Shpërndarja eksponenciale

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja eksponenciale ose shpërndarja eksponenciale negative është shpërndarja e probabilitetit të kohës ndërmjet ngjarjeve në një proces pikësor Poisson, dmth, një proces në të cilin ngjarjet ndodhin vazhdimisht dhe në mënyrë të pavarur me një normë mesatare konstante. Është një rast i veçantë i shpërndarjes gama . Ai është analogu i vazhdueshëm i shpërndarjes gjeometrike dhe ka vetinë kryesore të të qenit pa memorie . Përveç përdorimit për analizën e proceseve pikësore Poisson, ai haset në kontekste të tjera të ndryshme.

Shpërndarja eksponenciale nuk është e njëjtë me klasën e familjeve eksponenciale të shpërndarjeve. Kjo është një klasë e madhe shpërndarjesh probabiliteti që përfshin shpërndarjen eksponenciale si një nga anëtarët e saj, por gjithashtu përfshin shumë shpërndarje të tjera, si shpërndarjet normale, binomiale, gama dhe Poisson .

 Përkufizimet 

 Funksioni i dendësisë së probabilitetit 
Funksioni i dendësisë së probabilitetit (fdp) i një shpërndarjeje eksponenciale është



Këtu λ > 0 është parametri i shpërndarjes, i quajtur shpesh parametri i shkallës . Shpërndarja është e përcaktuar në intervalin  . Nëse një ndryshore e rastit  ka këtë shpërndarje shkruajmë  .

 Funksioni i shpërndarjes mbledhëse 
Funksioni i mbledhës i shpërndarjes jepet nga



 Parametrizimi alternativ 
Shpërndarja eksponenciale nganjëherë parametrizohet në termat e parametrit të shkallës  që është edhe mesatarja:

 Vetitë 

 Mesatarja, varianca, momentet dhe mesorja 
parapamje| Mesatarja është qendra e masës së probabilitetit, domethënë momenti i parë .
parapamje| Mesorja është paraimazhi F −1 (1/2).
Vlera mesatare ose pritja matematike e një ndryshoreje rasti  të shpërndarë në mënyrë eksponenciale me parametrin e shpejtësisë  jepet ngaNë dritën e shembujve të dhënë më poshtë, kjo ka kuptim: nëse merrni telefonata me një normë mesatare prej 2 ndodhish në orë, atëherë mund të prisni që të prisni gjysmë ore për çdo telefonatë.

Varianca e  jepet ngapra shmangia standarde është e barabartë me mesataren.

Momentet e , për  jepen ngaMomentet qendrore të , për  jepen ngaku  është nënfaktoriali i  .Mesorja e  jepet ngaku  i referohet logaritmit natyror. Kështu ndryshimi absolut midis mesatares dhe mesores është

 Vetia pa memorie e ndryshores së rastit eksponenciale 
Një ndryshore e rastit  e shpërndarë në mënyrë eksponenciale i bindet relacionitKjo mund të shihet duke marrë parasysh funksionin e shpërndarjes mbledhëse plotëse :Kur  interpretohet si koha e pritjes që një ngjarje të ndodhë në lidhje me një kohë fillestare, kjo lidhje nënkupton që, nëse  kushtëzohet nga dështimi për të vëzhguar ngjarjen gjatë një periudhe fillestare kohore s, shpërndarja e kohës së mbetur të pritjes është e njëjtë me shpërndarjen origjinale të pakushtëzuar. Për shembull, nëse një ngjarje nuk ka ndodhur pas 30 sekondash, probabiliteti i kushtëzuar që ndodhia do të marrë të paktën 10 sekonda më shumë është i barabartë me probabilitetin e pakushtëzuar të vëzhgimit të ngjarjes më shumë se 10 sekonda pas kohës fillestare.

Shpërndarja eksponenciale dhe shpërndarja gjeometrike janë të vetmet shpërndarje të probabilitetit pa kujtesë .

 Kuantilet 
Funksioni kuantile (funksioni i shpërndarjes mbledhëse të anasjelltë) për  ështëPrandaj, kuartilet janë:

 kuartili i parë: 
 mesorja : 
 kuartili i tretë: 

 Vlera e kushtëzuar në rrezik (mungesë e pritshme) 
Vlera e kushtëzuar në rrezik (CVaR) e njohur gjithashtu si mungesa e pritshme ose superkuantili për  rrjedh si më poshtë: 

 Divergjenca Kullback–Leibler 
Divergjenca e drejtuar Kullback–Leibler në nats të  (shpërndarja "përafërt") nga  (shpërndarja 'e vërtetë') jepet nga

 Shuma e dy ndryshoreve të rastit eksponenciale të pavarura 
Funksioni i shpërndarjes së probabilitetit (FSHP) i një shume të dy ndryshoreve të rastit të pavarura është ndërthurja e FSHP-ve të secilës . Nëse  dhe  janë ndryshore rasti eksponenciale të pavarura me parametra të shkallës përkatësisht  dhe  atëherë dendësia e probabilitetit të  jepet nga

 Shpërndarjet e ndërlidhura 

 Nëse  ~ Laplace(μ, β−1),  atëherë .
 Nëse ~ Pareto(1, λ),  atëherë .
 Nëse  ~ SkewLogistic(θ),  atëherë .
 Nëse   atëherë 
 Shpërndarja eksponenciale është një limit i asaj beta: 
 Nëse  dhe   atëherë:
 , mbyllja nën shkallëzimin me faktor konstant.
   Pareto.
   .
  ~ PowerLaw
 ,  shpërndarja Rayleigh 
 ,  shpërndarja Weibull 

 .
 ,  shpërndarje gjeometrike  në 0,1,2,3,...
 , shpërndarje gjeometrike në 1,2,3,4,...
 Nëse  ose   atëherë 
  ~ Laplas(0, 1).
 Nëse gjithashtu   atëherë:
   =  =  .
 Nëse ,  atëherë .
  .
 Nëse gjithashtu  janë të pavarura,  atëherë:

  ka fdp . 
 Nëse gjithashtu λ = 1:
 ,  shpërndarja logjistike

 Më tej , nëse   atëherë  (shpërndarja K)
 Nëse gjithashtu   atëherë ; i.e.,  ka një shpërndarje hi katror  with 2 shkallë lirie. Kështu: 
 Nëse  dhe  ~ Poisson(X)  atëherë      (shpërndarja gjeometrike)

 Konkluzioni statistikor 
Më poshtë, supozoni se ndryshorja e rastit  shpërndahet në mënyrë eksponenciale me parametrin e shpejtësisë , dhe  janë  mostra të pavarura nga , me mesataren e mostrës  .

 Vlerësimi i parametrave 
Vlerësuesi i përgjasisë maksimale për  është ndërtuar si më poshtë.

Funksioni i përgjasisë për , duke pasur parasysh një popullim të pavarur dhe të shpërndarë në mënyrë identike  të nxjerrë nga ndryshorja, është:ku:është mesatarja e kampionit.

Derivati i logaritmit të funksionit të përgjasisë është:Rrjedhimisht, vlerësuesi i përgjasisë maksimale për parametrin e normës është:Ky nuk është një vlerësues i paanshëm i  edhe pse  is një vlerësues i paanshëm  VPM NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods i  dhe mesatarja e shpërndarjes.

Zhvendosja e  është e barabartë mee cila jep vlerësuesin e përgjasisë maksimale të korrigjuar për zhvendosjen

 Informacioni i Fisherit 
Informacioni Fisher, shënohet , për një vlerësues të parametrit të normës  jepet si:Futja në shpërndarje dhe zgjidhja jep:Kjo përcakton sasinë e informacionit që çdo mostër e pavarur e një shpërndarjeje eksponenciale mbart për parametrin e panjohur të shkallës  .

 Ndodhja dhe aplikimet 

 Ndodhja e ngjarjeve 
Shpërndarja eksponenciale ndodh natyrshëm kur përshkruhen gjatësitë e kohërave ndërmjet mbërritjes në një proces homogjen Poisson .

Ndryshoret eksponenciale mund të përdoren gjithashtu për të modeluar situata ku ndodhin ngjarje të caktuara me një probabilitet konstant për njësi gjatësie, siç është largësia midis mutacioneve në një varg të ADN-së, ose midis goditjeve në rrugë në një rrugë të caktuar.

Në fizikë, nëse vëzhgoni një gaz në një temperaturë dhe shtypje fikse në një fushë gravitacionale të njëtrajtshme, lartësitë e molekulave të ndryshme ndjekin gjithashtu një shpërndarje të përafërt eksponenciale, të njohur si formula barometrike . Kjo është pasojë e vetive të entropisë të përmendura më poshtë.
Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara