Funksioni

Në matematikë, një funksion nga një bashkësi  në një bashkësi  i cakton secilit element të  saktësisht një element të  ; the words map, mapping, transformation, correspondence, and operator are often used synonymously. Bashkësia  quhet bashkësia e fytyrave  dhe bashkësia  quhet bashkësia e shëmbëllimeve të funksionit.
Një funksion më së shpeshti shënohet me shkronja të tilla si ,  dhe , dhe vlera e një funksioni  në një element  të domenit të tij shënohet me ; vlera numerike që rezulton nga vlerësimi i funksionit për një hyrje të caktuar merret duke zëvendësuar  me këtë vlerë; për shembull, vlera e  në  shënohet me . Kur funksioni nuk emërtohet dhe përfaqësohet nga një shprehje , vlera e funksionit, le të themi,  mund të shënohet si  . Për shembull, vlera në 4 e funksionit që hartëzon   në  mund të shënohet me  (që jep 25). 

Një funksion përfaqësohet në mënyrë unike nga bashkësia e të gjitha çifteve , të quajtura grafiku i funksionit, një mjet popullor për të ilustruar funksionin.  Kur fytyrat dhe shëmbëllimet janë bashkësi të numrave realë, çdo çift i tillë mund të konsiderohet si koordinatë karteziane të një pike në rrafsh.

Funksionet fillimisht ishin idealizimi i mënyrës sesi një madhësi e ndryshueshme varet nga një sasi tjetër. Për shembull, vendndodhja e një planeti është një funksion i kohës. Historikisht, koncepti u përpunua me llogaritjen pambarimisht të vogël në fund të shekullit të 17-të dhe, deri në shekullin e 19-të, funksionet që u morën parasysh ishin të diferencueshme. Koncepti i një funksioni u zyrtarizua në fund të shekullit të 19-të për sa i përket teorisë së grupeve, dhe kjo zgjeroi shumë fushat e zbatimit të konceptit.

Funksionet përdoren gjerësisht në shkencë, inxhinieri dhe në shumicën e fushave të matematikës. Është thënë se funksionet janë "objektet qendrore të hetimit" në shumicën e fushave të matematikës.
djathtas|parapamje| Lakorja e kuqe është grafiku i një funksioni, sepse çdo vijë vertikale ka vetëm një pikë kryqëzimi me kurbën.
parapamje| Një funksion që lidh secilën nga katër format e ngjyrosura me ngjyrën e tij.

 E ç'është funksioni? 

Një funksion nga një bashkësi  në një bashkësi  është një caktim i një elementi të  për secilin element të . Bashkësia  quhet fytyrat e funksionit dhe bashkësia  quhet shëmbëllimet e funksionit.

Një funksion, fytyrat e tij dhe shëmbëllimet e tij deklarohen me shënimin , dhe vlera e një funksioni  në një element  të , e shënuar me  quhet imazhi i  nën , ose vlera e  e aplikuar në argumentin .

Dy funksione  dhe  janë të barabarta nëse bashkësitë e tyre të domenit dhe të kodominës janë të njëjta dhe vlerat e tyre të daljes bien dakord në të gjithë domenin. Më formalisht, duke pasur parasysh  dhe , kemi f = g nëse dhe vetëm nëse  për të gjithë  .  

 Eksponenciali i bashkësisë 
Kompleti i të gjitha funksioneve nga një bashkësi  në një bashkësi  zakonisht shënohet si



e cila lexohet si  në fuqinë  .

Ky shënim është i njëjtë me shënimin për produktin kartezian të një familjeje kopjesh të  indeksuar nga  :



Identiteti i këtyre dy shënimeve motivohet nga fakti se një funksion  mund të identifikohet me elementin e prodhimit kartezian të tillë që komponenti i indeksit  është  .

Kur  ka dy elemente,  shënohet zakonisht  dhe quhet grupi i fuqive i  Mund të identifikohet me grupin e të gjitha nëngrupeve të , përmes korrespondencës një-për-një që lidhet me secilën nëngrup  funksionin  sikurse  nëse  dhe  ndryshe.

 Shënimi 

 Shënimi funksional 
Në shënimin funksional, funksionit i jepet menjëherë një emër, si p.sh , dhe përkufizimi i tij jepet nga çfarë  i bën hyrjes , duke përdorur një formulë në kufiza të  . Për shembull, funksioni që merr një numër real si hyrje dhe nxjerr atë numër plus 1 shënohet me

  .

Nëse një funksion përcaktohet me këtë shënim, fytyrat dhe shëmbëllimet e tij merren në mënyrë të heshtur si të dyja , bashkësia e numrave realë. Nëse formula nuk mund të vlerësohet në të gjithë numrat realë, atëherë fytyrat në mënyrë të heshtur merren si nëngrupi maksimal i  mbi të cilën mund të vlerësohet formula.

Një shembull më i ndërlikuar është funksioni

  .

Në këtë shembull, funksioni  merr një numër real si hyrje, e ngre në katror, pastaj i shton 1 rezultatit, më pas merr sinusin e rezultatit dhe e kthen rezultatin përfundimtar si dalje.

Shënimi funksional u përdor për herë të parë nga Leonhard Euler në 1734.  Disa funksione të përdorura gjerësisht përfaqësohen nga një simbol i përbërë nga disa shkronja (zakonisht dy ose tre, përgjithësisht një shkurtim i emrit të tyre). Në këtë rast, në vend të kësaj përdoret zakonisht një tip romak, si p.sh. " sin " për funksionin sinus.

 Shënimi i shigjetës 
Shënimi me shigjetë e përcakton rregullin e një funksioni në rresht. Për shëmbull,  është funksioni që merr një numër real si hyrje dhe në dalje jep atë plus 1. Prapë bashkësitë nuk janë të dhëna kështu që implikohet .



Kjo përcakton një funksion sqr nga numrat e plotë në numrat e plotë që kthen katrorin e hyrjes së tij.

Shënimi i indeksit përdoret shpesh në vend të shënimit funksional. Kjo do të thotë, në vend që të shkruhet , shkruhet 

Ky është zakonisht rasti për funksionet, fytyra e të cilëve është bashkësia e numrave natyrorë . Një funksion i tillë quhet varg, dhe, në këtë rast, element  quhet elementi n i vargut.

 Përcaktimi i një funksioni 

 Me një formulë 
Funksionet shpesh përcaktohen nga një formulë që përshkruan një kombinim të veprimeve aritmetike dhe funksioneve të përcaktuara më parë; një formulë e tillë lejon llogaritjen e vlerës së funksionit nga vlera e çdo elementi të bashkësisë së fytyrave. Për shembull, në rastin e mësipërm,  mund të përcaktohet me formulë , për  .

Kur një funksion përcaktohet në këtë mënyrë, përcaktimi i fytyrave të tij ndonjëherë është i vështirë. Nëse formula që përcakton funksionin përmban pjesëtim, vlerat e ndryshores për të cilën emëruesi është zero duhet të përjashtohen nga fytyrat; Kështu, për një funksion të ndërlikuar, përcaktimi i fytyrave kalon përmes llogaritjes së zerove të funksioneve ndihmëse. 

Për shembull,  përcakton një funksion  fytyra e të cilit është  sepse  është gjithmonë pozitive nëse  është një numër real. Në anën tjetër,  përcakton një funksion nga realet në reale fytyra e të cilave reduktohet në intervalin [ -1, 1 ] . 

Funksionet shpesh klasifikohen sipas natyrës së formulave që i përcaktojnë ato:

 Një funksion kuadratik është një funksion që mund të shkruhet  ku a, b, c janë konstante .
 Në përgjithësi, një funksion polinomial është një funksion që mund të përcaktohet nga një formulë që përfshin vetëm mbledhje, zbritje, shumëzime dhe ngritje në fuqi të fuqive jonegative. Për shembull,  dhe  janë funksione polinomiale të  .
 Një funksion racional është i njëjtë, duke lejuar edhe pjesëtimin, si p.sh  dhe 
 Një funksion algjebrik është i njëjtë, me rrënjë të indeksit <i>n</i> dhe rrënjë të polinomeve të lejuara gjithashtu.
 Një funksion elementar është i njëjtë, me logaritme dhe funksione eksponenciale të lejuara.

 Funksionet e anasjellta dhe të nënkuptuara 
Një funksion  me fytyrë  dhe shëmbëllim , është bijektiv, nëse për çdo  në , ka një dhe vetëm një element  në  të tillë që . Në këtë rast, funksioni i anasjelltë i  është funksioni  që hartat  tek elementi  të tillë që . Për shembull, logaritmi natyror është një funksion bijektiv nga numrat realë pozitivë në numrat realë. Kështu, ai ka një të anasjelltë, të quajtur funksioni eksponencial, që harton numrat realë në numrat pozitivë.

Nëse një funksion  nuk është bijektiv, mund të ndodhë që të zgjidhet një nënbashkësi  dhe  i tillë që kufizimi i  në  është një bijeksion nga   në , dhe kështu ka një invers. Funksionet trigonometrike të anasjellta përcaktohen në këtë mënyrë. Për shembull, funksioni kosinus indukton, duke e kufizuar, një bijeksion nga intervali  në intervalin [ -1, 1 ] dhe funksioni i tij i kundërt, i quajtur arkkosinus, harton [ -1, 1 ] në . Funksionet e tjera trigonometrike të anasjellta janë përcaktuar në mënyrë të ngjashme.

Më përgjithësisht, duke pasur parasysh një lidhje binare  ndërmjet dy grupeve  dhe , le të jetë  një nëngrup i  i tillë që, për çdo  aty ka disa  të tilla që  . Nëse dikush ka një kriter që lejon zgjedhjen e një  të tillë për çdo  kjo përcakton një funksion  quhet funksion i nënkuptuar, sepse përkufizohet në mënyrë të nënkuptuar nga relacioni R.

Për shembull, ekuacioni i rrethit njësi  përcakton një lidhje me numrat realë. Nëse −1 < x < 1 ka dy vlera të mundshme të y, një pozitive dhe një negative. Për x = ± 1, këto dy vlera bëhen të barabarta me 0. Përndryshe, nuk ka vlerë të mundshme të y . Kjo do të thotë se ekuacioni përcakton dy funksione të nënkuptuara me fytyra [ −1, 1 ] dhe shëmbëllimet përkatëse [ 0, +∞) dhe (−∞, 0] .

 Përdorimi i llogaritjes diferenciale 
Shumë funksione mund të përkufizohen si integrale të pacaktuara të një funksioni tjetër. Ky është rasti i logaritmit natyror, i cili është integrali i pacaktuar i  që është 0 për x = 1 . Një shembull tjetër i zakonshëm është funksioni i gabimit .

 Përfaqësimi i një funksioni 
Një grafik përdoret zakonisht për të dhënë një pamje intuitive të një funksioni. Si shembull se si një grafik ndihmon për të kuptuar një funksion, është e lehtë të shihet nga grafiku i tij nëse një funksion është në rritje apo në rënie. Disa funksione mund të përfaqësohen gjithashtu nga grafikët me shtylla .

 Grafikët dhe plotet 
parapamje| Funksioni që hartëzon çdo vit me numrin e vdekjeve të automjeteve motorike në SHBA, i paraqitur si një tabelë vijash
Jepet një funksion  grafiku i tij është, formalisht, grupi



Në rastin e shpeshtë kur X dhe Y janë nënbashkësi të numrave realë (ose mund të identifikohen me nënbashkësi të tilla, p.sh. intervale ), një element  mund të identifikohet me një pikë që ka koordinata x, y në një sistem koordinativ 2-dimensional, p.sh. rrafshin kartezian . Pjesë të kësaj mund të krijojnë një grafik që përfaqëson (pjesë të) funksionit. Përdorimi i grafikëve është aq i kudondodhur sa edhe ato quhen grafiku i funksionit . 

 Përbërja e funksionit 
Jepen dy funksione  dhe  të tillë që fytyra e  është shëmbëllimi i , përbërja e tyre është funksioni  i përcaktuar nga



Kjo dmth se vlera e  fitohet duke zbatuar fillimisht f në x për të marrë  dhe më pas duke zbatuar g në rezultatin y për të marrë  . Në shënim funksioni që zbatohet i pari shkruhet gjithmonë djathtas.djathtas|parapamje| Grafiku i një funksioni linearPërbërja  është një veprim mbi funksionet që përcaktohet vetëm nëse shëmbëllimi i funksionit të parë është fytyra e të dytit. Edhe kur të dyja  dhe  plotësojnë këto kushte, përbërja nuk është domosdoshmërisht ndërruese, domethënë funksionet  dhe  nuk duhet të jetë të barabartë, por mund të japin vlera të ndryshme për të njëjtin argument. Për shembull, le të jenë  dhe , atëherë  dhe  janë njëlloj vetëm për 

Përbërja e funksionit është shoqëruese në kuptimin që, nëse një nga  dhe  përkufizohet, pastaj përkufizohet edhe tjetra dhe janë të barabarta. Kështu, shkruhet



 Imazhi dhe paraimazhi 
Le të jetë  Imazhi nën i një elementi  të fytyrave  është . Nëse  është një nënbashkësi e, atëherë imazhi i  nën , i shënuar , është nënbashkësia e shëmbëllimeve  që përmban të gjitha imazhet e eëementëve të , që dmth:



Imazhi i  është imazhi i të gjithë domenit, domethënë  . [18] Quhet gjithashtu diapazoni i ,  Quantities and Units - Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology, p. 15. ISO 80000-2 (ISO/IEC 2009-12-01)

Nga ana tjetër, imazhi i anasjelltë ose paraimazhi nën  i një elementi y të shëmbëllimit  është bashkësia e të gjithë elementëve të domenit , imazhet e të cilëve nën  janë të barabarta y.  Në simbole, paraimazhi i y -së shënohet me  dhe jepet nga ekuacioni



Po kështu, paraimazhi i një nënbashkësie  të shëmbëllimit  është bashkësia e paraimazheve të elementeve të , domethënë është nënbashkësia e fytyrave  që përbëhet nga të gjithë elementët e , imazhet e të cilit i përkasin .  Shënohet me djathtas|parapamje| Grafiku i një funksioni polinomial, këtu një funksion kuadratik.dhe jepet nga ekuacioni



Për shembull, paraimazhi i  nën funksionin katror është bashkësia  .

 Funksionet injektive, syrjektive dhe bijektive 
Le  të jetë një funksion.

Funksioni  është injektiv (ose një-me-një, ose është një injeksion ) nëse  për çdo dy elementë të ndryshme  dhe  të  .   Në mënyrë të njëvlershme,  është injektiv atëherë dhe vetëm atëherë kur për ndonjë  paraimazhi  përmban të shumtën një element. Një funksion bosh është gjithmonë injektiv. Nëse  nuk është grupi bosh, atëherë f është injektiv nëse dhe vetëm nëse ekziston një funksion  sikurse  domethënë, nëse  ka një invers të majtë .  Vërtetim : Nëse f është injektiv, për përcaktimin e g, zgjidhet një element  në  (i cili ekziston pasi X supozohet të jetë jo bosh),  dhe njëri përcakton g me  nëse  dhe  nëse  Në të kundërt, nëse  dhe  pastaj  dhe kështu djathtas|parapamje| Grafiku i dy funksioneve trigonometrike: sinusit dhe kosinusit .

Funksioni  është surjektiv (ose mbi, ose është një surjeksion ) nëse diapazoni i tij  barazohet me shëmbëllimin e tij , domethënë nëse, për secilin element  të shëmbëllimit, ekziston një element  i fytyrave i tillë që  (me fjalë të tjera, paraimazhi  të çdo  nuk është bosh).   Nëse, si zakonisht në matematikën moderne, supozohet aksioma e zgjedhjes, atëherë  është surjektiv nëse dhe vetëm nëse ekziston një funksion  sikurse  domethënë, nëse  ka një të anasjelltë të drejtë .  

Funksioni  është bijektiv (ose është një bijeksion ose një korrespodencë një-për-një ) nëse është edhe injektiv edhe surjektiv.   Kjo do të thotë,  është bijektiv nëse, për ndonjë  paraimazhi  përmban saktësisht një element. Funksioni  është bijektiv nëse dhe vetëm nëse pranon një funksion të anasjelltë, domethënë një funksion  sikurse  dhe  

 Referime 

 Referime 









 Lexo më shumë 








  An approachable and diverting historical presentation.