எண்சார் பகுப்பியல்

எண்சார் பகுப்பியல் (Numerical analysis)   ஓர் கணிதப் பகுப்பாய்விற்கு (பொதுவான குறியீட்டுக் கணிதமுறையல்லாது) எண்களின் தோராய மதிப்பினைக் கொண்டு படிமுறைத் தீர்வுகளைக் காணும் வழியாகும். இது எண்ணியல் கணிதத்திலிருந்து மாறுபட்டது ஆகும்.

மிகப் பழைய கணித எழுத்துகள் யேல் பாபிலோனியத் திரட்டில் அமைந்த பாபிலோனிய வில்லை (YBC 7289)யில்  கிடைத்தது. இது அலகு சதுரத்தின் மூலைவிட்ட நீளமாகிய எண் 2 இன் இருபடி மூலத்தின் அல்லது வேரின் தோராய எண்மதிப்பை அறுபதின்ம எண்முறைமையில் தருகிறது. முக்கோணத்தின் பக்கங்களைக் கணிக்கும் திறமையும் அதன்வழி, இருபடி மூலங்களின் மதிப்பைக் கணிக்கும் திறமையும் வானியலிலும் தச்சுத் தொழிலிலும் கட்டுமானப் பணிகளிலும் மிகமிக முதன்மை வாய்ந்த்தாகும்.The New Zealand Qualification authority specifically mentions this skill in document 13004 version 2, dated 17 October 2003 titled CARPENTRY THEORY: Demonstrate knowledge of setting out a building

நடைமுறைக் கணிதவியல் கணக்கீடுகளில் எண்சார் பகுப்பியலின் தொடர்ச்சி நெடுங்காலமாகவே இருந்துவருகிறது. பாபிலோனிய வில்லையில் அமைந்த தோராயமான இரண்டின் இருபடி மூலத்தைப் போன்றே, தற்கால எண்சார் பகுப்பியலும் கருக்கான விடையைத் தருவதில்லை. ஏனெனில், கருக்கான விடையென்பதே நடைமுறையில் இயலாததாகும். மாறாக, பெரும்பாலான எண்சார் பகுப்பியல் தோராயத் தீர்வுகளை, ஏற்கவியன்ற பிழைப் பொறுதி நெடுக்கத்துக்குள், பெறுவதிலேயே அக்கறை காட்டுகிறது.

எண்சார் பகுப்பியல் இயல்பாகவே உறழ்திணை (inert) அறிவியல் புலங்களிலும் பொறியியலிலும் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. 21 ஆம் நூற்றாண்டில் உயிர்த்திணை அறிவியல் புலங்களிலும் கலைகளிலும் பயன்படுகிறது. வானியலில் இயல்பான நுண்கலனச் சமன்பாடுகள், குறிப்பாக கோள்கள், விண்மீன்கள், பால்வெளிகல் பற்றி ஆயும் விண்கோள இயக்கவியலில் பெரிதும் பயின்று வருகின்றன; எண்சார் நேரியல் இயற்கணிதம் தரவுப் பகுப்பியலில் முதன்மையானதாகும்; மார்க்கோவ் தொடர்கள், மருத்துவத்திலும் உயிரியலிலும் உயிர்க்கலன்களை ஒப்புருவாக்கம் செய்வதில் முதன்மையானவை.

கணினிகளின் கண்டுபிடிப்புக்கு முன்னர், எண்சார் முறைகள் பெரிய அச்சிட்ட பட்டியல்களில் அமையும் தரவுகளைப் பயன்படுத்தும் கைம்முறை இடைக்கணித்தலாகவே இருந்தது. மாறாக, 20 ஆம் நூற்றாண்டின் இடைப்பகுதியில் இருந்து கணினிகள் தேவைப்படும் சார்புகளின் கணக்கீடுகளைச் செய்கின்றன. என்றாலும், நுண்கலனச் சமன்பாடுகளுக்கான அதே இடைக்கணிப்பு வாய்பாடுகள் மென்பொருள் படிமுறைத் தீர்வுகளிலும் பயன்கொள்ளப்படுகின்றன.

பொது அறிமுகம்
எண்சார் பகுப்பியலின் பொதுவான இலக்கு, அரிய சிக்கல்களுக்கு தோராயமான, பேரளவுக்குத் துல்லியமான தீர்வுகலைத் தரும் நுட்பங்களை வடிவமைத்துப் பயன்படுத்தலே ஆகும். இப்பயன்பாடுகளின் வகைகள் கீழே தரப்படுகின்றன:

  எண்சார் வானிலையியல் முன்கணிப்பு செய்வதற்கு வளர்நிலை எண்சார் முறைகள் இன்றியமையாதவை.
 விண்கல இயங்கு வழித்தடத்தை கணிக்க, நுண்கலனச் சமன்பாடுகளின் எண்சார் தீர்வு தேவையாகிறது.
 சீருந்து மோதல்களைக் கணினிவழி ஒப்புருவாக்கத்தால் பகுத்தாய்ந்து சீருந்துக் குழுமங்கள் சீருந்தின் மொத்தல் பாதுகாப்பை உறுதிபடுத்த முடியும். இது பகுதி நுண்கலனச் சமன்பாடுகளை எண்சார் முறைகளால் தீர்வு காண்பதால் இயலுகிறது.
தனியார் முதலீட்டு நிதியான எட்சு நிதி, இருப்பையும் சார்ந்த கொணர்வுகளையும் மற்ற சந்தைப் பங்குதார்ர்களைவிட துல்லியமாகக் கணிக்க அனைத்துத் துறைகளிலும் உள்ள எண்சார் பகுப்பியல் கருவிகளைப் பயன்படுத்துகிறது.
பயணச்சீட்டு விலை, எரிமத் தேவை, வானூர்தி, பணியாளர் பணி ஆய்வுக்கு நுட்பம் வாய்ந்த உகப்புநிலையாக்க படிமுறைத் தீர்வுகளைப் பயன்படுத்துகின்றன. வரலாற்றியலாக, இத்தகைய படிமுறைத் தீர்வுகள் செயல்முறை ஆராய்ச்சிப் புலத்துடன் இணைந்து வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன.
காப்பீட்டுக் குழுமங்களும் தம் துறையின் மெய்ந்நிலை நிதிப் பகுப்பாய்வுக்கு எண்சார் முறைகளைப் பயன்படுத்துகின்றன.

பின்வரும் பிற பிரிவுகள் எண்சார் பகுப்பியலின் பல முதன்மை வாய்ந்த கருப்பொருள்களை கோடிட்டுக் காட்டுகின்றன.

வரலாறு

கணினியின் கண்டுபிடிப்புக்குப் பல நூற்றாண்டுக்கு முன்பில் இருந்தேஎண்சார் பகுப்பியல் புலம் இருந்து வருகிறது. நேரியல் இடைக்கணிப்பு 2000 ஆயிரம் ஆண்டுகட்கு முன்னரே பயன்பாட்டில் உள்ளது. கடந்தகால பெரும் கணிதவியலாளர்கள் அனைவரும் இப்புலத்தைப் பயன்படுத்தி வந்தது, நியூட்டனின் முறை, இலாகுரேஞ்சு விளக்கப் பல்லுறுப்புக் கோவை, காசிய நீக்கம், ஆயிலரின் முறை போன்ற முதன்மையான படிமுறைத் தீர்வுகளின் பெயர்களில் இருந்தே புலப்படுகிறது.

கைக்கணிப்புகளை எளிமையாக்க, இடைக்கணிப்புப் புள்ளிகள், சார்புகளின் கெழுக்கள்,போன்ற தரவுகள் சார்ந்த பட்டியல்களும் வாய்பாடுகளும் அடங்கிய பெரிய நூல்கள் வெளியிடப்பட்டன.  இந்தப் பட்டியல்களைப் பயன்படுத்தி, சில சார்புகளுக்கு 16 அல்லது அதற்கும் மேற்பட்ட புள்ளிகள் வரை கணக்கிட்டு உரிய வாய்பாடுகளில் பயன்படுத்தப்பட்டன. இம்முறையால் சில சார்புக்ளுக்கு மிகவும் நெருங்கிய எண் மதிப்பீடுகளை அடைய முடிந்துள்ளது. கணினிகளின் பயனுக்குப் பின், சார்புகளின் மதிப்புகள் பயனற்றுப் போயினும் , எண்ணற்ற வாய்பாடுகளின் அரிய பட்டியல்கள் கணினிகள் செயல்பட நன்கு பயன்படுகின்றன.

கைக்கணிப்புகளுக்கென எந்திரக் கணிப்புக் கருவிகளும் உருவாக்கப்பட்டன. இவையே 1949 களில் மின்னனியல் கணினிகளாகப் படிமலர்ந்தன. அப்பொது இந்தக் கணினிகள் ஆட்சிப்பணி நோக்கங்களுக்கும் பயன்படலாயின.  கணினி வழியாக நீளமானது அருஞ்சிக்கலானதுமான கணிப்புகளைச் செய்ய முடிந்த்தால், கணினியின் கண்டுபிடிப்பு எண்சார் பகுப்பியலின்பாலும் பெருந்தாக்கம் விளைவித்தது.

நேரடி, பன்மடிக் (பன்னிக்) கணிப்பு முறைகள்

  நேரடி, பன்மடிக் கணிப்பு முறைகள்

 x இன் அறியாத மதிப்புக்கு. 
3x3 + 4 = 28 எனும்
கணக்கின் தீர்வைக் கருதுக.

 + நேரடி முறை
     3x3 + 4 = 28.
   கழிக்க, 4  3x3 = 24.
   3 ஆல் வகுக்க  x3 =  8.
   முப்படி மூலங்களைக் கண்டுபிடிக்க  x =  2.


பன்மடிக் கணிப்பு முறைக்கு இருவெட்டு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம். f(x) = 3x3 − 24. தொடக்கநிலை மதிப்புகள் a = 0, b = 3, ஆகும். f(a) = −24, f(b) = 57.

 + பன்மடிக் கணிப்பு முறை
   a  b  நடு  f(நடு)
   0  3  1.5  −13.875
   1.5  3  2.25  10.17...
   1.5  2.25  1.875  −4.22...
   1.875  2.25  2.0625  2.32...


இந்த அட்டவணையில் இருந்து தீர்வு 1.875 க்கும் 2.0625 க்கும் இடையில் உள்ளதை அறியலாம். படிமுறைத் தீர்வு 0.2 பிழைக்கும் குறைந்த மதிப்பில் எந்த எண்ணிலும் முடியலாம்.

 சிறுகூறாக்கலும் எண்சார் தொகுத்தலும் 


இரண்டு மணி நேரப் பந்தயத்தில்,  மூன்று இடைவெளிகளில் சீருந்து ஒன்றின் வேகத்தை அளந்து கீழ்வரும் பட்டியலில் பதிவிடப்பட்டுள்ளது.

 நேரம் 0:20  1:00  1:40 கிமீ/ம 140   150   180

சிறுகூறாக்கல் என்பது சீருந்தின் வேகம்  0:00 முதல் 0:40 வரை நிலையாகவும் அப்புறம் 0:40 முதல் 1:20 வரை நிலையாகவும் இறுதியாக, 1:20 முதல் 2:00 வரை நிலையாகவும் உள்ளதாக கருதுதலாகும்.எடுத்துகாட்டாக, முதல் 40 மணித்துளிகளில் சென்ற தொலைவு தோராயமாக, (2/3 ம × 140 கிமீ/ம) = 93.3 km. இம்மதிப்பீட்டின்படி, சென்ற மொத்த தொலைவு 93.3 கிமீ + 100 கிமீ + 120 கிமீ = 313.3 கிமீ ஆகும். இது எண்சார் தொகுத்தல் முறைக்கான எடுத்துகாட்டாகும். கீழுள்ள முறையைக் காண்க. விரைவு இடப்பெயர்ச்சியின் தொகுத்தல் என்பதால் இரீமான் கூட்டுத்தொகையைப் பயன்படுத்திய எண்சார் முறையைக் காணலாம்.

பதமிலாத கணக்கு:  என்ற சார்பைக் கருதுக. f(1.1) = 10 ஆகவும் f(1.001) = 1000 ஆகவும் உள்ள நிலையில், x இன் மதிப்பில் 0.1 க்கும் குறைவான மாற்றம் f(x) இன் மதிப்பில் 1000 க்கும் அருகன மாற்றத்தை விளைவிக்கிறது. f(x) மதிப்பை x = 1 க்கு அருகில் மதிப்பிடல் ஒரு பதமிலாத கணக்காகிறது.

நற்பதக் கணக்கு: மாறாக, அதே சார்பை  x = 10 க்கு அருகில் மதிப்பிடல் ஒரு நற்பதக் கணக்காகிறது. எடுத்துகாட்டாக, f(10) = 1/9 ≈ 0.111 ஆகவும் f(11) = 0.1 ஆகவும் உள்ள நிலையில் a modest change in xஇன் மிதமான மாற்றம் f(x) இல் மிதமான மாற்றத்தை விளைவிக்கிறது.

நேரடி முறைகள் குறிப்பிட்ட படிநிலைகளில் கணக்குக்கான தீர்வை எட்டுகிறது. இவை முடிவிலாத துல்லியமான எண்சார் முறையைக் கையாண்டால், துல்லியமான விடையைக் கொடுக்கின்றன. எடுத்துகாட்டுகளாக,  காசிய நீக்கம், நேரியல் சமன்பாட்டு அமைப்புகளின் தீர்வுக்கான QR காரணியாக்கம் நேரியல் நிரலாக்கம் எனும் எளிய முறை ஆகியவற்ரைக் கூறலாம்.  நடைமுறையில், வரம்புறு துல்லியம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. விளைவு, உண்மத் தீர்வுக்கு நெருக்கமான தோராய தீர்வு (நிலைப்பான நிலையின்போது) கிடைக்கிறது.

பயன்பாடுகள்

எண்சார் பகுப்பியல் புலம் பல உட்புலங்களைக் கொண்டதாகும். அவற்றில் முதன்மையானவை பின்வருமாறு:

சார்புகளின் மதிப்புகளைக் கணித்தல்

 உட்கணித்தல்: 1:00 மனியளவில் 20 பாகை செல்சியசுவாகவும் 3:00 மணியளவில் 14 பாகை செல்சியசுவாகவும் அமைவதாக நோக்கப்பட்டது. இந்த்த் தரவின்படியான ஒரு நேரியல் இடைக்கணிப்பு,  2:00 மணியளவில் 17 பாகையையும் 1:30 மணியளவில் 18.5 பாகையையும் தரும்.
வெளிக்கணித்தல்: ஒரு நாட்டின் நிகரத் தன்னாட்டு விளைபொருள் மதிப்பு ஓராண்டுக்கு 5 % அளவில் உயர்ந்தால், கடந்த ஆண்டு 100 பில்லியன் டாலராக இருந்திருந்தால், இந்த ஆண்டு அது 105 பில்லியன் டாலராக இருக்கும்.
ஒட்டுறவு ஆய்வு: ஒட்டுறவு ஆய்வில், 'n புள்ளிகளில் மதிப்புகள் தரப்பட்டால், அந்த n'' புள்ளிகளிலும் அமையும்படி ஒட்டுறவு வரைவை வரைகிறோம்.
உகப்புபடுத்தல்:  ஒரு பழச் சாற்ருக் கடையில் எலுமிச்சஞ் சாற்றை  $1 விலையில் 197 குவளைகள் விற்றால், ஒவ்வொரு$0.01 விலையை ஏற்றும்போதும் ஒரு குவளை சாறு கூடுதலாக விற்குமானால்,  $1.485 விலையில் பண ஈட்டம் பெருமமானால், சில்லரைத் தட்டுபாட்டால் முழு செண்டு விலையில் மட்டுமே விற்றால்,  $1.48 அல்லது $1.49  விலையில் குவளைச் சாற்றை விற்பது பெரும வருமானமாக ஒருநாளைக்கு $220.52  டாலர்கள் கிடைக்கும்.


நுண்கலனச் சமன்பாடு: ஒர் அரையில் இருந்து மற்றோர் அறைக்கு 100 விசிறிகளால் காற்றை வீசும்போது, அதில் ஓர் இறகை பறக்கவிடுவதாக்க் கொள்வோம். அப்போது என்ன நடக்கும்? இறகு கற்றோட்டத்தைச் சிக்கலான வழித்தட்த்தைப் பின்பற்றும். ஓர் எளிய தோராயமாக, ஒவ்வொரு நொடியிலும் இறகு அருகில் அமையும் காற்று வீசும் வேகத்தை அளந்து, அந்த ஒருநொடியில் இறகு அதே வேகத்தில் நேர்க்கோட்டில் முன்னேறுவதாகவும் ஒப்புருவாக்கம் செய்யலாம். அடுத்த நொடியிலும் இதைத் தொடரலாம். இது ஆயிலர் முறையில் இயல்பான நுண்கலனச் சமன்பாட்டுக்கான தீர்வுகாணும் முறையாகும்.

மேற்கோள்கள்

வெளியிணைப்புகள்

இதழ்கள்
Numerische Mathematik, volumes 1-66, Springer, 1959-1994 (searchable; pages are images).  
Numerische Mathematik at SpringerLink , volumes 1-112, Springer, 1959–2009
SIAM Journal on Numerical Analysis, volumes 1-47, SIAM, 1964–2009

மென்பொருளும் நிரலும்
Lists of free software for scientific computing and numerical analysis   
Numerical methods for Fortran programmers
Java Number Cruncher features free, downloadable code samples that graphically illustrate common numerical algorithms
Excel Implementations 
Several Numerical Mathematical Utilities (in Javascript)

இணைய வாசிப்புகள்
Numerical Recipes, William H. Press (free, downloadable previous editions)
First Steps in Numerical Analysis , R.J.Hosking, S.Joe, D.C.Joyce, and J.C.Turner
Numerical Analysis for Engineering, D. W. Harder
CSEP (Computational Science Education Project) , U.S. Department of Energy

இணைய பாட நூல்கள்
Numerical Methods, Stuart Dalziel University of Cambridge
Lectures on Numerical Analysis, Dennis Deturck and Herbert S. Wilf University of Pennsylvania
Numerical methods , John D. Fenton University of Karlsruhe
Numerical Methods for Science, Technology, Engineering and Mathematics, Autar Kaw University of South Florida
Numerical Analysis Project, John H. Mathews California State University, Fullerton
Numerical Methods - Online Course , Aaron Naiman Jerusalem College of Technology
Numerical Methods for Physicists, Anthony O’Hare Oxford University
Lectures in Numerical Analysis , R. Radok Mahidol University
Introduction to Numerical Analysis for Engineering , Henrik Schmidt Massachusetts Institute of Technology

பகுப்பு:இயற்பியல்
பகுப்பு:பகுவியல்
பகுப்பு:கணிமை அறிவியல்