แฟกทอเรียล

+ ตัวอย่างแฟกทอเรียล; ค่าในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ทำการย่อไว้   0  1 1  1 2  2 3  6 4  24 5  120 6  720 7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   25   50   70   100   450                         10

ในทางคณิตศาสตร์ แฟกทอเรียล () ของจำนวนเต็มไม่เป็นลบ n คือผลคูณของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ n เขียนแทนด้วย n! (อ่านว่า n แฟกทอเรียล)

ตัวอย่างเช่น

สำหรับค่าของ 0! ถูกกำหนดให้เท่ากับ 1 ตามหลักการของผลคูณว่าง Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) Concrete Mathematics, Addison-Wesley, Reading MA. ISBN 0-201-14236-8, p. 111

การดำเนินการแฟกทอเรียลพบได้ในคณิตศาสตร์สาขาต่าง ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งคณิตศาสตร์เชิงการจัด พีชคณิต และคณิตวิเคราะห์ การพบเห็นโดยพื้นฐานที่สุดคือข้อเท็จจริงที่ว่า การจัดลำดับวัตถุที่แตกต่างกัน n สิ่งสามารถทำได้ n! วิธี (การเรียงสับเปลี่ยนของเซตของวัตถุ) ข้อเท็จจริงนี้เป็นที่ทราบโดยนักวิชาการชาวอินเดียตั้งแต่ต้นคริสต์ศตวรรษที่ 12 เป็นอย่างน้อย N. L. Biggs, The roots of combinatorics, Historia Math. 6 (1979) 109−136 นอกจากนี้ คริสเตียน แครมป์ (Christian Kramp) เป็นผู้แนะนำให้ใช้สัญกรณ์ n! เมื่อ ค.ศ. 1808 (พ.ศ. 2351)  says Krempe though.

นิยามของแฟกทอเรียลสามารถขยายแนวคิดไปบนอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้โดยยังคงมีสมบัติที่สำคัญ ซึ่งเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ชั้นสูงยิ่งขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งเทคนิคต่าง ๆ ที่ใช้ในคณิตวิเคราะห์

 นิยาม 
ฟังก์ชันแฟกทอเรียลได้นิยามเชิงรูปนัยไว้ดังนี้

หรือนิยามแบบเวียนเกิดได้ดังนี้

นิยามด้านบนทั้งสองได้รวมกรณีนี้เข้าไปด้วย

ตามหลักการว่าผลคูณของจำนวนที่ไม่มีอยู่เลย (ผลคูณว่าง) มีค่าเท่ากับ 1 สิ่งนี้เป็นประโยชน์เนื่องจาก
 การเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุศูนย์สิ่ง มีเพียงหนึ่งวิธีเท่านั้น (ไม่มีสิ่งใดเรียงสับเปลี่ยน "ทุกสิ่ง" ยังคงอยู่ที่เดิม)
 ความสัมพันธ์เวียนเกิด  ซึ่งสามารถใช้ได้เฉพาะ n > 0 จะทำให้ใช้กับกรณี n = 0 ได้ด้วย
 นิพจน์ของสูตรต่าง ๆ ที่มีแฟกทอเรียลสามารถใช้งานได้ อย่างเช่นฟังก์ชันเลขชี้กำลังในรูปแบบอนุกรมกำลัง

 เอกลักษณ์ต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดสามารถใช้งานได้ สำหรับขนาดของวัตถุที่ประยุกต์ใช้ได้ทั้งหมด จำนวนวิธีที่จะเลือกสมาชิก 0 ตัวจากเซตว่างเท่ากับ  หรือโดยนัยทั่วไป จำนวนวิธีที่จะเลือกสมาชิก (ทั้งหมด) n ตัวจากเซตที่มีขนาด n เท่ากับ 

ฟังก์ชันแฟกทอเรียลสามารถนิยามให้กับค่าที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้โดยใช้คณิตศาสตร์ขั้นสูง ดูรายละเอียดด้านล่าง ซึ่งนิยามโดยนัยทั่วไปมากขึ้นเช่นนี้มีใช้ในเครื่องคิดเลขระดับสูงและซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์อาทิเมเพิลหรือแมเทอแมติกา

 การประยุกต์ 
แม้ว่าฟังก์ชันแฟกทอเรียลมีที่มาจากคณิตศาสตร์เชิงการจัด แต่สูตรที่เกี่ยวข้องกับแฟกทอเรียลก็ปรากฏในคณิตศาสตร์หลายสาขา

 การเรียงสับเปลี่ยน (permutation) โดยพื้นฐานคือการเรียงลำดับวัตถุ n สิ่งที่แตกต่างกัน ซึ่งสามารถทำได้ n! วิธี
 บ่อยครั้งที่แฟกทอเรียลปรากฏเป็นตัวส่วนในสูตรเพื่ออธิบายว่า การเรียงลำดับของวัตถุไม่มีความสำคัญและถูกเพิกเฉย ตัวอย่างตามแบบฉบับเช่น การจัดหมู่ (combination) วัตถุ k สิ่งจากเซตของวัตถุ n สิ่ง เราอาจจัดหมู่โดยการเรียงสับเปลี่ยนวัตถุ k สิ่ง หมายความว่าเลือกวัตถุสิ่งหนึ่งออกจากเซตทีละครั้งเป็นจำนวน k ครั้ง กระทั่งได้จำนวนวิธีรวมเท่ากับ

อย่างไรก็ตาม การเรียงลำดับของวัตถุที่ถูกเลือกในการจัดหมู่ไม่มีความสำคัญ และเนื่องจากการเรียงลำดับวัตถุ k สิ่งสามารถกระทำได้แตกต่างกัน k! วิธี เพราะฉะนั้นจำนวนวิธีของการจัดหมู่วัตถุ k สิ่งจากเซตของวัตถุ n สิ่งที่ถูกต้องจึงควรเท่ากับ

ผลลัพธ์ดังกล่าวเป็นที่รู้จักในชื่อสัมประสิทธิ์ทวินาม  เพราะว่ามันเป็นสัมประสิทธิ์ของพจน์ Xk ในการกระจาย 
 แฟกทอเรียลปรากฏในพีชคณิตด้วยเหตุผลหลายประการ ตัวอย่างเช่นสัมประสิทธิ์ของสูตรทวินามดังที่กล่าวแล้ว หรือการเฉลี่ยบนการเรียงสับเปลี่ยนเพื่อการทำให้สมมาตร (symmetrization) ของการดำเนินการเฉพาะอย่าง
 แฟกทอเรียลก็มีใช้ในแคลคูลัส ตัวอย่างเช่นตัวส่วนของพจน์ในอนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor series) เพื่อชดเชยข้อเท็จจริงโดยพื้นฐานว่าอนุพันธ์ชั้นที่ n ของ xn คือ n!
 แฟกทอเรียลก็มีใช้อย่างกว้างขวางในทฤษฎีความน่าจะเป็น
 แฟกทอเรียลมีประโยชน์ทำให้การจัดดำเนินการนิพจน์สะดวกขึ้น ตัวอย่างเช่นจำนวนวิธีของการเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุ k สิ่งจากวัตถุ n สิ่ง สามารถเขียนได้เป็น

มันอาจถูกใช้เพื่อพิสูจน์สมบัติสมมาตรของสัมประสิทธิ์ทวินาม ในกรณีที่ไม่มีประสิทธิภาพเพียงพอที่จะคำนวณจำนวนเช่นนั้นได้

 ทฤษฎีจำนวน 
แฟกทอเรียลมีการใช้งานหลายอย่างในทฤษฎีจำนวน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง n! สามารถหารด้วยจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ n ได้ลงตัว ผลสรุปที่ตามมาคือ n > 5 จะเป็นจำนวนประกอบก็ต่อเมื่อ

ทฤษฎีของวิลสัน (Wilson's theorem) ได้กล่าวถึงผลสรุปที่เคร่งครัดมากกว่าดังนี้

ก็ต่อเมื่อ p เป็นจำนวนเฉพาะ

อาเดรียง-มารี เลอฌ็องดร์ (Adrien-Marie Legendre) พบว่าการคูณของจำนวนเฉพาะ p ที่ปรากฏในการแยกตัวประกอบเฉพาะของ n! สามารถแสดงได้อย่างแม่นยำเป็น

ข้อเท็จจริงนี้มีพื้นฐานบนการนับจำนวนตัวประกอบ p ของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง n; จำนวนพหุคูณของ p ในจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง n สามารถพิจารณาได้จากสูตร  อย่างไรก็ตามสูตรนี้จะนับตัวประกอบ p เพียงครั้งเดียว ยังคงมีตัวประกอบจำนวน  ตัวของ p ที่จะต้องนับอีก และยังมีที่คล้ายกันอีกในกำลังสาม สี่ ห้า จนถึงอนันต์ ผลรวมดังกล่าวเป็นจำนวนจำกัดเนื่องจาก pi สามารถมีค่าได้แค่น้อยกว่าหรือเท่ากับ n สำหรับ i หลายค่าอย่างจำกัด และฟังก์ชันพื้นจะให้ผลลัพธ์เป็น 0 เมื่อใช้กับ pi > n

แฟกทอเรียลที่เป็นจำนวนเฉพาะด้วยมีจำนวนเดียวคือ 2 แต่ก็มีจำนวนเฉพาะจำนวนมากที่อยู่ในรูปแบบ n! ± 1 เรียกว่าจำนวนเฉพาะเชิงแฟกทอเรียล (factorial prime)

แฟกทอเรียลที่มากกว่า 0! และ 1! เป็นจำนวนคู่ทั้งหมด เพราะว่าเป็นพหุคูณของ 2 นอกจากนี้แฟกทอเรียลที่มากกว่า 5! ก็เป็นพหุคูณของ 10 (และทำให้มีศูนย์ลงท้ายในหลักสุดท้ายเป็นต้นไป) เนื่องจากเป็นพหุคูณของ 5 กับ 2

อนุกรมที่มีแต่ละพจน์เป็นส่วนกลับของแฟกทอเรียล ทำให้เกิดอนุกรมลู่เข้าและมีค่าเท่ากับ e

 อัตราการเติบโตและการประมาณเมื่อ n มีขนาดใหญ่ 
300px|thumb|right|การลงจุดของลอการิทึมธรรมชาติของแฟกทอเรียล
เมื่อ n มีค่าเพิ่มขึ้น ค่า n! จะมีอัตราการเติบโตมากกว่าพหุนามและฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั้งหมดที่มี n ประกอบอยู่ (แต่ก็ยังน้อยกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น)

การประมาณค่าที่ใกล้เคียงที่สุดของ n! ใช้พื้นฐานบนลอการิทึมธรรมชาติดังนี้

กราฟของฟังก์ชัน f(n) = log n! แสดงไว้ในภาพด้านขวา ลักษณะของกราฟดูเหมือนเป็นเส้นตรง (ฟังก์ชันเชิงเส้น) สำหรับทุกค่าของ n ที่เป็นไปได้ แต่ความจริงมันไม่ใช่เส้นตรง เราอาจประมาณค่า log n! อย่างง่ายโดยกำหนดขอบเขตบนและล่างด้วยปริพันธ์

ซึ่งจะได้การประมาณค่าดังนี้

เนื่องจากการคำนวณ log n! มีประสิทธิภาพเป็น Θ(n log n) สิ่งนี้จึงมีบทบาทหลักในการวิเคราะห์ความซับซ้อนในการคำนวณของขั้นตอนวิธีการเรียงลำดับ (ดูเพิ่มที่การเรียงลำดับแบบเปรียบเทียบ)

จากขอบเขตของ log n! ที่ได้ สามารถลดรูปจนเหลือเพียง

การใช้สูตรดังกล่าวในทางปฏิบัติบางครั้งสามารถประมาณได้ง่ายกว่าแต่ไม่เคร่งครัด สูตรดังกล่าวสามารถแสดงให้เห็นได้ว่า สำหรับทุกค่าของ n จะได้  และสำหรับ n ≥ 6 จะได้  เป็นต้น

เมื่อ n เป็นจำนวนขนาดใหญ่ เรามีวิธีการประมาณค่า n! ที่ดีกว่าโดยใช้การประมาณของสเตอร์ลิง (Stirling's approximation)

ในความเป็นจริง สำหรับทุกค่าของ n สูตรดังกล่าวสามารถพิสูจน์ได้ว่า

การประมาณค่า log n! ที่ดีกว่าอีกสูตรหนึ่ง กำหนดไว้โดย ศรีนิวาสะ รามานุจัน ดังนี้ 

 การขยายแฟกทอเรียลไปยังอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม 
 ฟังก์ชันแกมมาและฟังก์ชันพาย 

นอกเหนือจากจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบแล้ว ฟังก์ชันแฟกทอเรียลสามารถนิยามให้กับค่าอื่นที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้ แต่การทำเช่นนี้จำเป็นต้องใช้เครื่องเครื่องมือขั้นสูงจากคณิตวิเคราะห์ ฟังก์ชันอันหนึ่งที่ "เติมเต็ม" ค่าต่าง ๆ ของแฟกทอเรียล (แต่มีค่าเลื่อนไป 1 ในอาร์กิวเมนต์) เรียกว่าฟังก์ชันแกมมา (Gamma function) เขียนแทนด้วย Γ(z) ซึ่งนิยามบนจำนวนเชิงซ้อน z ทุกจำนวนยกเว้นจำนวนเต็มลบ และส่วนจริงของ z เป็นจำนวนบวก ดังนี้

ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันแกมมากับแฟกทอเรียลเมื่อ n เป็นจำนวนธรรมชาติ เป็นดังนี้

สูตรดั้งเดิมของออยเลอร์สำหรับนิยามฟังก์ชันแกมมาคือ

ยังมีสัญกรณ์อีกอย่างหนึ่งซึ่งเกาส์เป็นผู้คิดค้นและบางครั้งก็ถูกใช้เช่นกัน นั่นคือ ฟังก์ชันพาย (Pi function) เขียนแทนด้วย Π(z) นิยามไว้สำหรับจำนวนจริง z ที่ไม่น้อยกว่า 0 ดังนี้

หากเทียบกับฟังก์ชันแกมมาจะได้ว่า

ฟังก์ชันพายเป็นการขยายแนวคิดแฟกทอเรียลอย่างแท้จริงดังนี้

ยิ่งไปกว่านี้ ฟังก์ชันพายมีการเวียนเกิดเหมือนกับแฟกทอเรียล แต่ใช้กับจำนวนเชิงซ้อน z ทุกจำนวนที่นิยาม

โดยข้อเท็จจริงความสัมพันธ์เวียนเกิดไม่มีอีกต่อไปแล้ว เว้นแต่ในสมการเชิงฟังก์ชัน เมื่อแสดงในพจน์ของฟังก์ชันแกมมา สมการดังกล่าวจะเปลี่ยนเป็น

เนื่องจากแฟกทอเรียลถูกขยายโดยฟังก์ชันพาย สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z ทุกจำนวนที่นิยาม เราจึงสามารถเขียนว่า

ค่าของฟังก์ชันเหล่านี้ที่จำนวนเต็มครึ่ง (half-integer) สามารถพิจารณาได้จากสูตรต่อไปนี้ โดยพื้นฐานเราทราบว่า

เมื่อ n เป็นจำนวนธรรมชาติ จะได้สูตร

ตัวอย่าง

และอีกสูตรหนึ่ง

ตัวอย่าง

ฟังก์ชันพายไม่ได้เป็นเพียงฟังก์ชันเดียวที่ขยายแฟกทอเรียล ไปเป็นฟังก์ชันสำหรับจำนวนเชิงซ้อนเกือบทุกจำนวน และไม่ได้เป็นเพียงฟังก์ชันเดียวที่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ (analytic function) เมื่อใดก็ตามที่มันถูกนิยาม แต่ไม่ว่าด้วยเหตุผลอันใด ฟังก์ชันพายมักเป็นตัวแทนโดยปริยายเมื่อต้องการหาค่าแฟกทอเรียลของจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทบอร์-โมลเลอรัประบุว่า ฟังก์ชันแกมมาเป็นฟังก์ชันเดียวที่รับค่า 1 แล้วให้ผลลัพธ์เป็น 1, สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน Γ(n + 1) = nΓ(n), เป็นฟังก์ชันมีโรมอร์ฟิก (meromorphic function) บนจำนวนเชิงซ้อน, และเป็นฟังก์ชันคอนเวกซ์เชิงลอการิทึม (logarithmically convex function) บนแกนจำนวนจริงบวก เงื่อนไขที่คล้ายกันนี้ก็ปรากฏในฟังก์ชันพาย โดยเปลี่ยนสมการเชิงฟังก์ชันเป็น Π(n) = nΠ(n − 1)

อย่างไรก็ตาม ก็ยังมีฟังก์ชันเชิงซ้อนอื่นที่เรียบง่ายกว่าฟังก์ชันวิเคราะห์และสอดแทรกแฟกทอเรียลเข้าไป ตัวอย่างเช่น "ฟังก์ชันแกมมา" ของฌัก อาดามาร์ (Jacques Hadamard) ต่างจากฟังก์ชันแกมมาปรกติตรงที่มันเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function) Peter Luschny, Hadamard versus Euler - Who found the better Gamma function?.

ออยเลอร์ยังได้สร้างสูตรสำหรับการประมาณค่าด้วยผลคูณลู่เข้าสำหรับแฟกทอเรียลที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ซึ่งเทียบเท่ากับสูตรของฟังก์ชันแกมมาที่ได้กล่าวไว้แล้ว

อย่างไรก็ดี สูตรนี้ไม่ได้ให้วิธีการคำนวณเชิงปฏิบัติของฟังก์ชันพายหรือฟังก์ชันแกมมา เนื่องด้วยอัตราการลู่เข้าของมันนั้นช้า

 การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันแกมมา 
ปริมาตรของทรงกลม n มิติที่มีรัศมี R หน่วย คำนวณได้จากสูตร

 ฟังก์ชันที่มีลักษณะคล้ายกับแฟกทอเรียล 
 มัลติแฟกทอเรียล 
มัลติแฟกทอเรียล เป็นฟังก์ชันที่เขียนอยู่ในรูปแบบ n!, n!! หรือมีเครื่องหมายแฟกทอเรียลมากกว่านั้น

n!! หมายถึง ดับเบิลแฟกทอเรียล ของ n ซึ่งนิยามโดย

ตัวอย่างเช่น 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 and 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945 ลำดับของดับเบิลแฟกทอเรียล สำหรับ n = 0, 1, 2,... ได้แก่
1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

จากนิยามดังกล่าวทำให้สามารถหาดับเบิลแฟกทอเรียลของจำนวนเต็มลบได้คือ

ลำดับของดับเบิลแฟกทอเรียลสำหรับ n = -1, -3, -5, -7,... คือ
 1, -1, , , ...

เอกลักษณ์ของดับเบิลแฟกทอเรียลได้แก่

ฟังก์ชันมัลติแฟกทอเรียลอื่นๆ ที่มีเครื่องหมายแฟกทอเรียล k เครื่องหมาย มีนิยามโดย

 ซูเปอร์แฟกทอเรียล 
ซูเปอร์แฟกทอเรียล มีรูปแบบคือ

เช่น ซูเปอร์แฟกทอเรียลของ 4 คือ

 อ้างอิง 

ฟแฟกทอเรียล
ฟแฟกทอเรียล
ฟแฟกทอเรียล