Seritë (matematikë)

Në matematikë, një seri është, përafërsisht, veprimi i shtimit të pafundësisht shumë madhësive, njëra pas tjetrës, mbi një madhësi fillestare.  Studimi i serive është një pjesë kryesore e kalkulusit dhe përgjithësimit të tij, analizës matematikore . Seritë përdoren në shumicën e fushave të matematikës, madje edhe për studimin e strukturave të fundme (si p.sh. në kombinatorikë ) nëpërmjet funksioneve gjenerues . Përveç përhapjes së tyre në matematikë, seritë e pafundme përdoren gjerësisht edhe në disiplina të tjera sasiore si fizika, shkenca kompjuterike, statistika dhe financa .

Për një kohë të gjatë, ideja se një shumë e tillë potencialisht e pafundme mund të prodhonte një rezultat të fundëm konsiderohej paradoksale . Ky paradoks u zgjidh duke përdorur konceptin e një limiti gjatë shekullit të 17-të. Paradoksi i Zenonit për Akilin dhe breshkën ilustron këtë veti kundërintuitive të shumave të pafundme: Akili vrapon pas një breshke, por kur ai arrin pozicionin e breshkës në fillim të garës, breshka ka arritur një pozicion të dytë; kur ai arrin këtë pozicion të dytë, breshka është në një pozicion të tretë, e kështu me radhë. Zenoni arriti në përfundimin se Akili nuk mund ta arrinte kurrë breshkën, dhe kështu kjo lëvizje nuk ekziston. Zeno e ndau garën në pafundësisht shumë nën-gara, ku secila kërkon një kohë të kufizuar, kështu që koha totale për Akilin për të kapur breshkën jepet nga një seri. Zgjidhja e paradoksit është se, megjithëse seria ka një numër të pafund termash, ajo ka një shumë të fundme, e cila i jep kohën e nevojshme Akilit për të kapur breshkën.

Në terminologjinë moderne, çdo varg (i renditur) i pafundëm  të kufizave (d.m.th., numrave, funksioneve ose çdo gjëje që mund të shtohet) përcakton një seri, e cila është veprimi i mbledhjes së kufizave të vargut, , njëra pas tjetrës. Për të theksuar se ka një numër të pafund termash, një seri mund të quhet seri e pafundme . Një seri e tillë përfaqësohet (ose shënohet) me një shprehje si

ose, duke përdorur shenjën e shumës ,

Vargu i pafundëm i shumave të nënkuptuara nga një seri nuk mund të kryhet në mënyrë efektive (të paktën në një kohë të fundme). Megjithatë, nëse grupi të cilit i përkasin termat dhe shumat e tyre të fundme ka një nocion limit, ndonjëherë është e mundur t'i caktohet një vlerë një serie, e quajtur shuma e serisë. Kjo vlerë është kufiri pasi n tenton në pafundësi (nëse ekziston kufiri) i shumave të fundme të n termave të parë të serisë, të cilat quhen shumat e n ta të pjesshme të serisë. Kjo paraqitet si,

Kur ekziston ky kufi, thuhet se seria është konvergjente ose e përmbledhur, ose se sekuenca  është konvergjente . Në këtë rast, kufiri quhet shuma e serisë. Ndryshe, seria thuhet se është divergjente . 

Shënimi  tregon si serinë - që është procesi i nënkuptuar i shtimit të termave njëri pas tjetrit në mënyrë të pacaktuar - dhe, nëse seria është konvergjente, shumën e serisë - rezultatin e procesit. Ky është një përgjithësim i konventës së ngjashme të shënjimit me  si mbledhja - procesi i mbledhjes - dhe rezultati i tij - shuma e a dhe b .

Zakonisht, termat e një serie vijnë nga një unazë, shpesh nga fusha  të numrave realë ose të fushës  të numrave kompleksë . Në këtë rast, grupi i të gjitha serive është në vetvete një unazë (dhe madje një algjebër shoqëruese ), në të cilën mbledhja konsiston në shtimin e termit të serisë për term, dhe shumëzimi është prodhimi Cauchy .

 Shembuj të serive numerike 

 Një seri gjeometrike është ajo ku çdo term i njëpasnjëshëm prodhohet duke shumëzuar termin e mëparshëm me një numër konstant (i quajtur raport i përbashkët në këtë kontekst). Për shembull: Weisstein, Eric W. "Series". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-30. 

Në përgjithësi, seria gjeometrike

konvergon atëherë dhe vetëm atëherë kur , në të cilin rast ajo konvergon në  .

 Seria harmonike është seria  

Seria harmonike është divergjente .

 Një seri alternative është një seri ku termat alternojnë shenjën. Shembuj: 

( seri harmonike alternative ) dhe

 Një seri teleskopike 

 Pi 

 Logaritmi natyror i 2 
 Weisstein, Eric W. "Series". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-30.

 Konvergjenca absolute 
Një seri

konvergjon absolutisht nëse seria e vlerave absolute të saj

konvergon. Kjo është e mjaftueshme për të garantuar jo vetëm që seria origjinale konvergjon në një kufi, por edhe që çdo rirenditje e saj konvergjon në të njëjtin kufi.

Kategoria:Matematikë