கோஷியின் இடைமதிப்புத் தேற்றம்

வகை நுண்கணிததில் கோஷியின் இடைமதிப்புத் தேற்றம் (Cauchy's mean value theorem) அல்லது நீட்டிக்கப்பட்ட இடைமதிப்புத் தேற்றம் (extended mean value theorem) என்பது இடைமதிப்புத் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும்.

இத்தேற்றத்தின் கூற்று:

  சார்புகள்,

 மூடிய இடைவெளி [a,b] -ல் தொடர்ச்சியானவையாகவும்; 
 திறந்த இடைவெளி (a, b) ல் வகையிடத்தக்கவையாகவும் இருந்தால்,

என்றவாறு ஒரு மதிப்பு, c ∈ (a,b) காணமுடியும்.

 மற்றும்  எனில் இம்முடிவை,

 என மாற்றி எழுதலாம்.

வடிவவியல் முறையில் இது, (f(a),g(a)), (f(b),g(b)) புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டிற்கு இணையாக

 என்ற வளைவரைக்கு ஏதாவது ஒரு தொடுகோடு இருக்கும் என்பதைக் காட்டுகிறது.

எனினும், வெவ்வேறானவையாக இருக்கும் அனைத்து (f(a),g(a)) and (f(b),g(b)) -க்கும் இதுபோன்ற இணைத்தொடுகோடு அமையும் என கோஷியின் தேற்றம் கூறவில்லை. ஏனென்றால்  என அமையும் c மதிப்புகளுக்கு மட்டும்தான் அதாவது மேலே தரப்பட்ட வளைவரையின் நிலைப் புள்ளிகளில்தான் அவ்வாறு இருக்க முடியும். அந்த மாதிரியான புள்ளிகளில் தொடுகோடுகள் இல்லாமலே இருக்கலாம்

எடுத்துக்காட்டு வளைவரை:

 என்ற வளைவரை, [−1,1] இடைவெளியில் (−1,0) லிருந்து (1,0) க்குச் செல்கிறது. இவ்வளைவரைக்கு நிலைப் புள்ளி உள்ளது. மேலும்  -ல் ஒரு கூர் உள்ளது. இருப்பினும் அதற்கு கிடைமட்டத் தொடுகோடு இல்லை.

கோஷியின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி லாபிதாலின் விதியை நிறுவலாம்.. எனில் கோஷியின் இடைமதிப்புத் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்புவகை இடைமதிப்புத் தேற்றமாகும்.

நிறுவல்

 r ஒரு மாறிலி, எனக் கொள்க.

  சார்புகள், இடைவெளி [a, b] -ல் தொடர்ச்சியானவையாகவும்; திறந்த இடைவெளி (a, b) ல் வகையிடத்தக்கவையாகவும் இருப்பதால்  -ம் அதே நிபந்தனைகளுக்குக் கட்டுப்படும்.

 என்றவாறு r -ன் மதிப்பை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.

ரோலின் தேற்றத்தின் நிபந்தனைகள் மூன்றையும்  நிறைவு செய்வதால், ரோலின் தேற்ற முடிவின்படி:

ஏதாவது ஒரு மதிப்பு, c ∈ (a,b) -க்கு 
,

 லிருந்து:

என தேற்றம் நிறுவப்படுகிறது.

 வெளி இணைப்புகள் 
 PlanetMath: Mean-Value Theorem 


 "Mean Value Theorem: Intuition behind the Mean Value Theorem" at the Khan Academy

பகுப்பு:வகையீட்டு நுண்கணிதம்
பகுப்பு:நுண்கணிதத் தேற்றங்கள்

en:Mean value theorem#Cauchy's mean value theorem