உள் ஈட்டு விகிதம்

உள் ஈட்டு விகிதம் (internal rate of return -IRR ) என்பது முதலீட்டு வரவு செலவுத் திட்டத்தில் (capital budgeting) முதலீட்டின் (investment) லாபத்தைக் (profitability) கணக்கிடவும் ஒப்புநோக்கவும் பயன்படும் ஈட்டு விகிதமாகும் (rate of return). இது கழிவு செய்யப்பட்ட காசொழுக்கு ஈட்டு விகிதம் (discounted cash flow rate of return) (DCFROR) என்றும் அல்லது எளிமையாக கூறுவதென்றால் ஈட்டு விகிதம் (ROR)திட்டப் பொருளியல் மற்றும் முடிவுப் பகுப்பாய்வு, தொகுதி I: தீர்வு மாதிரிகள், எம்.ஏ.மெயின், பக்கம் 269 என்றும் அழைக்கப்படும். சேமிப்பு மற்றும் கடன் விவகாரங்களில் உள் ஈட்டு விகிதம் நடப்பு வட்டி விகிதம் (effective interest rate)என்றும் அழைக்கப்படும். இதனைக் கணக்கிடும்போது, வட்டி விகிதம் மற்றும் பணவீக்கம் போன்ற சூழல் சார்ந்த கூறுகள் பொருட்படுத்தப்படுவதில்லை என்பதையே உள் (internal) என்னும் சொல் குறிக்கிறது. 

 வரையறை 
ஒரு முதலீடு அல்லது நிலையான முதலீடு மீதான உள் ஈட்டு விகிதம் என்பது செய்யப்பட்ட முதலீட்டிலிருந்து பெறக்கூடிய வருடாந்திர கூட்டு ஈட்டு விகிதம் (annualized effective compounded return rate) ஆகும்.

பலரும் அறிந்த வகையில், உள் ஈட்டு விகிதம் என்பது முதலீட்டுச் செலவிலிருந்து முதலீட்டுப் பயன்களை அடையும் வட்டி விகிதம் எனலாம். முதலீட்டிலிருந்து பெறப்படும் பயன்கள் யாவும் பணத்தின் கால மதிப்பில் (time value of money) உள்ளடங்கியது என்பதும், முதலீடு இந்த வட்டி விகிதத்தில் பூஜ்ஜிய நிகர நிகழ் மதிப்புடையது (net present value) என்பதும் இதற்குப் பொருளாகும்.

 பயன்கள் 

முதலீட்டின் உள் ஈட்டு விகிதம் என்பது ஒரு விகித அளவு என்பதால் திறன், தரம் அல்லது விளைச்சலைக் (yield) குறிப்பதாக இது உள்ளது. முதலீட்டின் மதிப்பு மற்றும் அளவைக் (magnitude) குறிக்கும் நிகர நிகழ் மதிப்பிலிருந்து இது வேறுபட்டது. 

ஒரு முதலீட்டின் உள் ஈட்டு விகிதம் ஏற்கனவே நிறுவப்பட்ட ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்க குறைந்தபட்ச ஈட்டு விகிதத்தை (minimum acceptable rate of return) விட பெரிதாக இருக்கும்போது அம்முதலீடு ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கதாகக் கருதப்படுகிறது. பங்குதாரர்களை உடைய ஒரு நிறுவனம் முதலீடு செய்யக் கருதும்போது இந்த குறைந்தபட்ச விகிதம் முதலீட்டின் மூலதன விலையாகிறது. (மாற்று முதலீடுகளின் இடர்காப்பு செய்யப்பட்ட (risk-adjusted) மூலதன விலையே இதை நிர்ணயிக்கிறது) பொதுவாக, ஒரு முதலீட்டில் மூலதன விலைக்கான உள் ஈட்டு விகிதம் அதிகமாக இருப்பது, அந்நிறுவனத்தின் மதிப்பைக் கூட்டுகிறது, (அதாவது. லாபகரமானது) இது பங்குதாரர்களின் ஆதரவு முதலீட்டிற்கு உள்ளது என்பதை உறுதி செய்கிறது. 

 கணக்கிடுதல் 

ஒரு திட்டத்தின் காலம் மற்றும் காசொழுக்கு (cash flow) இணையின் தொகுதியில், உள் ஈட்டு விகிதம், நிகர நிகழ் மதிப்பிலிருந்து (net present value) ஈட்டு விகிதத்தின் சார்புமுறை எண்ணாகத் தொடர்கிறது. ஒரு ஈட்டு விகிதத்திற்கான சார்பு முறை எண் (function) பூஜ்ஜியமாயிருப்பின் அது உள் ஈட்டு விகிதமாக இருக்கும்.

காலம், காசொழுக்கு (period, cash flow) இணைகளில் (, )  என்பது நேர் முழு எண்ணாகவும் (positive integer),  என்பது என்பது காலத்தின் கூடுதல் எண்ணாகவும் (total number of periods)  நிகர நிகழ் மதிப்பாகவும் (net present value), இருப்பின், உள் ஈட்டு விகிதம்  பின்வரும் வாய்ப்பாட்டால் அறியப்படும்:

காலம் என்பது பொதுவாக வருடங்களில் கொடுக்கப்பட்டிருக்கும். ஆனால், வரையறுக்கப்பட்ட காலத்தைக் கொண்டு  கணக்கிடப்படுமேயானால் கணக்கீடு எளிதாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, பெரும்பாலும் காசொழுக்கு மாத இடைவெளியில் நிகழுமேயானால், மாதங்களைக் கொண்டு கணக்கிடப்படும். பின்னர் இதனை வருடாந்திர அடிப்படையில் மாற்றிக் கொள்ளலாம். 

எந்த ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்தையும் நிகழ் காலத்திற்குப் பதிலாகப் பயன்படுத்தலாம் (எடுத்துக்காட்டாக, ஆண்டுத்தொகையில் (annuity) ஒரு இடைவெளி முடிவு). நிகர நிகழ் மதிப்பு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மட்டுமே, பெறப்படும் மதிப்பும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்.

காசொழுக்குகள், வாழ்நாள் ஆண்டுத்தொகை (life annuity) போல, இயைபில்லா மாறிகளாக (random variables), இருக்கும்போது எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்புகள் மேற்கண்ட வாய்பாட்டில் பொருத்தப்படும். 

பலமுறை  இன் மதிப்பு ஆய்வடிப்படையில் (analytically) அறிய முடியாததாக உள்ளது. இந்நிகழ்வில் எண்ணியல் முறைகள் (numerical methods) அல்லது விளக்க முறைகளே (graphical methods) பயன்படுத்தப்பட வேண்டும்.

 எடுத்துக்காட்டு 

ஒரு முதலீட்டில் காசொழுக்கின் நிரல் (sequence) பின்வருமாறு இருக்குமேயானால் 

 வருடம் () காசொழுக்கு  ()  0  -4000  1  1200  2  1410  3  1875  4  1050

உள் ஈட்டு விகிதமானது  பின் வரும் வாய்ப்பாட்டால் அறியப்படும்:

.

இந்நிகழ்வில் உள் ஈட்டு விகிதம் 14.3% ஆகும்.

 எண்ணியல் தீர்வு 
மேற்கண்டவையானது பொதுவாக  வாய்ப்பாட்டின் மூலத்தைக் (roots) கண்டறியும் விளக்கம் ஆகும். இவற்றிலுள்ள பலவகையான எண்ணியல் முறைகளின் (numerical methods) மூலமாக ஐ மதிப்பிட முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, சீகன்ட் முறையைப் (secant method) பயன்படுத்தி  இன் மதிப்பினைப் பின்வரும் வாய்ப்பாட்டின் மூலம் அறியலாம். 

.

இதில்  என்பது உள் ஈட்டு விகிதத்தில் வது ஒத்திருப்பாகக் (approximation) கொள்ளப்படும்.

இந்த வாய்ப்பாட்டிற்கு, தொடக்கத்தில் இரு தனிப்பட்ட உள் ஈட்டு விகிதம் மற்றும் நிகர நிகழ் மதிப்பு இணைகள் ( மற்றும் ) தேவைப்படும். இது பின்வரும் நிரலினை உருவாக்கும். 

அது  ஆக  உடன் குவியும் (கோன்வேர்கே). இந்நிரல் குவிந்தால், வாய்ப்பாட்டின் இரட்டுறுத்தல் (iterations of the formula) முடிவில்லாமல் தொடர்ந்து நிகழும். இதன் மூலம் விதிக்கட்டில்லாத துல்லியத்துடன் (arbitrary degree of accuracy)  ஐக் கண்டறிய முடியும்.

நிரலின் குவியும் தன்மையானது பின்வருமாறு அமையும்:

  என்பதில் ஒரே ஒரு உண்மை மூலம் (real root ) இருப்பின், நிரல் பெருக்கத்துடன்  ஐ நோக்கிக் குவியும்.
  என்பதில்  உண்மை மூலங்கள் (real roots)  இருப்பின், நிரல்நிறை ஏதாவது ஒரு மூலத்தை நோக்கிக் குவியும். துவக்க இணைகளின் மதிப்புகளை மாற்றினால் எம்மூலத்தை நோக்கிக் குவிகிறதோ அம்மூலமும் மாறும்.
  என்பதில் உண்மை மூலங்கள் ஏதுமில்லையெனில் நிரல்நிறை முடிவின்மையை (infinity) நோக்கிக் குவியும்.

 ஐ நோக்கிக் குவிவது பின்வரும் நிகழ்வில் விரைந்து நடைபெறும்:
Having  when  or  when 

 உள் ஈட்டு விகிதத்தைப் பயன்படுத்துவதில் உள்ள இன்னல்கள் 
தனிப்பட்ட ஒரு திட்டத்தில் முதலீடு செய்வதன் மதிப்பு குறித்து முடிவெடுக்க மட்டுமே உள் ஈட்டு விகிதத்தைப் பயன்படுத்தலாம். வேறுபட்ட திட்டங்கள் (mutually exclusive projects) குறித்து முடிவெடுக்க. கணக்கிடப்பட்ட உள் ஈட்டு விகிதத்தைப் பயன்படுத்துதல் கூடாது . 

ஒரு திட்டம், பிறிதொரு வேறுபட்ட திட்டத்துடன் ஒப்புநோக்க. அதிக முதலீடு கொண்டதாக இருந்தால் அத்திட்டம் குறைந்த உள் ஈட்டு விகிதத்தைக் கொண்டதாகவும் அதிக நிகர நிகழ் மதிப்பு கொண்டதாகவும் இருக்கலாம். எனவே, மூலதன இடையூறுகள் இல்லாத பட்சத்தில், அத்திட்டமே ஏற்றுக்கொள்ளப்படவேண்டும். 

உள் ஈட்டு விகிதம், திட்ட காலத்தில் நேரான காசொழுக்கு இருக்கும் என்ற அடிப்படையில் இயங்குகிறது. 
நேர் காசொழுக்குகள் திட்டத்தில் மறு முதலீடு செய்யப்பட்டால், பொருத்தமான மறு முதலீட்டு விகிதம் தேவைப்படுகிறது. மறு முதலீட்டு காசொழுக்கைக் கணக்கிடவும் அதன் மூலம் உள் ஈட்டு விகிதத்துடன் காசொழுக்குகளையும் மறு முதலீடு செய்யவும் இது தேவையாகிறது. 
கணக்கிடப்பட்ட உள் ஈட்டு விகிதம், இடைப்பட்ட காசொழுக்குகளுக்கான உண்மையான மறு முதலீட்டு விகிதத்திலிருந்து வேறுபடுமேயானால், அந்த அளவீடு துல்லியமாக திட்டத்தின் ஆண்டு வருவாயைக் காட்டும். இடைப்பட்ட காசொழுக்குகளை முதலீடு செய்ய, கவர்ச்சிகரமான வாய்ப்புகளைக் கொண்ட பிற திட்டங்கள் நிறுவனத்திடம் இருக்கக்கூடும்.

இதுவே, துணிகர முதலீடு (venture capital) மற்றும் தனியார் பங்கு (private equity) முதலீடு முதலியவற்றைத் தேர்ந்தெடுக்க, உள் ஈட்டு விகிதத்தைப் பொருத்தமானதும் பிரபலமானதும் ஆக மாற்றுகிறது. ஏனெனில் இவ்வுத்திகளுக்கு திட்டக் காலம் முழுமைக்கும் பலவிதமான பண முதலீடுகளும் திட்ட இறுதியில் மட்டுமே பண வெளியேற்றமும் நடைபெறுதல் வேண்டும். (எடுத்துக்காட்டாக, IPO அல்லது M&A) வழியாக) 

உள் ஈட்டு விகிதம் முதலீட்டின் விலையைக் (cost of capital) கணக்கில் கொள்ளாததால், இதை வெவ்வேறு கால அளவுடைய திட்டங்களை ஒப்புநோக்கப் பயன்படுத்துதல் கூடாது. மாற்றம் செய்யப்பட்ட உள் ஈட்டு விகிதம் (Modified Internal Rate of Return - MIRR) முதலீட்டின் விலையைக் கணக்கிலெடுத்துக் கொள்வதுடன் நிறுவனத்தின் கழிவு செய்யப்பட்டக் காசொழுக்குகளை உருவாக்குவதில் திட்டத்தின் திறனையும் சுட்டிக் காட்டுகிறது. 

எதிர் காசொழுக்குகளைத் (+ + - - -) தொடரும் நேர் காசொழுக்குகளில் உள் ஈட்டு விகிதம் பன்மை மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கக்கூடும். இதில் இரவல் காசொழுக்கிற்கு கழிவு செய்யப்பட்ட விகிதத்தைப் பயன்படுத்தி முதலீட்டுக் காசொழுக்கிற்கான உள் ஈட்டு விகிதத்தைக் கணக்கிடலாம். எடுத்துக்காட்டாக, குறிப்பிட்ட இயந்திரம் ஒன்றை நிறுவும் முன் நுகர்வோர் ஒருவர் முதலீடு செய்வதற்கு இது பொருந்தும். 

(-10, 21, -11) போன்ற தொடர் காசொழுக்குகளில் முதலில் ஒருவர் பணத்தை முதலீடு செய்கிறார். இதில் அதிக ஈட்டு விகிதம் சிறந்தது. பிறகு ஒருவரிடம் உள்ளதைக் காட்டிலும் அதிகம் கிடைக்கிறது. பிறகு ஒருவர் கடனாளியாகிறார். எனவே, இப்போது குறைந்த ஈட்டு விகிதமே சிறந்தது. இந்நிகழ்வில், அதிக உள் ஈட்டு விகிதம் சிறந்ததா அல்லது குறைந்த உள் ஈட்டு விகிதம் சிறந்ததா என்பது தெளிவாக விளங்குவதில்லை. 0% அல்லது 10% என, ஒரே திட்டத்திற்குப் பல உள் ஈட்டு விகிதங்கள் இருக்கக் கூடும். பொதுவாக, திட்ட இறுதியில் அதிகப் பண வெளியேற்றம் இருக்கக் கூடிய சுரங்கங்கள் (strip mines) மற்றும் மின்னணு (nuclear power) உலைகள் இதற்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகும். 

பொதுவாக, பல்லுரு சமன்தொடருக்கு (polynomial equation) விடைகாண்பதன் மூலம் உள் ஈட்டு விகிதத்தைக் கணக்கிடலாம். ஸ்டுர்ம்மின் தேற்ற வாய்ப்பாட்டைப் (Sturm's theorem) பயன்படுத்தி அவ்வாய்ப்பாட்டிற்கு தனிப்பட்ட உண்மைத் தீர்வு உள்ளதா என்பதைக் கண்டறியமுடியும். பொதுவாக, உள் ஈட்டு விகித வாய்ப்பாட்டிற்கு பகுப்பாய்வு (analytical) மூலம் தீர்வு காண முடியாது. இரட்டுறுத்தல் (iteration) மூலமே முடியும். 

ஒரு திட்டத்தில் பல உள் ஈட்டு விகிதங்கள் இருப்பின், மறு முதலீட்டின் பயன்களுடன் சேர்த்து உள் ஈட்டு விகிதத்தைக் கணக்கிடுவது எளிது. எனவே, பொதுவாக திட்ட முதலீட்டு விலைக்குச் சமமான, ஊகிக்கப்பட்ட மறுமுதலீட்டு விகிதமுள்ள, மாற்றம் செய்யப்பட்ட உள் ஈட்டு விகிதம் (MIRR) பயன்படுத்தப்படும். 

கல்விச்சூழலில் நிகர நிகழ் மதிப்பு செல்வாக்குப் பெற்றிருந்தாலும், செயலாளர்கள் (executives) நிகர நிகழ் மதிப்பை (NPV)போக், எம்.(2004). முதலீட்டு மதிப்பீடு: ஒரு புதிய அணுகுமுறை. மேலாண் தணிக்கை இதழ்.தொ. 19 எண். 4, 2004. பக்கங்கள். 565-570 விட உள் ஈட்டு விகிதத்தையே உகந்ததாகக் கொள்கின்றனர் என்பதை ஆய்வுகள் காட்டுகின்றன. நிகர நிகழ் மதிப்பு டாலர்களைக் கொண்டு வெவ்வேறு அளவிலான முதலீடுகளை ஒப்பிடுவதை விட, ஈட்டு விகித சதவிகிதத்தைக் கொண்டு ஒப்பிடுவதையே மேலாளர்கள் எளிதாகக் கருதுவது வெளிப்படை. ஆயினும், நிகர நிகழ் மதிப்பு தொழிலின் மதிப்பைத் "துல்லியமாகக்" காட்டுவதாக உள்ளது. மூலதனத் தாக்கம் உடைய சூழல்களில், முதலீட்டின் திறனை நுண்மையாக அளவிட உள் ஈட்டு விகிதம் உதவுகிறது. ஆயினும், ஒன்றுடன் ஒன்று மாறுபட்ட திட்டங்களை (mutually exclusive projects) ஒப்புநோக்க நிகர நிகழ் மதிப்பே சரியான அளவீடாகும்.

 கணக்கியல் 
கணக்கியல்படி, சில ஈட்டு விகிதங்களுக்கேற்ப (-100% ஐ விட அதிகமான மதிப்புகள்), முதலீட்டின் மதிப்பு, தடைப்பட்ட காசொழுக்குகளுடன், பெரும் வளர்ச்சியையோ அல்லது வீழ்ச்சியையோ பெறும் எனக் கருதப்படுகிறது. காசொழுக்கு நிரலொன்றின் உள் ஈட்டு விகிதம் என்பது பூஜ்ஜிய நிகர நிகழ் மதிப்பை அடையும் ஒரு ஈட்டு விகிதமாக, அல்லது இறுதிக் காசொழுக்கிற்குப் பிறகு சரியான பூஜ்ஜிய மதிப்பைப் பெறும் ஈட்டு விகிதமாக வரையறுக்கப்படும்.

ஆகவே, உள் ஈட்டு விகிதம் (விகிதங்கள்), நிகர நிகழ் மதிப்பினைத் தொடர்ந்து ஈட்டு விகிதத்தின் சார்பு முறை எண்ணாக அமைகிறது (அமைகின்றன). இச்சார்பு முறை எண் தொடர்ச்சியானது. -100% ஈட்டு விகிதத்தை நோக்கி நிகர நிகழ் மதிப்பு, இறுதிக் காசொழுக்கின் தோற்றத்துடன், முடிவிலியை நெருங்குகிறது. நேர் முடிவிலியின் (positive infinity) ஈட்டு விகிதத்தை நோக்கிச் செல்லும் நிகர நிகழ் மதிப்பு முதல் காசொழுக்கை (தற்போதுள்ளதை) நெருங்குகிறது. எனவே, முதல் மற்றும் இறுதிக் காசொழுக்குகள் வெவ்வேறு குறியீடுகளைக் (signs) கொண்டிருந்தால் அங்கே உள் ஈட்டு விகிதம் உள்ளது எனப் பொருள். உள் ஈட்டு விகிதம் இல்லாத நேர் நிரலுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்:

 எதிர்மறைக் காசொழுக்குகள் (negative cash flows) மட்டும் - எல்லா ஈட்டு விகிதங்களுக்கும் நிகர நிகழ் மதிப்பு எதிர்மறையாக இருத்தல்
 (-1, 1, -1), இரு எதிர்மறைக் காசொழுக்குகளுக்கு இடையேயான சிறிய நேர் காசொழுக்கு; 1/(1+r ) என்பதன் நிகர நிகழ் மதிப்பு இருவிசைப்படிம சார்புமுறை எண் (quadratic function), (=x-axis intercept) இதில் r என்பது ஈட்டு விகிதம், வேறு விதமாகக் கூறின், கழிவு விகிதம் (discount rate) r /(1+r ) என்பதன் இருவிசைப்படிம சார்புமுறை எண்; r = 100% என்பதன் அதிகபட்ச நிகர நிகழ் மதிப்பு -0.75.

நேர் காசொழுக்குகளை மட்டுமே கொண்ட நிரல் பின்தொடரக்கூடிய, எதிர்மறைக் காசொழுக்குகளை மட்டுமே கொண்ட நிரலில், காசொழுக்குகளின் மொத்த மதிப்பை நேர் மற்றும் எதிர்மறையானவற்றின் இடைப்பட்ட ஒரு காலமாக மாற்றிக் கருதுக. இதில் தோன்றும் ஈட்டு விகிதத்தின் சார்புமுறை எண் தொடர்ச்சியானதும், நேர் முடிவிலியிலிருந்து எதிர்மறை முடிவிலியை நோக்கி ஒரு சீராகக் குறைவதும் ஆகும். இதனால், பூஜ்ஜிய மதிப்புடைய தனிச் சிறப்பு வாய்ந்த ஈட்டு விகிதம் அமைகிறது. எனவே, உள் ஈட்டு விகிதமும் தனிச் சிறப்பு வாய்ந்ததும் சமமானதுமாகிறது. நிகர நிகழ் மதிப்பு-சார்புமுறை எண் தன்னளவிலேயே ஒரு சீராக தனது தளத்தில் குறைவதில்லை. ஆயினும் உள் ஈட்டு விகிதத்தில் அவ்வாறு நிகழ்கிறது. 

அதேபோல், எதிர்மறைக் காசொழுக்குகளை மட்டுமே கொண்ட நிரல் பின்தொடரக் கூடிய, நேர் காசொழுக்குகளை மட்டுமே கொண்ட நிரலிலும் உள் ஈட்டு விகிதம் தனிச் சிறப்பு வாய்ந்தது. 

 விரிவாக்கப்பட்ட உள் ஈட்டு விகிதம் (Extended Internal Rate of Return): செய்யப்பட்ட முதலீடு காசொழுக்குகளை எந்த விகிதத்தில் தோற்றுவிக்கும் என்பதை உள் ஈட்டு விகிதம் கணக்கிடுகிறது. திட்டம் சிறிய கால அளவினதாக உள்ளபோது இம்முறை வசதியானதாக இருக்கிறது. ஆனால், பல ஆண்டுகளுக்கான முதலீடுகளை (செலவுகளை) உடைய திட்டங்களுக்கு இம்முறை பொருந்துவதில்லை. ஏனெனில், உள் ஈட்டு விகிதம் பணத்தின் கால மதிப்பைப் புறக்கணிக்கிறது. பணத்தின் கால மதிப்பைக் கணக்கில் கொள்ள, விரிவாக்கப்பட்ட உள் ஈட்டு விகிதம் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. இதில் அனைத்து எதிர்காலக் காசொழுக்குகளும் ஒரு கழிவு விகிதத்தில் கழிமானம் செய்யப்பட்ட பிறகு உள் ஈட்டு விகிதம் கணக்கிடப்படுகிறது. இம்முறையில் கணக்கிடப்படும் உள் ஈட்டு விகிதம் விரிவாக்கப்பட்ட உள் ஈட்டு விகிதம் (XIRR) எனப்படுகிறது.

 இவற்றையும் பாருங்கள் 

 ஈட்டு விகிதத்தை கணக்குப்பதிவிடல்
 மூலதன வரவு-செலவுக் கணக்கு
 மூலதன விலை
 கழிவு செய்யப்பட்ட காசொழுக்கு
 மாற்றம் செய்யப்பட்ட உள் ஈட்டு விகிதம்
 நிகர நிகழ் மதிப்பு

{| align="left" 

 குறிப்புகள் 

 மேலும் படிக்க 

 புரூஸ் ஜே. பெய்பல். முதலீட்டுச் செயல்பாட்டு அளவை . நியூ யார்க்: விலி, 2003. .

 வெளி இணைப்புகள் 
 உள் ஈட்டு விகிதத்தைக் கணக்கிட எக்செல்லைப் பயன்படுத்தல்
 உள் ஈட்டு விகிதத்தைக் கணக்கிட இணையத்தைப் பயன்படுத்தல்  
 தெற்கு கரோலினா பல்கலைக் கழகத்திலிருந்து பொருளியல் செயலெதிர் (interactive) விரிவுரை  

பகுப்பு:கணக்கியல் நிதி
பகுப்பு:கூகுள் தமிழாக்கம்-வரவு செலவுத் திட்டம்