வரிசைமாற்றக்குலத்தில் இணையியத்தல்

கணிதத்தில் குலக்கோட்பாட்டில், குறிப்பாக, பரிமாற்றலற்ற குலங்களில், இணை இயத்தல் (Conjugation) என்ற செயல்பாடு குலத்தின் உட்கூறுகளை ஆழ்ந்து நோக்கப் பயன்படுகிறது. இக்கட்டுரை ஒற்றுமை வகுப்பு (Permutation group) இச்செயல்பாட்டைப் பற்றிப் பேசுகிறது.

 இணையியம் 

G ஒரு குலம் என்று கொள்க.  இனுடைய இணையியம் (Conjugate) என்பதற்கு இலக்கணம்:
 ஏதாவதொரு  க்கு, .

எளிதாகவே இணையியத்தல் ஒருசமான உறவு என்று கண்டுகொள்ளலாம்.

 என்ற ஓர் உறுப்புக்கு இணையியமாக உள்ளதையெல்லாம் ஒரு பகுதியில் போட்டால்,  இன் இணையியச் சமானப்பகுதி (Conjugate equivalence class of a)கிடைக்கும். உண்மையில்,

 இன் இணையியச் சமானப்பகுதி = . இதற்குக்குறியீடு: 

 அவதானக் குறிப்பு 

இணையியத்திற்காக உள்ள வாய்பாடு  ஐ நினைவில் வைத்துக்கொள்ள பாமர வழக்கில் ஒரு குறிப்பு:

'கண்களை மூடு; பரம்பொருளை மனதில் நிறுத்து; மூடின கண்களைத்திற'. இதுதான் .

 வரிசைமாற்றக் குலங்களில் எடுத்துக் காட்டுகள் 

  ஐ நோக்குவோம். உறுப்பு  உறுப்பு  இன் இணையியம். ஏனென்றால்,  என்ற உறுப்பு இணையியத்துக்கு வேண்டிய செயல்பாட்டைச் சரிசெய்கிறது. அதாவது,

 =  
 =  ஏனென்றால், 
 =  ஏனென்றால், 

 மறுபடியும்,  இல்,



 இணையியமும் சுழலமைப்பும் 

தேற்றம்:  இல் இரண்டு வரிசைமாற்றங்கள் ஒரே சுழலமைப்புள்ளதாக இருந்தால், இருந்தால்தான், அவை இணையியங்களாக இருக்கும்.

முதலில் 'இருந்தால்தான்' பாகத்தை நிறுவுவோம்.

அதாவது வரிசைமாற்றங்கள்  வையும் அதன் இணையியம்  ஐயும் பார்ப்போம்.

 =  இதன் சுழலமைப்பு  வின் சுழலமைப்புதான்.

மாறாக, 'இருந்தால்' பாகத்தை நிறுவ,   என்ற இரண்டு வரிசைமாற்றங்கள் ஒரே சுழலமைப்பைப் பெற்றிருப்பதாகக் கொள்வோம்.இரண்டும் ஒரேசுழலமைப்பைப் பெற்றிருப்பதால்,அவைகளை பின்வருமாறு குறிகாட்டலாம்:

இப்பொழுது,  வும்  ம் இணையியங்கள் என்று காட்டுவோம்.

 என்ற ஒரு வரிசைமாற்றத்தை பின்வருமாறு வரையறை செய்யலாம்:




 .....

ஆகக்கூடி, இப்பொழுது,  என்பதை எளிதில் சரிபார்ர்த்துவிடலாம். 
 வும்  ம் இணையியங்கள். Q.E.D.

 இவற்றையும் பார்க்கவும் 

இயல்நிலை உட்குலம்

பகுப்பு:குலக்கோட்பாடு
பகுப்பு:சேர்வியல்