I konjuguari kompleks

Në matematikë, konjugati kompleks i një numri kompleks është numri me një pjesë reale të barabartë dhe një pjesë imagjinare të barabartë në madhësi, por me shenjë të kundërt. Kjo është, nëse  dhe  janë numra realë atëherë konjugati kompleks i  është  I konjuguari kompleks i  shpesh shënohet si  ose  .

Në trajtë polare, nëse  dhe  janë numra realë atëherë i konjuguari i  është  Kjo mund të tregohet duke përdorur formulën e Euler-it .

Prodhimi i një numri kompleks dhe i konjuguarit të tij është një numër real:  (ose  në koordinatat polare ).

Nëse rrënja e një polinomi të njëndryshueshëm me koeficientë realë është komplekse, atëherë i konjuguari i tij është gjithashtu një rrënjë .

 Vetitë 
Karakteristikat e mëposhtme vlejnë për të gjithë numrat kompleksë  dhe  përveç rasteve kur thuhet ndryshe, dhe mund të vërtetohet me shkrim  dhe  në formë 

Për çdo dy numra kompleksë, konjugimi është shpërndarës mbi mbledhjen, zbritjen, shumëzimin dhe pjesëtimin: , Appendix D 

Një numër kompleks është i barabartë me të konjuguarin e tij nëse pjesa imagjinare e tij është zero, domethënë nëse numri është real. Me fjalë të tjera, numrat realë janë pikat e vetme fikse të konjugimit.

Konjugimi nuk e ndryshon modulin e një numri kompleks: 

Konjugimi është një involucion, domethënë, konjugimi i të konjuguarit të një numri kompleks  është  Në simbole,  Friedberg, Stephen; Insel, Arnold; Spence, Lawrence (2018), Linear Algebra (5 ed.), ISBN 978-0134860244, Appendix D

Prodhimi i një numri kompleks me të konjuguarin e tij është i barabartë me katrorin e modulit të numrit:  Kjo lejon llogaritjen e lehtë të inversit shumëzues të një numri kompleks të dhënë në koordinata drejtkëndore: 

Konjugimi është ndërrues nën përbërjen me fuqi numrash të plotë, me funksionin eksponencial dhe me logaritmin natyror për argumente jozero:  See Exponentiation#Non-integer powers of complex numbers. 

Nëse  është një polinom me koeficientë realë dhe  pastaj  po ashtu. Kështu, rrënjët jo-reale të polinomeve reale ndodhin në çifte komplekse të konjuguara ( shih Teoremën e rrënjës së konjuguar komplekse ).

Në përgjithësi, nëse  është një funksion holomorfik, kufizimi i të cilit në numrat realë është me vlerë reale, dhe  dhe  janë përcaktuar, atëherë 

 Përdorimi si ndryshore 
Një herë një numër kompleks  ose  është dhënë, i konjuguari i tij është i mjaftueshëm për të riprodhuar pjesët e ndryshores  :

 Pjesa reale: 
 Pjesa imagjinare: 
 Moduli (ose vlera absolute) : 
 Argumenti :  pra 

Për më tepër,  mund të përdoret për të specifikuar linjat në rrafsh: bashkësia  është një vijë përmes origjinës dhe pingul me  që nga pjesa reale e  është zero vetëm kur kosinusi i këndit ndërmjet  dhe  është zero. Në mënyrë të ngjashme, për një njësi komplekse fikse  ekuacionin  përcakton vijën përmes  paralel me drejtëzën përmes 0 dhe 
Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara