Operatori diferencial

Në matematikë, një operator diferencial është një operator i përcaktuar si funksion i operatorit të diferencimit . Është i dobishëm, si çështje shënimi, së pari, të konsiderohet diferencimi si një veprim abstrakt që pranon një funksion dhe kthen një funksion tjetër (në stilin e një funksioni të rendit më të lartë në shkencën kompjuterike ).

Ky artikull shqyrton kryesisht operatorët diferencialë linearë, të cilët janë lloji më i zakonshëm. Megjithatë, ekzistojnë edhe operatorë diferencialë jolinearë, siç është derivati Schwarzian .

 Përkufizimi 
Duke pasur parasysh një numër të plotë jonegativ m, një urdhër-  operatori diferencial linear është një hartë  nga një hapësirë funksioni  në një hapësirë tjetër funksioni  që mund të shkruhet si:ku  është një multi-indeks i numrave të plotë jo negativë, , dhe për secilën ,  është një funksion në një fushë të hapur në hapësirë n -dimensionale. Operatori  interpretohet siKështu për një funksion  :Shënimi  është i justifikuar (dmth. i pavarur nga rendi i diferencimit) për shkak të simetrisë së derivateve të dyta.

Polinomi p përftohet duke zëvendësuar D me ndryshore  në P quhet simboli total i P ; dmth, simboli total i P më sipër është:

ku  Përbërësi më i lartë homogjen i simbolit, domethënë,



quhet simboli parësor i P. Ndërsa simboli total nuk është i përcaktuar në thelb, simboli parësor, në thelb, është i përcaktuar (d.m.th., është një funksion në paketën kotangjente). 

Në përgjithësi, le të jenë E dhe F grupe vektoriale mbi një shumëfish X . Pastaj operatori linear



është një operator diferencial i rendit  nëse, në koordinatat vendore në X, kemi



ku, për çdo α multi-indekse,  është një hartë pako, simetrike në indekset α.

Koeficientët e rendit k të P- të shndërrohen si tensor simetrik



domeni i të cilit është prodhimi sipas tensorëve i fuqisë k - simetrike të paketës kotangjente të X me E, dhe kodomani i së cilës është F . Ky tensor simetrik njihet si simboli parësor (ose thjesht simboli ) i P .

 Interpretimi Furier 
Një operator diferencial P dhe simboli i tij shfaqen natyrshëm në lidhje me transformimin Furier si më poshtë. Le të jetë ƒ një funksion Schwartz . Pastaj nga transformimi i anasjelltë i Furierit,



 Shembuj 

 Operatori diferencial  është eliptik nëse simboli i tij është i kthyeshëm; që është për çdo jozero  harta e paketës  është e kthyeshme. Në një durth kompakt, nga teoria eliptike rrjedh se P është një operator Fredholm : ai ka kernel dhe kokernel me dimensione të fundme.
 Në studimin e ekuacioneve diferenciale të pjesshme hiperbolike dhe parabolike, zerot e simbolit kryesor korrespondojnë me karakteristikat e ekuacionit diferencial të pjesshëm.
 Në zbatimet e shkencave fizike, operatorë të tillë si operatori i Laplasit luajnë një rol të madh në vendosjen dhe zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale të pjesshme .
 Në topologjinë diferenciale, operatorët e derivatit të jashtëm dhe të derivatit Lie kanë kuptim të brendshëm.
 Në algjebër abstrakte, koncepti i një derivimi lejon përgjithësime të operatorëve diferencialë, të cilët nuk kërkojnë përdorimin e llogaritjes. Shpesh përgjithësime të tilla përdoren në gjeometrinë algjebrike dhe algjebrën komutative. Shihni gjithashtu Jet (matematikë) .
 Në zhvillimin e funksioneve holomorfike të një ndryshoreje komplekse z = x + i y, ndonjëherë një funksion kompleks konsiderohet të jetë një funksion i dy ndryshoreve reale x dhe y. Përdorimi bëhet nga derivatet Wirtinger, të cilët janë operatorë diferencialë të pjesshëm: 
 Operatori diferencial del, i quajtur edhe nabla, është një operator diferencial vektorial i rëndësishëm. Shfaqet shpesh në fizikë në vende si forma diferenciale e ekuacioneve të Maxwell-it. Në koordinatat karteziane tredimensionale, del përkufizohet si


 Del përcakton gradientin dhe përdoret për të llogaritur kaçurrelin, divergjencën dhe laplasin e objekteve të ndryshme.

Kategoria:Ekuacione diferenciale
Kategoria:Analizë matematike