Veprimi binar

Në matematikë, një veprimi binar ose një veprim diadik është një rregull për kombinimin e dy elementëve (të quajtur operandë ) për të prodhuar një element tjetër. Më formalisht, një veprim binar është një veprim i aritetit dy.

Më konkretisht, një veprim binar në një grup është një veprim binar, domeini dhe kodomaini i të cilit janë i njëjti grup. Shembujt përfshijnë veprimet e njohura aritmetike të mbledhjes, zbritjes dhe shumëzimit. Shembuj të tjerë gjenden lehtësisht në fusha të ndryshme të matematikës, si mbledhja e vektorëve, shumëzimi i matricës dhe konjugimi në grupe .

Një veprim i aritetit dy që përfshin disa grupe nganjëherë quhet edhe një veprim binar . Për shembull, shumëzimi skalar i hapësirave vektoriale kërkon një skalar dhe një vektor për të prodhuar një vektor, dhe prodhimi skalar merr dy vektorë për të prodhuar një skalar. Veprime të tilla binare mund të quhen gjithashtu funksione binare .

Veprimet binare janë themeli i shumicës së strukturave që studiohen në algjebër, veçanërisht në gjysmëgrupe, monoide, grupe, unaza, fusha dhe hapësira vektoriale .

 Terminologjia 
Më saktësisht, një veprim binar në një grup  është një hartë e elementeve të prodhimit kartezian  te  :   



Vetia e mbylljes e një veprimi binar shpreh ekzistencën e një rezultati për veprimin e dhënë çdo çifti operandësh. 

Nëse  atëherë nuk është një funksion, por një funksion i pjesshëm  quhet një veprim binar i pjesshëm . Për shembull, pjesëtimi e numrave realë është një veprim i pjesshëm binar, sepse nuk mund të pjesëtohet me zero :  është i papërcaktuar për çdo numër real  . Si në teorinë e modelit ashtu edhe në algjebrën klasike universale, veprimet binare kërkohet të përcaktohen në të gjithë elementët e  . Megjithatë, algjebrat e pjesshme  përgjithësojnë algjebrat universale për të lejuar veprime të pjesshme.

 Vetitë dhe shembujt 
Shembuj tipikë të operacioneve binare janë shtimi (  ) dhe shumëzimi (  ) të numrave dhe matricave si dhe përbërjen e funksioneve në një bashkësi të vetme. Për shembull,

 Mbi një bashkësi të numrave realë ,  është një veprim binar meqënëse shuma e dy numrave realë është një numër real.
 Mbi bashkësinë e numrave natyrorë ,  është një veprim binar meqënëse shuma e dy numrave natyrorë është përsëri numër natyror.
 Mbi bashkësinë  e matricave  me elemente reale,  është një veprim binar meqënëse shuma e dy matricave të tilla është një matricë  .
 Mbi bashkësinë  e matricave  me elemente reale,  është një veprim binar meqënëse prodhimi i dy matricave të tilla është prapë një matricë .
 Për një bashkësi të dhënë , le të jetë  bashkësia e të gjitha funksioneve .  Përkufizimi  nga  për , përbërja e dy funksioneve  dhe  në . Atëherë  është një veprim binar meqënëse përbërja e dy funksioneve është përsëri një funksion mbi bashkësinë   (pra një element i ).

Shumë operacione binare me interes si në algjebër ashtu edhe në logjikën formale janë ndërrues, që kënaqin  për të gjithë elementët  dhe  në , ose shoqëruese, të kënaqshme  per te gjithe , , dhe  në  . Shumë kanë gjithashtu elementë identiteti dhe elementë të anasjelltë .

Mbi grupin e numrave realë , zbritja, domethënë, , është një veprim binar i cili nuk është ndërrues pasi, në përgjithësi,  . Ai gjithashtu nuk është shoqërues, pasi në përgjithësi,  ; për shembull,  por  .

Mbi bashkësinë e numrave natyrorë , veprimi binar i fuqisë, , nuk është ndërrues pasi,  (krh. Ekuacioni x <sup id="mwoA">y</sup> = y <sup id="mwoQ">x</sup> ), dhe gjithashtu nuk është shoqërues pasi  . Për shembull, me , , dhe , , por  . Me ndryshimin e bashkësisë  te bashkësia e numrave të plotë , ky veprim binar bëhet një veprim binar i pjesshëm pasi tani nuk është përcaktuar kur  dhe  është çdo numër i plotë negativ. Për secilin grup, ky veprim ka një identitet të djathtë (i cili është  ) që nga koha  per te gjithe  në grup, i cili nuk është një identitet (identitet i dyanshëm) pasi  në përgjithësi.

Pjesëtimi (  ), një veprim binar i pjesshëm në bashkësinë e numrave realë ose racionalë, nuk është komutativ ose asociativ. Tetrimi (  ), si një veprim binar mbi numrat natyrorë, nuk është ndërrues ose shoqërues dhe nuk ka element identifikues.