Vektori njësi

Në matematikë, një vektor njësi në një hapësirë vektoriale të normuar është një vektor (shpesh një vektor hapësinor ) me gjatësi 1. Një vektor njësi shënohet shpesh me një shkronjë të vogël me një kapelë, si në  (shqiptohet "v-me kapele").

Termi vektor i drejtimit, që zakonisht shënohet si d, përdoret për të përshkruar një vektor njësi që përdoret për të përfaqësuar drejtimin hapësinor dhe drejtimin relativ . Drejtimet hapësinore 2D janë numerikisht të njëvlershme me pikat në rrethin e njësisë dhe drejtimet hapësinore në 3D janë të njëvlershme me një pikë në sferën njësi .
parapamje| Shembuj të dy vektorëve të drejtimit 2D
parapamje| Shembuj të dy vektorëve të drejtimit 3D
Vektori i normalizuar û i një vektori jozero u është vektori njësi në drejtim të u, dmth.



ku ‖ u ‖ është norma (ose gjatësia) e u .   Termi vektor i normalizuar ndonjëherë përdoret si sinonim për vektorin njësi .

Vektorët njësi shpesh zgjidhen për të formuar bazën e një hapësire vektoriale dhe çdo vektor në hapësirë mund të shkruhet si një formë kombinimi linear i vektorëve njësi.

 Koordinatat drejtkëndore 

 Koordinatat karteziane 
Vektorët njësi mund të përdoren për të përfaqësuar boshtet e një sistemi koordinativ kartezian . Për shembull, vektorët standardë të njësisë në drejtimin e boshteve x, y dhe z të një sistemi koordinativ tredimensional kartezian janë



Ata formojnë një grup vektorësh njësi ortogonale reciproke, të referuara zakonisht si një bazë standarde në algjebër lineare .

Ato shpesh shënohen duke përdorur shënimin e përbashkët të vektorit (p.sh., x ose  ) në vend të shënimit standard të vektorit njësi (p.sh., x̂ ). Në shumicën e konteksteve mund të supozohet se x, y, dhe z, (ose  dhe  ) janë versorë të një sistemi koordinativ kartezian 3-D. Shënimet ( î, ĵ, k̂ ), ( x̂ 1, x̂ 2, x̂ 3 ), ( ê x, ê y, ê z ), ose ( ê 1, ê 2, ی 3 ), me ose pa kapelë, përdoren gjithashtu, Weisstein, Eric W. "Unit Vector". Wolfram MathWorld. Retrieved 2020-08-19. veçanërisht në kontekste ku i, j, k mund të çojë në konfuzion me një madhësi tjetër.

 Koordinatat cilindrike 
Tre vektorët njësi ortogonalë të përshtatshëm për simetrinë cilindrike janë:

  (e shënuar gjithashtu  ose  ), që paraqet drejtimin përgjatë të cilit matet largësia e pikës nga boshti i simetrisë;
 , që përfaqëson drejtimin e lëvizjes që do të vëzhgohej nëse pika do të rrotullohej në drejtim të kundërt të akrepave të orës rreth boshtit të simetrisë ;
 , që përfaqëson drejtimin e boshtit të simetrisë;

Ato lidhen me bazën karteziane , ,  nga:





Vektorët  dhe  janë funksione të  dhe nuk janë konstante në drejtim. Kur diferencohen ose integrohen në koordinata cilindrike, duhet të veprohet mbi vetë këta vektorë njësi. Derivatet në lidhje me  janë:





 Koordinatat sferike 
Vektorët njësi të përshtatshëm për simetrinë sferike janë: , drejtimi në të cilin rritet largësia rrezore nga origjina; , drejtimi në të cilin këndi në rrafshin x - y në drejtim kundërorar nga boshti pozitiv x po rritet; dhe , drejtimi në të cilin këndi nga boshti pozitiv z po rritet. Për të minimizuar tepricën e paraqitjeve, këndi polar  zakonisht merret të shtrihet midis zero dhe 180 gradë. Është veçanërisht e rëndësishme të theksohet konteksti i çdo treshe të renditur të shkruar në koordinata sferike, pasi rolet e  dhe  shpesh janë të kundërta. Këtu, përdoret konventa amerikane e "fizikës" Tevian Dray and Corinne A. Manogue, Spherical Coordinates, College Math Journal 34, 168-169 (2003). . Kjo lë këndin azimutal  të përcaktuara njësoj si në koordinatat cilindrike. Marrëdhëniet karteziane janë:







Vektorët njësi sferikë varen nga të dyja  dhe , dhe si rrjedhim ka 5 derivate të mundshëm jo zero. Për një përshkrim më të plotë, shihni matricën Jakobiane dhe përcaktorin . Derivatet jozero janë:










Kategoria:Matematikë elementare
Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara