எண்ணளவை

கணிதத்தில், ஒரு கணத்தின் எண்ணளவை (cardinality) என்பது அக்கணத்திலுள்ள உறுப்புக்களின் எண்ணிக்கையின் அளவாகும். எடுத்துக்காட்டாக கணம் A = {1,2,3} வில் மூன்று உறுப்புகள் உள்ளன. எனவே A வின் எண்ணளவை மூன்றாகும். இருவழிக்கோப்புகள், உள்ளிடுகோப்புகளைக் கொண்டு கணங்களை நேரிடையாக ஒப்பீடு செய்தல், முதலெண்களைப் பயன்படுத்தல் என இரு வழிகளில் எண்ணளவையானது அணுகப்படுகிறது.

மற்ற அளவைகளோடு குழப்பம் ஏற்படாதவரை ஒரு கணத்தின் எண்ணளவையானது அக்கணத்தின் அளவு எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.வடிவவியலில் நீளம், பரப்பளவு போன்றவை – முடிவுறு நீளமுள்ள கோடானது புள்ளிகளாலான முடிவிலி எண்ணளவை கொண்ட கணமாகும்.

எண்ணளவையைக் குறிக்க |A|, card(A), #A, n(A) A போன்ற குறியீடுகள் பயன்படுத்தப் படுகின்றன.

கணங்களை ஒப்பிடுதல்

ஒரு முடிவுறு கணங்களைப் பொறுத்தவரை எண்ணளவை என்பது அக்கணத்திலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிப்பதாகும். எண்ணளவைக் கருத்துருவை முடிவிலி கணங்களுக்கு நீட்டிக்கும்போது குறிப்பிலா கணங்களை ஒப்பிடும்முறையை வரையறுத்தல் அவசியமாகிறது.

 வரையறை 1 : | A | = | B | 
A , B கணங்களுக்கிடையில்,  A இலிருந்து B க்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு இருவழிக்கோப்பு (உள்ளிடு மற்றும் முழுக்கோப்பாக அமையும் ஒரு சார்பு) இருக்குமானால், அவ்விரு கணங்களின் எண்ணளவைகள் சமமானவையாக இருக்கும். அதாவது, | A | = | B |. 
எண்ணளவை சமமாகவுள்ள கணங்கள் ≈, ~ ஆகிய குறியீடுகளால் இணைக்கப்படுகின்றன: 
A≈B அல்லது A~B

எடுத்துக்காட்டு:
E = {0, 2, 4, 6, ...} - எதிர்மமில்லா இரட்டை எண்களின் கணம்.
N = {0, 1, 2, 3, ...} - இயல் எண்களின் கணம்.
f(n) = 2n என்ற சார்பு,  N இலிருந்து  E க்கு வரையறுக்கப்பட்ட இருவழிக்கோப்பாக உள்ளதால் | E | = | N | ஆக இருக்கும்.

 வரையறை 2: | A | ≤ | B | 
A இலிருந்து B க்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு உள்ளிடு சார்பு இருக்குமானால், A இன் எண்ணளவை B இன் எண்ணளவையை விடச் குறைந்ததாகவோ சமமானதாகவோ இருக்கும்.
| A | ≤ | B |

 வரையறை 3: | A | < | B | 
A இலிருந்து B க்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு உள்ளிடு சார்பு இருந்து, இருவழிச் சார்பு இல்லாமல் இருந்தால் A இன் எண்ணளவை B இன் எண்ணளவையை விடக் கண்டிப்பாகக் குறைந்ததாக இருக்கும்.
| A | < | B |

எடுத்துக்காட்டு:N = இயல் எண்களின் கணம்.R = மெய்யெண்களின் கணம். 
 உள்ளடக்கல் கோப்பு, i : N → R ஒரு உள்ளிடு சார்பாகும். ஆனால் N → R''' வரையறுக்கப்பட்ட எந்தவொரு இருவழிச் சார்பும் கிடையாது என்பதால் 
| N | < | R |

| A | ≤ | B | மற்றும் | B | ≤ | A | எனில் | A | = | B | (Cantor–Bernstein–Schroeder theorem).
தெரிவு அடிக்கோளானது (axiom of choice), A,B கணங்களுக்கு,| A | ≤ | B | அல்லது | B | ≤ | A | ஆக இருக்கும் என்ற கூற்றுக்குச் சமானமானதாகும். - Original edition (1914)

எடுத்துக்காட்டுகளும் பண்புகளும்
 X = {a, b, c}, Y = {ஆப்பிள், ஆரஞ்சு, கொய்யா} கணங்களுக்கிடையில் { (a, ஆப்பிள்), (b,ஆரஞ்சு), (c, கொய்யா)} என்ற இருவழிச் சார்பு  அமைந்துள்ளதால் | X | = | Y | = 3. 
  | X | < | Y |, எனில் | X | = | Z | மற்றும் Z ⊆ Y என்றவாறு  Z என்ற கணம் இருக்கும்.
| X | ≤ | Y | மற்றும் | Y | ≤ | X | எனில் | X | = | Y |. இக்கூற்று முடிவிலி கணங்களுக்கும் பொருந்தும்.

ஒன்றிப்பும் வெட்டும்A , B'' என்பவை சேர்ப்பில்லா கணங்கள் எனில்:

இதிலிருந்து ஒன்றிப்பு கணங்கள் மற்றும்  வெட்டு கணங்களின் எண்ணளவைகள் கீழ்வருமாறு தொடர்புபடுத்தப்படுகின்றன:Applied Abstract Algebra, K.H. Kim, F.W. Roush, Ellis Horwood Series, 1983,  (student edition),  (library edition)

மேற்கோள்கள்

பகுப்பு:கணக் கோட்பாடு