การอ้างเหตุผลแนวทแยงของคันทอร์

การอ้างเหตุผลแนวทแยงของคันทอร์ () เป็นวิธีการพิสูจน์ของเกออร์ค คันทอร์ ที่แสดงให้เห็นว่า จำนวนจริงไม่เป็นอนันต์นับได้ (countably infinite)

วิธีการแนวทแยง ไม่ได้เป็นการพิสูจน์การนับไม่ได้ของจำนวนจริงอันแรกของคันทอร์ แต่เป็นการพิสูจน์ที่เผยแพร่หลัง 3 ปีของการพิสูจน์อันแรก วิธีการพิสูจน์อันแรกของเขาไม่เกี่ยวข้องกับการกระจายทศนิยม หรือระบบตัวเลข

ตั้งแต่ที่มีการใช้วิธีพิสูจน์นี้ ได้มีการพิสูจน์ที่คล้ายๆกันอีกหลายแบบ ซึ่งเรียกว่าเป็นวิธีการแนวทแยง โดยดูจากวิธีที่ใช้ในการพิสูจน์

 จำนวนจริง 

การพิสูจน์ของคันทอร์ แสดงให้เห็นว่า ช่วง [0,1] ไม่เป็น อนันต์นับได้

การพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง มีขั้นตอนดังนี้

 สมมติว่าช่วง [0,1] เป็น อนันต์นับได้
 เราจะแจงจำนวนทั้งหมดในช่วงนี้ด้วยลำดับ ( r1, r2, r3, ... )
 เรารู้ว่าจำนวนเหล่านี้สามารถเขียนในรูปการกระจายทศนิยมได้
 เราจะเรียงจำนวนให้เป็นแถว ในกรณีที่การกระจายทศนิยมเป็น 0.499 ... = 0.500 ..., เราจะเลือกอันที่ลงท้ายด้วย 9. จากตัวอย่าง การกระจายทศนิยมที่เริ่มต้นของลำดับเป็นดังนี้
 : r1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ...
 : r2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...
 : r3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...
 : r4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...
 : r5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...
 : r6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...
 : r7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ...
 : ...
 เราจะสร้างจำนวนจริง x ซึ่งอยู่ใน [0,1] โดยการพิจารณา เลขหลักที่ k หลังจุดทศนิยมของการกระจายทศนิยมของ rk ซึ่งเราจะขีดเส้นใต้และทำตัวหนาเอาไว้ การพิสูจน์นี้จึงมีชื่อเรียกว่า การพิสูจน์แนวทแยง
 : r1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ...
 : r2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...
 : r3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...
 : r4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...
 : r5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...
 : r6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...
 : r7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ...
 : ...
 จากทศนิยมเหล่านี้ เราจะนิยามทศนิยมของ x ดังนี้
 ถ้าเลขหลักที่ k ของ rk เป็น 5 แล้ว เลขหลักที่ k ของ x เป็น 4
 ถ้าเลขหลักที่ k ของ rk ไม่เป็น 5 แล้ว เลขหลักที่ k ของ x เป็น 5
 ดังนั้น x จึงเป็นจำนวนจริง (เพราะว่าการกระจายทศนิยมอยู่ในรูปจำนวนจริง) ที่อยู่ในช่วง [0,1]. จากตัวอย่างข้างบน เราจะได้การกระจายทศนิยมดังนี้
 : x = 0 . 4 5 5 5 5 5 4 ...
 เรารู้ว่าจะต้องมี n ที่ทำให้ rn = x เพราะว่าเรากำหนดให้ ( r1, r2, r3, ... ) แจงจำนวนจริงทั้งหมดในช่วง [0,1]
 แต่ว่าการเลือกเลข 4 และเลข 5 ของ x ในข้อ (6) จะทำให้ x จะแตกต่างในหลักที่ n ของ rn ดังนั้น x ไม่อยู่ในลำดับ ( r1, r2, r3, ... )
 ดังนั้น ลำดับนี้ไม่ได้เป็นการแจงจำนวนจริงทั้งหมดในช่วง [0,1] เกิดข้อขัดแย้ง
 ดังนั้น สมมติฐาน (1) ที่ว่าช่วง [0,1] เป็นอนันต์นับได้ จึงเป็นเท็จ

บทพิสูจน์นี้แสดงให้เห็นว่าเซต R ของจำนวนจริงทั้งหมดนั้นนับไม่ได้. ถ้า R นับได้แล้ว เราจะแจงจำนวนจริงทั้งหมดให้อยู่ในลำดับนี้ได้ และทำให้เป็นลำดับ [0,1] โดยการลบจำนวนจริงที่อยู่นอกช่วงนี้ออกไป แต่เราเห็นแล้วว่าไม่สามารถทำได้. นอกจากนี้ เราจะแสดงให้เห็นว่า [0,1] และ R มีขนาดเท่ากันโดยการสร้างฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างกัน ซึ่งอาจจะไม่สะดวกสำหรับการทำในช่วง [0,1]; สำหรับช่วงเปิด (0,1) เราจะให้ 
โดยนิยามว่า .

หมวดหมู่:ทฤษฎีเซต
หมวดหมู่:การพิสูจน์