Fraktali

parapamje|200x200px| Bashkësia Mandelbrot : kufiri i saj është një kurbë fraktale me dimensionin Hausdorff 2. (Vini re se pjesët me ngjyra të imazhit nuk janë në të vërtetë pjesë e bashkësisë Mandelbrot, por ato bazohen në atë se sa shpejt ndryshon funksioni që e prodhon atë.)
parapamje|200x200px| Zmadhim në kufirin e grupit Mandelbrot
Në matematikë, një fraktal është një formë gjeometrike që përmban strukturë të hollësishme në shkallë arbitrarisht të vogla, që zakonisht kanë një dimension fraktal që tejkalon rreptësisht dimensionin topologjik . Shumë fraktale duken të ngjashme në shkallë të ndryshme, siç ilustrohet në zmadhimet e njëpasnjëshme të bashkësisë Mandelbrot .     Kjo ekspozitë e modeleve të ngjashme në shkallë gjithnjë e më të vogla quhet vetëngjashmëri, e njohur gjithashtu si simetri në zgjerim ose simetri e shpalosur; nëse ky përsëritje është saktësisht i njëjtë në çdo shkallë, si në sfungjerin Menger, forma quhet afine e vetëngjashme.  Gjeometria fraktale shtrihet në degën matematikore të teorisë së masës .

Një mënyrë që fraktalet janë të ndryshëm nga figurat gjeometrike të fundme është se si ato shkallëzohen . Dyfishimi i gjatësisë së skajit të një shumëkëndëshi të mbushur e katërfishon sipërfaqen e tij, që është dy (raporti i gjatësisë së anës së re me të vjetër) i ngritur në fuqinë e dy (dimensioni konvencional i shumëkëndëshit të mbushur). Po kështu, nëse rrezja e një sfere të mbushur dyfishohet, vëllimi i saj shkallëzohet me tetë, që është dy (raporti i rrezes së re me atë të vjetër) me fuqinë e tre (dimensioni konvencional i sferës së mbushur). Megjithatë, nëse gjatësitë njëdimensionale të një fraktali dyfishohen të gjitha, përmbajtja hapësinore e fraktalit shkallëzon me një fuqi që nuk është domosdoshmërisht një numër i plotë dhe në përgjithësi është më i madh se dimensioni i tij konvencional. Mandelbrot, Benoît B. (1983). The fractal geometry of nature. Macmillan. ISBN 978-0-7167-1186-5. Kjo fuqi quhet dimensioni fraktal i objektit gjeometrik, për ta dalluar atë nga dimensioni konvencional (i cili zyrtarisht quhet dimension topologjik ). 

Analitikisht, shumë fraktale nuk mund të diferencohen askund. Mandelbrot, Benoît B. (1983). The fractal geometry of nature. Macmillan. ISBN 978-0-7167-1186-5. Vicsek, Tamás (1992). Fractal growth phenomena. Singapore/New Jersey: World Scientific. pp. 31, 139–146. ISBN 978-981-02-0668-0. Një kurbë fraktale e pafundme mund të konceptohet si dredha-dredha nëpër hapësirë ndryshe nga një vijë e zakonshme - megjithëse është ende topologjikisht 1-dimensionale, dimensioni i saj fraktal tregon se ajo mbush hapësirën në mënyrë më efikase sesa një vijë e zakonshme.  Mandelbrot, Benoît B. (2004). Fractals and Chaos. Berlin: Springer. p. 38. ISBN 978-0-387-20158-0. A fractal set is one for which the fractal (Hausdorff-Besicovitch) dimension strictly exceeds the topological dimension
parapamje|200x200px| Tapeti i Sierpinskit (deri në nivelin 6), një fraktal me një dimension topologjik 1 dhe një dimension Hausdorff prej 1,893
Duke filluar nga shekulli i 17-të me nocionet e rekursionit, fraktalet kanë kaluar përmes një trajtimi matematikor gjithnjë e më rigoroz në studimin e funksioneve të vazhdueshme por jo të diferencueshme në shekullin e 19-të nga puna kryesore e Bernard Bolzanos, Bernhard Riemannit dhe Karl Vajershtrasit,  dhe në krijimin e fjalës fractal në shekullin e 20-të me një rritje të mëvonshme të interesit për fraktale dhe modelimin e bazuar në kompjuter në shekullin e 20-të.  

Konsensusi midis matematikanëve është se fraktalet teorike janë konstruksione matematikore të përsëritura dhe të detajuara pafundësisht të ngjashme me vetveten, nga të cilat shumë shembuj janë formuluar dhe studiuar. Mandelbrot, Benoît B. (1983). The fractal geometry of nature. Macmillan. ISBN 978-0-7167-1186-5. Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons. xxv. ISBN 978-0-470-84862-3. Briggs, John (1992). Fractals:The Patterns of Chaos. London: Thames and Hudson. p. 148. ISBN 978-0-500-27693-8. Fraktalet nuk kufizohen në modele gjeometrike, por gjithashtu mund të përshkruajnë proceset në kohë. Gouyet, Jean-François (1996). Physics and fractal structures. Paris/New York: Masson Springer. ISBN 978-0-387-94153-0. Vicsek, Tamás (1992). Fractal growth phenomena. Singapore/New Jersey: World Scientific. pp. 31, 139–146. ISBN 978-981-02-0668-0.     Modelet fraktale me shkallë të ndryshme të vetëngjashmërisë janë dhënë ose studiuar në media vizuale, fizike dhe dëgjimore  dhe janë gjetur në natyrë,     teknologji,     art,   dhe arkitekturë . Ostwald, Michael J., and Vaughan, Josephine (2016) The Fractal Dimension of Architecture Birhauser, Basel. . Fraktalet janë të një rëndësie të veçantë në fushën e teorisë së kaosit, sepse ato shfaqen në përshkrimet gjeometrike të shumicës së proceseve kaotike (zakonisht ose si tërheqës ose si kufij midis pellgjeve tërheqëse).