Masa (matematikë)

Në matematikë, koncepti i masës është një përgjithësim dhe zyrtarizim i masave gjeometrike ( gjatësia, sipërfaqja, vëllimi ) dhe nocioneve të tjera të zakonshme, si magnituda, masa dhe probabiliteti i ngjarjeve. Këto koncepte në dukje të dallueshme kanë shumë ngjashmëri dhe shpesh mund të trajtohen së bashku në një kontekst të vetëm matematik. Masat janë themelore në teorinë e probabilitetit, teorinë e integrimit, dhe mund të përgjithësohen për të supozuar vlera negative, si me ngarkesën elektrike . Përgjithësimet e gjera (të tilla si masat spektrale dhe masat me vlerë projeksioni ) të matjeve përdoren gjerësisht në fizikën kuantike dhe fizikë në përgjithësi.

Intuita pas këtij koncepti daton në Greqinë e lashtë, kur Arkimedi u përpoq të llogariste sipërfaqen e një rrethi . Archimedes Measuring the Circle  Por vetëm nga fundi i shekullit të 19-të dhe fillimi i shekullit të 20-të, teoria e matjeve u bë një degë e matematikës. Themelet e teorisë moderne të masës u hodhën në veprat e Émile Borel, Henri Lebesgue, Nikolai Luzin, Johann Radon, Constantin Carathéodory dhe Maurice Fréchet, ndër të tjera.

 E ç'është masa në matematikë? 
parapamje|300x300px| Mbledhja e numërueshme e një mase  : Masa e një bashkimi disjunktiv të numërueshëm është e njëjtë me shumën e të gjitha masave të çdo nënbashkësie.
Le  të jetë një bashkësi dhe  a  -algjebër mbi  Një funksion bashkësie  nga  për boshtin e zgjeruar të numrave realë quhet masë nëse ekzistojnë kushtet e mëposhtme:

 Jo-negativiteti : Për të gjithë 

 Mbledhja e numërueshme (ose σ-Aditiviteti ): Për të gjitha koleksionet e numërueshme  të bashkësive disjunktive në çift në Σ, 

Nëse të paktën një bashkësi  ka masë të fundme, atëherë kërkesa  plotësohet automatikisht për shkak të mbledhjes së numërueshme:  dhe prandaj 

Nëse bie kushti i jonegativitetit, dhe  merr më së shumti një nga vlerat e  pastaj  quhet masë me shenjë .

Çifti  quhet hapësirë e matshme, dhe anëtarët e  quhen bashkësi të matshme .

Një treshe  quhet hapësirë e masës . Një masë probabiliteti është një masë me masën totale një - domethënë,  Një hapësirë probabiliteti është një hapësirë matëse me një masë probabiliteti.

 Instancat 
Këtu janë renditur disa masa të rëndësishme.

 Masa e numërimit përcaktohet nga  = numri i elementeve në 
 Masa e Lebegut në  është një masë e plotë e përkthimit të pandryshueshme në një σ -algjebër që përmban intervalet in  të tilla që  ; dhe çdo masë tjetër me këto veti e shtrin masën e Lebegut.
 Masa e këndit rrethor është e pandryshueshme nën rrotullim, dhe masa e këndit hiperbolik është e pandryshueshme në hartën e shtrydhjes .
 Masa Haar për një grup topologjik lokalisht kompakt është një përgjithësim i masës së Lebegut (dhe gjithashtu i masës së numërimit dhe masës së këndit rrethor) dhe ka veti të ngjashme unike.
 Çdo (pseudo) shumëfish Riemannian  ka një masë kanonike  që në koordinatat vendore  duket si  ku  është masa e zakonshme e Lebegut.
 Masa e Hausdorffit është një përgjithësim i masës së Lebegut në bashkësi me dimension jo të plotë, në veçanti bashkësi fraktale.
 Çdo hapësirë probabiliteti krijon një masë që merr vlerën 1 në të gjithë hapësirën (dhe për rrjedhojë merr të gjitha vlerat e saj në intervalin e njësisë [0, 1]). Një masë e tillë quhet masë ose shpërndarje probabiliteti . Shihni listën e shpërndarjeve të probabilitetit për shembuj.
 Masa e Dirakut δa (krh. Funksioni delta e Dirakut ) jepet nga δa( S ) = χS(a), ku χS është funksioni tregues i  Masa e një grupi është 1 nëse përmban pikën  dhe 0 ndryshe.

Kategoria:Matematikë