กฎของโลปีตาล

ในแคลคูลัส กฎของโลปีตาล () หรือ กฎของแบร์นูลลี () เป็นทฤษฎีบทคณิตศาสตร์ที่ว่าด้วยการหาค่าลิมิตที่อยู่ในรูปแบบยังไม่กำหนด () ด้วยการใช้อนุพันธ์กฎนี้มักนำมาใช้ในการเปลี่ยนรูปแบบยังไม่กำหนด เป็นรูปแบบกำหนด เพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณลิมิตโดยการแทนค่าเข้าไปตรง ๆ กฎนี้ถูกตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสกีโยม เดอ โลปีตาล ถึงแม้กฎนี้มักถูกพิจารณาว่าถูกเขียนโดยเดอ โลปีตาล แต่ทฤษฎีบทนี้แบร์นูลลีเป็นคนเสนอให้กับเขา

 ประวัติ 
กีโยม เดอ โลปีตาลเผยแพร่กฎนี้ในปี พ.ศ. 2239 (ค.ศ. 1696) ในหนังสือชื่อ Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes เป็นหนังสือเล่มแรกที่เขียนเกี่ยวกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ถึงอย่างไรก็ตาม เชื่อกันว่ากฎนี้ถูกค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสชื่อโยฮันน์ แบร์นูลลี

 รูปทั่วไป 
รูปทั่วไปของกฎของโลปีตาลครอบคลุมหลากหลายกรณี ให้  และ  เป็นจำนวนจริงส่วนขยาย (ต.ย. จำนวนจริง อนันต์บวก อนันต์ลบ) ให้  เป็นช่วงเปิดที่มี  อยู่ (สำหรับลิมิตสองข้าง) หรือช่วงเปิดที่มี  เป็นจุดปลาย (สำหรับลิมิตข้างเดียว หรือลิมิตที่อนันต์ ถ้า  เป็นอนันต์) สมมติให้ฟังก์ชันค่าจริง  และ  หาอนุพันธ์ได้บน  อาจยกเว้นที่  และ  บน  อาจยกเว้นที่  ด้วย ยังสมมติให้  ดังนั้นกฎนี้สามารถใช้ได้ในสถานการณ์เมื่ออัตราส่วนของอนุพันธ์มี่ค่าจำกัดหรือไม่จำกัด แต่ใข้ไม่ได้ในสถานการณ์อัตราส่วนแปรปรวนตลอดที่  มีค่าเข้าไกล้ 

ถ้า

หรือ

อย่างใดอย่างหนึ่งแล้ว

ถึงแม้ว่าเราจะเขียนในรูป  ตลอด ลิมิตนั้นอาจเป็นลิมิตข้างเดียว ( หรือ ) เมื่อ  เป็นจุดปลายจำกัดของ 

ในกรณีที่สองนั้น สมมุติฐานให้  ลู่ออกไปอนันต์จะไม่ได้ถูกใช้ในบทพิสูจน์ (ดูหมายเหตุตรงท้ายหัวเรื่องบทพิสูจน์) ดังนั้นโดยปกติเงื่อนไขของกฎจะกล่าวไว้ตามข้างบน เงื่อนไขที่เพียงพอที่สองที่จะทำให้กระบวนการของกฎนี้ถูกต้องสามารถกล่าวได้อย่างสั้น ๆ ว่า 

สมมุติฐานที่ว่า  จะพบเห็นได้บ่อยตามงานเขียน แต่บางผู้เขียนละสมมุติฐานนี้โดยการเขียนสมมติฐานอื่น วิธีหนึ่ง คือการนิยามลิมิตของฟังก์ชันนั้นโดยเพิ่มข้อกำหนดทีฟังก์ชันที่ใช้หาลิมิตนั้นต้องถูกนิยามทุกที่บนช่วงที่เกี่ยวข้อง  อาจยกเว้นที่  อีกวิธี คือให้ทั้ง  และ  จำเป็นที่จะต้องหาอนุพันธ์ได้ทุกที่บนช่วงที่มี  อยู่

 ตัวอย่าง 

 ตัวอย่างพื้นฐานที่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ในรูปแบบยังไม่กำหนด  ที่ 
 ตัวอย่างที่ซับซ้อนขึ้นที่เป็น  การใช้กฎของโลปีตาลเพียงครั้งเดียวผลลัพท์ยังคงเป็นรูปแบบยังไม่กำหนดอยู่ ในที่นี้ ลิมิตอาจหาค่าได้โดยการใชกฎของโลปีตาลสามครั้ง

 ตัวอย่างที่เป็น ใช้กฎของโลปีตาลซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าเลขชี้กำลังจะเป็นศูนย์ (ถ้า  เป็นจำนวนเต็ม) หรือติดลบ (ถ้า  เป็นเศษส่วน) ถีงจะสรุปได้ว่าลิมิตมีค่าเป็นศูนย์
 ตัวอย่างที่เป็นรูปแบบยังไม่กำหนด  (ดูข้างล่าง) ซึ่งเขียนใหม่ได้ในรูป 
 สามารถใช้กฎของโลปีตาลในการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ว่า ถ้า  หาอนุพันธ์ได้สองครั้งในบริเวณใกล้เคียงกับ  และอนุพันธ์อันดับสองต่อเนื่องในบริเวณใกล้เคียงนี้ แล้ว
 บางครั้งมีวิธีพลิกแพลงที่ใช้กฎของโลปีตาล เช่นสมมติให้  ลู่เข้าเมื่อ  และ  ลู่เข้าหาอนันต์บวกหรืออนันต์ลบ แล้วดังนั้นถ้า  หาค่าได้ แล้ว 

 รูปแบบยังไม่กำหนดอื่น ๆ 
รูปแบบยังไม่กำหนดอื่น ๆ เช่น     และ  สามารถหาค่าโดยใช้กฎของโลปีตาลได้ เช่นการหาลิมิตทีมี  โดยการเปลี่ยนสองฟังก์ชันที่ลบกันเป็นการหาร

กฎของโลปีตาลถูกใช้ในขั้นตอนจาก (1) ไป (2) และอีกครั้งในขั้นตอน (3) ไป (4) 

กฎของโลปีตาลใช้ได้กับรูปแบบยังไม่กำหนดที่มีเลขยกกำลังโดยใช้ลอการิทึมช่วย"ตบเลขยกกำลังลงมา" ตัวอย่างเช่น

ย้ายลิมิตเข้าไปในฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้เพราะฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และการที่เลขชี้กำลัง  "อยู่ข้างล่าง" ลิมิต  อยู่ในรูปแบบยังไม่กำหนด  แต่จากที่ได้แสดงในตัวอย่างข้างบนมา กฎของโลปีตาลยังสามารถบอกได้ว่า

  ดังนั้น 

ตารางต่อไปนี้คือรายการรูปแบบยังไม่กำหนดที่พบบ่อย กับการแปลงโดยใช้กฎโลปีตาล
รูปแบบยังไม่กำหนดเงื่อนไขการแปลงเป็น 

 บทพิสูจน์กฎโลปีตาล 

 กรณีพิเศษ 
การพิสูจน์กฎโลปีตาลนั้นง่ายในกรณีที่  และ  ต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ที่จุด  และหลังหาอนุพันธ์ครั้งแรกจะเจอลิมิตจำกัด จึงไม่ใช่การพิสูจน์กฎโลปีตาลทั่วไปเพราะมีความจำกัดกว่านิยาม ฟังก์ชันทั้งสองต้องต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ และ  เป็นจำนวนจริง เนื่องจากฟังก์ชันทั่วไปต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ (ต.ย. พหุนาม ไซน์และโคไซน์ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง) จึงเป็นกรณีที่สมควรแก่การสนใจ

ให้  และ  ต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ได้ที่จำนวนจริง  โดย  และ  แล้ว มาจากนิยามอัตราส่วนเชิงผลต่างของอนุพันธ์ การเท่ากันครั้งสุดท้ายเกิดจากความต่อเนื่องของอนุพันธ์ที่  ลิมิตทีสรุปมาได้เป็นรูปแบบกำหนดเพราะ 

บทพิสูจน์ทั่วไปของกฎโลปีตาลได้รับการอธีบายไว้ข้างล่างนี้

 บทพิสูจน์ทั่วไป 
บทพิสูจน์ต่อไปนี้เป็นของ ซึ่งพิสูจน์รูปแบบยังไม่กำหนดทั้ง  และ  เทย์เลอร์ยังทราบว่ามีบทพิสูจน์อื่นอยู่ใน และ

ให้  และ  เป็นฟังชันที่สอดคล้องกับสมมติฐานที่ตั้งไว้ในหัวข้อรูปทั่วไป ให้  เป็นช่วงเปิดในสมมติฐานที่มีจุดปลาย  พิจรณาให้  บนช่วงนี้ และ  ต่อเนื่อง สามารถเลือก  ที่เล็กกว่าที่ทำให้  ไม่เป็นศูนย์บน  ได้

สำหรับทุก  ในช่วง นิยามให้ และ  โดยที่  มีค่าอยู่ระหว่าง  และ  (ฟังก์ขัน  กับ  คืออินฟิมัมกับซูพรีมัมตามลำดับ)

จากการหาอนุพันธ์ได้ของ  และ  บน  ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยของโคชียืนยันได้ว่าสำหรับจุดสองจุดใด ๆ  และ  ใน  จะมี  ระหว่างค่า  และ  ที่ทำให้   ส่งผลให้  สำหรับทุกตัวเลือกค่า  และ  ที่แตกต่างในช่วง

ค่า  ไม่เป็นศูนย์เมื่อ  และ  แตกต่างกันในช่วง เพราะถ้ามีค่าเป็นศูนย์ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย จะนิรนัยได้ว่ามี  ที่อยู่ระหว่าง  และ  ที่ทำให้ 

จากนิยามของ  และ  ทำให้ค่าเป็นจำนวนจริงขยาย และอาจสามารถมีค่าเป็น  ได้  ในกรณีต่อไปนี้  และ  จะเป็นขอบเขตของอัตราส่วน 

กรณีที่ 1 

สำหรับทุก  ในช่วง  และจุด  ระหว่าง  และ 

และเมื่อ  มีค่าเข้าใกล้   ทั้ง  และ  จะมีค่าเท่ากับศูนย์ ทำให้

กรณีที่ 2 

สำหรับทุก  บนช่วง  นิยาม  อยู่ระหว่าง  และ   สำหรับทุกจุด  ระหว่าง  และ 

โดยที่เมือ  มีค่าเข้าใกล้  ทั้ง  และ  จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้น

ลิมิตอินฟิเรียร์ และลิมิตซูพีเรียร์นั้นจำเป็นเนื่องจากการมีอยู่ของลิมิต  ยังไม่ได้รับการยืนยัน

แบ่งได้เป็นสองกรณีได้แก่

และ

 และ

ในกรณีแรก ทฤษฎีบทการบีบบอกได้ว่า  หาค่าได้และเท่ากับ   ในกรณีที่สอง ทฤษฎีบทการบีบยังบอกได้ว่า  ดังนั้น  หาค่าได้และเท่ากับ  นี่เป็นผลลัพท์ที่ต้องพิสูจน์

ในกรณีที่สอง สมมติฐานที่ว่า  ลู่ออกไปหาอนันต์ไม่ได้ถูกใช้ในบทพิสูจน์ หมายความว่าถ้า  ลู่ออกหาอนันต์เมื่อ  เข้าใกล้  และทั้ง และ  สอดคล้องกับสมมติฐานของกฎของโลปีตาล แล้ว  ไม่จำเป็นที่ต้องมีสมมติฐานเพิ่ม ลิมิตของ  อาจไม่มีก็ได้ ในกรณีนี้ทฤษฎีบทของโลปีตาลเป็นผลสืบเนื่องจากทฤษฎีบทสโตลซ์-เชซาโร

 อ้างอิง 

 แหล่งข้อมูล 







หมวดหมู่:แคลคูลัส