกต์ในคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ ที่ดูเหมือนจะไม่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตโดยตรง ตัวอย่างที่เป็นที่รู้จักคือ ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา ซึ่ง แอนดรูว์ ไวลส์ ได้พิสูจน์สำเร็จในปี ค.ศ. 1994 บทพิสูจน์ของไวลส์ใช้เครื่องมือทางเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเป็นหัวใจสำคัญhttps://www.ams.org/publications/journals/notices/201703/rnoti-p209.pdf

 สาขาของเรขาคณิต 
 เรขาคณิตแบบยุคลิด 

เรขาคณิตแบบยุคลิดเป็นเรขาคณิตแบบคลาสสิค ซึ่งศึกษารูปร่างและรูปทรงที่เป็นไปตามสัจพจน์ที่ริเริ่มโดยยุคลิด 

 เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ 

เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์มุ่งศึกษาเรขาคณิตของเส้นโค้ง พื้นผิว และแมนิโฟลด์ โดยอาศัยเครื่องมือและวิธีการจาก แคลคุลัสเชิงอนุพันธ์ หรือ แคลคุลัสเชิงปริพันธ์ เข้าร่วม

 ทอพอโลยี 

ทอพอโลยีเป็นสาขาเกี่ยวข้องกับการส่งต่อเนื่อง และสมบัติของปริภูมิ อาทิ ความเชื่อมโยง และความกระชับ

 เรขาคณิตเชิงพีชคณิต

เรขาคณิตเชิงพีชคณิตพัฒนามาจากการหาคำตอบของเซตของพหุนามในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เรขาคณิตเชิงพีชคณิตอาศัยเครื่องมือจาก เรขาคณิตเชิงโพรเจคทีฟ เรขาคณิตทวิตรรกยะ วาไรตีเชิงพีชคณิต และ พีชคณิตสลับที่ ซึ่งต่างเป็นสาขาที่เพิ่งสร้างขึ้นในช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 19 เป็นต้นมา ในช่วงท้ายของทศวรรษ 1950 เรขาคณิตเชิงพีชคณิตได้รับการพัฒนาฐานรากจากงานของ ฌ็อง-ปีแยร์ แซร์ และ อเล็กซานเดอร์ โกรเธนดีก ซึ่งเสนอแนวคิดเรื่อง สกีม และประยุกต์ใช้วิธีทางทอพอโลยี 

บทพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา โดย แอนดรูว์ ไวลส์ ใช้เครื่องมือขั้นสูงจากเรขาคณิตเชิงพีชคณิตมาแก้ปัญหาในทฤษฎีจำนวน
 รายการอ้างอิง