Shuma Ramanuxhan

Shuma Ramanujan ose sipas Ramanuxhanit është një teknikë e shpikur nga matematikani Srinivasa Ramanujan për caktimin e një vlere për seritë e pafundme divergjente . Megjithëse shuma Ramanuxhan e një serie divergjente nuk është një shumë në kuptimin tradicional, ai ka veti që e bëjnë atë matematikisht të dobishëm në studimin e serive të pafundme divergjente, për të cilat shumimi konvencional është i papërcaktuar.

 Përmbledhja 
Meqenëse nuk ka veti të një shume të tërë, shuma Ramanuxhan funksionon si një veti e shumave të pjesshme. Nëse marrim formulën e mbledhjes së Euler-Maclaurin së bashku me rregullin e korrigjimit duke përdorur numrat e Bernulit, shohim se:  



Ramanujan Bruce C. Berndt, Ramanujan's Notebooks, Ramanujan's Theory of Divergent Series, Chapter 6, Springer-Verlag (ed.), (1939), pp. 133-149. e shkroi këtë përsëri për kufij të ndryshëm të integralit dhe shumës përkatëse për rastin në të cilin p shkon në pafundësi :



ku C është një konstante specifike e serisë dhe vazhdimi i saj analitik dhe kufijtë në integral nuk u specifikuan nga Ramanuxhani, por me sa duket ata ishin siç u dha më sipër. Duke krahasuar të dyja formulat dhe duke supozuar se R priret në 0 pasi x priret në pafundësi, shohim se, në një rast të përgjithshëm, për funksionet f ( x ) pa divergjencë në x = 0:



ku Ramanuxhani supozoi  Duke marrë  ne zakonisht rikuperojmë përmbledhjen e zakonshme për seritë konvergjente. Për funksionet f ( x ) pa divergjencë në x = 1, marrim:



Versioni konvergjent i përmbledhjes për funksionet me kusht të duhur të rritjes është atëherë:



 Përmbledhja Ramanujan e serive divergjente 
Në tekstin e mëposhtëm,  nënkupton "Shuma Ramanuxhan". Kjo formulë fillimisht u shfaq në një nga fletoret e Ramanuxhanit, pa ndonjë shënim që tregonte se ajo ilustron një metodë të re përmbledhjeje.

Për shembull,  nga  është:



Ramanujan kishte llogaritur "shumat" e serive të njohura divergjente. Është e rëndësishme të përmendet se shumat Ramanuxhan nuk janë shumat e serisë në kuptimin e zakonshëm,   dmth shumat e pjesshme nuk konvergjojnë në këtë vlerë, e cila shënohet me simbolin  Në veçanti,  shuma e  është llogaritur si:



Duke u shtrirë edhe në fuqi pozitive, kjo dha:



dhe për fuqitë teke qasja sugjeroi një lidhje me numrat e Bernulit të trajtës:



Është propozuar të përdoret C (1) në vend të C (0) si rezultat i shumës së Ramanuxhanit, që atëherë mund të sigurohet se një seri  pranon një dhe vetëm një mbledhje të Ramanuxhanit, të përcaktuar si vlera në 1 e zgjidhjes së vetme të ekuacionit me diferenca  që vërteton gjendjen  . Éric Delabaere, Ramanujan's Summation, Algorithms Seminar 2001–2002, F. Chyzak (ed.), INRIA, (2003), pp. 83–88.



Në veçanti kemi:



ku γ është konstantja Euler–Mascheroni .