Transformimi i Hilbertit

Në matematikë dhe përpunimin e sinjalit, transformimi i Hilbertit është një integral specifik njëjës që merr një funksion, u(t) të një ndryshoreje reale dhe prodhon një funksion tjetër të një ndryshoreje reale . Transformimi i Hilbertit jepet nga vlera kryesore Koshi e konvolucionit me funksionin  (shih  ). Transformimi i Hilbertit ka një paraqitje veçanërisht të thjeshtë në rrafshin e frekuencës : Ai jep një zhvendosje fazore prej ±90° ( π/2 radian) për çdo përbërës frekuence të një funksioni, shenjën e zhvendosjes në varësi të shenjës së frekuencës (shih  ). Transformimi i Hilbertit është i rëndësishëm në përpunimin e sinjalit, ku është një përbërës i paraqitjes analitike të një sinjali me vlerë reale u(t) . Transformimi i Hilbertit u prezantua për herë të parë nga David Hilbert në këtë mjedis, për të zgjidhur një rast të veçantë të problemit Riemann-Hilbert për funksionet analitike.

 E ç'është transformimi i Hilbertit 
Transformimi i Hilbertit i u mund të konsiderohet si konvolucioni i  me funksionin  të njohur si bërthama e Hilbertit. Meqënëse funksioni 1/t nuk është i integrueshëm në pikën 0, integrali nuk konvergjon gjithmonë. Kështu transformimi i Hilbertit përcaktohet me anë të vlerës parësore Koshi (të shënuar me p.v)

me kusht që ky integral të ekzistojë si vlerë parësore. Ky është pikërisht konvolucioni i u me shpërndarjen e kalitur p.v. .

Kur transformimi Hilbert zbatohet dy herë radhazi mbi një funksion u, rezultati është

 Marrëdhënia me transformimin e Furjesë 
Transformimi Hilbert është një operator shumëzues .  Shumëzuesi i H është , ku sgn është funksioni signum . Prandaj:

ku  tregon transformimin Furier. Meqenëse sgn(x ) = sgn(2 π x ), rrjedh se ky rezultat vlen për tre përkufizimet e zakonshme të  .

Sipas formulës së Euler-it, 

 Tabela e transformimeve të përzgjedhura të Hilbertit 
Në tabelën e mëposhtme, parametri i frekuencës  është e vërtetë.
SinjaliTransformimi i Hilbertit   (shiko funksioni i Dawsonit)Funksioni sinc  Funksioni delta i Dirakut Funksioni tregues  
Kategoria:Vetitë CS1: Burime në frëngjisht (fr)
Kategoria:Faqe me adresa nga Wayback Machine që përdorin stampën e arkivës së rrjetit
Kategoria:Vetitë CS1: Burime në gjermanisht (de)
Kategoria:Mirëmbajtja CS1: Vendodhja