Jakobiani dhe përcaktori i një matrice

Në analizën matematike vektoriale, matrica jakobiane e një funksioni me vlera vektoriale të disa ndryshoreve është matrica e të gjithë derivateve të tij të pjesshme të rendit të parë. Kur kjo matricë është katrore, domethënë, kur funksioni merr të njëjtin numër ndryshoresh si hyrje po aq sa numri i përbërësve vektorialë të prodhimit të tij, përcaktorit të tij i referohet si përcaktor Jakobian . Si matrica ashtu edhe (nëse është e zbatueshme) përcaktori shpesh referohen thjesht si Jakobian në literaturë. 

 Shembull 
Supozoni  është një funksion i tillë që secili prej derivateve të pjesshme të tij të rendit të parë ekzistojnë në . Ky funksion merr një pikë  si hyrje dhe prodhon vektorin  si dalje. Pastaj matrica jakobiane e f përcaktohet të jetë një matricë m × n, e shënuar me J, hyrja (i, j ) e së cilës është , ose në mënyrë eksplicite



ku  është transpozimi (vektori i rreshtit) i gradientit të përbërëses  .

Matrica Jakobiane, hyrjet e së cilës janë funksione të x, shënohet në mënyra të ndryshme; shënimet e zakonshme përfshijnë ,,, dhe  . Disa autorë e përkufizojnë Jakobianin si transpozim të formës së dhënë më sipër.

Matrica Jakobiane paraqet diferencialin e f në çdo pikë ku f është i diferencueshëm. Në mënyrë të detajuar, nëse h është një vektor zhvendosjeje i përfaqësuar nga një matricë shtyllë, prodhimi i matricës J ( x ) ⋅ h është një vektor tjetër zhvendosjeje, që është përafrimi më i mirë linear i ndryshimit të f në një zonë rrethuese të x, nëse  është i diferencueshëm në x .  Kjo do të thotë se funksioni që e paraqet  në  është përafrimi më i mirë linear i  për të gjitha pikat y afër x . Harta lineare  njihet si derivat ose <i id="mwVQ">diferencial</i> i f në x .

 Përcaktori jakobian 
parapamje|400x400px| Një hartë jolineare  dërgon një katror të vogël (majtas, me të kuqe) në një paralelogram të shformuar (djathtas, me të kuqe). Jakobiani në një pikë jep përafrimin më të mirë linear të paralelogramit të shtrembëruar pranë asaj pike (djathtas, në të bardhë të tejdukshme), dhe përcaktori Jakobian jep raportin e sipërfaqes së paralelogramit të përafërt me atë të katrorit fillestar.
Nëse m = n, atëherë f është një funksion nga  në vetvete dhe matrica Jakobiane është një matricë katrore . Më pas mund të formojmë përcaktorin e tij, të njohur si përcaktori Jakobiane . Përcaktori jakobian nganjëherë referohet thjesht si "jakobian".

Përcaktori Jacobian përdoret kur bëhet një zëvëndësim i ndryshoreve kur vlerësohet një integral i shumëfishtë i një funksioni mbi një rajon brenda domenit të tij. Për të akomoduar ndryshimin e koordinatave, madhësia e përcaktorit jakobian lind si një faktor shumëzues brenda integralit. Kjo është për shkak se elementi n -dimensional dV është në përgjithësi një paralelopiped në sistemin e ri të koordinatave, dhe vëllimi n i një paralelipipedi është përcaktuesi i vektorëve të skajit të tij.

 Shembuj 

 Shembulli 1 
Merrni parasysh funksionin  , me (x, y ) ↦ ( , ), dhënë nga



Pastaj kemi



dhe



dhe matrica jakobiane e f është



dhe jakobiani është



 Shembulli 2: transformimi polar-kartezian 
Shndërrimi nga koordinatat polare (r, φ ) në koordinatat karteziane ( x, y ), jepet nga funksioni F :  × [0, 2 π ) → me përbërës:




Jakobiani është i barabartë me r . Kjo mund të përdoret për të transformuar integrale midis dy sistemeve të koordinatave:



 Shembulli 3: transformimi sferik-kartezian 
Shndërrimi nga koordinatat sferike (ρ, φ, θ ) Joel Hass, Christopher Heil, and Maurice Weir. Thomas' Calculus Early Transcendentals, 14e. Pearson, 2018, p. 959. në koordinatat karteziane ( x, y, z ), jepet me funksionin F :  × [0, π ) × [0, 2 π ) →  me përbërës:



Jakobiani për këtë ndryshim të koordinatave është



Përcaktori është  . Meqenëse  është vëllimi për një element vëllimi diferencial drejtkëndor (sepse vëllimi i një prizmi drejtkëndor është prodhimi i anëve të tij), ne mund të interpretojmë  si vëllimin e diferencialit sferik. element vëllimi . Ndryshe nga vëllimi i elementit të vëllimit diferencial drejtkëndor, vëllimi i këtij elementi vëllimor diferencial nuk është konstant dhe ndryshon me koordinatat ( ρ dhe φ ). Mund të përdoret për të transformuar integrale midis dy sistemeve të koordinatave:



 Shembulli 4 
Matrica Jakobiane e funksionit  me përbërës





Ky shembull tregon se matrica Jakobiane nuk duhet të jetë me doemos një matricë katrore.