முழுமையான பெருக்கல் சார்பு

எண் கோட்பாட்டில் முழுமையான பெருக்கல் சார்பு (completely multiplicative functions அல்லது totally multiplicative functions) என்பது ஒரு எண்கணிதச் சார்பு ஆகும். n ஒரு நேர்ம முழுஎண் எனில், முழுமையான பெருக்கல் சார்பு f(n) இன் மதிப்பு கீழ்க்கண்டவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

,  (a, b இரு நேர்ம முழுவெண்கள்)

முழுமையான பெருக்கல் சார்பின் சிறப்புவகையாக, சார்பகா எண்களுக்கு பெருக்கல் சார்பு அமைகிறது. அதன் வரையறை: 
n ஒரு நேர்ம முழுஎண் எனில், பெருக்கல் சார்பு f(n) இன் மதிப்பு கீழ்க்கண்டவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

,   (a, b சார்பகா முழுஎண்கள்)

வரையறை
முழுமையான பெருக்கல் சார்பு என்பது இயல் எண்களின் கணத்தை ஆட்களமாகக்கொண்ட எண்கணிதச் சார்பாகும். இச்சார்பு f இன் கீழ் f(1) = 1 ; f(ab) = f(a)f(b) ( a, b இரு நேர்ம முழ்வெண்கள்) என அமையும்.. அதாவது:


.

f(1) = 1 என்ற கட்டுப்பாடு தரப்படாவிடில்,  f(1) = 0 எனவும் எடுத்துக்கொள்ளலாம். ஆனால் அவ்வாறு கொள்ளும்போது  a இன் எல்லா நேர்ம முழுவெண்மதிப்புகளுக்கும்  f(a) = 0 ஆகிவிடும். இது ஒரு வலுவான கட்டுப்பாடாக அமையாது.   என நிலைப்படுத்திக்கொள்ளாவிட்டால்,   ஆகிய இரண்டுமே  இன் மதிப்பாக அமைந்யும்:

 .

 (நேர்ம முழுஎண்களின் கணம், பெருக்கல் செயலியின் கீழ்) என்ற ஒற்றைக்குலத்திலிருந்து மற்றொரு ஒற்றைக்குலத்திற்கு வரையறுக்கப்பட்ட  காப்பமைவியமாகவும் முழுமையான பெருக்கல் சார்பைக் கருதலாம்.

எடுத்துக்காட்டுகள்
முழுமையான பெருக்கல் சார்புக்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டாக தலைக்கெழு 1 ஆகக்கொண்ட ஓருறுப்புக்கோவை அமையும்:
 n என்ற நேர்ம முழுவெண்ணுக்கு, f(a) = an என வரையறுத்துக் கொண்டால்,
f(bc) = (bc)n = bncn = f(b)f(c), and f(1) = 1n = 1.

ஜேக்கோபி குறியீடுகள், லெஜாண்டர் குறியீடு, லியோவில் சார்பியம் ஆகியவை முழுமையான பெருக்கல் சார்புகளாகும்.

பண்புகள்
எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தின் விளவாக, ஒரு நேர்ம முழுஎண்ணின் முழுமையான பெருக்கல் சார்பானது அவ்வெண்ணின் பகாக்காரணிகளுக்கான சார்பு மதிப்புகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

 n = pa qb ... எனில்,
 f(n) = f(p)a f(q)b ...

இரு பெருக்கல் சார்புகளின் டிரிழ்ச்லெட் பிணைவும் ஒரு பெருக்கல் சார்பாக இருக்கும்; ஆனால் இரு முழுமையான பெருக்கல் சார்புகளின் டிரிழ்ச்லெட் பிணைவானது முழுமையான பெருக்கல் சார்பாக இருக்கவேண்டியதில்லை.

ஒரு பெருக்கல் சார்பானது முழுமையான பெருக்கல் சார்பாக இருப்பதற்குச் சமானமான பல கூற்றுகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக,  
f ஒரு  பெருக்கல் சார்பு எனில் அதன்  டிரிழ்ச்லெட் நேர்மாறானது   ( என்பது மோபியஸ் சார்பு) என "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே",  f ஆனது முழுமையான பெருக்கல் சார்பாகவும் இருக்கும்.Apostol, p. 36

முழுமையான பெருக்கல் சார்புகள் பங்கீட்டு விதியை நிறைவுசெய்யும்.



இதில் * குறியீடானது டிரிழ்ச்லெட் பெருக்கத்தையும்,   குறியீடு உறுப்புவாரியான பெருக்கலையும் குறிக்கின்றன.Apostol  pg. 49

இப்பண்பின் ஒரு விளைவு: 

f  ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு எனில், :

இம்முடிவை, மேலே தரப்பட்டள்ள பண்பில்  எனப்பிரதியிட்டுப் பெறலாம்.  என்பது மாறிலிச் சார்பு;  என்பது வகுஎண் சார்பு.

பங்கீட்டு விதியின் நிறுவல்

மேற்கோள்கள்

 வெளியிணைப்புகள் 
 Weisstein, Eric W. "Completely Multiplicative Function." 

பகுப்பு:பெருக்கல் சார்புகள்