Shndërrimi i Cayley

Në matematikë, transformimi Cayley, i quajtur pas Arthur Cayley, është secili nga një kllastër prej gjërash të lidhura. Siç përshkruhet fillimisht nga , transformimi Cayley është një hartë midis matricave simetrike të anuar dhe matricave speciale ortogonale . Transformimi është një homografi e përdorur në analizën reale, analizën komplekse dhe analizën kuaternionike . Në teorinë e hapësirave të Hilbertit, transformimi Cayley është një hartë midis operatorëve linearë    .

 Homografia reale 
Një shembull i thjeshtë i një transformimi Cayley mund të bëhet në vijën reale projektive . Transformimi i Cayley këtu do të ndryshojë elementet e {1, 0, −1, ∞} varg. Për shembull, ai harton numrat realë pozitivë në intervalin [−1, 1]. Kështu transformimi Cayley përdoret për të përshtatur polinomet e Lezhandrit për përdorim me funksionet në numrat realë pozitivë me funksionet racionale të Lezhandrit .

Si një homografi e vërtetë, pikat përshkruhen me koordinata projektive, dhe hartëzimi përcaktohet si:



 Homografia komplekse 
djathtas|parapamje|300x300px| Transformimi Cayley i gjysmë rrafshit kompleks të sipërm në diskun njësi
Në gjysmën e sipërme të planit kompleks, transformimi i Cayley është:  



Meqënëse  është hartuar në , dhe transformimet e Möbius-it ndryshojnë rrathët e përgjithësuar në planin kompleks,  harton vijën reale në rrethin njësi . Për më tepër, që nga  është një homeomorfizëm dhe  është marrë në 0 nga , gjysma e sipërme e rrafshit vendoset në një hartë në diskun njësi .

Në inxhinierinë elektrike, transformimi Cayley është përdorur për të hartuar një gjysmë rrafshi të reaktancës në grafikun e Smith që përdoret për përputhjen e impedancës së linjave të transmetimit.

Për sa i përket modeleve të gjeometrisë hiperbolike, ky transformim Cayley lidh modelin gjysmë të rrafshit Poincare me modelin e diskut Poincare .

 Homografia e kuaternioneve 
Në hapësirën katërdimensionale të kuaternioneve , versorët

  formojnë 3-sferën njësi .

Meqenëse kuaternionet janë jondërrues, elementët e vijës së saj projektuese kanë koordinata homogjene të shënuara  për të treguar se faktori homogjen shumëzohet në të majtë. Transformimi i kuaternionit është



Homografitë reale dhe komplekse të përshkruara më sipër janë shembuj të homografisë kuaternare ku  është zero ose , respektivisht. Me sa duket transformimi merr  dhe merr  .

Duke vlerësuar këtë homografi në  harton versorin  në boshtin e saj:



Por 

Kështu 

Në këtë formë transformimi Cayley është përshkruar si një parametrizim racional i rrotullimit: Le  në identitetin e numrit kompleks See Tangent half-angle formula



ku ana e djathtë është transformimi i  dhe ana e majtë paraqet rrotullimin e rrafshit me  radianë negativë.

 I anasjellti 
Le të jetë  Meqënëse



ku ekuivalenca është në grupin linear projektues mbi kuaternionet, e anasjellta e  është



 Harta matricore 
Midis n × n matricave katrore mbi numrat realë, me I matricën identitare, le të jetë A çdo matricë anore-simetrike (në mënyrë që A T = − A ).

Pastaj I+ A është e kthyeshme, dhe transformimi Cayley



prodhon një matricë ortogonale, Q (në mënyrë të tillë që Q T Q = I ). Shumëzimi i matricës në përkufizimin e Q më sipër është ndërrues, kështu që Q mund të përkufizohet në mënyrë alternative si  . Në fakt, Q duhet të ketë përcaktor +1, kështu është edhe ortogonale e veçantë.

Anasjelltas, le të jetë Q çdo matricë ortogonale që nuk ka −1 si vlerë vetjake ; atëherë



është një matricë anore-simetrike. Kushti në Q përjashton automatikisht matricat me përcaktor -1, por gjithashtu përjashton disa matrica të veçanta ortogonale.

Megjithatë, çdo matricë rrotullimi (ortogonale speciale) Q mund të shkruhet si



për disa matricë anore-simetrike A ; përgjithësisht çdo matricë ortogonale Q mund të shkruhet si



Një formë paksa e ndryshme shihet gjithashtu,  F. Chong (1971) "A Geometric Note on the Cayley Transform", pages 84,5 in A Spectrum of Mathematics: Essays Presented to H. G. Forder, John C. Butcher editor, Auckland University Press që kërkon paraqitje të ndryshme në çdo drejtim,



Hartëzimi mund të shkruhen edhe me rendin e faktorëve të përmbysur;  Howard Eves (1966) Elementary Matrix Theory, § 5.4A Cayley’s Construction of Real Orthogonal Matrices, pages 365–7, Allyn & Bacon megjithatë, A udhëton gjithmonë me (μ I ± A ) −1, kështu që rirenditja nuk ndikon në përkufizimin.

 Shembuj 
Në rastin 2×2, kemi



Matrica e rrotullimit 180°, − I, është e përjashtuar, megjithëse është kufiri kur tan θ ⁄ 2 shkon në pafundësi.

Në rastin 3×3, kemi



ku K = w 2 + x 2 + y 2 + z 2, dhe ku w = 1. Këtë ne e njohim si matricë rrotullimi që i korrespondon kuaternionit


Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara