சமச்சீர் பல்லுறுப்பு

கணிதத்தின் எல்லாத்துறைகளிலும்  மற்றும் கணிதத்தின் எல்லா பயன்பாடுகளிலும் சமச்சீர் கருத்து அடிக்கடி தோன்றுமென்பது எதிர்பார்க்கத்தக்கதே.பல்லுறுப்பு என்ற கணிதக்கருத்தோடு சமச்சீர்  கருத்து உறவாடும்போது ஏற்படும் எல்லா கணிதச் சூழ்நிலைகளையும் உருவகப்படுத்துவதுதான் சமச்சீர் பல்லுறுப்பு அல்லது சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவை (Symmetric polynomial) அல்லது சமச்சீர் சார்பு பற்றிய கோட்பாடு. இது முக்கியமாக சேர்வியல் என்ற கணிதத்துறையில் ஆய்வு பெறப்படும்.

வரையறை

(α1, α2, ... , αn) என்ற பல்லுறுப்பின் மாறிகள் α1, α2, .... , αn இன் எந்த வரிசைமாற்றத்திற்கும் பல்லுறுப்பு மாறாமல் இருந்தால் அப்பல்லுறுப்பு சமச்சீர் பல்லுறுப்பு அல்லது சமச்சீர் சார்பு எனப்படும். குறிப்பாக, இதை n  மாறிகளின் சமச்சீர் பல்லுறுப்பு என்று கூறுவதுண்டு.

எடுத்துக்காட்டுகள்

1. α3 + β3 + γ3.

2.α2β + α2γ + β2α + β2γ +γ2α + γ2β

3. α1.α2... .αn

இவைகளை 'Σ' குறியீடு கொண்டும் குறிப்பிடமுடியும்; ஆனால் அதற்கு, எத்துணை மாறிகள் பயன்படுத்தப் படுகின்றன என்ற கருதுகோள் தொக்கிநிற்கவேண்டும். அப்படி நின்றால் மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளனைத்தையும் சுருக்கமாகக் கீழே கண்டபடி எழுதலாம்:

1.Σα3

2.Σα2β

3.α1.α2... .αn  இதனில் இருப்பதே ஓருறுப்பு தான். அதனால் 'Σ' குறியீடு  தேவையில்லை.

மாற்று வரையறைக்கான முன்னோடி 

α1, α2, ... , αn  ஆகிய  n  குறியீடுகளைக்கொண்டு தொடங்கலாம்.  இவைகள் கணிதமாறிகளாக இருக்கவேண்டியதுமில்லை.  N  என்பது ஒரு முழு நேர்ம எண்ணாகவும்,

λ = (λ1 λ2....λp) என்பதை  N இன் ஒரு பிரிவினை (partition)யாகவும் கொள். இப்பிரிவினையில் ஓர் அடிப்படை மரபொழுங்கையும் பின்பற்றுவோம்; அ-து,

λ1 ≥  λ2 ≥ ... ≥ λp > 0 ; மற்றும் p ≤ n. 
 λ, N இன் பிரிவினை என்பதை  λ  N   என்ற குறியீட்டால் சுருக்கமாக எழுதலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக  (31) என்பது  எண் 4 இன் பிரிவினை. (31)  4
 (22) என்பதும்  எண் 4 இன் பிரிவினை. இதையே (22) என்றும் எழுதுவதுண்டு. (22)   4.
 (5), (41), (32),  4.
 (312), ((22)1),(213), (15) 
 ஆகிய ஏழும்  எண் 5 இன் பிரிவினைகள்.

ஓரங்க சமச்சீர் சார்பு

ஓரங்க சமச்சீர் சார்பின் (Monomial symmetric function) குறியீடு  kλ. இதன் விரிவாக்கத்தை சில எடுத்துக்காட்டுகளால் புரிந்துகொள்வது எளிது.

k(31) = Σα13α2 
= α13α2 + α13α3 + α13α4 + ... + α13αn + α23α1 + α23α3 + α23α4 + ..... .Σ. + ....

 k(22) = Σα1<Σsup>2</sup> α22
                             = α12 α22 +                              α12 α32 +                              α12 α42 + .... +                              α22 α32 +                              α22 α42 + .... +                             α32 α42 + .... + ....

பொதுவாக, kλ = Σ α1λ1 α2λ2 .... αpλp. இன்னொரு குறியீடும் இதற்கு உண்டு. அ-து, 
 kλ =  <λ>.

ஒருபடித்தான முழு சமச்சீர் சார்பு
ஒருபடித்தான முழு சமச்சீர் சார்பு (Complete Homogeneous Symmetric Function):
hN = ΣλN kλ.

எடுத்துக்காட்டாக,

 h4 = <4> + <31> + <22> + <212> + <14>    (*)

 = Σ α14 + Σ α13 α2 + Σ α12 α22 + Σ α12 α2 α3 + Σ α1 α2 α3 α4.

இங்கு ஒரு விஷயம் கவனிக்கப்படவேண்டும். குறியீடுகளின் எண்ணிக்கை n ஐப்பற்றியது.

n < 1  ஆக இருக்குமானால், (*)இல், பின் நான்கு உறுப்புகளும் இருக்காது, அ-து, மறைந்துவிடும்.

n = 2  ஆக இருக்குமானால், (*)இல், பின் இரண்டு உறுப்புகளும் மறைந்துவிடும்.

n = 3  ஆக இருக்குமானால், (*)இல்,கடைசி உறுப்பு மறைந்துவிடும்.

n ≥ 4 ஆக இருக்குமானால், (*)இல், எல்லாஐந்து உறுப்புகளும் மறையாமல் இருக்கும்.

இப்பொழுது  ஒருபடித்தான முழு சமச்சீர் சார்பின் வரையறையைக் கொடுக்க முடியும். அதாவது,
  hλ =  hλ1 hλ2 ... hλp
எடுத்துக்காட்டாக,

  h(31) = h3 h1 = (Σ α13 + Σ α12 α2  + Σ α1 α2 α3)(Σα1).

  h(22)  =  h2 h2 =  (Σ α12 + Σ α1α2)2.

தனித்த சமச்சீர் சார்பு 
தனித்த சமச்சீர் சார்பு (Elementary Symmetric Function):
 aN = k(1N).

எ.கா. a4 = Σ α1α2α3α4

a4 சூன்ய உறுப்பாக இல்லாமல் இருப்பதற்கு, n ≥ 4 உண்மையாக இருக்கவேண்டும்.

இப்பொழுது  தனித்த சமச்சீர் சார்பின் வரையறையைக் கொடுக்க முடியும். அதாவது,

  aλ =  aλ1 aλ2 ... aλp.
எ.கா.  a(31) = a3 a1 = (Σ α1α2α3)(Σα1).

 a(22) = a2a2 = (Σ α1α2)2.

அடுக்குத்தொகை சமச்சீர் சார்பு 
அடுக்குத்தொகை சமச்சீர் சார்பு (Power Sum Symmetric function):
 sN = k(N)  = Σα1N

குறிப்பு: ஒரு குறியீடு இருந்தாலும் sN சூன்யமாகாது.

இப்பொழுது  அடுக்குத்தொகை சமச்சீர் சார்பின் வரையறையைக் கொடுக்க முடியும். அதாவது

  sλ =  sλ1 sλ2 ... sλp.

எ.கா.: s4 = Σα14.

  s(31) = (Σα13) (Σα1).

  s(22)  = s2s2 = (Σα12)2

 முக்கிய விளைவு:  (λ) = (1,1, ...λ1முறை,2,2, ...λ2முறை, ..., p,p, ...λpமுறை) என்று கொண்டால், அதாவது, (λ) = (1λ12λ23λ3 .... )  என்று கொண்டால்,

  sλ  = s1λ1s2λ2s3λ3 ....

சமச்சீர் சார்புகளின் நேரியல் அளாவல்

ஒரு குறிப்பிட்ட முழு எண்  N  உடைய எல்லாப்பிரிவினைகள் λ வுக்கும்   அவைகளுக்கு இணைவான kλ  க்கள் எல்லாம் கொண்ட கணத்தை  SYMN  என்ற குறியீட்டால்  குறிப்பிடுவோம். இக்கணத்தில்,

 Σ α1λ1 α2λ2 .... αpλp  + Σ α1μ1 α2μ2 .... αqμq ::
என்பது கூட்டல் வரையறை ஆகும்.

 மற்றும் Q என்ற விகிதமுறு எண்களின் களத்தை அளவெண்களமாகக் கொண்டால்,

  a x Σ α1λ1 α2λ2 .... αpλp  = Σaα1λ1 α2λ2 .... αpλp

  என்ற வரையறை அளவெண் பெருக்கலின் வரையறை ஆகும்.

இவ்விரண்டு செயல்பாடுகளுக்கு  SYMN  நேரியல் வெளியாகின்றது.

இவ்வெளிக்கு   அடுக்களம் {kλ, λ   N} : பரிமாணம் p(N), அ-து, N உடைய பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கை. இதைவிட மேலாக பின்வரும் தேற்றமே நிறுவப்படக்கூடியது V. Krishnamurthy. Combinatorics: Theory & Applications. Ellis Horwood. 1986. p.57.

தேற்றம்: {kλ, λ   N}, {aλ, λ   N}, {hλ, λ   N}, {sλ, λ   N}, -- இவை நான்குமே ஒவ்வொன்றும் SYMN க்கு அடுக்களமாக அமைகின்றது.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு

மேற்கோள்கள்

பகுப்பு:சேர்வியல்
பகுப்பு:பல்லுறுப்புக் கோவைகள்
பகுப்பு:சமச்சீர் சார்புகள்