Divergjenca

Në llogaritjen vektoriale, divergjenca është një operator vektorial që vepron mbi një fushë vektoriale, duke prodhuar një fushë skalare që jep madhësinë e burimit të fushës vektoriale në secilën pikë. Më teknikisht, divergjenca përfaqëson dëndësinë e vëllimit të fluksit të jashtëm të një fushe vektoriale nga një vëllim pambarimisht i vogël rreth një pike të caktuar.

Si shembull, merrni parasysh ajrin ndërsa nxehet ose ftohet. Shpejtësia e ajrit në çdo pikë përcakton një fushë vektoriale. Ndërsa ajri nxehet në një rajon, ai zgjerohet në të gjitha drejtimet, dhe kështu fusha e shpejtësisë tregon jashtë nga ai rajon. Kështu, divergjenca e fushës së shpejtësisë në atë rajon do të kishte një vlerë pozitive. Ndërsa ajri ftohet dhe kështu tkurret, divergjenca e shpejtësisë ka një vlerë negative.

 E ç'është divergjenca? 
parapamje| Divergjenca në një pikë  është limiti i raportit të fluksit  përmes sipërfaqes  (shigjeta të kuqe) tek vëllimi  për çdo varg të rajoneve të mbyllura  që mbyllin  i cili i afrohet vëllimit zero: 
Divergjenca e një fushe vektoriale  në një pikë  përcaktohet si kufiri i raportit të integralit të sipërfaqes së  jashtë sipërfaqes së mbyllur të një vëllimi  që mbyll  me vëllimin e , ndërsa  tkurret në zero

ku  është vëllimi i ,  është kufiri i , and   është normalja njësi e asaj sipërfaqe.  IMund të tregohet se limiti i mësipërm konvergjon gjithmonë drejt së njëjtës vlerë për çdo sekuencë vëllimesh që përmbajnë  dhe i afrohen zeros.  Rezultati, , është një funksion skalar i .

 Përkufizimi në koordinata 

 Koordinatat karteziane 
Në koordinatat karteziane tredimensionale, divergjenca e një fushe vektoriale vazhdimisht të diferencueshme  përkufizohet si funksioni me vlera skalare :



 Koordinatat cilindrike 
Për një vektor të shprehur në koordinata cilindrike njësi si



ku  është vektori njësi në drejtimin a, divergjenca është 



Përdorimi i koordinatave vendore është jetik për vlefshmërinë e shprehjes. Nëse marrim parasysh  si vektorin e vendndodhjes dhe funksionet ,  dhe , të cilët i caktojnë një vektori koordinatën cilindrike globale përkatëse, në përgjithësi. , , dhe  . Në veçanti, nëse marrim parasysh funksionin e identitetit , gjejmë se:

  .

 Koordinatat sferike 
Në koordinatat sferike, me  këndin me boshtin  dhe  rrotullimin rreth boshtit , dhe  përsëri të shkruar në koordinatat e njësive vendore, divergjenca është:



 Vetitë 
Vetitë e mëposhtme mund të nxirren të gjitha nga rregullat e zakonshme të diferencimit të llogaritjes . Më e rëndësishmja, divergjenca është një operator linear, dmth.



për të gjitha fushat vektoriale  dhe  dhe të gjithë numrat realë  dhe  .

Ekziston një rregull produkti i llojit të mëposhtëm: nëse  është një funksion me vlera skalare dhe  është një fushë vektoriale, atëherë



ose në shënime më sugjestive



Një rregull tjetër produkti për produktin kryq të dy fushave vektoriale  dhe  në tre dimensione përfshin kaçurrelin dhe lexon si më poshtë:



ose



Laplasiani i një fushe skalare është divergjenca e gradientit të fushës:



Divergjenca e kaçurrelit të çdo fushe vektoriale (në tre dimensione) është e barabartë me zero:



Kategoria:Algjebër abstrakte
Kategoria:Analizë matematike
Kategoria:Fizikë matematike
Kategoria:Analiza numerike