อสมการของมาร์คอฟ

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น อสมการของมาร์คอฟ เป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ให้ขอบเขตบนของความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มที่มีค่าบวกจะมีมากกว่าหรือเท่ากับจำนวนจริงบวกคงที่หนึ่ง ๆ ชื่อของอสมการตั้งตามนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียชื่อ อันเดรย์ มาร์คอฟ

อสมการของมาร์คอฟมีใจความดังต่อไปนี้: ให้  เป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าไม่เป็นลบและ  เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่มากกว่าศูนย์ แล้ว 


เห็นได้ว่า อสมการของมาร์คอฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็นกับค่าคาดหมาย เนื่องจากตัวอสมการเองไม่ได้กำหนดว่าตัวแปรสุ่มต้องมีสมบัติพิเศษประการใดเลย ขอบเขตบนที่ได้จากอสมการของมาร์คอฟมักจะมีค่าสูงกว่าความเป็นจริงมาก อย่างไรก็ดีเราสามารถใช้อสมการของมาร์คอฟพิสูจน์ข้อความทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ ที่ให้ขอบเขตบนที่แน่นขึ้นได้ เช่น อสมการของเชบิเชฟ และขอบเขตเชอร์นอฟ

 การพิสูจน์ 
กำหนดฟังก์ชัน  ดังต่อไปนี้  เมื่อ  มิฉะนั้น  เราได้ว่า

เนื่องจาก  สำหรับทุก ๆ จำนวนจริง  เราได้ว่า

ตามต้องการ

 อีกบทพิสูจน์หนึ่ง 
ในกรณีที่ตัวแปรสุ่ม  เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง และมีค่าเป็นจำนวนเต็ม บทพิสูจน์ที่ใช้การคำนวณอย่างง่ายด้านล่างอาจเข้าใจได้ง่ายกว่า

จากนิยามของค่าคาดหมาย และเงื่อนไขที่ว่าตัวแปรสุ่ม  มีค่าไม่เป็นลบ เราได้ว่า

     (กระจายเทอม โดยแยกกรณี  กับ )
     (ทิ้งเทอมหน้าซึ่งมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์)
     (เนื่องจาก )
     (แยก )
    (เนื่องจากเป็นผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน)

นั่นคือเราได้  ตามต้องการ

 รูปแบบอื่นของ อสมการของมาร์คอฟ 
บางครั้งเราอาจพบเห็น การใช้อสมการของมาร์คอฟ ในรูปแบบอื่น ๆ เช่น 

เมื่อ  คือ เป็นฟังก์ชันที่มีค่าไม่เป็นลบ และ มีค่าไม่ลดลงแล้ว


ซึ่งในกรณีที่  จะนำไปสู่ ขอบเขตเชอร์นอฟ

หมวดหมู่:ทฤษฎีความน่าจะเป็น
หมวดหมู่:อสมการ
หมวดหมู่:อันเดรย์ มาร์คอฟ