Matrica katrore

Në matematikë, një matricë katrore është një matricë me të njëjtin numër rreshtash dhe kolonash. Një matricë n -nga- n njihet si matricë katrore e rendit  Çdo dy matrica katrore të të njëjtit rend mund të shtohen dhe shumëzohen.

Matricat katrore përdoren shpesh për të përfaqësuar transformime të thjeshta lineare, të tilla si krasitja ose rrotullimi . Për shembull, nëse  është një matricë katrore që përfaqëson një rrotullim ( matricë rrotullimi ) dhe  është një vektor kolone që përshkruan pozicionin e një pike në hapësirë, prodhimi  jep një vektor tjetër kolone që përshkruan pozicionin e asaj pike pas atij rrotullimi. Nëse  është një vektor rreshti, i njëjti transformim mund të merret duke përdorur  ku  është transpozimi i 

 Matrica e kthyeshme dhe anasjellta e saj 
Një matricë katrore  quhet e invertueshme ose josingulare nëse ekziston një matricë  e tillë që    Nëse  ekziston, është unike dhe quhet matricë e anasjelltë e  shënohet 

 Matrica e përcaktuar 
Pozitivisht e përcaktuar E papërcaktuar   Q ( x, y ) = 1/4 x 2 + y 2 Q ( x, y ) = 1/4 x 2 - 1/4 y 2150x150px Pika të tilla që Q ( x, y ) = 1 ( Elipsa ).100x100px Pika të tilla që Q ( x, y ) = 1 ( Hiperbola ).
Një matricë simetrike n × n quhet pozitivisht e përcaktuar (përkatësisht negative-përcaktuar; e pacaktuar), nëse për të gjithë vektorët jozero  forma e lidhur kuadratike e dhënë nga  merr vetëm vlera pozitive (përkatësisht vetëm vlera negative; edhe disa vlera negative edhe disa pozitive).  Nëse forma kuadratike merr vetëm vlera jo negative (përkatësisht vetëm jo pozitive), matrica simetrike quhet pozitive-gjysmëcaktuar (përkatësisht negative-gjysmëpërcaktuar); pra matrica është e pacaktuar pikërisht kur nuk është as pozitive-gjysmëpërcaktuar as negative-gjysmëpërcaktuar.

 Matrica ortogonale 
Një matricë ortogonale është një matricë katrore me hyrje reale, kolonat dhe rreshtat e së cilës janë vektorë njësi ortogonale (dmth. vektorë ortonormalë ). Në mënyrë ekuivalente, një matricë A është ortogonale nëse transpozimi i saj është i barabartë me inversin e saj:  që nënkupton  ku unë jam matrica e identitetit .

 Eigenvlerat dhe eigenvektorët 
Një numër  dhe një vektor jozero  që kënaqin barazimin  quhen eigenvlera dhe eigenvektorë të  respektivisht. Eigen means "own" in German and in Dutch.  Numri  është një vlerë vetjake e një matrice   nëse dhe vetëm nëse  nuk është i kthyeshëm, që është e njëvlerëshme me   Polinomi  në një  të papërcaktuar i dhënë me vlerësimin e përcaktorit  quhet polinomi karakteristik i  . Është një polinom monik i shkallës n . Prandaj ekuacioni polinomial  ka më së shumti n zgjidhje të ndryshme, dmth. eigenvlera të matricës.  Ato mund të jenë komplekse edhe nëse hyrjet e  janë reale. Sipas teoremës Cayley–Hamilton, , domethënë, rezultati i zëvendësimit të matricës në polinomin e vet karakteristik jep matricën zero .

Kategoria:Algjebër abstrakte