Zero e një funksioni

Në matematikë, një zero (nganjëherë quhet edhe rrënjë ) e një funksioni real -, kompleks - ose përgjithësisht me vlera vektoriale. , është anëtar  të bashkëssë së përcaktimit të  të tilla që  zhduket në  ; pra funksioni  arrin vlerën 0 në , ose në mënyrë të barabartë,  është një zgjidhje e ekuacionit  .  Një "zero" e një funksioni është kështu një vlerë hyrëse që prodhon një dalje prej 0. 

Një rrënjë e një polinomi është një zero e funksionit polinomial përkatës.  Teorema themelore e algjebrës tregon se çdo polinomi jo zero ka një numër rrënjësh maksimumi të barabartë me shkallën e tij, dhe se numri i rrënjëve dhe shkalla janë të barabarta kur merren parasysh rrënjët komplekse (ose më në përgjithësi, rrënjët në një shtrirje e mbyllur algjebrike ) të numëruara me shumëzimet e tyre .  Për shembull, polinomi  e shkallës së dytë, e përcaktuar nga  ka dy rrënjët (ose zerat) që janë 2 dhe 3 . Nëse funksioni lidh numrat realë me numrat realë, atëherë zerot e tij janë  -koordinatat e pikave ku grafiku i tij takohet me boshtin x . Një emër alternativ për një pikë të tillë  në këtë kontekst është një prerje me .

 Zgjidhja e një ekuacioni 
Çdo ekuacion me të panjohur  mund të rishkruhet si



duke rigrupuar të gjithë termat në anën e majtë. Nga kjo rezulton se zgjidhjet e një ekuacioni të tillë janë pikërisht zerot e funksionit  . Me fjalë të tjera, një "zero e një funksioni" është pikërisht një "zgjidhje e ekuacionit të marrë duke barazuar funksionin me 0", dhe studimi i zerove të funksioneve është saktësisht i njëjtë me studimin e zgjidhjeve të ekuacioneve.

 Bashkësia zero 
Në fusha të ndryshme të matematikës, bashkësia zero e një funksioni është bashkësia e të gjitha zerove të tij. Më saktë, nëse  është një funksion me vlera reale (ose, në përgjithësi, një funksion që merr vlera në disa grupe shtesë ), grupi i tij zero është , imazhi i kundërt i  në  .

Për shembull, njësia  - sferë në  është bashkësia zero e funksionit me vlerë reale  .

 Zbatimet 
Në gjeometrinë algjebrike, përkufizimi i parë i një varieteti algjebrik është përmes bashkësive zero. Në mënyrë të veçantë, një bashkësi afinale algjebrike është kryqëzimi i grupeve zero të disa polinomeve, në një unazë polinomiale  mbi një fushë . Në këtë kontekst, një grup zero nganjëherë quhet vendndodhja zero .

Në analizë dhe gjeometri, çdo nënbashkësi e mbyllur i  është bashkësia zero e një funksioni të lëmuar të përcaktuar në të gjitha  . Kjo shtrihet në çdo shumëfish të lëmuar si pasojë e parakompaktësisë .

Në gjeometrinë diferenciale, grupet zero përdoren shpesh për të përcaktuar durthet . Një rast i rëndësishëm i veçantë është rasti që  është një funksion i lëmuar nga  te  . Nëse zero është një vlerë e rregullt e , pastaj grupi zero i  është një shumëfish i lëmuar i dimensionit  nga teorema e vlerës së rregullt .
Kategoria:Matematikë elementare