สัญกรณ์โอใหญ่

ในวิชาทฤษฎีความซับซ้อนและคณิตศาสตร์ สัญกรณ์โอใหญ่ () เป็นสัญกรณ์คณิตศาสตร์ที่ใช้บรรยายพฤติกรรมเชิงเส้นกำกับของฟังก์ชัน  โดยระบุเป็นขนาด (magnitude) ของฟังก์ชันในพจน์ของฟังก์ชันอื่นที่โดยทั่วไปซับซ้อนน้อยกว่า สัญกรณ์โอใหญ่เป็นหนึ่งในสัญกรณ์เชิงเส้นกำกับ หรืออาจเรียกว่า สัญกรณ์ของลันเดา หรือ สัญกรณ์ของบัคแมนน์-ลันเดา (ตั้งชื่อตามเอ็ดมุนด์ ลานเดาและเพาล์ บาคมันน์) สัญกรณ์โอใหญ่ใช้ในการเขียนเพื่อประมาณพจน์ในคณิตศาสตร์ ประยุกต์ใช้ในวิทยาการคอมพิวเตอร์เพื่อใช้อธิบายความเร็วประมาณในการทำงานของโปรแกรมในกรณีต้องประมวลผลข้อมูลจำนวนมาก และใช้เพื่ออธิบายประสิทธิภาพของขั้นตอนวิธีหรือโครงสร้างข้อมูลนั้น ๆ

สัญกรณ์โอใหญ่ระบุลักษณะของฟังก์ชันตามอัตราการเติบโต ถึงแม้ฟังก์ชันจะต่างกัน แต่ถ้ามีอัตราการเติบโตเท่ากันก็จะมีสัญกรณ์โอใหญ่เท่ากัน สำหรับสัญกรณ์โอใหญ่แล้ว จะพิจารณาเฉพาะขอบเขตบนของอัตราการเติบโตของฟังก์ชัน อาทิฟังก์ชัน  และ  ล้วนมีอัตราการเติบโตน้อยกว่าหรือเท่ากับ  นั่นคืออัตราการเติบโตของฟังก์ชัน  เป็นขอบเขตบนของ  และ  จึงอาจกล่าวได้ว่า  และ  เป็นสมาชิกของเซตของฟังก์ชัน  ในขณะที่สัญกรณ์เชิงเส้นกำกับอื่น พิจารณาขอบเขตอื่น ๆ เช่นสัญกรณ์โอเมกาใหญ่พิจารณาขอบเขตล่างของอัตราการเติบโตของฟังก์ชันแทน

 ประวัติ 
แนวคิดของสัญกรณ์โอใหญ่ถูกคิดโดยนักทฤษฎีจำนวนที่ชื่อเพาล์ บาคมันน์ (Paul Bachmann) จากงานตีพิมพ์ของเขาที่ชื่อว่า Analytische Zahlentheorie (ทฤษฎีจำนวนวิเคราะห์) ในปี 1894  โดยครั้งนั้นยังไม่ได้ใช้ตัวสัญกรณ์โอใหญ่ สำหรับตัวสัญกรณ์โอใหญ่เองได้รับการใช้อย่างแพร่หลายโดยนักทฤษฎีจำนวนชาวเยอรมัน ที่มีชื่อว่า เอ็ดมุนด์ ลานเดา (Edmund Landau) ชื่อของเขาบางครั้งได้รับการยกย่องให้เป็นชื่อของสัญกรณ์โอใหญ่ว่าเป็น สัญกรณ์ของลานเดา (Landau notation) หรือ สัญกรณ์แบชมาน-ลานเดา (Bachmann-Landau notation)  สำหรับตัวสัญกรณ์ที่เขียนเป็นรูปโอใหญ่นั้นได้แนวคิดมาจากคำว่า  "order of" ซึ่งเดิมทีนั้นเขียนโดยใช้เป็นโอไมครอนใหญ่

 นิยาม 
อัตราการเติบโตของฟังก์ชันใด ๆ มีค่าเป็นสัญกรณ์โอใหญ่ของอีกฟังก์ชันหนึ่งแล้ว แสดงว่าอัตราการเติบโตของฟังก์ชันใด ๆ นั้นจะ โตน้อยกว่าหรือเท่ากับ อัตราการเติบโตของฟังก์ชันดังกล่าว ดังนั้นจึงอาจนิยามได้ว่า

ให้  และ  เป็นฟังก์ชันบนจำนวนจริงใด ๆ แล้ว จะกล่าวว่า
 เมื่อ 
ก็ต่อเมื่อมีจำนวนจริง  และ  ค่าหนึ่งที่ทำให้  ทุก ๆ 

อย่างไรก็ตาม นิยามนี้จำกัดเฉพาะกรณี  เท่านั้น ซึ่งไม่เพียงพอต่อการอธิบายในกรณีที่  ดังนั้นจึงอาจใช้นิยามในอีกรูปแบบ ในการขยายไปถึงสัญกรณ์โอใหญ่กณิกนันต์ ซึ่งเป็นพิจารณาอัตราการเติบโตของฟังกชันรอบ ๆ จุด a ใด ๆ

ให้  และ  เป็นฟังก์ชันใด ๆ จะกล่าวว่า
 ขณะ x เข้าใกล้ a
ก็ต่อเมื่อ 

 การขยายนิยามไปหลายตัวแปร 
นิยามทั้งสองรูปแบบสามารถขยายไปหลายตัวแปรได้

ให้  และ  เป็นฟังก์ชันหลายตัวแปรใด ๆ จะกล่าวได้ว่า

ก็ต่อเมื่อมีจำนวนจริง  และ   ค่าหนึ่งที่ทำให้  ทุก ๆ  

หรือในอีกนิยามที่พิจารณาอัตราการเติบโตของฟังก์ชันรอบ ๆ พิกัด  ใด ๆ ว่า

ก็ต่อเมื่อ 

 ตัวอย่าง 
   ทุกๆ   (หาได้จากการแก้อสมการ) เพราะฉะนั้น  () 
   ทุกๆ   (หาได้จากการแก้อสมการ) เพราะฉะนั้น  ()

หรือ

  เพราะฉะนั้น 
  เพราะฉะนั้น 

 การใช้งาน 
สัญกรณ์โอใหญ่มีการใช้ในสองกรณีด้วยกัน ได้แก่ กรณีเส้นกำกับอนันต์ และ กรณีเส้นกำกับกณิกนันต์ ความแตกต่างระหว่างสองกรณีนี้เป็นความแตกต่างในขั้นการประยุกต์ใช้ มิใช่ในขั้นหลักการ อย่างไรก็ตาม นิยามเชิงรูปนัยของ "โอใหญ่" นั้นเหมือนกันในทั้งสองกรณี มีเพียงลิมิตสำหรับอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันเท่านั้นที่แตกต่างกัน

 กรณีเส้นกำกับอนันต์ 

สัญกรณ์โอใหญ่มีประโยชน์ในการใช้วิเคราะห์ขั้นตอนวิธี เพื่อหาประสิทธิภาพของขั้นตอนวิธี ตัวอย่างเช่น สมมติให้เวลา (หรือจำนวนขั้นตอน) ที่ใช้ในการแก้ปัญหาขนาด n มีฟังก์ชันเป็น 

เมื่อ n มีค่ามากขึ้น พจน์ n2 จะใหญ่ขึ้นครอบงำพจน์อื่น ๆ จนกระทั่งเราสามารถละเลยพจน์อื่น ๆ ได้ ยิ่งไปกว่านั้น สัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์จะขึ้นกับรายละเอียดปลีกย่อยของการนำขั้นตอนวิธีไปปฏิบัติ ตลอดจนฮาร์ดแวร์ที่ใช้ในการดำเนินการ ฉะนั้นจึงสามารถละเลยได้เช่นกัน สัญกรณ์โอใหญ่จะเก็บเฉพาะส่วนที่เหลือจากที่ละเลยได้ข้างต้น จึงเขียนได้ว่า

และกล่าวได้ว่า ขั้นตอนวิธีดังตัวอย่างนี้มีความซับซ้อนเชิงเวลาเป็นอันดับของ n2

 กรณีเส้นกำกับกณิกนันต์ 

สัญกรณ์โอใหญ่ยังใช้เพื่อแสดงพจน์ของค่าคลาดเคลื่อนโดยประมาณในฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น

หมายความว่า เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ศูนย์ ผลต่างของฟังก์ชัน  กับ  (หรืออาจกล่าวอีกนัยหนึ่งว่าเป็นความคลาดเคลื่อนของสองฟังก์ชันนี้) จะมีอยู่ในสับเซตของ  นั่นเอง หรือเขียนเป็นสัญลักษณ์ว่า

 คุณสมบัติ 
 การคูณ 

 การคูณด้วยค่าคงที่ 
ให้ k เป็นค่าคงที่ใด ๆ ที่เป็นบวก

 การซ้อนสัญกรณ์โอใหญ่ 

ให้  h (n) เป็นอีกฟังก์ชันหนึ่ง

 สัญกรณ์โอใหญ่มาตรฐานน้อยสุด 
ในบางครั้งสัญกรณ์โอใหญ่อาจมีการครอบคลุมมากเกินไป เช่น  เป็นต้น จึงทำให้สำหรับฟังก์ชันใด ๆ อาจอยู่ในเซตของสัญกรณ์โอใหญ่หลายค่า จึงมีการกำหนดรูปแบบฟังก์ชันอย่างง่าย ให้ตอบในรูปสัญกรณ์โอใหญ่มาตรฐานน้อยสุด กล่าวคือตอบในรูปแบบมาตรฐานที่เล็กที่สุด เรามักจะอนุโลมให้ใช้จากสัญลักษณ์เท่ากับ () แทนสัญลักษณ์สมาชิก () เมื่อใช้กับรูปสัญกรณ์โอใหญ่มาตรฐานน้อยสุดนี้ เช่น 

ในทางวิทยาการคอมพิวเตอร์ การทำงานที่มีสัญกรณ์โอใหญ่มาตรฐานน้อยสุดมีขนาดยิ่งเล็กเท่าใด แสดงว่าทำงานได้ยิ่งเร็วเท่านั้น

สัญกรณ์โอใหญ่มาตรฐานเรียงจากขนาดเล็กไปใหญ่ (ขนาดเล็กหมายถึงจะเป็นซับเซตของขนาดที่ใหญ่กว่า)
ให้ m เป็นค่าคงที่ใด ๆ ที่มากกว่าศูนย์ และ n เป็นโดเมนของฟังก์ชัน 
+สัญกรณ์โอใหญ่มาตรฐานชื่อฟังก์ชัน หมายเหตุค่าคงที่ ไม่ใช้ค่าคงที่อื่นในการแสดงสัญกรณ์ เช่นไม่มีการใช้ O (2)  ลอการิทึม ลอการิทึมทุกฐานอยู่ในระดับเดียวกัน เพราะเปลี่ยนฐานได้โดยคูณค่าคงที่ 0<k<1 เอกซ์โพเนนเชียลฐานเศษส่วนแท้ ยิ่งค่าฐานมากยิ่งใหญ่  โพลีลอการิทึม ยิ่งเลขชี้กำลังมากระดับยิ่งใหญ่  ยกกำลังที่เป็นเศษส่วนแท้ (ติดราก) ยิ่งเลขชี้กำลังมากระดับยิ่งใหญ่  เชิงเส้น จริง ๆ แล้วเป็นพหุนามรูปแบบหนึ่ง แยกมาเรียกเพราะใช้บ่อย   พหุนาม  ยิ่งเลขชี้กำลังมากระดับยิ่งใหญ่ k>1 เอกซ์โพเนนเชียล ยิ่งค่าฐานมากยิ่งใหญ่ แฟกทอเรียล อาจรวมถึงการเรียงลำดับสับเปลี่ยน (permutation)  n ยกกำลัง n มีบางครั้งคนใช้ O (nn) แทน O (n!) แต่ที่จริง O (nn) ใหญ่กว่า O (n!) เล็กน้อย

บางครั้งเราจำเป็นต้องใช้การผสมโดยการคูณเช่น  เกิดจากการคูณระหว่างเชิงเส้นและลอการิทึมย่อมทำได้

 สัญกรณ์อื่น 

หมวดหมู่:คณิตวิเคราะห์
หมวดหมู่:วิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี
หมวดหมู่:สัญกรณ์คณิตศาสตร์