Formula Cauchy për integrimin e përsëritur

Formula e Koshiut për integrimin e përsëritur, e quajtur sipas Augustin-Louis Cauchy, lejon që të ngjeshen n integrale të pacaktuara të një funksioni, në një integral të vetëm (krh. formulën e Cauchy-së ).

 Rasti skalar 
Le të jetë f një funksion i vazhdueshëm në vijën reale. Pastaj integrali i n- të i përsëritur i f me pikën bazë a,  jepet me integrim të vetëm 

 Prova 
Një provë jepet me induksion . Rasti bazë me n=1 është i parëndësishëm, pasi është i njëvlershëm me:

 Tani, supozoni se kjo është e vërtetë për n, dhe le ta vërtetojmë atë për n +1. Së pari, duke përdorur rregullin integral të Lajbnicit, vini re se

Pastaj, duke zbatuar hipotezën e induksionit,

Vini re, termi brenda kllapës katrore ka n-herë integrim të njëpasnjëshëm dhe kufiri i sipërm i integralit më të jashtëm brenda kllapës katrore është  . Kështu, duke krahasuar me rastin për n=n, dhe duke zëvendësuar  të formulës në hapin e induksionit n=n me  përkatësisht për të marrë

Vendosja e kësaj shprehje brenda kllapës katrore rezulton në

 Është treguar se ky pohim është i vërtetë për rastin bazë  .
 Nëse pohimi është i vërtetë për , atëherë është treguar se pohimi është i vërtetë për  .
 Kështu ky pohim është vërtetuar për të gjithë numrat e plotë pozitivë.

Kjo plotëson provën.

 Përgjithësime dhe zbatime 
Formula Cauchy përgjithësohet në parametra jo të plotë nga integrali Riemann-Liouville, ku  zëvendësohet nga , dhe faktoriali zëvendësohet nga funksioni gama . Dy formulat pajtohen kur  .

Të dy formula Cauchy dhe integrali Riemann-Liouville përgjithësohen në dimensione arbitrare nga potenciali Riesz .

Kategoria:Algjebër abstrakte