Teorema e vlerës mesatare

Në matematikë, teorema e vlerës mesatare (ose teorema e Lagranzhit ) thotë, përafërsisht, se për një hark të caktuar planar midis dy pikave, ekziston të paktën një pikë në të cilën tangjentja me harkun është paralele me sekantin përmes pikave fundore të tij. Është një nga rezultatet më të rëndësishme në analizën reale . Kjo teoremë përdoret për të vërtetuar pohime për një funksion në një interval duke u nisur nga hipotezat vendore për derivatet në pikat e intervalit.

Më saktësisht, teorema thotë se nëse  është një funksion i vazhdueshëm në intervalin e mbyllur  dhe i diferencueshëm në intervalin e hapur , atëherë ekziston një pikë  në  të tillë që tangjentja në  është paralel me vijën sekante nëpër pikat fundore  dhe , kjo eshte,



 Deklaratë zyrtare 
parapamje| Funksioni  arrin pjerrësinë e sekantit ndërmjet  dhe  si derivat në pikë  .
parapamje| Është gjithashtu e mundur që të ketë tangjente të shumta paralele me sekantin.
Le  të jetë një funksion i vazhdueshëm në intervalin e mbyllur  dhe i diferencueshëm në intervalin e hapur  ku  Pastaj ka disa  në  sikurse



Teorema e vlerës mesatare është një përgjithësim i teoremës së Rolle-s, e cila supozon , në mënyrë që ana e djathtë sipër të jetë zero.

Teorema e vlerës mesatare është ende e vlefshme në një mjedis pak më të përgjithshëm. Duhet vetëm të supozohet se  është i vazhdueshëm në , dhe atë për çdo  në  limiti



ekziston si numër i fundëm ose i barabartë  ose  . Nëse është i kufizuar, ai kufi është i barabartë  . Një shembull ku zbatohet ky version i teoremës jepet nga hartëzimi i funksionit të rrënjës së kubit me vlerë reale , derivati i të cilit tenton në pafundësi pranë origjinës.

Teorema, siç u tha, është e rreme nëse një funksion i diferencueshëm është me vlera komplekse në vend të vlerave reale. Për shembull, përcaktoni  për te gjitha  reale. Atëherë



derisa  për çdo  real.

 Implikimet 
Teorema 1: Supozojmë se  është një funksion i vazhdueshëm, me vlera reale, i përcaktuar në një interval arbitrar  të vijës reale. Nëse derivati i  në çdo pikë të brendshme të intervalit  ekziston dhe është zero, atëherë  është konstante në brendësi të intervalit.

Teorema 2: Nëse  për të gjitha  në një interval  të fushës së këtyre funksioneve, atëherë  është konstante, dmth  ku  është a konstante në .

Vërtetim: Le të jetë , atëherë  në intervalin ( a, b ), kështu që teorema e mësipërme 1 tregon se  është një konstante c ose .

Teorema 3: Nëse  është një integral i pacaktuar i  në një interval , atëherë integrali i pacaktuar më i përgjithshëm i  në  është  ku  është një konstante.

 Teorema e vlerës mesatare të Koshisë 
Teorema e vlerës mesatare të Koshisë, e njohur gjithashtu si teorema e vlerës mesatare të zgjeruar,  është një përgjithësim i teoremës së vlerës mesatare. Ai thotë: nëse funksionet  dhe  janë të dyja të vazhdueshme në intervalin e mbyllur  dhe i diferencueshëm në intervalin e hapur , atëherë ka disa , të tilla që 
djathtas|parapamje|260x260px| Kuptimi gjeometrik i teoremës së Koshisë



Sigurisht, nëse  dhe , kjo është e barabartë me:



Gjeometrikisht, kjo do të thotë se ka një tangjente në grafikun e kurbës 



e cila është paralele me drejtëzën e përcaktuar nga pikat  dhe  . Megjithatë, teorema e Koshiut nuk pretendon ekzistencën e një tangjenteje të tillë në të gjitha rastet kur  dhe  janë pika të dallueshme, pasi mund të kënaqet vetëm për ndonjë vlerë  me , me fjalë të tjera një vlerë për të cilën kurba e përmendur është e palëvizshme ; në pika të tilla nuk ka gjasa të përcaktohet fare tangjenti i kurbës. Një shembull i kësaj situate është kurba e dhënë nga



e cila në intervalin  shkon nga pika  te , megjithatë kurrë nuk ka një tangjente horizontale; megjithatë ajo ka një pikë të palëvizshme (në fakt një kulm ) në  .

 Teoremat e vlerës mesatare për integrale të përcaktuara 

 Teorema e parë e vlerës mesatare për integrale të përcaktuara 
djathtas|parapamje| Gjeometrikisht: duke interpretuar  si lartësinë e një drejtkëndëshi dhe  si gjerësi, ky drejtkëndësh ka të njëjtën sipërfaqe me rajonin poshtë kurbës nga a në b 
Le të  të jetë një funksion i vazhdueshëm. Atëherë ekziston c në  e tillë që



Meqenëse vlera mesatare e  në  përcaktohet si



ne mund ta interpretojmë përfundimin pasi  e arrin vlerën e saj mesatare në disa c në . 

Në përgjithësi, nëse  është i vazhdueshëm dhe  është një funksion i integrueshëm që nuk ndryshon shenjën në , atëherë ekziston c në  i tillë që



 Një analog probabilist i teoremës së vlerës mesatare 
Le të jenë  dhe  ndryshore të rastit jo negative të tilla që  dhe  (dmth  është më i vogël se  në rendin e zakonshëm stokastik ). Pastaj ekziston një ndryshore e rastësishme absolutisht e vazhdueshme jo-negative  që ka funksion të densitetit të probabilitetit



Le të jetë  një funksion i matshëm dhe i diferencueshëm i tillë që , dhe le të jetë derivati i tij ′ i matshëm dhe i integrueshëm nga Riemann në intervalin  për të gjithë . Atëherë,  është e fundme dhe 



 Teorema e vlerës mesatare në ndryshore komplekse 
Siç u përmend më lart, teorema nuk vlen për funksionet e diferencueshme me vlera komplekse. Në vend të kësaj, një përgjithësim i teoremës është deklaruar i tillë: 1 J.-Cl. Evard, F. Jafari, A Complex Rolle’s Theorem, American Mathematical Monthly, Vol. 99, Issue 9, (Nov. 1992), pp. 858-861.

Le të  të jetë një funksion holomorfik në bashkësinë e hapur konveks Ω, dhe le të jenë a dhe b pika të dallueshme në Ω. Atëherë ekzistojnë pika u, v në brendësi të segmentit të drejtëzës nga a në b të tilla që