Matricat Pauli

Në fizikën matematike dhe matematikë, matricat Pauli janë një grup prej tre matricash komplekse 2 × 2 që janë pa gjurmë, hermitiane, jovolutive dhe unitare . Zakonisht të treguara me shkronjën greke sigma ( σ ), ato shënohen herë pas here me tau ( τ ) kur përdoren në lidhje me simetritë izospine . 

Këto matrica kanë marrë emrin e fizikanit Wolfgang Pauli . Në mekanikën kuantike, ato ndodhin në ekuacionin Pauli, i cili merr parasysh bashkëveprimin e rrotullimit të një grimce nën një fushë elektromagnetike të jashtme. Ato gjithashtu përfaqësojnë gjendjet e ndërveprimit të dy filtrave të polarizimit për polarizimin horizontal/vertikal, polarizimi 45 gradë (djathtas/majtas) dhe polarizimi rrethor (djathtas/majtas).

Çdo matricë Pauli është hermitiane, dhe së bashku me matricën e identitetit I (ndonjëherë konsiderohet si matrica zero Pauli σ 0 ), matricat Pauli formojnë një bazë për hapësirën vektoriale reale të matricave 2 × 2 hermitiane. Kjo do të thotë që çdo matricë hermitiane 2 × 2 mund të shkruhet në një mënyrë unike si një kombinim linear i matricave Pauli, ku të gjithë koeficientët janë numra realë.

Operatorët hermitianë përfaqësojnë të vëzhgueshmet në mekanikën kuantike, kështu që matricat e Paulit përfshijnë hapësirën e vëzhguesve të hapësirës komplekse dy-dimensionale të Hilbertit . Në kontekstin e punës së Paulit, σk përfaqëson të vëzhgueshmen që korrespondon me rrotullimin përgjatë boshtit të koordinatave k në hapësirën Euklidiane tredimensionale 

Matricat Pauli (pas shumëzimit me i për t'i bërë ato anti-hermitiane ) gjenerojnë gjithashtu transformime në kuptimin e algjebrave të gënjeshtrës : matricat iσ1, iσ2, iσ3 formojnë një bazë për algjebrën reale Lie , i cili përfaqëson grupin unitar special SU(2) .  Algjebra e krijuar nga tre matricat σ1, σ2, σ3është izomorfe me algjebrën e Cliffordit të   dhe algjebra shoqëruese (unitare) e krijuar nga iσ1, iσ2, iσ3 funksionon identikisht ( është izomorfe ) me atë të kuaternioneve (  ).

 Vetitë algjebrike 
+Tabela e Kavlit ; hyrja tregon vlerën e rreshtit herë kolonën. ×               
Të tre matricat Pauli mund të kondensohen në një shprehje të vetme:



ku zgjidhja për i2 = −1 është " njësia imagjinare ", dhe δjk është delta e Kronecker-it, e cila është e barabartë me +1 nëse j = k dhe 0 ndryshe. Kjo shprehje është e dobishme për "përzgjedhjen" e cilësdo prej matricave numerikisht duke zëvendësuar vlerat e j = 1, 2, 3, nga ana tjetër e dobishme kur ndonjë nga matricat (por jo një e veçantë) do të përdoret në manipulimet algjebrike.

Matricat janë jovolutive :



ku I ja matrica e identitetit .

Përcaktorët dhe gjurmët e matricave Pauli janë



nga e cila mund të nxjerrim përfundimin se çdo matricë σj ka eigenvlera +1 dhe −1.