Integrali i pacaktuar

Në kalkulus, një funksion primitivë, integral i pacaktuar ose antiderivat i një funksioni të vazhdueshëm f është një funksion i diferencueshëm F, derivati i të cilit është i barabartë me funksionin origjinal f . Kjo mund të shprehet simbolikisht si F'  = f .   Procesi i zgjidhjes së integraleve të pacaktuara quhet antidiferencim (ose integrim i pacaktuar ), dhe veprimi i kundërt i tij quhet diferencim, që është procesi i gjetjes së një derivati. Integralet e pacaktuara shpesh shënohen me shkronja të mëdha romake si F dhe G

Antiderivativët lidhen me integralet e caktuara përmes teoremës së dytë themelore të kalkulusit : integrali i caktuar i një funksioni në një interval të mbyllur ku funksioni është i integrueshëm sipas Rimanit është i barabartë me ndryshesën midis vlerave të një integrali të pacaktuar të vlerësuar në pikat e skajeve të intervalit.

Në fizikë, integralet e pacaktuara lindin në kontekstin e lëvizjes drejtvizore (p.sh., në shpjegimin e marrëdhënies midis vendodhja, shpejtësisë dhe nxitimit ).  I njëvlershmi diskret i nocionit të integralit të pacaktuar është antidiferenca .

 Shembuj 
Funksioni  është integrali i pacaktuar i , meqënëse derivati i  është . Meqënëse derivati i një konstanteje ja zero,  do të ketë një numër të pafundëm integralesh të pacaktuara të trajtës: , etc. Kështu, të gjithë integralet e pacaktuar  mund të përftohen duke ndryshuar vlerën e  në , ku  është një konstante arbitrare e njohur si konstantja e integrimit.

Më në përgjithësi, funksioni i fuqisë  ka integral të pacaktuar  nëse n ≠ − 1, dhe  nëse n = − 1 .

Në fizikë, integrimi i nxitimit jep shpejtësi plus një konstante. Konstantja është termi fillestar i shpejtësisë (v0) që do të humbiste me marrjen e derivatit të shpejtësisë, sepse derivati i një termi konstant është zero. I njëjti model vlen për integrimet dhe derivatet e mëtejshme të lëvizjes (pozicioni, shpejtësia, nxitimi, etj.). "4.9: Antiderivatives". Mathematics LibreTexts. 2017-04-27. Retrieved 2020-08-18. Kështu, integrimi prodhon marrëdhëniet e nxitimit, shpejtësisë dhe zhvendosjes : 

 Përdorimet dhe vetitë 
Integralet e pacaktuara mund të përdoren për të llogaritur integrale të caktuara, duke përdorur teoremën themelore të analizës matematike : nëse F është një primitivë e funksionit të vazhdueshëm f gjatë intervalit , pastaj: 

Për shkak të kësaj, secili prej integraleve të pacaktuar pafundësisht të shumtë të një funksioni të caktuar f mund të quhet "integrali i pacaktuar" i f dhe të shkruhet duke përdorur simbolin integral pa kufij: 

Çdo funksion i vazhdueshëm f ka një integral të pacaktuar, dhe një integral i pacaktuar F jepet nga integrali i caktuar i f me kufirin e sipërm të ndryshueshëm:  për çdo a në BP e f . Ndryshimi i kufirit të poshtëm prodhon antiderivativë të tjerë, por jo domosdoshmërisht të gjithë integralet e pacaktuara të mundshme. Ky është një formulim tjetër i teoremës themelore të llogaritjes .

Ka shumë funksione, integralet e pacaktuara e të cilëve, edhe pse ekzistojnë, nuk mund të shprehen me funksione elementare (si polinomet, funksionet eksponenciale, logaritmet, funksionet trigonometrike, funksionet e anasjellta trigonometrike dhe kombinimet e tyre). Shembuj të tillë janë


 Funksioni i gabimit 
 Funksioni i Fresnelit 
 Integrali Sinc 
 Funksioni integral logaritmik  dhe
 Ëndrra e vitparistit 

 Formulat bazë 

 Nëse , atëherë .















 Shihni gjithashtu 

 Antiderivativ (analizë komplekse)
 Antiderivativi formal
 Jackson integral
 Listat e integraleve
 Integrimi simbolik
 Zona