சுற்றுக்கூம்புவெட்டு

A, B, C ஒரே கோட்டிலமையாத மூன்று வேறுபட்ட புள்ளிகள்.
ΔABC முக்கோணத்தின் உச்சிகள் A, B, C.  
A முக்கோணத்தின் உச்சி மட்டுமல்லாது A இல் அமையும் முக்கோணத்தின் உச்சிக்கோணம் BAC ஐயும் குறிக்கும். இதேபோல  B , C இரண்டும் முறையே முக்கோணத்தின் உச்சிக்கோணங்கள் ABC BCA ஐக் குறிக்கின்றன.
a = |BC|, b = |CA|, c = |AB|, ΔABC முக்கோணத்தின் பக்கநீளங்கள்.

முந்நேரியல் ஆயதொலைவுகளில், ஒரு பொதுச் சுற்றுக்கூம்புவெட்டானது  X = x : y : z என்ற முந்நேரியல் ஆயதொலைவுகள் கொண்ட புள்ளி X இன் இயங்குவரையாகும்.

மேலும் அக்கூம்புவெட்டு கீழ்வரும் சமன்பாட்டினை நிறைவு செய்யும்:

 (u : v : w ஏதேனுமொரு புள்ளி)

சுற்றுக்கூம்புவெட்டின் மீதமையும் A, B, C தவிர பிற புள்ளிகள் ஒவ்வொன்றின் சமகோண இணையியங்களும் கீழ்க்காணும் கோட்டின் மீதமையும்.

 = 0.

இக்கோடானது ΔABC இன் சுற்றுவட்டத்தை வெட்டும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை 
சுற்றுக்கூம்புவெட்டு நீள்வட்டமாக இருக்கும்பொழுது 0 ஆகவும்;
சுற்றுக்கூம்புவெட்டு பரவளையமாக இருக்கும்பொழுது 1 ஆகவும்;
சுற்றுக்கூம்புவெட்டு அதிபரவளையமாக இருக்கும்பொழுது 2 ஆகவும் இருக்கும்.

ΔABC இன் பொது உட்கூம்புவெட்டின் சமன்பாடு:

.

மையங்களும் தொடுகோடுகளும்

சுற்றுக்கூம்புவெட்டு
பொதுச் சுற்றுக்கூம்புவெட்டின் மையப்புள்ளி:

.

சுற்றுக்கூம்புவெட்டுக்கு முக்கோணத்தின் உச்சிகள் A, B, C இல்  தொடுகோடாக அமையும் கோடுகள்:

 = 0,
  = 0,
  = 0.

உட்கூம்புவெட்டு

பொது உட்கூம்புவெட்டின் மையப்புள்ளி:

.

ΔABC இன் பக்கக்கோடுகள் உட்கூம்புவெட்டின் தொடுகோடுகளாக அமையும். அவற்றின் சமன்பாடுகள்:

.

பிற பண்புகள்
சுற்றுக்கூம்புவெட்டு

 வட்டமல்லாத ஒவ்வொரு சுற்றுக்கூம்புவெட்டும் ΔABC இன் சுற்றுவட்டத்தை  A, B,  C அல்லாத வேறொரு புள்ளியில் சந்திக்கும். ”நான்காம் வெட்டும் புள்ளி” என அழைக்கப்படும் இப்புள்ளியின் முந்நேரியல் ஆயதொலைவுகள்:

 பொது சுற்றுக்கூம்புவெட்டின் மீதமைந்த புள்ளி  P = p : q : r எனில், P இல் சுற்றுக்கூம்புவெட்டிற்குத் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு:

  என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, பொது சுற்றுக்கூம்புவெட்டு ஒரு பரவளையமாகும்.
 என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, பொது சுற்றுக்கூம்புவெட்டு ஒரு செவ்வக அதிபரவளையமாகும்.

உட்கூம்புவெட்டு

 என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, பொது உட்கூம்புவெட்டு ஒரு பரவளையமாகும். இது முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தினைத் தொட்டவாறும் மற்ற இரு பக்கங்களின் நீட்சியைத் தொட்டவாறும் அமையும்.
 ,   இரண்டும் வேறுபட்ட புள்ளிகள்; 
எனில்:

t இன் மெய்யெண் மதிப்புகளுக்கு X இன் இயங்குவரை ஒரு கோடாகும்.

 என வரையறுக்கப்பட்டால், X2 இன் இயங்குவரை ஒரு உட்கூம்புவெட்டாக, ஒரு நீள்வட்டமாக இருக்கும். அந்நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு:

இதில்:
L = q1r2 − r1q2,

M = r1p2 − p1r2,

N = p1q2 − q1p2.

 முக்கோணத்தின் உட்புறமுள்ள ஒரு புள்ளியானது அம்முக்கோணத்தின் நடுப்புள்ளி முக்கோணத்தினுள் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்தப் புள்ளி மூலமுக்கோணத்தின் உள்நீள்வட்டத்தின் மையப்புள்ளியாக இருக்க முடியும்.Chakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979. நடுப்புள்ளி முக்கோணத்துக்குள் அமையும் புள்ளியை மையமாகக் கொண்ட உள்நீள்வட்டம் தனித்துவமானது. அதாவது அத்தகைய உள்நீள்வட்டம் ஒன்றேயொன்றுதான் இருக்கும்.
 முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டுச்சந்தியை மையமாகக் கொண்ட உள்நீள்வட்டம் ”நடுப்புள்ளி நீள்வட்டம்” என அழைக்கப்படும். ஒரு முக்கோணத்தின் உள்நீள்வட்டங்களிலேயே அதிகவளவு பரப்பளவு கொண்ட இந்த நீள்வட்டம் ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டம் அழைக்கப்படுகிறது.

  உள்நீள்வட்ட மையத்தின் ஈர்ப்புமைய ஆயதொலைவுகள் எனில்:

 உள்நீள்வட்டமானது முக்கோணத்தின் பக்கங்களைத் தொடும்புள்ளிகளையும் அந்தந்த புள்ளிகளுக்கான முக்கோணத்தின் எதிர் உச்சிகளையும் இணைக்கும் கோடுகள் ஒருபுள்ளியில் சந்திக்கின்றன.

நாற்கரங்களில்
ஒரு நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் மீது அந்நாற்கரத்தின் உள்நீள்வட்டங்களின் மையங்கள் அமைகின்றன.

எடுத்துக்காட்டுகள்

 சுற்றுக்கூம்புவெட்டுகள்
 முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகளின் வழியே செல்லும் சுற்றுவட்டம்
 ஸ்டெயினர் சுற்றுநீள்வட்டம்-முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகள் மற்றும் நடுக்கோட்டுச்சந்தி வழியாகச் செல்லும் தனித்த சுற்றுநீள்வட்டம்
 கீபெர்ட் அதிபரவளையம்-முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகள் மற்றும் நடுக்கோட்டுச்சந்தி, செங்கோட்டுச்சந்தி வழியாகச் செல்லும் தனித்த சுற்றுஅதிபரவளையம்
 ஜெராபெக் அதிபரவளையம் -முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மேல் மையப்புள்ளி கொண்டதும், முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகள், செங்கோட்டுச்சந்தி மற்றும் சில குறிப்பிடத்தக்க மையங்களின் வழியாகச் செல்வதுமான செவ்வக அதிபரவளையம். 
 ஃப்யூயர்பக் அதிபரவளையம்-முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மேல் மையப்புள்ளி கொண்டதும், முக்கோணத்தின் செங்கோட்டுச்சந்தி, நாகெல் புள்ளி, மற்றும் பிற குறிப்பிடத்தக்க புள்ளிகள் வழியாகச் செல்வதுமான செவ்வக அதிபரவளையம்.
 உட்கூம்புவெட்டுகள்
 முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களையும் உட்புறமாகத் தொடுகின்ற உள்வட்டம்
 ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டம்-முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களையும் அவற்றின் நடுப்புள்ளிகளில் தொடுகின்ற தனித்த நீள்வட்டம்.
 மாண்டார்ட் நீள்வட்டம், முக்கோணத்தின் வெளிவட்டங்கள் முக்கோணத்தின் பக்கங்களைத் தொடும் புள்ளிகளில் அப்பக்கங்களைத் தொடுகின்ற தனித்த நீள்வட்டம்.
 கீபெர்ட் பரவளையம்

மேற்கோள்கள்

வெளியிணைப்புகள்
 Circumconic at MathWorld
 Inconic at MathWorld

பகுப்பு:கூம்பு வெட்டுகள்
பகுப்பு:முக்கோண வடிவவியல்