กฎยกกำลัง

ในแคลคูลัส สูตร หรือ กฎยกกำลัง (อังกฤษ: power rule) ใช้เพื่อหาอนุพันธ์ฟังก์ชันในรูป  เมื่อใดก็ตามที่  เป็นจำนวนจริง เนื่องจากการหาอนุพันธ์เป็นการดำเนินการเชิงเส้นบนปริภูมิของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ พหุนามจึงสามารถหาอนุพันธ์ได้โดยใช้กฎนี้ กฎยกกำลังรองรับอนุกรมเทย์เลอร์เนื่องจากเชื่อมโยงอนุกรมกำลังกับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

 ประพจน์ของกฎยกกำลัง 
ให้  เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ  สำหรับทุก  ที่  แล้ว

กฎยกกำลังของการปริพันธ์กล่าวว่า

สำหรับจำนวนจริงใด ๆ   กฎดังกล่าวสามารถหาได้โดยการย้อนกลับกฎยกกำลัฃสำหรับอนุพันธ์ ในสมการนี้ C เป็นค่าคงตัวใด ๆ

 บทพิสูจน์ 

 พิสูจน์โดยใช้การหาอนุพันธ์โดยปริยาย 
เป็นวิธีวางนัยทั่วไปตรง ๆ ของกฎยกกำลังไปยังเลขยกกำลังตรรกยะ ใช้การหาอนุพันธ์โดยปริยาย

ให้  เมื่อ  ทำให้ 

แล้ว

อนุพันธ์ทั้งสองข้างของสมการในส่วน 

แก้หา 

เนื่องาก 

ใช้สมบัติของเลขยกกำลัง

ให่้  สามารถสรุปได้ว่า  เมื่อ  เป็นจำนวนตรรกยะ

 การนำไปใช้กับพหุนาม 
พหุนามอาจเป็นฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดในการทำแคลคูลัส อนุพันธ์ และปริพันธ์เป็นไปตามกฎต่อไปนี้




ดังนั้นอนุพันธ์ของ  ก็คือ  และปริพันธ์ของ  คือ 

 บทพิสูจน์ 
เนื่องจากการหาอนุพันธ์เป็น การแปลงเชิงเส้น จะได้

ดังนั้นจะต้องหา  สำหรับ จำนวนธรรมชาติ  ใด ๆ ซึ่งมีการพิสูจน์โดยอุปนัย โดยใช้ กฎผลคูณ ซึ่งขึ้นอยู่กับกรณีที่  เท่านั้น

 นัยทั่วไป 

เป็นจริงทุกค่า k ที่ xk มีความหมาย หรือ ทุกค่า k ที่เป็นจำนวนตรรกยะที่ xk มีการนิยามไว้

นัยทั่วไปนี้ก็เป็นจริงสำหรับการหาปริพันธ์ของพหุนามเช่นเดียวกัน

ถ้ามีพหุนามที่ตัวคูณไม่ใช่จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน (เช่น อาจเป็น จำนวนเต็ม หรือตัวเลขมอดุโลของจำนวนเฉพาะ) ก็สามารถนิยามอนุพันธ์จากความสัมพันธ์ข้างบน

 พิสูจน์โดย ทฤษฎีบททวินาม (จำนวนธรรมชาติ) 

 หมายเหตุ 

 อ้างอิง 

 Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3rd edition). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-618-22307-X.

หมวดหมู่:แคลคูลัส