ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต

ในคณิตศาสตร์สาขาทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต, ทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิต หรือ ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบได้แบบเดียว ()  เป็นทฤษฎีบทซึ่งกล่าวว่าจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่มากกว่า 1 สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้เพียงวิธีเดียวเท่านั้น หากไม่สนใจการเรียงลำดับ ตัวอย่างเช่น เราสามารถเขียน

6936 = 23 · 3 · 172   หรือ   1200 = 24 · 3 · 52

และไม่มีทางที่จะแยกตัวประกอบเฉพาะของ 6936 หรือ 1200 ได้เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะในรูปแบบอย่างอื่น (หากเราไม่คำนึงถึงลำดับของตัวประกอบ)

เงื่อนไขที่ว่าตัวประกอบทั้งหมดในผลคูณเป็นตัวประกอบเฉพาะนั้นจำเป็น เพราะการเขียนในรูปผลคูณของตัวประกอบที่ไม่ใช่ตัวประกอบเฉพาะอาจไม่ได้มีเพียงแบบเดียว เช่น 

ทฤษฎีบทนี้เป็นอีกเหตุผลหนึ่งที่ทำไม 1 จึงไม่ถือว่าเป็นจำนวนเฉพาะ เพราะถ้าหาก 1 เป็นจำนวนเฉพาะ แล้วการแยกตัวประกอบเฉพาะจะไม่ได้มีแบบเดียว เช่น 

ทฤษฎีบทนี้สามารถขยายไปยังโครงสร้างเชิงพีชคณิตอื่นที่เรียกว่า โดเมนแยกตัวประกอบได้แบบเดียว (unique factorization domain หรือ UFD) ซึ่งรวมโครงสร้างริงจำนวนมากในพีชคณิต ตั้งแต่ โดเมนไอดีลมุขสำคัญ (principal ideal domain หรือ PID) โดเมนยูคลิเดียน (Euclidean domain) และจนถึงริงพหุนามเหนือฟีลด์ในริงของจำนวนเตIn a ring of algebraic integers, the factorization into prime elements may be non unique, but one can recover a unique factorization if one factors into ideals. ด้วยเหตุที่ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบได้แบบเดียวไม่จำเป็นจริงต้องเป็นจริงในริงทั่ว ๆ ไป เป็นหนึ่งในเหตุผลที่ทำให้ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มามีความซับซ้อน

เพื่อที่จะให้ทฤษฏีบทนี้ใช้ได้กับจำนวน 1 เราสามารถมองว่า 1 เป็นผลคูณของของจำนวนเฉพาะศูนย์จำนวน (ดูใน ผลคูณว่าง)

 ประวัติ 
ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตสามารถพิสูจน์ได้จากประพจน์ที่ 30, 31 และ 32 เล่ม VII และประพจน์ 14, เล่ม IX ในตำราเอเลเมนส์ของยุคลิด: "Even in Euclid, we fail to find a general statement about the uniqueness of the factorization of an integer into primes; surely he may have been aware of it, but all he has is a statement (Eucl.IX.I4) about the l.c.m. of any number of given primes." ยุคลิดเป็นผู้แรกที่เขียนถึงการมีอยู่ของการแยกตัวประกอบเฉพาะ ในขณะที่อัล-ฟาริสีเป็นบุคคลแรกที่พิจารณาการมีแบบเดียว และระบุข้อความของทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิตที่รวมทั้งการมีอยู่และการมีได้แบบเดียว (existence and uniqueness)

เกาส์ได้เขียนไว้ใน Article 16 (ข้อที่ 16) ในหนังสือ Disquisitiones Arithmeticae ถึงรูปแบบสมัยใหม่อันแรกของทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต พร้อมกับให้บทพิสูจน์ที่ใช้เลขคณิตมอดุลาร์

 บทประยุกต์ 

 รูปแบบบัญญัติของจำนวนเต็มบวก 
ทุกจำนวนเต็มบวก  สามารถเขียนได้ในรูปของผลคูณของจำนวนเฉพาะเพียงแบบเดียว 



เมื่อ  เป็นจำนวนเฉพาะ และ  เป็นจำนวนเต็มบวก การเขียนเช่นนี้อาจขยายไปสำหรับทุกจำนวนเต็มบวกได้โดยรวม 1 โดยอาศัยข้อกำหนดที่ว่า ผลคูณว่างจะเท่ากับ 1 (ผลคูณว่างคือกรณีเมื่อ )

การเขียนแบบนี้เรียกว่ารูปแบบบัญญัติ (canonical representation) ของ  หรือรูปแบบมาตรฐาน (standard form) ของ n ตัวอย่างเช่น

 999 = 33×37,
 1000 = 23×53,
 1001 = 7×11×13.

สามารถเพิ่มตัวประกอบ  โดยไม่เปลี่ยนค่าของ  (ตัวอย่างเช่น ) ยิ่งไปกว่านั้นทุกจำนวนเต็มสามารถเขียนได้ในรูปของผลคูณอนันต์ของจำนวนเฉพาะบวก 



โดยมี  เพียงจำกัดจำนวนเท่านั้นที่เป็นจำนวนเต็มบวก ที่เหลือมีค่าเป็นศูนย์

หากยอมให้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบจะได้รูปแบบบัญญัติของจำนวนตรรกยะ 

 การดำเนินการทางเลขคณิต 
รูปแบบบัญญัติของผลคูณ, รูปแบบบัญญัติของห.ร.ม. และ รูปแบบบัญญัติของค.ร.น. ของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนสามารถเขียนได้ในเทอมของรูปแบบบัญญัติของจำนวนเต็มทั้งสอง



อย่างไรก็ตาม การแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม นั้นยากกว่าการหาผลคูณ, ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจำนวนเต็มบวกสองจำนวน

 ฟังก์ชันเลขคณิต 

ฟังก์ชันเลขคณิตจำนวนมากนิยามผ่านรูปแบบบัญญัติข้างต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งค่าของฟังก์ชันเลขคณิตที่เป็นฟังก์ชันแยกบวก หรือเป็นฟังก์ชันแยกคูณขึ้นอยู่กับค่าของมันสำหรับกำลังของจำนวนเฉพาะ

 การพิสูจน์ 
การพิสูจน์ด้านล่างจประกอบด้วย 2 ส่วน ส่วนแรก เราจะพิสูจน์ให้เห็นว่าจำนวนทุกจำนวน สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ จากนั้นจะพิสูจน์ว่าการเขียน 2 แบบใด ๆ จะเหมือนกันเสมอ

 การมีอยู่ 
สมมติว่ามีจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 ที่ไม่สามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ ดังนั้นจะต้องมีจำนวนที่น้อยสุดในจำนวนพวกนั้นโดยหลักการจัดอันดับดี ให้จำนวนนั้นคือ  จะเห็นได้ว่า  ไม่สามารถเป็นจำนวนเฉพาะได้เพราะ  เป็นผลคูณของตัวมันเองตัวเดียวซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น  จะต้องเป็นจำนวนประกอบ จะได้



เมื่อ  และ  เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า  แต่  เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่ทำให้ทฤษฎีบทไม่จริง ดังนั้น  และ  ต้องเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ ทำให้ได้ว่า



ฉะนั้น  เขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ เกิดข้อขัดแย้ง

 การเขียนได้แบบเดียว 
เราจะใช้บทตั้งของยุคลิดที่ว่า ถ้าจำนวนเฉพาะ p หารผลคูณ ab ลงตัวแล้ว มันจะหาร a ลงตัว หรือหาร b ลงตัว เป็นบทตั้งในการพิสูจน์

พิจารณาการแยก  ให้อยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะ  และ  สองแบบ



จะเห็นว่า  จะหาร  ลงตัว จากบทตั้งของยุคลิด จะต้องหารตัวประกอบ  ในผลคูณ  ลงตัวอย่างน้อย 1 ตัว โดยไม่เสียนัยทั่วไปให้เป็น  แต่ตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด ดังนั้น  จะต้องเท่ากับ  ดังนั้นเราจึงตัด  และ ออกจากทั้งสองผลคูณได้ จะได้ว่า


และทำซ้ำอย่างนี้ไปเรื่อย ๆ จะเห็นว่าตัวประกอบเฉพาะของผลคูณสองผลคูณจะจับคู่กันเสมอจนหมด (เทียบเท่ากับการใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์บนจำนวนตัวประกอบเฉพาะ) 

 หมายเหตุ 

 อ้างอิง 
หนังสือ Disquisitiones Arithmeticae ได้รับการแปลเป็นภาษาอังกฤษและภาษาเยอรมัน




The two monographs Gauss published on biquadratic reciprocity have consecutively numbered sections: the first contains §§ 1–23 and the second §§ 24–76. Footnotes referencing these are of the form "Gauss, BQ, § n". Footnotes referencing the Disquisitiones Arithmeticae are of the form "Gauss, DA, Art. n".




These are in Gauss's Werke, Vol II, pp. 65–92 and 93–148; German translations are pp. 511–533 and 534–586 of the German edition of the Disquisitiones.



 .
 .



 ดูเพิ่ม 
 การแยกตัวประกอบ

 ลิงก์เชื่อมโยงภายนอก 

 Why isn’t the fundamental theorem of arithmetic obvious?
 GCD and the Fundamental Theorem of Arithmetic at cut-the-knot.
 PlanetMath: Proof of fundamental theorem of arithmetic
 Fermat's Last Theorem Blog: Unique Factorization, a blog that covers the history of Fermat's Last Theorem from Diophantus of Alexandria to the proof by Andrew Wiles.
 "Fundamental Theorem of Arithmetic" by Hector Zenil, Wolfram Demonstrations Project, 2007.


หมวดหมู่:ทฤษฎีจำนวน
หมวดหมู่:ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์