பெருக்கச் செவ்விய எண்

கணிதத்தில், பெருக்கச் செவ்விய எண் அல்லது பெருக்க நிறைவெண் (multiply perfect number, multiperfect number, pluperfect number) என்பது ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட செவ்விய எண்ணாகும்.

k ஒரு இயல் எண் எனில்,  n என்ற நேர்ம முழுவெண்ணின் அனைத்து நேர்ம வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை (வகுஎண் சார்பு) σ(n) = kn ஆக இருந்தால் n ஆனது   அல்லது  எண் என அழைக்கப்படும். k இன் குறிப்பிட்ட மதிப்பிற்கு    எண்ணாகவுள்ள எண்கள் "பெருக்கச் செவ்விய எண்கள்" என்ற பொதுப்பெயரால் அழைக்கப்படுகின்றன.. 2014 வரையிலான கணக்கீட்டின்படி, k = 11 வரையுள்ள  ஒவ்வொரு மதிப்பிற்குமான  எண்கள் கண்டறியப்பட்டுள்ளன.. 

ஓர் எண்  n, செவ்விய எண்ணாக இருக்கத் தேவையான கட்டுப்பாடு σ(n) = 2n என்பதால்,  n  ஆனது  "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" அது ஓர் செவ்விய எண்ணாகும்.

 k = 1 தவிர்த்தப் பிற  ஒற்றையெண்களுக்கான பெருக்கச் செவ்விய உள்ளனவா என்பது கண்டறியப்படவில்லை.

சில துவக்க பெருக்கச் செவ்விய எண்கள்:
1, 6, 28, 120, 496, 672, 8128, 30240, 32760, 523776, 2178540, 23569920, 33550336, 45532800, 142990848, 459818240, ... .

 எடுத்துக்காட்டு 
120, ஒரு   எண்ணாகும்.

120 இன் வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை:
σ(120) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360 = 3 x 120.

 கண்டறியப்பட்டுள்ள மிகச் சிறிய k-செவ்விய எண்கள் 

கீழுள்ள அட்டவணை  k ≤ 11 மதிப்புகளுக்கான கண்டறியப்பட்டுள்ள மிகச் சிறிய k-செவ்விய எண்களைத் தருகிறது :

 k  கண்டறியப்பட்டுள்ள மிகச் சிறிய k-செவ்விய எண்கள்  பகாக் காரணிகள்  கண்டுபிடித்தவர் 1  1  பண்டைக்காலத்தில் 2  6  2 × 3பண்டைக்காலத்தில் 3  120   23 × 3 × 5 பண்டைக்காலத்தில் 4  30240  25 × 33 × 5 × 7  ரெனே டேக்கார்ட்,  1638 5  14182439040  27 × 34 × 5 × 7 × 112 × 17 × 19 ரெனே டேக்கார்ட் circa 1638 6  154345556085770649600 (21 இலக்கங்கள்)  215 × 35 × 52 × 72 × 11 × 13 × 17 × 19 × 31 × 43 × 257  இராபர்ட்டு டேனியல் கார்மிக்கல், 1907 7  141310897947438348259849402738485523264343544818565120000 (57 இலக்கங்கள்) 232 × 311 × 54 × 75 × 112 × 132 × 17 × 193 × 23 × 31 × 37 × 43 × 61 × 71 × 73 × 89 × 181 × 2141 × 599479  டிஈ மேசன், 1911 8  826809968707776137289924...057256213348352000000000 (133 இலக்கங்கள்)  262 × 315 × 59 × 77 × 113 × 133 × 172 × 19 × 23 × 29 × ... × 487 × 5212 × 601 × 1201 × 1279 × 2557 × 3169 × 5113 × 92737 × 649657 (38 வெவ்வேறான பகாக் காரணிகள்) இசுடீபன் ஃப். கிரேட்டன், 1990 9  561308081837371589999987...415685343739904000000000 (287 இலக்கங்கள்)  2104 × 343 × 59 × 712 × 116 × 134 × 17 × 194 × 232 × 29 × ... × 17351 × 29191 × 30941 × 45319 × 106681 × 110563 × 122921 × 152041 × 570461 × 16148168401 (66 வெவ்வேறான பகாக் காரணிகள்) பிரெடு ஹீலியன்சு, 1995 10  448565429898310924320164...000000000000000000000000 (639 இலக்கங்கள்)  2175 × 369 × 529 × 718 × 1119 × 138 × 179 × 197 × 239 × 293 × ... × 583367 × 1609669 × 3500201 × 119782433 × 212601841 × 2664097031 × 2931542417 × 43872038849 × 374857981681 × 4534166740403 (115 வெவ்வேறான பகாக் காரணிகள்) ஜார்ஜ் வோல்ட்மேன், 2013 11  251850413483992918774837...000000000000000000000000 (1907 இலக்கங்கள்)  2468 × 3140 × 566 × 749 × 1140 × 1331 × 1711 × 1912 × 239 × 297 × ... × 25922273669242462300441182317 × 15428152323948966909689390436420781 × 420391294797275951862132367930818883361 × 23735410086474640244277823338130677687887 × 628683935022908831926019116410056880219316806841500141982334538232031397827230330241 (246 வெவ்வேறான பகாக் காரணிகள்) ஜார்ஜ் வோல்ட்மேன், 2001

 பண்புகள் 

கீழுள்ள பண்புகளை நிறுவக் கூடியனவாகும்:

  pஒரு பகா எண்; n, ஒரு  மற்றும் p ஆனது n இன் வகுஎண் அல்ல எனில்,  pn ஒரு  எண்ணாக இருக்கும்.   n/2 ஆனது ஒற்றைச் செவ்விய எண்ணாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே", முழுவெண் n  ஆனது 2 ஆல் வகுபடக்கூடிய, ஆனால் 4 ஆல் வகுக்கமுடியாத   என்ணாக இருக்கும். ஆனால் அத்தகைய எண்கள் எதுவும் கண்டறியப்படவில்லை.

 3n ஒரு  எண்ணாகவும், 3 ஆனது n இன் வகுஎண்ணாக இல்லாமலும் இருந்தால், n, ஒரு is  எண்ணாக அமையும்.

 ஒற்றைப் பெருக்கச் செவ்விய எண்கள் 

1 ஐத் தவிர வேறு ஒற்றைப் பெருக்கச் செவ்விய எண்கள் உள்ளனவா என்பது அறியப்படாததாகவே உள்ளது. இருப்பினும் ஒற்றை  (k > 2) எண்ணாக n இருந்தால், அது பின்வரும் கட்டுப்பாடுகளை நிறைவு செய்ய வேண்டும்:
 மிகப்பெரிய பகாக் காரணி ≥ 100129
 இரண்டாவது மிகப்பெரிய பகாக் காரணி ≥ 1009
 மூன்றாவது மிகப்பெரிய பகாக் காரணி ≥ 101

 k இன்சில  குறிப்பிட்ட மதிப்புகள்
செவ்விய எண்கள்

 k = 2
 σ(n) = 2n எனில் n  ஆனது ஒரு செவ்விய எண்ணாகும்.

முச்செவ்விய எண்கள்
  k = 3

 σ(n) = 3n எனில் n  ஆனது ஒரு முச்செவ்விய எண்ணாகும். ஆறு முச்செவ்விய எண்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன:

 120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 51001180160 

m  என்ற ஒற்றைச் செவ்விய எண் இருக்குமானால் (தீர்வு காணப்படாத கூற்று)  2m ஆனது .
 σ(2m) = σ(2)&hairsp;σ(m) = 3×2m. 

ஒற்றை முச்செவ்விய எண் இருந்தால், அது 1070 ஐ விடப் பெரிய வர்க்க எண்ணாக இருக்கும்; மேலும் அதற்குக் குறைந்தபட்சமாக  12 வெவ்வேறான பகாக் காரணிகள் இருக்கும்; அப்பகாக்காரணிகளுள் மிகப்பெரியது 105 ஐ விடப் பெரியதாகவும் இருக்கும்.

மேற்கோள்கள்

ஆதாரங்கள்












 வெளியிணைப்புகள் 
 The Multiply Perfect Numbers page
 The Prime Glossary: Multiply perfect numbers


பகுப்பு:வகுஎண் சார்பு
பகுப்பு:செவ்விய எண்கள்