உறுப்பு (கணிதம்)

கணிதத்தில் உறுப்பு (element) என்பது ஒரு கணத்தை உருவாக்கும் உருவாக்கும் வெவ்வேறான கணிதப் பொருள்களுள் ஒன்றாகும்.

சில கணங்களின் உறுப்புகளைச் சொற்களால் விரித்துரைக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக: 

A என்பது முதல் நான்கு நேர்ம முழு எண்களை உறுப்புகளாகக் கொண்ட ஒரு கணம். 
B என்பது இந்தியக் கொடியில் உள்ள நிறங்களை உறுப்புகளாகக் கொண்ட ஒரு கணம்.

அதைப் பின்வருமாறு சுருக்கமாகக் குறிக்கலாம்.  
A = {4, 2, 1, 3}
B = {காவி, வெள்ளை, பச்சை, நீலம்}

ஒரு பொருள் ஒரு கணத்தினுள் உள்ள ஓர் உறுப்பு என்றோ அல்லது ஓர் உறுப்பு அல்ல என்றோ குறிக்கக் கீழ்க்காணும் குறிவடிவுகளை முறையே பயன்படுத்தப்படுகிறது: 
 , .

எடுத்தக்காட்டாக, மேலே  A என்னும் கணத்தைப் பார்த்தால் அதில் 4 என்பது A யில் உள்ள ஓர் உறுப்பு என அறியலாம். எனவே அதனைக் கீழ் காணுமாறு குறிக்கப்படுகிறது:

ஆனால் ஒரு பொருள் உறுப்பு அல்ல என்பதைக் கீழ்க்காணுமாறு குறிக்கப்படும்:

கணங்கள்
A = {1, 2, 3, 4} என்பதிலிருந்து கணம் A யின் உறுப்புகளாக   1, 2, 3 and 4 ஆகிய எண்கள் உள்ளன என அறியலாம்.

{1, 2} போன்ற A இன் உறுப்புகளாலான கணங்கள் A இன் உட்கணங்கள் எனப்படும். ஒரு கணத்தின் உறுப்புகளாக கணங்களே அமையலாம். எடுத்துக்காட்டாக ஒரு கணத்தின் அடுக்கு கணத்தின் உறுப்புகள் அனைத்துமே மூல கணத்தின் உட்கணங்களாக இருக்கும்.

 = {x, y, z} இன் அடுக்கு கணம்:
) =Puntambekar (2007), 

குறியீடும் சொல்லியலும்

"இன் ஓர் உறுப்பு", அல்லது  இல் உள்ளது  என்ற ஈருறுப்பு உறவின் குறியீடு  "∈" ஆகும்.

இக்குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி "x ஆனது  A இன் ஓர் உறுப்பு" அல்லது "x ஆனது  A இல் உள்ளது" என்ற கூற்றானது பின்வருமாறு எழுதப்படுகிறது:

ஒருசில கணித நூலாசிரியர்கள்  "A , x ஐ உள்ளடக்கியுள்ளது" and "A , x ஐக் கொண்டுள்ளது" என்ற கூற்றுகளை ஒரு கணத்தின் உறுப்பைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தினாலும் வேறு சிலர் இவற்றை உட்கணங்களுக்கு உரியவையாகக் கருதுகின்றனர். p. 12 தருக்கவியலாளர் ஜார்ஜ் பூலோசு என்பவர் "கொண்டுள்ளது" என்பதை உறுப்புகளுக்கும் "உள்ளடக்கியுள்ளது" என்பதை உட்கணங்களுக்கும் பயன்படுத்த வேண்டுமென வலியுறுத்துகிறார்.

"A , x ஐக் கொண்டுள்ளது" என்பதைக் கீழ்வருமாறு குறிக்கலாம். 

இக்குறியீடு பெரும்பாலும் நடைமுறையில் கையாளப்படுவதில்லை.

"x , A இன் உறுப்பல்ல". என்ற எதிர்மறைக் கூற்றுக் கீழுள்ளவாறு குறியீட்டில் ( "∉") எழுதப்படுகிறது:

 என்பது, கிரேக்க எழுத்து எச்சைலன் ("ε") இன் சிற்றெழுத்து வடிவமாக  அமைந்துள்ளது.

கணங்களின் எண்ணளவை

ஒரு கணத்திலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையானது  அக்கணத்தின்  ”எண்ணளவை” எனப்படுகிறது. மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டு கணங்களில் 
 |A| =  4
 |B| =  3 
 |C| =  3

இவை முடிவுறு கணங்கள். முடிவுறாக கணங்களின் எண்ணளவை முடிவுறா எண்ணாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்
A = {1, 2, 3, 4 }, B = {1, 2, {3, 4}}, C = { சிவப்பு, பச்சை, நீலம் } ஆகிய மூன்று கணங்களில் பின்வரும் கூற்றுகள் உண்மையாகும்:
2 ∈ A
{3,4} ∈ B
3,4 ∉ B
{3,4},  B இன் ஓர் உறுப்பு.
Yellow ∉ C

D = { 2, 4,  8, 10, 12 } இன் எண்ணளவை  5 ஆகும்.
P  = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} ( பகா எண்களின் கணம்) இன் எண்ணளவை முடிவிலி ஆகும்.(இக்கூற்று  யூக்ளிடால் நிறுவப்பட்டது).

மேற்கோள்கள்

மேலதிக வாசிப்புக்கு
 - "Naive" means that it is not fully axiomatized, not that it is silly or easy (Halmos's treatment is neither).

 - Both the notion of set (a collection of members), membership or element-hood, the axiom of extension, the axiom of separation, and the union axiom (Suppes calls it the sum axiom) are needed for a more thorough understanding of "set element".

வெளியிணைப்புகள்

பகுப்பு:கணக் கோட்பாட்டு அடிப்படை கருத்துருக்கள்