Harta lineare

Në matematikë, dhe më konkretisht në algjebër lineare, një hartë lineare (e quajtur edhe një hartografi lineare, transformim linear, homomorfizëm i hapësirës vektoriale, ose në disa kontekste funksion linear ) është një hartë  ndërmjet dy hapësirave vektoriale që ruan veprimet e mbledhjes së vektorit dhe shumëzimit skalar . Të njëjtët emra dhe i njëjti përkufizim përdoren gjithashtu për rastin më të përgjithshëm të moduleve mbi një unazë ; shih homomorfizmin e modulit .Nëse një hartë lineare është një bijeksion, atëherë ajo quhet një izomorfizëm linear. Në rastin kur , një hartë lineare quhet endomorfizëm linear . Ndonjëherë termi operator linear i referohet këtij rasti,  por termi "operator linear" mund të ketë kuptime të ndryshme për konventa të ndryshme: për shembull, mund të përdoret për të theksuar se  dhe  janë hapësira reale vektoriale (jo domosdoshmërisht me  ), ose mund të përdoret për të theksuar këtë  është një hapësirë funksioni, e cila është një konventë e zakonshme në analizën funksionale .  Ndonjëherë termi funksion linear ka të njëjtin kuptim si harta lineare, ndërsa në analizë jo.

Një hartë lineare nga  te  gjithmonë harton origjinën e  tek origjina e  . Për më tepër, ai harton nënhapësira lineare në  në nënhapësira lineare në  (ndoshta të një dimensioni më të ulët); Here are some properties of linear mappings  whose proofs are so easy that we omit them; it is assumed that  and : për shembull, ai harton një rrafsh përmes origjinës në  në një aeroplan përmes origjinës në , një drejtëz përmes origjinës në , ose thjesht origjina në  . Hartat lineare shpesh mund të përfaqësohen si matrica, dhe shembuj të thjeshtë përfshijnë transformime lineare të rrotullimit dhe reflektimit.

Në gjuhën e teorisë së kategorive, hartat lineare janë morfizma të hapësirave vektoriale, dhe ato formojnë një kategori të barabartë me atë të matricave .

 Përkufizimi dhe pasojat e para 
Le  dhe  të jenë hapësira vektoriale mbi të njëjtën fushë  . Një funksion  thuhet se është një hartë lineare nëse për çdo dy vektorë  dhe çdo skalar  plotësohen dy kushtet e mëposhtme:

 Mbledhshmëria / funksionimi i mbledhjes 
 Homogjeniteti i shkallës 1 / operacioni i shumëzimit skalar 

Kështu, një hartë lineare thuhet se është ruan operacionin . Me fjalë të tjera, nuk ka rëndësi nëse harta lineare zbatohet para (anët e djathta të shembujve të mësipërm) apo pas (anët e majta të shembujve) veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit skalar.

Nga vetia e shoqërimit të veprimit të mbledhjes i shënuar si +, për çdo vektor  dhe skalarët  vlen barazia e mëposhtme: .  .   Kështu, një hartë lineare është ajo që ruan kombinime lineare .

 Shembuj 

 Një shembull prototipik që u jep hartave lineare emrin e tyre, është një funksion ,  grafiku i të cilit është një drejtëz përmes origjinës.
 Në përgjithësi, çdo homoteti  e përqëndruar në origjinën e hapësirës vektoriale është një hartë lineare (këtu  është një skalar).
 Harta zero  midis dy hapësirave vektoriale (mbi të njëjtën fushë) është lineare.
 Harta identitet mbi çdo modul është një operator linear.
 Për numrat realë, harta  nuk është lineare.
 Për numrat realë, harta  nuk është lineare (por është një transformim afin).
 Nëse  është një matricë , atëherë  është një hartë lineare nga  në  duke çuar një vektor shtyllë  tek vektori shtyllë . 
 Nëse  është një izometri midis hapësirave të normuara reale të tilla që  atëherë  është një hartë lineare. Ky rezultat përgjithësisht nuk vlen për hapësirat e normuara komplekse.
 Diferencimi përkufizon një hartë lineare nga hapësira e të gjithë funksioneve të derivueshëm tek hapësira e të gjithë funksioneve. Dhe në të vërtetë, 
 Një integral i caktuar mbi një interval  është një hartë lineare nga hapësira e të gjithë funksioneve të integrueshëm me vlera reale nga  në . Dhe në të vërtetë, 
 Një integral i pacaktuar (ose antiderivat) me një pikë integrimi të caktuar fillestare përkufizon një hartë lineare nga hapësira e të gjithë funksioneve të integrueshëmme vlera reale në  tek hapësira e të gjithë funksioneve të diferencueshëm me vlera reale në . Pa një pikë fillimi fikse, integrali i pacaktuar hartëzon në hapësirën e herësit të funksioneve të diferencueshme nga hapësira lineare e funksioneve konstante .
 Nëse  dhe  janë hapësira vektoriale me dimensione të fundme mbi një fushë , me dimensione respektive  dhe , atëherë funksioni hartëzon hartat linerae  drejt matricave  në mënyrën e përshkruar tek  (më poshtë) është një hartë lineare.
 Pritja matematike e një ndryshoreje rasti (që në fakt është një funksion, dhe si i tillë një element i një hapësire vektoriale) është lineare, sepse për ndryshoret e rastit  dhe  marrim  dhe , por varianca e një ndryshoreje rasti nuk është lineare.

 Matricat 
Nëse  dhe  janë hapësira vektoriale me dimensione të fundme dhe përcaktohet një bazë për secilën hapësirë vektoriale, pastaj çdo hartë lineare nga  te  mund të përfaqësohet nga një matricë .  Kjo është e dobishme sepse lejon llogaritjet konkrete. Matricat japin shembuj të hartave lineare: nëse  është një e vërtetë  matricë, atëherë  përshkruan një hartë lineare  (shih hapësirën Euklidiane ).

Nëse  është një hartë lineare, 

që implikon se funksioni f përcaktohet tërësisht nga vektorët  . Tani le  të jetë bazë për  . Atëherë ne mund të përfaqësojmë çdo vektor  si 

Matricat e një transformimi linear mund të përfaqësohen vizualisht:

 Matrica për  në lidhje me  : 
 Matrica për  në lidhje me  : 
 Matrica e tranzicionit nga  te  : 
 Matrica e tranzicionit nga  te  : 

asnjë|i_kornizuar| Marrëdhënia midis matricave në një transformim linear

 Shembuj në dy dimensione 
Në hapësirën dydimensionale, hartat lineare R përshkruhen me matrica 2 × 2. Këto janë disa shembuj:

 rrotullimi
 me 90 gradë në të kundërt të akrepave të orës: 
 me një kënd θ në të kundërt të akrepave të orës: 
 reflektimi
 përmes boshtit x : 
 përmes boshtit y : 
 përmes një drejtëze që krijon një kënd θ me origjinën: 
 Shkallëzimi me 2 në të gjitha drejtimet: 
 Harta e prerjes horizontale : 
 animi i boshtit y nga një kënd θ : 
 harta e shtrydhjes : 
 projeksioni në boshtin y : 

Nëse një hartë lineare përbëhet vetëm nga rrotullim, reflektim dhe/ose shkallëzim uniform, atëherë harta lineare është një transformim linear konform .

 Zbatimet 
Një zbatim specifik i hartave lineare është për transformimet gjeometrike, si ato të kryera në grafikën kompjuterike, ku përkthimi, rrotullimi dhe shkallëzimi i objekteve 2D ose 3D kryhet duke përdorur një matricë transformimi . Hartëzimi linear përdoret gjithashtu si një mekanizëm për përshkrimin e ndryshimit: për shembull në llogaritje korrespondojnë me derivatet; ose në relativitet, përdoret si një pajisje për të mbajtur gjurmët e transformimeve vendore të sitemeve të referimit.

Një aplikim tjetër i këtyre transformimeve është në optimizimin e përpiluesit të kodit të ndërthurur dhe në paralelizimin e teknikave të përpiluesit .

Kategoria:Algjebër abstrakte
Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara