இடவியல்

இடவியல்(Topology) (கிரேக்கம் τόπος, இடம், மற்றும் λόγος, படிப்பு) கணிதத்தின் ஒரு பெரிய உட்துறை. அடிப்படைக் கணித அமைப்புகளுக்குக் குந்தகமில்லாமல் வடிவவியல் முறையிலோ அல்லது இயற்கணித முறையிலோ செய்யப்படும் உரு மாற்றங்களைப் பற்றி இத்துறை விபரிக்கின்றது. ஆங்கிலத்தில் Topology என்றும், பிரென்ச், ஜெர்மானிய மொழிகளில் Topologie என்றும் கூறப் படுகிறது.

 தோற்றம் 

முக்கியமாக 1736 இல் ஆய்லர் (Euler), 1895 இல் புவான்காரே (Poincare), 1906 இல் ஃப்ரெஷெ (Frechet) , 1914 இல் ஹௌஸ்டார்ப்ஃ (Hausdorff) , 1922 இல் குரடோவ்ஸ்கி (Kuratowski) ஆகியவர்களும் இன்னும் சிலரும் செய்த ஆய்வுகளும் தொகுப்புகளும் சேர்ந்து இத்துறை உருவாகியது.Tait, Peter Guthrie, "Johann Benedict Listing (obituary)", Nature *27*, 1 February 1883, pp. 316–317 அதிலிருந்து ஓர் ஐந்தாறு பத்தாண்டுகளுக்கு இத்துறைதான் கணித உலகெங்கும் ஆய்வாளர்களால் வேண்டப்பட்ட துறையாக இருந்தது. காலப்போக்கில் அதனுள்ளேயே இரண்டு உட்துறைகளாகப் பிரிந்து விரிந்துள்ளது: அதாவது, கணக்கோட்பாட்டு இடவியல் (Set-theoretic Topology), இயற்கணித இடவியல் (Algebraic Topology). முந்தியது பொதுவாக இடவியல் வெளி (Toplogical Space) களைப் பற்றியும், பிந்தியது இடவியல் உரு மாற்றங்களினால் (Topological transformations) மாற்றமுறா சிறப்பியல்புகளைப் (Invariant characteristics) பற்றியும் பேசுகின்றன.

 உள்ளுணர்வு இடவியல் (Intuitive Topology) 

யூக்ளிடின் வடிவவியலில் இரண்டு வடிவவியற் பொருள்கள் சமானமாக (equivalent) இருப்பதாக எப்பொழுது சொல்கிறோம்? ஒரு சுழற்சியோ, பெயர்ச்சியோ, எதிர்வமோ (பிரதிபலித்தலோ) அடங்கிய ஏதாவதொரு சம அளவை (Isometric) உருமாற்றத்தினால் ஒரு பொருள் இன்னொன்றாக மாறினால் அவையிரண்டும் வடிவவியற் சமானம் என்று சொல்கிறோம். இடவியலிலோ சமானத்திற்காக எடுத்துக் கொள்ளப்படும் உருமாற்றங்கள் இவைகளைவிட மிகப்பொதுவாக இருந்தால் போதும்.

ஒரு சுவையான எடுத்துக்காட்டு இதனை விளக்கும். பக்கத்தில் உள்ள படிமத்தில் ஒரு தேனீர் கோப்பை உருமாறி தமிழ்நாட்டு வடை (அல்லது, மேற்கத்திய நாடுகளின் ‘டோநட்’) உருவை அடைகிறதல்லவா? இவ்விரண்டு வடிவங்களும் இடவியலில் சமானமானவை என்று இயம்பப்படும். இவ்வுருமாற்றத்திற்கு இடவியல் உருமாற்றம் என்று பெயர்.

இடவியல் என்னும் அறிவியலின் இலக்கு, இவ்வுரு மாற்றங்களை துல்லியமாக வரையறுத்து அவைகளால் எந்தெந்த சிறப்பியல்புகள் மாறாமல் இருக்கும் என்பதை நிச்சயிப்பதுதான். இவ்விதக் கண்டுபிடிப்புகளைப் பயன்படுத்தி மற்ற பல கணித உட்துறைகளில், குறிப்பாக, தொகையீட்டுச் சமன்பாடுகளோ, அல்லது வகையீட்டுச் சமன்பாடுகளோ வரும் துறைகளில் வியப்பு தரும் தீர்வுகளைக் கண்டிருக்கிறார்கள். அது மட்டுமல்ல. இன்றைய கணித உலகின் உயர்மட்டங்களில் இடவியல் வெளி என்பது குலம், வளையம், களம் என்னும் இயற்கணித கருத்துகளுடன் சேர்ந்து வெவ்வேறு உட்துறைகளின் கருத்துகளை ஒன்று சேர்க்கிறது. கணிதமத்தனையும் ஒரே நூலில் கோர்க்கப்பட்ட மாலையாகக் கருதவும், கற்கவும் வழிசெய்கிறது.

 இடவியல் அமைப்பு 

ஏதாவதொரு கணம் S ஓர் இடவியல் வெளியாக ஆக்கப்பட்டது என்பதும் அதன்மேல் ஓர் இடவியற்கூறு படைக்கப்பட்டது என்பதும் ஒன்றுதான். இதைச்செய்வதற்கு மூன்று வழிகள் உண்டு. முதல் வழி எல்லைப் புள்ளிகள் மூலம். S இல் அடங்கிய ஒவ்வொரு உட்கணம் X க்கும், மற்றும் ஒவ்வொரு உறுப்பு  s க்கும், “s, கணம் X உடைய எல்லைப் புள்ளியா?” என்ற கேள்விக்கு பதில் கிடைக்கும் நிபந்தனை விதிகள் உருவாக்கப்பட்டால், S ஓர் இடவியல் வெளியாக ஆக்கப்பட்டது என்று கொள்ளலாம். ஆக, கணம் S இன்மேல் பற்பல இடவியற்கூறுகள் படைக்கப்பட வாய்ப்பிருக்கிறது. இந்த இடவியற்கூறுகளில் இரண்டு புறக்கோடிகள் உள்ளன.

எந்த s ம் எல்லா X க்கும் எல்லைப் புள்ளிதான் என்று நிபந்தனை வைக்கலாம். இதன்படி S இன்மேல் ஏற்படும் இடவியற்கூறு அற்பமானது, எளிமையானது, என்று சொல்லப்படும். இது ஒரு புறக்கோடி. இது தான் மிகச்சிறியது. இதை ஆங்கிலத்தில் Trivial Topology என்பார்கள்.தமிழில் வெற்று இடவியற்கூறு எனலாம்.

மறுகோடியில், ஒரு s கூட ஒரு முறையான உட்கணம் X க்கு எல்லைப்புள்ளி ஆகாது, என்ற நிபந்தனை விதிக்கலாம். இதன்படி S இன்மேல் ஏற்படும் இடவியற்கூற்றிற்கு தன்னிலை இடவியற்கூறு என்று பெயர். இதுதான் மிகப்பெரியது.இதை ஆங்கிலத்தில் Discrete Topology என்பர்.

இவ்விரண்டு புறக்கோடிகளை விட்டு மற்ற பல நிபந்தனைகளால் ஏற்படும் இடவியற்கூறுகள் தான் கசடறக் கற்கப்படுபவை, கற்கவேண்டியவை. அவை இவ்விரண்டு கோடிகளுக்கும் இடையில் உள்ளவை.

ஏற்கனவே கொடுக்கப்பட்ட எல்லைப்புள்ளியின் வரையறையைப் பயன்படுத்தினால், மெய்யெண்களின் கணமான R இல் அடங்கிய ஒவ்வொரு X க்கும், ஒவ்வொரு உறுப்பு s க்கும் எதெது எல்லைப் புள்ளியாக இருக்கும் என்பது திட்டவட்டமாகத் தெரியும். இதனால் R இல் ஒர் இடவியற்கூறு உண்டாக்கப்பட்டு விட்டது. மெய்யெண்களின் இவ்விடவியற்கூறு இயற்கையான (அல்லது, திட்டமான) இடவியற்கூறாகக் கருதப்படுகிறது. பல நூற்றாண்டுகளாக கணித உலகில் R இந்த இயற்கை இடவியற்கூற்றுடன் தான் புழக்கத்தில் இருந்திருக்கிறது; ஆனால் நாம் தான் அவ்விடவியற்கூற்றிற்குப் பெயரிடவில்லை!

 திறந்த கணங்களின் மூலம் இடவியல் அமைப்பு 

ஏதாவதொரு கணம் S ஐ இடவியல்வெளி ஆக்குவதற்கு எல்லைப்புள்ளி வழி அவ்வளவு எளிதானதல்ல. திறந்த கணங்கள் என்ற கருத்து மூலம் ஒரு சிறந்த வழி இருக்கிறது. S இனுடைய உட்கணங்களில் சில கணங்களைப் பொறுக்கி இவைகள் திறந்த கணங்கள் என்று, கீழ்காணும் (தி1, தி2, தி3 என்ற) மூன்று கட்டுப்பாடுகளுக் கொப்ப நிபந்தனை இடுவது தான் இந்த வழி. (தி = திறந்தகணம்)

(தி 1): வெற்றுக்கணமும், முழுக்கணம் S ம், திறந்த கணங்கள்;

(தி 2):எவ்வளவு திறந்த கணங்கள் எடுத்துக்கொண்டாலும் அவைகளின் ஒன்றிப்பு, திறந்த கணமாயிருக்க வேண்டும்;

(தி 3): ஒரு முடிவுள்ள எண் கணக்கில் திறந்த கணங்கள் எடுத்துக் கொண்டால் அவைகளின் வெட்டு, திறந்த கணமாயிருக்க வேண்டும்.

இவ்விதம் ஏற்படுத்தப்பட்ட இடவியல் வெளியில் எல்லைப் புள்ளியின் வரையறை இப்படி ஆகும். a என்ற ஓர் உறுப்பு, உட்கணம் X க்கு எல்லைப் புள்ளியாக இருக்கவேண்டுமானால் a ஐ உள்ளடக்கிய ஒவ்வொரு திறந்த கணமும்  a ஐத்தவிர X இன் வேறொரு உறுப்பையும் உள்ளடக்கியாக வேண்டும்.

இதனால் R இன் இயற்கை இடவியற்கூற்றில் (a – ε, a + ε) போன்ற திறந்த இடைவெளிகள் எல்லாம் a ஐ உள்ளடக்கிய ‘திறந்த கணங்கள்’ ஆகின்றன.

அற்ப இடவியல் கூற்றில், வெற்றுக்கணமும், முழுக்கணமும் ஆக இரண்டே கணங்கள் தான் திறந்த கணங்கள். அதனால் எல்லா புள்ளிகளும் எல்லா உட்கணங்களுக்கும் எல்லைப் புள்ளிகள். இதன் மறுகோடியில், தனிநிலை இடவியல் கூற்றில் ஒரு புள்ளியும் எந்த உட்கணத்திற்கும் எல்லைப் புள்ளி யாகாது.

 அண்மைகள் மூலம் இடவியல்வெளி 

திறந்த கணங்கள் மூலம் உண்டாக்கப்பட்ட இடவியல்வெளி S ஒன்றில் அண்மை என்ற கருத்து இப்படி வரையறுக்கப்படுகிறது. வெளி S இல் p என்ற புள்ளியை உள்ளடக்கிய எந்தத்திறந்தகணமும் அதை உள்ளடக்கிய எந்த உட்கணமும் p இன் அண்மையாகும். இவ்விதம் ஒவ்வொரு p க்கும் அண்மைகள் ஏற்படும். ஒரு p இன் எல்லா அண்மைகளின் தொகுதி A கீழ்க்கண்ட மூன்று கட்டுப்பாடுகளுக் குட்பட்டிருக்கும்: ( அ = அண்மை)

(அ 1) : S ε  A ;,

(அ 2):  A என்ற கணம் A இல் இருந்தால் A இன் ஒவ்வொரு மிகைக்கணமும் A இல் இருந்தாக வேண்டும்;

(அ 3): A, B இரண்டும் A இல் இருந்தால் A ∩  B ம் A இல் இருந்தாக வேண்டும்.

இதன் மறுதலையாக, அண்மைகள் மூலம் இடவியல் அமைப்பை உண்டாக்குவதற்கு S இல் தொடங்கி அதிலுள்ள ஒவ்வொரு p க்கும், p ஐ உள்ளடக்கிய எல்லா கணங்களிலிருந்து மேற்சொல்லிய (அ1), (அ2), (அ3) க்குட்பட்டபடி ஒரு தொகுதி A யைப்பொறுக்கி இவைதான் p இன் அண்மைகள் என்று நிபந்தனை இட்டுவிட்டால் இடவியல் வெளி உண்டாகிவிடும்.

இம்மூன்று வழிகளில் ஏதாவதொன்றின் மூலம் இடவியல் அமைப்பை ஏற்படுத்திய பிறகு, எல்லாவற்றிலும் அண்மைகள் எவை, திறந்த கணங்கள் எவை, எல்லைப் புள்ளிகள் எவை என்றெல்லாம் திட்டவட்டமாகத் தெரிந்து கொள்ளும் முறைகள் தான் இடவியல் துறையின் அறிமுக அத்தியாயம். இதற்குப் பிறகுதான் இடவியலின் இயல்புகளே தெரிய வரும்.

 இடவியல் சமானம் 

எல்லைப்புள்ளிகள் தான் இடவியலுக்கு அடித்தளம். S, T என்ற இரண்டு இடவியல் வெளிகளை எடுத்துக் கொள்வோம். S இலிருந்து  T க்குச் செல்லும் உருமாற்றங்களைப் (Transformations) பார்ப்போம். இவைகளில் சில, எல்லைப் புள்ளிகளை ஒன்றும் செய்யாது; அதாவது, எல்லைப் புள்ளிகளாகவே வைத்திருக்கும். இவ்விதம் எல்லைப் புள்ளிகளை அப்படியே வைத்திருக்கும் உருமாற்றங்களை தொடருருமாற்றங்கள் (Continuous Trans-formations) அல்லது தொடர்ச்சியுள்ள உருமாற்றங்கள் என்பர். S ம், T ம் மெய்யெண்களின் கணங்களாகவும், இயற்கை இடவியற் கூற்றுடனும் இருந்தால், இந்தத் தொடருருமாற்றங்கள் வழக்கமான தொடர் சார்புகளே (Continuous Functions). அவைகள் தான் எல்லைப் புள்ளிகளை அப்படியே வைத்திருக்கும்.

இத்தொடருருமாற்றங்கள், மேலும் ஒன்றுக் கொன்றான கோப்பாகவும் (one-one maps), மற்றும் முழுக் கோப்பாகவும் (onto maps), இருந்து அவைகளின் நேர்மாறுகளும் (Inverses) தொடர்ச்சி யுள்ளதாகவே இருந்தால் அவை இடவியலுருமாற்றங்கள் (Topological Transformations) என்று பெயர் பெறும்.

எந்த இரண்டு இடவியல்வெளிகளுக் கிடையில் ஒரு இடவியலுருமாற்றம் இருக்கிறதோ அந்த இடவியல் வெளிகள் இடவியலில் சமானமாகக் (equivalent) கருதப்படும். அதாவது இடவியலைப் பற்றினவரையில் அவையிரண்டும் ஒன்றே. இதுதான் இடவியல் சமானம் என்ற கருத்து. இக்கட்டுரையின் தொடக்கத்தில், தேனீர் கோப்பைக்கும் வடைக்கும் ஒரு உருமாற்றம் காட்டப்பட்டதல்லவா? அது இடவியல் சமானத்தை எடுத்துக்காட்டுகிறது. இடவியல் சமானமுள்ள இரு இடவியல் வெளிகளின் அண்மைகள் ஒன்றுக்கொன்றான இயைபுடையன. திறந்த கணங்களின் நிலையும் அப்படியே. தேனீர்க் கோப்பையிலுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் அதனுடைய அண்மைகள் சிதறாமல் அப்புள்ளியின் உருமாற்ற பிம்பப்புள்ளி வடையில் எங்கிருக்கிறதோ அப்புள்ளியின் அண்மைகளாக இருக்கும். இது மாத்திரமல்ல, இதன் மறுதலையும் உண்மை.

இடவியல் உருமாற்றங்களுக்கு மற்றொரு பெயர் முழுமைத் தொடரமைவியம். ஆங்கிலத்தில் Homeomorphism. முழுமை என்பது, முழுக்கோப்பை மட்டுமல்ல, இருபக்கமும் ஒன்றுக்கொன்றான இயைபுடன் இருப்பதையும் தெரிவிக்கிறது. தொடர் என்பது தொடர்ச்சியை அறிவிக்கிறது. அமைவியம் என்பது இருபக்கமும் இடவியல் என்ற ஒரே அமைப்பு உள்ளது என்பதைத் தெரிவிக்கிறது.

இடவியல் சமானம் என்பது ஒரு சமான உறவு. இதனால் எல்லா இடவியல் வெளிகளும் சமானப் பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு பகுதிக்குள்ளும் இருக்கும் வெளிகள் ஒன்றுக்கொன்று இடவியல் சமானமாக இருக்கும். இப்படி எல்லா இடவியல் வெளிகளையும் பிரிக்கும் நோக்கத்துடன் தான் புவான்காரே 19வது நூற்றாண்டின் முடிவில் பலவித ஆய்வுகள் இயற்றினார். அப்பொழுது தொடங்கியதுதான் அமைப்பு ஒப்பு இயல். (Homology Theory). இதனுடைய ஜோடி அமைப்பு ஒத்த இயல் (Homotopy Theory). இவையிரண்டும் இடவியல் மாறா இயல்புகளைக் கண்டுபிடிப்பதையே இலக்காகக் கொண்டுள்ளன. புவான்காரே காலத்திலேயே கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஒரு இடவியல் மாறாஇயல்பு அவருடைய பெயரிலே உள்ளது: ஆய்லர்-புவான்காரே மாறாஇயல்பு (Euler-Poincare characteristic).

 முக்கிய நுண்பியல் குறிப்பு 

இருபதாவது நூற்றாண்டில் கணிதத்தில் ஏற்பட்ட மாபெரும் நுண்பியல் புரட்சியில் இடவியல்வெளி என்ற கருத்து மையக் கருத்தாகவே மலர்ந்தது. ஏனென்றால் நாம் வடிவியலில் அன்றாடம் புழங்கும் புள்ளி, தொலைவு, அருகாமை, என்ற கருத்துக்களை இயற்கணிதம் (எண்களையும் எண்களைச்சார்ந்த குறியீடுகளையும் கொண்டது), சார்புகள் (ஒரு எண்கணத்திற்கும் மற்றொரு எண் கணத்திற்கும் உள்ள கோப்புகள்), இவைகளைப்பற்றிய புகுவியலில், சார்புகளையும், உருமாற்றங்களையுமே புள்ளிகளாகவும், அவைகளுக்கிடையே தொலைவு, அருகாமை முதலிய கருத்துக்களை நுண்பிய நிலையில் புதிதாக உண்டாக்கி அவைகளைப் பரிமாற்றிக் கொள்வதற்கு வேண்டிய உயர்மட்ட புகுவியலையும் செய்துகொடுத்தது. இதனால், கணிதம் என்றால் எண்களைப் பற்றியது என்ற எளிய பழைய உண்மை பொய்யாக்கப்பட்டு, கணிதம் எந்தத் துறையிலும், கணிதத்திற் கப்பாற்பட்ட துறையிலும் கூட, கையாளப்படும் உருமாற்றங்களை தன்னுடைய(நுண்பியப்) ‘புள்ளி’களாகச் செய்துகொண்டு, அவைகளுடைய தராதரங்களையும் வேறுபாடுகளையும் அலசுவதற்கு வேண்டிய திறனைப்பெற்றது. இருபதாவது நூற்றாண்டில் கணிதம் எப்படி அறிவியல் முழுதும் வியாபித்தது என்பதற்கு இது ஒரு முக்கிய மூலகாரணம்.

 இவற்றையும் பார்க்கவும் 
 தொலைவு தகு வெளி
 எல்லைப்புள்ளி

 துணை நூல்கள் 
 History of Topology. (1999) Ed. I.M. James. Elsevier. Amsterdam.
 Siefert, H and W. Threlfall. (1980) A Textbook of topology. Tr. By M.A. Goldman. Academic Press. New York,
 V. Krishnamurthy. (1990). Culture, Excitement and Relevance of Mathematics. Wiley Eastern Ltd. New Delhi. 

மேற்கோள்கள்

வெளியிணைப்புகள்


 Elementary Topology: A First Course Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov.

 The Topological Zoo  at The Geometry Center.
 Topology Atlas
 Topology Course Lecture Notes Aisling McCluskey and Brian McMaster, Topology Atlas.
 Topology Glossary 
 Moscow 1935: Topology moving towards America, a historical essay by Hassler Whitney.

கணிதம்
பகுப்பு:கணித அமைப்புகள்