இராமானுசன் கூட்டு

இக்கட்டுரை இராமானுசன் கூட்டுகை (Ramanujan summation) என்பது பற்றியது அன்று

கணிதத்தின் ஒரு பிரிவான எண்கோட்பாட்டியலில், இராமானுசன் கூட்டு (Ramanujan's sum), என்பதைப் பொதுவாக cq(n), எனக்குறிப்பது வழக்கம். இது நேர்ம எண் மாறிகள் q, n ஆகியவற்றால் ஆன சார்பியம் (சார்பு). இதனைக் கீழ்க்காணும் சூத்திரத்தால் குறிக்கலாம்

மேலுள்ளதில் (a, q) = 1 என்னும் குறியீடு என்ன குறிக்கின்றதென்றால்,  a என்பது q என்னும் எண்ணோடு ஒப்பீட்டு பகா எண்ணின் (co-prime) மதிப்புகளை மட்டுமே கொள்ளும் என்று பொருள்.

சீனிவாச இராமானுசன் இந்த கூட்டு வாய்பாட்டை 1918 ஆய்வுத்தாளில் அளித்தார்Ramanujan, On Certain Trigonometric Sums ... These sums are obviously of great interest, and a few of their properties have been discussed already. But, so far as I know, they have never been considered from the point of view which I adopt in  this paper; and I believe that all the results which it contains are new.(Papers, p. 179). In a footnote cites pp. 360–370 of the Dirichlet-Dedekind Vorlesungen über Zahlentheorie, 4th ed. இக் கூட்டு வாய்பாட்டினை வினோகிராடோவ் தேற்றத்தை(Vinogradov's theorem)நிறுவுவதில் பயன்படுத்தியுள்ளார்கள். இத்தேற்றம் மிகப்பெரிய ஒற்றைப்படை எண்கள் ஒவ்வொன்றும் மூன்று பகா எண்களின் கூட்டுத்தொகை என கூறுகின்றதுNathanson, ch. 8
இராமானுசன் கூட்டு அட்டவணை

+ Ramanujan Sum cs(n)   n 1 2 3 4 5 6 7 8  9  10 11 12 13 14 15 16 17 18  19  20 21 22 23 24 25 26 27 28  29  30 s 1 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 2  −1  1  −1  1  −1  1  −1  1  −1  1 −1  1  −1  1  −1  1  −1  1  −1  1 −1  1  −1  1  −1  1  −1  1  −1  1 3  −1  −1  2  −1  −1  2  −1  −1  2  −1  −1  2  −1  −1  2  −1  −1  2  −1  −1  2  −1  −1  2  −1  −1  2  −1  −1  2  4  0  −2  0  2  0  −2  0  2  0  −2  0  −2  0  2  0  −2  0  2  0  −2  0  −2  0  2  0  −2  0  2  0  −2  5  −1 −1 −1 −1  4 −1 −1 −1 −1  4 −1 −1 −1 −1  4 −1 −1 −1 −1  4 −1 −1 −1 −1  4 −1 −1 −1 −1  4 6  1  −1  −2  −1  1  2  1  −1  −2  −1  1  2  1  −1  −2  −1  1  2  1  −1  −2  −1  1  2  1  −1  −2  −1  1  2  7  −1 −1 −1 −1 −1 −1  6  −1 −1 −1 −1 −1 −1  6  −1 −1 −1 −1 −1 −1  6  −1 −1 −1 −1 −1 −1  6  −1 −1  8  0  0  0  −4  0  0  0  4   0  0  0  −4  0  0  0  4 0  0  0  −4  0  0  0  4 0  0  0  −4  0  0  9  0  0  −3  0  0  −3  0  0  6 0  0  −3  0  0  −3  0  0  6 0  0  −3  0  0  −3  0  0  6 0  0  −3   10 1  −1   1  −1  −4  −1  1  −1  1  4  1  −1   1  −1  −4  −1  1  −1  1  4 1  −1   1  −1  −4  −1  1  −1  1  4 11 −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  10 −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  10 −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  12 0  2  0  −2  0  −4  0  −2  0  2  0  4 0  2  0  −2  0  −4  0  −2  0  2  0  4 0  2  0  −2  0  −4  13 −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  12 −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  12 −1  −1  −1  −1  14 1  −1   1  −1    1  −1  −6  −1   1  −1    1  −1  1  6 1  −1   1  −1    1  −1  −6  −1   1  −1    1  −1  1  6 1  −1  15 1  1  −2  1  −4  −2  1  1  −2  −4  1  −2  1  1  8 1  1  −2  1  −4  −2  1  1  −2  −4  1  −2  1  1  8  16 0  0  0  0  0  0  0  −8   0  0  0  0  0  0  0  8 0  0  0  0  0  0  0  −8   0  0  0  0  0  0  17 −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  16 −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1 18 0  0  3   0  0  −3   0  0  −6   0  0  −3   0  0  3   0  0  6 0  0  3   0  0  −3   0  0  −6   0  0  −3   19 −1   −1   −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  18 −1   −1   −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  20 0  2  0  −2  0  2  0  −2  0  −8  0  −2  0  2  0  −2  0  2  0  8  0  2  0  −2  0  2  0  −2  0  −8  21 1  1  −2  1  1  −2  −6  1  −2  1  1  −2  1  −6  −2  1  1  −2  1  1  12 1  1  −2  1  1  −2  −6  1  −2  22 1  −1  1  −1  1  −1  1  −1  1  −1  −10 −1  1  −1  1  −1  1  −1  1  −1  1  10 1  −1  1  −1  1  −1  1  −1   23 −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  22 −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  24 0  0  0  4  0  0  0  −4 0  0  0  −8 0  0  0  −4 0  0  0  4 0  0  0  8 0  0  0  4  0  0  25 0  0  0  0  −5 0  0  0  0  −5 0  0  0  0  −5 0  0  0  0  −5 0  0  0  0  20 0  0  0  0  −5 26 1  −1  1  −1  1  −1  1  −1  1  −1  1  −1  −12 −1  1  −1  1  −1  1  −1  1  −1  1  −1  −1  12 1  −1  1  −1  27 0  0  0  0  0  0  0  0  −9 0  0  0  0  0  0  0  0  −9 0  0  0  0  0  0  0  0  18 0  0  0  28 0  2  0  −2  0  2  0  −2  0  2  0  −2  0  −12 0  −2  0  2  0  −2  0  2  0  −2  0  2  0  12 0  2 29 −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  −1  28  −1 30 −1   1  2  1  4  −2  −1  1  2  −4  −1  −2  −1  1  −8  1   −1  −2  −1  −4  2  1  −1  −2  4  1  2  1  −1  8 

அடிக்குறிப்புகள்

உசாத்துணையும் நூற்பட்டியலும்

  Section A.7.

 (pp. 179–199 of his Collected Papers)

 (pp. 136–163 of his Collected Papers)

பகுப்பு:எண் கோட்பாடு