இசுட்டெர்லிங் எண்கள்

கணிதத்தில் இசுடர்லிங் எண்கள் (Sterling numbers) இருவகைப்படும். ஒரு n-கணத்தை எத்தனை விதமாகச் சுழல்களாகப் பிரித்துக் காட்டலாம் என்ற பிரச்சினையை முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண்களாலும்,எத்தனை விதமாக உட்கணங்களாகப் பிரித்துக் காட்டலாம் என்ற பிரச்சினையை இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண்களாலும்  ஆய்வு செய்யப்படுகிறது. ஜேம்ஸ் ஸ்டர்லிங் (1692 - 1770) என்ற ஸ்காட்லாந்து நாட்டுக் கணிதவியலர் 1730 இல் தன்னுடைய நூலில் இவைகளை அறிமுகப்படுத்தினார்.  ஆய்லர் எண்கள், ஈருறுப்புக் கெழுக்கள், பெல் எண்கள் -- இவைகளுடன் ஸ்டர்லிங் எண்கள் நெருங்கிய தொடர்பு கொண்டவை.Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) Concrete Mathematics, Addison-Wesley, Reading MA. , p. 244.

முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண்கள்

ஒரு n-கணத்தை k சுழல்களாகப் பிரிக்கக்கூடிய  வழிகளின் எண்ணிக்கை முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண் எனப் பெயர் பெறும்.அதாவது எத்தனை n-திரிபுகள் k சுழல்களாலானவை என்ற கேள்விக்கும் இதே எண்ணிக்கைதான் விடை. இதற்கு ஒரு குறியீடு  s(n,k). இக்கட்டுரையில் 
 என்ற குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவோம்.இதை  n-cycle-k என்றோ n-சுழல்-k என்றோ உச்சரிக்கலாம்.  1930 இல் காராமாடா  என்பவரால் இக்குறியீடு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டு தற்காலத்தில் பரவலாக எங்கும் புழக்கத்திலுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டாக,  = 11

ஏனென்றால், {a,b,c,d} போன்ற ஒரு 4-கணத்தின் இருசுழற்பிரிவுகள்:

 a/bcd;  a/bdc;  b/cda;  b/cad;  c/dab;  c/dba;  d/abc;  d/acb;  ab/cd;  ac/db;  ad/bc

அண்மைக்காலத்தில் இவ்வெண் ஸ்டர்லிங் சுழல் எண் என்ற பெயராலும் குறிக்கப்பட்டு வருகிறது.

முதல்வகை எண்அட்டவணை

  1 2 3 4 5 6 7 1 1  2 1 1 3 2 3 1 4 6 11 6 1 5 24 50 35 10 1  6  120 274 225 85 15 1 7  720 1764 1624 735 175 21 1

இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண்கள்

ஒரு n-கணத்தை k உட்கணங்களாகப் பிரிக்கக்கூடிய  வழிகளின் எண்ணிக்கை இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண் எனப் பெயர் பெறும். இதற்கு ஒரு குறியீடு S(n,k). இக்கட்டுரையில்
  என்ற் குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவோம். இதை n-subset-k என்றோ    n-உட்கணம்-k என்றோ உச்சரிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக,  =  7

ஏனென்றால்,  {a, b, c, d} போன்ற ஒரு 4-கணத்தின் இரு-உட்கணப்பிரிவுகள்:

  {a}/{b,c,d};  {b}/{c,d,a};  {c}{d,a,b}; {d}{a,b,c}; {a,b}/{c,d};  {a,c}/{b,d};  {a,d}/{b,c}.

அண்மைக்காலத்தில் இவ்வெண் ஸ்டர்லிங் உட்கண எண் என்ற பெயராலும் குறிக்கப்பட்டு வருகிறது.

இரண்டாவது வகை எண் அட்டவணை

  1 2 3 4 5 6 7 1 1  2 1 1 3 1 3 1 4 1 7 6 1 5 1 15 25 10 1 6 1 31 90 65 15 1 7 1 63 301 350 140 21 1

சில எளிதான பொதுவிளைவுகள்

  ஆக இருந்தால்  =  .

  ஆக இருந்தால்  = 

  =  = 1

  =  = 

செங்குத்துத்தன்மை உறவுகள்

முதல் வகை, இரண்டாவது வகை ஆகிய இரண்டு ஸ்டர்லிங் எண்களுக்கும், இறங்குமுகக் காரணியத்துடன் உறவுகள் உள்ளன. முதல்வகை ஸ்டர்லிங் எண்ணில்  கொடுக்கப்பட்டுள்ள உறவிலிருந்து,

 (*) .

இரண்டாவதுவகை ஸ்டர்லிங் எண்ணில்  கொடுக்கப்பட்டுள்ள உறவிலிருந்து,

 (**) 

(*)ஐ (**) இல் பொருத்தினால் நமக்குக் கிடைப்பது:

= 

ஆனால்   பல்லுறுப்புகளெல்லாம் சேர்வியல் சார்பற்றவை.

ஃ (செ.உ.1): . இங்கு  .

மாற்றாக, (**)ஐ (*) இல் பொருத்தி, பல்லுறுப்புகள்  x(x-1)(x-2)...(x-n+1) சேர்வியல் சார்பற்றவை என்பதைப் பயன்படுத்தினால், நமக்குக்கிடைப்பது, இதற்கு இணையான் இன்னொரு செங்குத்துத்தன்மை உறவு (Orthogonality Relation):

ஃ (செ.உ.2):

ஸ்டர்லிங் எண்களைப்பற்றிய மற்ற தேற்றங்களையும் மீள்வரு தொடர்புகளையும் முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண், இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண் என்ற தனிக்கட்டுரைகளில் பார்க்கவும்.

மேற்கோள்கள்

பகுப்பு:சேர்வியல்
பகுப்பு:குறிப்பிடத்தக்க எண் வகைகள்
பகுப்பு:முழுஎண் தொடர்வரிசைகள்