Transformimi Diskret Furje

Në matematikë, transformimi diskret i Furierit ( DFT/TDF ) konverton një varg të fundëm të kampioneve të baraslarguara të një funksioni në një varg me gjatësi të njëjtë të kampioneve të baraslarguara të transformimit të Furierit në kohë diskrete (TFKD), e cila është një funksion me vlera komplekse i frekuencës. Intervali në të cilin TFKD kampionohet është i anasjellti e kohëzgjatjes së vargut hyrës.  Taboga, Marco (2021). "Discrete Fourier Transform - Frequencies", Lectures on matrix algebra. https://www.statlect.com/matrix-algebra/discrete-Fourier-transform-frequencies. Një TDF i anasjelltë (ATDF) është një seri Fourier, duke përdorur kampionet TFKD si koeficientë të sinusoidave komplekse në frekuencat përkatëse TFKD. Ka të njëjtat vlera të kampioneve si vargu origjinal i hyrjes. Prandaj thuhet se TDF është një paraqitje e rrafshit të frekuencës së vargut origjinal të hyrjes. Nëse vargu origjinal përfshin të gjitha vlerat jo-zero të një funksioni, TFKD-ja e tij është e vazhdueshme (dhe periodike) dhe TDF ofron kampione diskrete të një cikli. Nëse vargu origjinal është një cikël i një funksioni periodik, TDF siguron të gjitha vlerat jo zero të një cikli TFKD.

TDF është transformimi diskret më i rëndësishëm, i përdorur për të kryer analizën Furier në shumë zbatime praktike.  Në përpunimin numerik të sinjalit, funksioni është çdo madhësi ose sinjal që ndryshon me kalimin e kohës, siç është shtypja e një vale zanore, një sinjal radioje ose leximet ditore të temperaturës, të marra në kampione gjatë një intervali kohor të fundëm (shpesh i përcaktuar nga një funksion dritare  ). Në përpunimin e imazhit, kampionet mund të jenë vlerat e pikselëve përgjatë një rreshti ose kolone të një imazhi raster . TDF përdoret gjithashtu për të zgjidhur në mënyrë efikase ekuacionet diferenciale të pjesshme dhe për të kryer operacione të tjera si thurjet ose shumëzimin e numrave të plotë të mëdhenj.

Meqenëse ka të bëjë me një sasi të kufizuar të dhënash, mund të zbatohet në kompjuterë me algoritme numerike apo edhe harduer të dedikuar. Këto zbatime zakonisht përdorin algoritme efikase të transformimit të shpejtë të Furierit (TSHF);  aq sa termat "TSHF" dhe "TDF" shpesh përdoren në mënyrë të ndërsjellë. Para përdorimit të tij të tanishëm, akronimi "TSHF" mund të jetë përdorur gjithashtu për termin e paqartë " transformim i fundëm Furier ".

TDF ka shumë aplikime, duke përfshirë ato thjesht matematikore pa interpretim fizik. Por fizikisht mund të lidhet me përpunimin e sinjalit si një version diskret (dmth. kampione) të transformimit të Furierit në kohë diskrete (DTFT), i cili është një funksion i vazhdueshëm dhe periodik. DFT llogarit N kmapione të baraslarguara të një cikli të DTFT.

 Përkufizimi 
Transformimi diskret i Furjesë transformon një varg N numrash kompleksë  në një sekuencë tjetër të numrave kompleks,  e cila përcaktohet nga:Transformimi nganjëherë shënohet me simbolin , si në  ose  ose  . 

Transformimi i anasjelltë jepet nga:

 Shembull 
Ky shembull tregon se si të zbatohet TDF në një varg me gjatësi  dhe vektori i hyrjes

Llogaritja e DFT-së së  duke përdorur:

rezulton në 

 Vetitë 

 Lineariteti 
TDF është një transformim linear, dmth nëse  dhe , pastaj për çdo numër kompleks  :



 Kthimi i kohës dhe frekuencës 
Kthimi i kohës (dmth. zëvendësimi  nga  )  in  korrespondon me ndryshimin e frekuencës (d.m.th  nga  ).  Matematikisht, nëse  paraqet vektorin x atëherë

 nëse 
 atëherë 

 Konjugimi në kohë 
Nëse  atëherë  .  

 Pjesa reale dhe imagjinare 
Kjo tabelë tregon disa veprime matematikore në  në domenin kohor dhe efektet përkatëse në DFT-në e tij  në fushën e frekuencës.
Vetia Rrafshi i kohës  Rrafshi i frekuencës  Pjesë e vërtetë në kohë   Pjesë imagjinare në kohë   Pjesë reale në frekuencë   Pjesë imagjinare në frekuencë  
Kategoria:Analiza numerike
Kategoria:Mirëmbajtja CS1: Vendodhja
Kategoria:Mirëmbajtja CS1: Emra të shumëfishtë: lista e autorëve