அதிபரவளையக் கோணம்

கணிதத்தில் அதிபரவளையக் கோணம் அல்லது அதிபரவளைவுக் கோணம் என்பது (hyperbolic angle) அதிபரவளயத்தைப் பிரிக்கும் ஒரு வடிவவியல் வடிவமாகும். இது சாதாரணக் கோணமானது ஒரு வட்டத்துடன் கொண்டுள்ள தொடர்பை ஒத்தது. அதிபரவளையக் கோணம் முதலில் ஒரு திட்டநிலையில் வரையறுக்கப்படுகிறது.

திட்டநிலையில் அதிபரவளையக் கோணம்:
(0, 0) புள்ளியிலிருந்து (1, 1) புள்ளி வழிச் செல்லும் கதிர் மற்றும்  (x, 1/x) புள்ளி வழிச் செல்லும் கதிர் (x > 1) இரண்டுக்கும் இடைப்பட்ட கோணம்.

இக்கோணத்தின் அளவு இவ்விரண்டு கதிர்களால் அடைவுபெறும் அதிபரவளைவுத் துண்டின் பரப்பளவு அதாவது, ln x ஆகும்.

வட்டக் கோணங்கள் போலல்லாது, அதிபரவளைவுக் கோணங்கள் வரம்பற்றவை. 0 < x < 1 எனில் திட்டநிலையிலுள்ள அதிபரவளையக் கோணங்கள் எதிர் கோணங்களாகக் கொள்ளப்படுகின்றன. அதிபரவளையச் சார்புகள் sinh, cosh, tanh ஆகியவை அதிபரவளையக் கோணங்களை சாரா மாறிகளாகக் கொள்கின்றன.

வட்டக் கோணங்களுடன் ஒப்பீடு
√2 ஆரமுள்ள வட்டத்தில், u ரேடியன் கோண அளவு கொண்ட வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பளவு u சதுர அலகுகள். (−1, −1) மற்றும் (1, 1), புள்ளிகளை இணைக்கும் கோடு x y = 1, அதிபரவளையத்தின் மிகச் சிறிய விட்டமாகும். மேலும் அதன் நீளம் √2 அலகுகளாகவும் இருக்கும்.

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது போல, ஒன்றுக்கும் குறைவான சாய்வு கொண்ட கதிர், வட்டக் கோணப்பகுதியின் பரப்பளவிற்குச் சமமான வட்டக் கோணம் அல்லது அதிபரவளையக் கோணத்தை உருவாக்குகிறது. கதிர் மற்றும் வட்டம் () கொண்டு உருவாகும் செங்கோண முக்கோணத்தின் தாங்கு பக்கங்களின் √2 மடங்குகளாக  முக்கோணவியல் சார்புகளும், இந்தக் கதிர் மற்றும் அதிபரவளையம் ()கொண்டு உருவாகும் செங்கோண முக்கோணத்தின் தாங்கு பக்கங்களின் √2 மடங்குகளாக  அதிபரவளையச் சார்புகளும் அமைகின்றன.

வடிவவியற்படி வட்டக் கோணங்களில்,  P0P1 மற்றும் P0P2 நாண்கள் இரண்டும் வட்ட மையத்தில் தாங்கும் கோணங்கள் முறையே L1, L2 எனில், இக் கோணங்களின் கூடுதலை  L1 + L2 வட்ட மையத்தில் தாங்கும் நாண் PQ, ஆனது P1P2 க்கு இணையாக இருக்கும்.

இதே கருத்தினை அதிபரவளைவிற்கும் பயன்படுத்தலாம்.  P0: (1,1), P1: (x1,1/x1), P2: (x2,1/x2), எனில் வட்டத்தில் இணை என்ற நிபந்தனைக்கு ஒத்ததாக இங்கு Q புள்ளியின் ஆய தொலைவுகள் (x1x2,1/x11/x2) என்பதாக இருக்க வேண்டும் என்பதாகும். இதன்மூலம் P0 லிருந்து அதிபரவளைய வளைவரை மீதமையும் ஏதேனும் ஒரு புள்ளியின் அதிபரவளையக் கோணம் அப்புள்ளியின்  x-ஆய தொலைவின் மடக்கைச் சார்பாக இருப்பதனைக் காணலாம்.Bjørn Felsager, Through the Looking Glass - A glimpse of Euclid’s twin geometry, the Minkowski geometry, ICME-10 Copenhagen 2004; p.14.  See also example sheets   exploring Minkowskian parallels of some standard Euclidean resultsViktor Prasolov and Yuri Solovyev (1997) Elliptic Functions and Elliptic Integrals, page 1, Translations of Mathematical Monographs volume 170, American Mathematical Society

மேற்கோள்கள்

பகுப்பு:கோணங்கள்
பகுப்பு:தொகையீட்டு நுண்கணிதம்