எல்லைகளின் பட்டியல் (கணிதம்)

இக்கட்டுரையில் பொதுச் சார்புகளின் எல்லைகளின் பட்டியல் தரப்படுகிறது. இதிலுள்ள a, b ,c ஆகிய மூன்றும் மாறி x ஐப் பொறுத்த மாறிலிகளாகும். இப்பட்டியல் முழுமையானதல்ல.

 பொதுச்சார்புகளின் எல்லைகள் 
 எல்லையின் வரையறையும் தொடர்புடைய கருத்துக்களும் 
. என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே . இவ்வரையறை எல்லையின் (ε, δ)-வரையறை.

ஒரு தொடர்வரிசையின் உயர் எல்லையின் வரையறை:


ஒரு தொடர்வரிசையின் தாழ் எல்லையின் வரையறை:
 .

சார்பின் தொடர்ச்சி:
. என்பது உண்மையெனில் சார்பு  ஆனது c புள்ளியில் தொடர்ச்சியானதாக இருக்கும்.

 அறியப்பட்ட எல்லை மீதான செயல்கள் 

 எனில்,   

பொதுவாக, L இல் g(x) தொடர்ச்சியானதாகவும்  எனவும் இருந்தால்:

 அறியப்பட்ட இரு எல்லைகள் மீதான செயல்கள் 

 வகைக்கெழுக்கள் அல்லது நுண்ணளவு மாற்றங்கள் கொண்ட எல்லைகள் 
இங்கு நுண்ணளவு மாற்றமானது  அல்லது  எனக் குறிக்கப்படுகிறது. 

 இல்,  வகையிடத்தக்கச் சார்பு எனில்: 
. 
இது வகையிடலின் வரையறையாகும்.

வகையிடல் விதிகளையும் எல்லைகளைக் கொண்டவைகளாக மாற்றியமைக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக x இல், g(x) வகையிடத்தக்கது எனில்,
. (வகையிடலின் சங்கிலி விதி).. (வகையிடலின் பெருக்கல் விதி).

  இரண்டும் c ஐ உள்ளடக்கிய திறந்த இடைவெளியில் (c ஐ மட்டும் தவிர்க்கலாம்) வகையிடத்தக்கவையாகவும்,  எனவும் இருக்குமானால், லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம்:

 சமனிலிகள் 
c ஐ உள்ளடக்கிய இடைவெளியிலுள்ள அனைத்து x மதிப்புகளுக்கும் (ஒருவேளை c தவிர்க்கப்படலாம்)  ஆகவும்,   இரண்டின் எல்லைகளும் c இடத்துக் காணத்தக்கதாகவும் இருந்தால்:

c ஐ உள்ளடக்கிய இடைவெளியிலுள்ள அனைத்து x மதிப்புகளுக்கும் (ஒருவேளை c தவிர்க்கப்படலாம்)  ஆகவும்,  ஆகவும் இருந்தால்:
. 
f(x) , g(x) இரண்டின் மதிப்புகளும் c இடத்து வெவ்வேறாக இருந்தாலும் அல்லது  c இடத்து இவ்விரு சார்புகளும் தொடர்ச்சியற்றதாக இருந்தாலும் இம்முடிவு உண்மையாக இருக்கும்.

 பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் xa வடிவச் சார்புகளும் 

 x இல் அமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள் 

பொதுவாக  ஒரு பல்லுறுக்கோவையெனில் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி:

விகிதமுறு சார்புகள் அவற்றின் ஆட்களங்களில் தொடர்ச்சியானவை என்பதால் அவற்றுக்கும் இம்முடிவு பொருந்தும்.

 xa வடிவச் சார்புகள்
 குறிப்பாக:

. குறிப்பாக:

 அடுக்கேற்றச் சார்புகள் 

 ag(x) வடிவச் சார்புகள் 
 ( தொடர்ச்சியான சார்பு என்பதால்)

 xg(x) வடிவச் சார்புகள்

 f(x)g(x) வடிவச் சார்புகள் 

.

 கூட்டுத்தொகை, பெருக்கற்பலன், கூட்டமைவுகள் 

 மடக்கைச் சார்புகள் 

 இயல் மடக்கைகள் 
 இன் தொடர்ச்சித்தன்மையால்:
 குறிப்பாக,

. (லாபிதாலின் விதியின்படி பெறப்படுகிறது)

 குறிப்பிலா அடிமான மடக்கைகள் 
a > 1 எனில்:

a < 1 எனில்:

 முக்கோணவியல் சார்புகள் 
 ஆனது ரேடியன்களில் குறிக்கப்படுகிறது. சைன் மற்றும் கொசைன் சார்புகளின் தொடர்ச்சித்தன்மையால்:

. அல்லது பொதுவாக,
, (a ≠ 0)

,  (b ≠ 0)

 (n ஒரு முழு எண்)
 (x0 ஒரு குறிப்பிலா மெய் எண்)
, ( d டோத்தி எண், x0 ஒரு குறிப்பிலா மெய் எண்)

 கூட்டுத்தொகைகள் 
பொதுவாக எந்தவொரு முடிவுறாத் தொடரும் அதன் பகுதிக் கூட்டல்களின் எல்லையாக இருக்கும். 
. இது இசைத் தொடர் என அறியப்படுகிறது.
. இது ஆய்லர் மசுசேரோனி மாறிலி (Euler Mascheroni constant) என அறியப்படுகிறது.

குறிப்பிடத்தக்கச் சிறப்பு எல்லைகள்

.

 மேற்கோள்கள் 

Limits
பகுப்பு:சார்புகளும் கோப்புகளும்
பகுப்பு:எல்லைகள் (கணிதம்)