แคลคูลัสเชิงประพจน์

แคลคูลัสเชิงประพจน์ (อังกฤษ: propositional calculus) คือระบบรูปนัยสำหรับการใช้เหตุผลแบบนิรนัย ที่มีหน่วยพื้นฐานคือตัวแปรเชิงประพจน์  (ซึ่งจะแตกต่างจากตรรกศาสตร์ภาคแสดงที่อาจมีการใช้ ตัวบ่งปริมาณ และมีหน่วยพื้นฐานคือฟังก์ชันเชิงประพจน์ และตรรกศาสตร์อัญรูปที่หน่วยพื้นฐานอาจไม่ใช่ประโยคระบุความจริง)

ในที่นี้ แคลคูลัส คือระบบทางตรรกศาสตร์ที่ใช้สำหรับพิสูจน์ทั้งสูตร (นั่นคือทฤษฎีบทที่ได้จากระบบนั้น) และการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผล   แคลคูลัสคือเซตของสัจพจน์ (ที่อาจเป็นเซตว่างหรืออาจเป็นเซตอนันต์นับได้) และกฎการอนุมานสำหรับการสร้างการอนุมานที่สมเหตุสมผล   ไวยากรณ์รูปนัย (หรือ วากยสัมพันธ์) จะนิยามนิพจน์และสูตรที่จัดดีแล้ว (well-formed formular หรือ wff) ของภาษาแบบเวียนเกิด  นอกจากนี้จะต้องมีการระบุความหมาย (อรรถศาสตร์) ที่นิยามความจริงและค่าต่าง ๆ (หรือการตีความ)  ทั้งหมดนี้ทำให้เราสามารถตัดสินได้ว่าสูตรที่จัดดีแล้วสูตรใดสมเหตุสมผล

ในแคลคูลัสเชิงประพจน์นั้น ภาษาจะประกอบด้วยตัวแปรเชิงประพจน์ และตัวดำเนินการเชิงประโยค (หรือ ตัวเชื่อม)  สูตรที่จัดดีแล้ว คือสูตรที่เป็นหน่วยพื้นฐาน หรือสูตรที่สร้างโดยใช้ตัวดำเนินการเชิงประโยค

ต่อไปเราจะได้แสดงรูปแบบมาตรฐานของแคลคูลัสเชิงประพจน์อย่างคร่าว ๆ  รูปแบบอื่น ๆ ที่แตกต่างไปจากนี้ก็ยังมีใช้อยู่  ข้อแตกต่างที่พบจะมีในส่วนของ (1) ภาษา (ตัวดำเนินการและตัวแปรใดบ้างที่จัดว่าเป็นส่วนของภาษา) (2) สัจพจน์ใดที่ใช้ และ (3) กฎการอนุมานที่ใช้

 ไวยากรณ์ 
ภาษาของแคลคูลัสเชิงประพจน์ประกอบด้วย:

 ตัวอักษรที่ใช้แทนตัวแปรเชิงประพจน์  ตัวอักษรเหล่านี้คือสูตรพื้นฐาน  เรานิยมใช้ภาษาอังกฤษตัวใหญ่
 เครื่องหมายที่ใช้แทนตัวเชื่อมต่าง ๆ: ¬, ∧, ∨, →, ↔ (เราสามารถลดจำนวนตัวดำเนินการลงจากนี้ได้ เนื่องจากนิพจน์ที่ใช้ตัวดำเนินการบางตัวสมมูลกับนิพจน์ที่ใช้ตัวดำเนินการอื่น ๆ เช่น P → Q สมมูลกับ ¬ P ∨ Q)
 เครื่องหมายวงเล็บเปิด และวงเล็บปิด:  (, ) 

เซตของ wff ถูกนิยามแบบเวียนเกิด (เรียกซ้ำ) ด้วยกฎต่อไปนี้
 กรณีฐาน: ตัวอักษร (เช่น A, B, ฯลฯ) เป็น wff
 อนุพากย์อุปนัยที่ 1: ถ้า φ เป็น wff, แล้ว ¬ φ เป็น wff
 อนุพากย์อุปนัยที่ 2: ถ้า φ และ ψ ต่างเป็น wff, แล้ว (φ ∧ ψ) , (φ ∨ ψ) , (φ → ψ) , และ (φ ↔ ψ) ล้วนเป็น wff
 อนุพากย์แสดงการปิด: ไม่มีสิ่งอื่นที่เป็น wff

การใช้กฎเหล่านี้ทำให้เราสร้าง wff ที่ซับซ้อนได้ เช่น

 โดยกฎที่ 1, A เป็น wff
 โดยกฎที่ 2, ¬ A เป็น wff
 โดยกฎที่ 1, B เป็น wff
 โดยกฎที่ 3, ( ¬ A ∨ B ) เป็น wff

 แคลคูลัส 

 สัจพจน์ 


 กฎการอนุมาน 

 ตัวอย่าง 


 ความถูกต้องและความบริบูรณ์ของกฎ 


 แคลคูลัสอื่น ๆ 


 ตัวอย่างบทพิสูจน์ 


 แคลคูลัสเชิงตรรกศาสตร์อื่น ๆ 


 ดูเพิ่ม 
 ตรรกศาสตร์แบบบูล

หมวดหมู่:ตรรกศาสตร์
หมวดหมู่:พีชคณิตแบบบูล