தொடர் பெருக்கம்

ஒரு நேர்ம முழு எண்ணின் தொடர் பெருக்கம் அல்லது காரணியம் அல்லது காரணீயம் (factorial) என்பது அதற்கு சமமாகவும் குறைவாகவும் உள்ள எல்லா நேர்ம முழு எண்களின் பெருக்கல் ஆகும்.  இது n! எனக் குறிக்கப்படும்.

எ.கா:

 (வெற்றுப் பெருக்கத்தின் வழமைப்படிRonald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) Concrete Mathematics, Addison-Wesley, Reading MA. , p. 111).

தொடர் பெருக்கச் செய்கையைக் கணிதத்தில் பல பகுதிகளில் காணமுடியும். குறிப்பாக சேர்மானவியல், இயற்கணிதம், கணிதப் பகுப்பாய்வு என்பவற்றைக் குறிப்பிடலாம். இதன் மிக அடிப்படையாக பயன்பாட்டை, வரிசை மாற்றத்தில், வெவ்வேறான  n பொருட்களை n! வழிகளில்  தொடராக ஒழுங்குபடுத்தலாம்" என்பதில் காணமுடிகிறது. இந்த உண்மை ஆகப் பிந்தியது 12ம் நூற்றாண்டிலேயே இந்திய அறிஞர்களுக்குத் தெரிந்திருக்கிறது.N. L. Biggs, The roots of combinatorics, Historia Math. 6 (1979) 109−136 பிரான்சு நாட்டைச் சேர்ந்த கணிதவியலாளர் கிறித்தியன் கிறாம்ப் என்பவர் n! குறியீட்டை 1808 ஆம் ஆண்டில் முதன் முதலில்  அறிமுகப்படுத்தினார்.

வரைவிலக்கணம்
தொடர் பெருக்கச் சார்பு பின்வருமா று வரையறுக்கப்படுகிறது:

அல்லது பின்வரும் தொடர்பின் மூலமும் இது தரப்படலாம்:

அடுக்கு விதியைப் பயன்படுத்தியும் பின்வருமாறு இதை வரையறுக்க முடியும்:

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/lec4.pdf

மேற்காட்டிய எல்லா வரைவிலக்கணங்களும் : என்பதை உட்படுத்துகின்றன.

பயன்பாடுகள்
பெரும்பாலும் சேர்மானவியலைச் சேர்ந்தது என்றாலும் கணிதத்தின் பல பிரிவுகளிலுள்ள வாய்ப்பாடுகளில்  தொடர் பெருக்கம் காணப்படுகிறது.

 வெவ்வேறான n பொருட்களை வெவ்வேறான n! வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். அதாவது வெவ்வேறான n பொருட்களின் வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை n! ஆகும்.
 வரிசைப்படுத்தல் தவிர்க்கப்பட வேண்டுமென்பதற்காகப் பெரும்பாலும் தொடர் பெருக்கமானது வாய்ப்பாடுகளில் பகுதியில் காணப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு:
n பொருட்கள் கொண்ட கணத்திலிருந்து k பொருட்களைத் தேர்வுசெய்து அவற்றை வரிசைப்படுத்தும் வழிகளின் எண்ணிக்கை:

இந்த வழிகளில் தேர்வுகள் ஒவ்வொன்றிலும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட k பொருட்களை வரிசைப்படுத்தக்கூடிய k! வெவ்வேறான வழிகளும் அடங்கும் எனபதால் வரிசைப்படுத்தலைத் தவிர்த்து, n பொருட்கள் கொண்ட கணத்திலிருந்து k பொருட்களின் சேர்வுகளின் எண்ணிக்கைக்கான வாய்ப்பாடு:

இந்த வாய்ப்பாடு  விரிவில் Xk இன் கெழுவாகவும் அமைவதால் ஈருறுப்புக் கெழு () எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.
 நுண்கணிதத்தில் டெயிலரின் தேற்றத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

டெயிலரின் தேற்றம்:

k ≥ 1 ஒரு முழு எண்;  புள்ளியில், சார்பு  k தடவைகள் வகையிடத்தக்கது எனில்,  என்ற ஒரு சார்பு பின்வருமாறு இருக்கும்:

 நிகழ்தகவின் பல வாய்ப்பாடுகளில் தொடர்பெருக்கம் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு:
பாய்சான் பரவலின் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பின் வாய்ப்பாடுProbability and Stochastic Processes: A Friendly Introduction for Electrical and Computer Engineers, Roy D. Yates, David Goodman, page 60.:

இவ்வாய்ப்பாட்டில், 
தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி X; λ > 0;  k =0,1,2,…, e = 2.71828....

எண் கோட்பாடு
 n மற்றும் அதைவிடச் சிறியதான அனைத்து பகா எண்களாலும் n! வகுபடும். இதன் விளைவாகக் கிடைக்கும் முடிவுகள்:
n > 5 ஒரு பகு எண்ணாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே

p ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே
 (வில்சனின் தேற்றம்)

பகா எண்ணாகவும் தொடர் பெருக்கமாகவும் அமையும் ஒரே எண் 2.   n! ± 1, என்ற வடிவிலமையும் எண்கள் காரணீயப் பகாஎண்களென அழைக்கப்படுகின்றன.
1! ஐ விடப் பெரிய தொடர் பெருக்கங்கள் அனைத்தும் இரண்டின் மடங்குகளாக இருப்பதால் அவை இரட்டை எண்களாகும். 5! ஐ விடப் பெரிய தொடர் பெருக்கங்கள் அனைத்தும் இரண்டு மற்றும் மடங்குகளாக இருப்பதால் அவை பத்தின் மடங்குகளாக இருக்கும்.

தலைகீழிகளின் தொடர்
தொடர் பெருக்கங்களின் பெருக்கல் தலைகீழிகளாலான தொடர், ஒருங்கும் தொடராக இருக்கும்:

இத் தொடரின் கூடுதல் ஒரு விகிதமுறா எண் என்றாலும், தொடரின் உறுப்பிலுள்ள தொடர் பெருக்கங்களை நேர் முழு எண்களைக் கொண்டு பெருக்கி, தொடரை விகிதமுறு எண்ணைக் கூடுதலாகக் கொண்ட ஒருங்கு தொடராக மாற்றலாம்:

இதனால் தொடர் பெருக்கங்கள் விகிதமுறாத் தொடர்முறைகளை அமைக்காது..

ஒத்த பிற பெருக்கங்களும் சார்புகளும்
கணிதத்தில் தொடர் பெருக்கம் போன்ற பிற பெருக்கங்களும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. அவை:

பகாத்தனி தொடர்பெருக்கம்
பகாத்தனி தொடர்பெருக்கம் (primorial) என்பது, பகாஎண்களின் தொடர்பெருக்கச் சார்பாக அமையும். 

n வது பகா எண் pn இன் பகாஎண் தொடர்பெருக்கம் pn# என்பது முதல் n பகா எண்களின் பெருக்கமாக வரையறுக்கப்படுகிறது:

pk என்பது k -வது பகா எண்.

எடுத்துக்காட்டாக:

முதல் ஆறு பகாஎண் தொடர்பெருக்கங்கள்:
1, 2, 6, 30, 210, 2310.
(இதில் p0# = 1 என வெற்றுப் பெருக்கமாகக் கொள்ளப்படுகிறது.))

பொதுவாக ஏதேனுமொரு இயல் எண்ணிற்கு கீழ்க்காண்டவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

ஒரு நேர் முழு எண் n இன் பகாஎண் தொடர்பெருக்கம் n# என்பது n -ஐ விடச்சிறிய பகாஎண்களின் பெருக்கமாக வரையறுக்கப்படுகிறது:

இங்கு,  பகாஎண்-எண்ணும் சார்பு ,  n -ஐ விடச்சிறிய பகாஎண்களைத் தருகிறது.

இவ்வரையறை கீழுள்ள வரையறைக்கு ஈடானதாகும்:

எடுத்துக்காட்டாக, 12# என்பது  12க்கும் குறைந்த பகாஎண்களின் தொடர்பெருக்கம்:

இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம்
ஒற்றை நேர் எண் n வரையிலான ஒற்றை எண்களின் பெருக்கம் ’இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம்’ (double factorial) எனப்படும். இதன் குறியீடு n!!.. 

எடுத்துக்காட்டு: 
9!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945.

n = 1, 3, 5, 7, ...  எனில் இரட்டைத் தொடர்பெருக்கங்களின் தொடர்முறை:
 1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135, .... 

முக்கோணவியல் தொகையீட்டில் இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

பல்தொடர்பெருக்கம்
எதிரிலா முழு எண்களின் k-வது தொடர்பெருக்கம் :

தொடர்பெருக்கம்  எதிர் எண்களுக்கு வரையறுக்கப்படாதது போல, இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம்  எதிர் இரட்டை எண்களுக்கு வரையறுக்கப்படவில்லை; பல்தொடர்பெருக்கம்   ஆல் வகுபடும் எதிர் முழுஎண்களுக்கு வரையறுக்கப்படவில்லை.

மேற்கோள்கள்

பகுப்பு:புள்ளியியல்
பகுப்பு:சேர்வியல்
பகுப்பு:ஓருறுப்புச் செயலிகள்