กระดูกนาเปียร์

กระดูกนาเปียร์ () เป็นเครื่องมือช่วยคำนวณ ประดิษฐ์โดย จอห์น นาเปียร์ (John Napier) นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตแลนด์ ใช้ช่วยคูณและหารตัวเลข ลักษณะเป็นท่อนไม้สลักตัวเลข

 การคูณ 
สมมติว่าเราต้องการหาผลคูณของ 46785399 กับ 7 ให้นำแท่งไม้เรียงตาม 46785399 ไปวางไว้ในตาราง ตามในรูป และอ่านผลลัพธ์จากแถวที่ 7 โดยอ่านจากขวามาซ้าย ผลคูณจะได้จากการบวกเลขตามแนวทแยง (ถ้าผลบวกเกิน 9 ให้ทดไปบวกหลักต่อไป)ไฟล์:Napier-example-1.png
ดังนั้น เราจะได้หลักหน่วย (3), หลักสิบ (6+3=9), หลักร้อย (6+1=7), และอื่นๆ สังเกตว่าในหลักแสนจะได้ 5+9=14 ดังนั้น หลักนี้เท่ากับ 4 และทด 1 ไปหลักต่อไป (เหมือนกับ 4+8=12 ในหลักสิบล้าน)

ตัวอย่างถัดไปเราจะคูณ 46785399 กับ 96431 ศึกษาขั้นตอนจากภาพ
center

 การหาร 
ต้องการหาร 46785399 ด้วย 96431 เริ่มด้วยให้เราหาผลคูณทุกตัวของ 96431 ดังภาพ ผลคูณของ 96431 เป็นเลข 8 หลัก การหาร 46785399 เริ่มจากทางซ้ายก่อน คือ 467853 ,8 ตัว ส่วนเลข 99 ให้ละเอาไว้ก่อน แล้วหาค่าผลคูณที่ใกล้เคียง 467853 คือ 385724 (ซึ่งเป็นผลคูณของ 96431 กับ 4) จะได้ 4 เป็นผลหารตัวแรก จากนั่นลบกัน จะได้ 82129 (467853- 385724=82129) และดึง 99 ที่ละไว้ลงมาด้วยเป็น 8212999 ทำซ้ำอีกครั้ง ค่าที่ใกล้เคียง 8212999 คือ 771448 จะได้ เลข 5
center
ทำซ้ำแบบนี้เรื่อย ๆ จะได้คำตอบ 485 เศษ 16364 ส่วน 96431หรือ 
ถ้าเราต้องการจะหารต่อไปอีกจะต้องติดอยู่ในรูปทศนิยม โดยหลักการแล้วเหมือนกับที่เราได้เรียนกันมาในสมัยประถม คือ ให้เราใส่จุดที่ 485. และเติมศูนย์ที่ 16364 จะได้เป็น 163640 แล้วก็ทำเหมือนเดิมอีก ดังตัวอย่างรูปด้านล่างนี้

center
เราจะได้ค่าในแถวที่ 1 คือ 96431 ซึ่งน้อยกว่า 163640 ลบกับได้ 67209 ได้คำตอบเป็น 485.1 ในรอบถัดไปก็จะได้แถวที่ 6 มีค่าเป็น 578586 ซึ่งน้อยกว่า 672090 ได้คำตอบเป็น 485.16 เช่นนี้ไปเรื่อย ๆ

 การหารากที่สอง 
จากภาพเราได้เพิ่มช่องตารางอีกหนึ่งช่อง คือ &radic ซึ่งจะถูกแบ่งเป็น 3 สดมภ์ :
สดมภ์แรกเป็นเลขกำลังสอง คือ 1, 4, 9, ... 64, 81;
สดมภ์ที่สองเป็นเลขคู่ 2 ถึง 18;
สดมภ์สุดท้าย 1 ถึง 9

+ Napier's rods with the square root bone    1  2  3  4  5  6  7  8  9  √ 1  0/1  0/2  0/3  0/4  0/5  0/6  0/7  0/8  0/9  0/1     2   1 2  0/2  0/4  0/6  0/8  1/0  1/2  1/4  1/6  1/8  0/4     4   2 3  0/3  0/6  0/9  1/2  1/5  1/8  2/1  2/4  2/7  0/9     6   3 4  0/4  0/8  1/2  1/6  2/0  2/4  2/8  3/2  3/6  1/6     8   4 5  0/5  1/0  1/5  2/0  2/5  3/0  3/5  4/0  4/5  2/5   10   5 6  0/6  1/2  1/8  2/4  3/0  3/6  4/2  4/8  5/4  3/6   12   6 7  0/7  1/4  2/1  2/8  3/5  4/2  4/9  5/6  6/3  4/9   14   7 8  0/8  1/6  2/4  3/2  4/0  4/8  5/6  6/4  7/2  6/4   16   8 9  0/9  1/8  2/7  3/6  4/5  5/4  6/3  7/2  8/1  8/1   18   9

ต้องการหารากที่สองของ 46785399
ขั้นแรก ให้เราแบ่งตัวเลขออกมาเป็นชุด ชุดละ 2 ตัว จากทางขวาไปซ้าย

 46 78 53 99

 Note: ถ้าเป็น 85399 จะแบ่งได้เป็น 8 53 99

เริ่มจากทางซ้ายสุดก่อน 46 ให้หาเลขกำลังสองที่มากที่สุดแต่น้อยกว่า 46 ซึ่งก็คือ 36 ในแถวที่ 6 จะเป็นคำตอบตัวแรก
ลบกันจะได้ 10 แล้วให้เราดึงเลขชุดที่สอง 78 ลงมาเป็น 1078 ดังที่ได้แสดงไว้ด้านล่าง :


    1  2  √ 1  0/1  0/2  0/1     2   1 2  0/2  0/4  0/4     4   2 3  0/3  0/6  0/9     6   3 4  0/4  0/8  1/6     8   4 5  0/5  1/0  2/5   10   5 6  0/6  1/2  3/6   12   6 7  0/7  1/4  4/9   14   7 8  0/8  1/6  6/4   16   8 9  0/9  1/8  8/1   18   9 
          _____________
         √46 78 53 99    =    6
          36
          --
          10 78

ทำซ้ำเหมือนเดิม คือ เราต้องหาค่าของตัวเลขที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าใกล้เคียง 1078 แต่ต้องไม่เกิน 1078 ซึ่งถ้าเราดูจากกระดูกนาเปียร์แล้วมีค่าไม่ถึง 1078 จะทำอย่างไร
ขั้นที่สอง จากคำตอบตัวแรกที่เราได้คือ 6(จากแถวที่ 6)ใน column ที่ 2 ของตารางช่อง root เป็นเลข 12 ให้เรา set Napier's bones ท่อนที่ 1 และ 2 ดังตารางด้านบน

ต่อไปให้เราสร้างช่องตารางเพิ่มอีกหนึ่งช่อง value เป็นช่องแสดงค่า ตัวอย่าง อ่านค่าในแถวที่ 6 จะได้
 0/6 1/2 3/6 → 756

ต่อไป เราต้องหาค่าของตัวเลขที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าใกล้เคียง 1078 แต่ต้องไม่เกิน 1078 ซึ่งถ้าเราดูในช่อง value
จะได้ 1024 ในแถวที่ 8 ดังตารางด้านล่าง และทำตามขั้นตอนเดิม


    1  2  √  (value) 1  0/1  0/2  0/1     2   1  121 2  0/2  0/4  0/4     4   2  244 3  0/3  0/6  0/9     6   3  369 4  0/4  0/8  1/6     8   4  496 5  0/5  1/0  2/5   10   5  625 6  0/6  1/2  3/6   12   6  756 7  0/7  1/4  4/9   14   7  889 8  0/8  1/6  6/4   16   8  1024 9  0/9  1/8  8/1   18   9  1161 
          _____________
         √46 78 53 99    =    68
          36
          --
          10 78
          10 24
          -----
             54

เราจะได้ 8 เป็นคำตอบตัวถัดมา เราลบ 1024 กับ 1078 ได้ 54 จากนั้นเราอ่านค่าใน column ที่ 2 ของแถวที่ 8 ในช่องของ root มีค่าเป็น 16 เราจะต้องเรียงตัวเลขในกระดานใหม่(ไม่ใช่ ท่อนที่ 1 กับ 6)เป็น 136 ซึ่งมาจากเดิมในกระดานเรามี 1 กับ 2 อยู่ก่อนแล้ว เลข 16 ที่เราได้ ต้องทำการเพิ่มโดย เลข 1 ในหลักสิบของเลข 16 ไปบวก 12 เป็น 12+1 = 13 เพราะฉะนั้นเราได้เป็นเลข 136 ให้เราเรียงให้กระดานเป็นเลข 136
 12 + 1 = 13 → append 6 → 136

 Note: ถ้าใน column ที่ 2 ของช่อง root เป็นเลขตัวเดียว ให้เราใช้เลขตัวนั้นต่อไปเลย

เราจะได้ลักษณะดังตารางด้านล่าง

    1  3  6  √ 1  0/1  0/3  0/6  0/1     2   1 2  0/2  0/6  1/2  0/4     4   2 3  0/3  0/9  1/8  0/9     6   3 4  0/4  1/2  2/4  1/6     8   4 5  0/5  1/5  3/0  2/5   10   5 6  0/6  1/8  3/6  3/6   12   6 7  0/7  2/1  4/2  4/9   14   7 8  0/8  2/4  4/8  6/4   16   8 9  0/9  2/7  5/4  8/1   18   9 
          _____________
         √46 78 53 99    =    68
          36
          --
          10 78
          10 24
          -----
             54 53

ทำซ้ำอีกครั้ง โดยหาเลขผลรวมที่มีค่าใกล้เคียงกับ 5453 ซึ่งก็คือ 4089 ในแถวที่ 3


    1  3  6  √    1  0/1  0/3  0/6  0/1     2   1  1361 2  0/2  0/6  1/2  0/4     4   2  2724 3  0/3  0/9  1/8  0/9     6   3  4089 4  0/4  1/2  2/4  1/6     8   4  5456 5  0/5  1/5  3/0  2/5   10   5  6825 6  0/6  1/8  3/6  3/6   12   6  8196 7  0/7  2/1  4/2  4/9   14   7  9569 8  0/8  2/4  4/8  6/4   16   8  10944 9  0/9  2/7  5/4  8/1   18   9  12321 
          _____________
         √46 78 53 99    =    683
          36
          --
          10 78
          10 24
          -----
             54 53
             40 89
             -----
             13 64

 แหล่งข้อมูลอื่น 
 กระดูกนาเปียร์ในระบบตัวเลขต่าง ๆ (ใช้จาวา)
 Large PDF scan of Rabdologiæ 

หมวดหมู่:เครื่องมือคณิตศาสตร์
หมวดหมู่:เครื่องคิดเลขเชิงกล
หมวดหมู่:การคูณ