พีชคณิตซิกมา

ในทางคณิตศาสตร์ พีชคณิตซิกมา หรือ ซิกมาแอลจีบรา หรือ ซิกมาฟิลด์ (สัญกรณ์ที่นิยมใช้: σ-algebra) ที่นิยามบนเซต X คือ สับเซตของพาวเวอร์เซตของ X ที่มีเซตว่างเป็นสมาชิก และมีคุณสมบัติปิดภายใต้ คอมพลีเมนต์ และการยูเนียนแบบนับได้ พีชคณิตซิกมาเป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่ใช้มากในคณิตวิเคราะห์และทฤษฎีความน่าจะเป็น

 นิยามทางคณิตศาสตร์ 
กำหนด , เราจะกล่าวว่า  เป็นพีชคณิตซิกมาบน  ก็ต่อเมื่อ  มีคุณสมบัติต่อไปนี้


 ถ้า  แล้ว,  ด้วย
 ถ้า  แล้ว  ด้วย

 หมายเหตุ 
 การจะนิยามพีชคณิตซิกมา ต้องกำหนดเสมอว่านิยามบนเซตใด (เช่น  ในตัวอย่างข้างบน) มิฉะนั้นจะไม่มีความหมายในทางคณิตศาสตร์
 จากนิยามในข้อ 2 และ 3 เราจะได้ว่าพีชคณิตซิกมามีคุณสมบัติปิดภายใต้อินเตอร์เซกชันแบบนับได้ด้วย เนื่องจาก 
 ในทฤษฎีเมเชอร์นั้น สมาชิกของ  ใด ๆ จะถูกเรียกว่า เซตหาเมเชอร์ได้ และยังเรียกสัญกรณ์  ว่า ปริภูมิหาเมเชอร์ได้ (โดย ฟังก์ชันเมเชอร์ จะต้องนิยามบนปริภูมินี้ เพื่อนิยามเมเชอร์ในรูปแบบต่าง ๆ ในปริภูมิที่สามารถวัดได้นี้: ดู ทฤษฎีเมเชอร์)
 ในทางทฤษฎีความน่าจะเป็น มักจะนิยามปริภูมิที่สามารถหาเมเชอร์ได้ ด้วย  เนื่องจาก  มักจะใช้แทนตัวแปรสุ่ม และ  มักใช้แทนการหาอนุกรม นอกจากนี้ยังมักเรียกพีชคณิตซิกมา ว่า ซิกมาฟิลด์ มี่ที่มาจาก ฟิลด์ของเซต และสัญกรณ์ σ (ซิกมา) ที่มักใช้แทนความหมายของการยูเนียนแบบนับได้

 ตัวอย่าง 

 กำหนด  เป็นเซตใด ๆ เราจะได้ว่า เป็นพีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุดบน , และ  เป็นพีชคณิตซิกมาที่ใหญ่ที่สุดบน 
 กำหนด  ให้เป็นเซตของพีชคณิตซิกมาบน  เราจะได้ว่า  เป็นพีชคณิตซิกมาบน  ด้วย

 (แสดงการประยุกต์ใช้ตัวอย่าง 2.) กำหนดให้  ให้เป็นเซตของพีชคณิตซิกมาทั้งหมดที่มีเซตเปิดเป็นสมาชิก และนิยามบน  ซึ่งเป็นปริภูมิทอพอโลยีใด ๆ เราจะเรียก  ว่า พีชคณิตซิกมาของโบเรล (Borel σ-algebra) ซึ่งเป็นหนึ่งในพีชคณิตซิกมาที่สำคัญและพบเจอบ่อยที่สุด สังเกตว่า พีชคณิตซิกมาของโบเรล นี้เป็นพีชคณิตซิกมาที่ เล็กที่สุด ที่มีเซตเปิดเป็นสมาชิก (เนื่องจากเกิดจากอินเตอร์เซกชันของพีชคณิตซิกมาทุกรูปแบบที่มีเซตเปิดเป็นสมาชิก) เรามักเรียก พีชคณิตซิกมาของโบเรล ว่า พีชคณิตซิกมาที่สร้างจากเซตเปิด
 ในปริภูมิยุคลิด  อองรี เลอเบ็กได้กำหนดพีชคณิตซิกมาที่สำคัญมากเพื่อใช้ในเมเชอร์ ความยาว พื้นที่ ปริมาตร ฯลฯ ในทฤษฎีปริพันธ์ของเลอเบ็ก นั่นคือ พีชคณิตซิกมาของเลอเบ็ก โดยมี พีชคณิตซิกมาของโบเรล เป็นสับเซต สมาชิกในพีชคณิตซิกมาชนิดนี้เรียกว่า เซตที่สามารถวัดได้แบบเลอเบ็ก โดยในทฤษฎีปริพันธ์บนปริภูมิยุคลิด พีชคณิตซิกมานี้สำคัญมาก ถึงขนาดที่ว่านักคณิตศาสตร์หลายท่านใช้คำว่า เซตที่สามารถวัดได้ แทน เซตที่สามารถวัดได้แบบเลอเบ็ก เลยทีเดียว

 ดูเพิ่ม 
 ฟิลด์ของเซต
 ทฤษฎีเมเชอร์
 สัจพจน์ความน่าจะเป็น

หมวดหมู่:ทฤษฎีความน่าจะเป็น
หมวดหมู่:ทฤษฎีเมเชอร์
หมวดหมู่:ทฤษฎีเซต
หมวดหมู่:พีชคณิตแบบบูล