Polinom i Lagranzhit

Në analizën numerike, polinomi interpolues i Lagranzhit është polinomi unik i shkallës më të ulët që interpolon një bashkësi të caktuar të dhënash.

Jepet një bashkësi të dhënash në formën e çifteve koordinative  me  të  quhen nyje dhe  quhen vlera . Polinomi i Lagranzhit  ka shkallë  dhe merr çdo vlerë në nyjen përkatëse, 

Edhe pse i emërtuar sipas Jozef-Luis Lagranzhit, i cili e botoi atë në 1795,  Republished in  Translated as  metoda u zbulua për herë të parë në 1779 nga Edward Waring .  Është gjithashtu një pasojë e lehtë e një formule të botuar në 1783 nga Leonhard Euleri . 

Përdorimet e polinomeve të Lagranzhit përfshijnë metodën Newton-Cotes të integrimit numerik, skemën e ndarjes së fshehtë të Shamirit në kriptografi dhe korrigjimin e gabimit Reed-Solomon në teorinë e kodimit .

Për nyjet e barazlarguara, interpolimi i Lagranzhit është i ndjeshëm ndaj dukurisë së luhatjes së madhe të Runges .

 Përkufizimi 
Duke pasur parasysh një bashkësi prej  nyjesh , të cilat duhet të jenë të gjitha të veçanta,  për indekset , baza e Lagranzhit për polinomet e shkallës  për këto nyje është bashkësia e polinomeve  secila e shkallës  të cilat marrin vlera  nëse  dhe  . Duke përdorur deltën e Kronecker, kjo mund të shkruhet  Çdo polinom bazë mund të përshkruhet në mënyrë të shkoqur nga produkti:Vini re se numëruesi  ka  rrënjë në nyjet  ndërsa emëruesi  shkallëzon polinomin që rezulton në mënyrë që 

Polinomi interpolues i Lagranzhit për ato nyje përmes vlerave përkatëse  është kombinimi linear:Çdo polinom i bazës ka shkallë , pra shuma  ka shkallë , dhe interpolon të dhënat sepse 

Polinomi interpolues është unik. 

 Një këndvështrim nga algjebra lineare 
Zgjidhja e një problemi interpolimi çon në një problem të algjebrës lineare që arrin në të anasjelltën e një matrice. Duke përdorur një bazë monomiale standarde për polinomin tonë të interpolimit , duhet të marrim të anasjelltën e matricëns Vandermonde  te zgjidhesh  për koeficientët  të  . Duke zgjedhur një bazë më të mirë, bazën e Lagranzhit, , ne thjesht marrim matricën identitet, , e cila është e anasjellta e saj: baza e Lagranzhit inverton automatikisht analogun e matricës Vandermonde.

 Shembull 
Ne dëshirojmë të interpolojmë  mbi segmentin   në tre nyjet 



Polinomi i nyjës,  , është



Peshat baricentrike janë



Polinomet e bazës së Lagranzhit janë



Polinomi interpolues i Lagranzhit është:



Në formën (e dytë) baricentrike,



 Shiko gjithashtu 

 Algoritmi i Nevilit
 Forma e Njutonit të polinomit të interpolimit
 Polinomi Bernshtajn
 Teorema e Karlsonit
 Konstantja e Lebegut (interpolimi)
 Sistemi Chebfun
 Tabela e serive Njutoniane
 Kovarianti i Frobeniusit
 Formula e Silvesterit
 Koeficienti i diferencës së fundme
 Interpolimi i Hermitit

 Referime 

Kategoria:Matematikë
Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara