Shpërndarja hipergjeometrike negative

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja hipergjeometrike negative përshkruan probabilitetet për marrjen e mostrave nga një popullsi e fundme pa zëvendësim, në të cilën çdo popullim mund të klasifikohet në dy kategori ndërsjellazi përjashtuese si Sukses/Dështim ose i Punësuar/I papunësuar. Ndërsa zgjedhjet e rastësishme bëhen nga popullsia, çdo tërheqje e mëpasshme zvogëlon popullsinë duke bërë që probabiliteti i suksesit të ndryshojë me çdo tërheqje. Ndryshe nga shpërndarja standarde hipergjeometrike, e cila përshkruan numrin e sukseseve në një madhësi fikse kampioni, në shpërndarjen hipergjeometrike negative, popullimet nxirren deri sa janë gjetur  dështime dhe shpërndarja përshkruan probabilitetin e gjetjes  sukseseve në një popullim të tillë. Me fjalë të tjera, shpërndarja negative hipergjeometrike përshkruan gjasat e  sukseseve në një popullim me saktësisht  dështime.

 Përkufizimi 
Ka  elemente, nga të cilat  përkufizohen si "suksese" dhe pjesa tjetër janë "dështime".

Elementet vizatohen njëri pas tjetrit, pa zëvendësime, derisa hasen  dështime. Pastaj, zgjedhja ndalon dhe numri i  sukseseve numërohet. Shpërndarja negative hipergjeometrike,  është shpërndarja diskrete e kësaj  .

Shpërndarja hipergjeometrike negative është një rast i veçantë i shpërndarjes beta-binomiale  §6.2.2 (p.253–254) me parametra  dhe  të dy duke qenë numra të plotë (dhe  ).

Rezultati kërkon që ne të vëzhgojmë  suksese në  tërheqje dhe copëzat  duhet të jenë dështime. Probabiliteti i të parës mund të gjendet me zbatimin e drejtpërdrejtë të shpërndarjes hipergjeometrike  dhe probabiliteti i kësaj të fundit është thjesht numri i dështimeve të mbetura  pjesëtuar me madhësinë e popullsisë së mbetur  . Probabiliteti për të pasur saktësisht  suksese deri në dështimin  (dmth. tërheqja ndalon sapo popullimi të përfshijë numrin e paracaktuar të  dështimeve) atëherë është prodhimi i këtyre dy probabiliteteve:

Prandaj, një ndryshore e rastit  ndjek shpërndarjen hipergjeometrike negative nëse funksioni i masës së probabilitetit të tij (fmp) jepet nga

ku

  është madhësia e popullsisë,
  është numri i gjëndjeve të suksesshme në popullatë,
  është numri i dështimeve,
  është numri i sukseseve të vërejtura,
  është një koeficient binomial

Sipas dizajnit, probabilitetet shumohen në 1. Megjithatë, në rast se duam ta tregojmë në mënyrë eksplicite kemi:

ku kemi përdorur faktin se,

i cili mund të nxirret duke përdorur identitetin binomial,  dhe identiteti Chu-Vandermonde, , i cili vlen për çdo vlerë komplekse  dhe  dhe çdo numër i plotë jo negativ  .

 Pritja matematike 
Gjatë numërimit të numrit  të sukseseve përpara  dështimeve, numri i pritshëm i sukseseve është  dhe mund të nxirret si më poshtë.

ku kemi përdorur marrëdhënien , që kemi nxjerrë më lart për të treguar se shpërndarja negative hipergjeometrike ishte normalizuar siç duhet.

 Varianca 
Varianca mund të nxirret nga llogaritja e mëposhtme.

Atëherë varianca është 

 Shpërndarjet e ndërlidhura 
Nëse tërheqja ndalet pas një numri konstant  tërheqjesh (pavarësisht nga numri i dështimeve), atëherë numri i sukseseve ndjek shpërndarjen hipergjeometrike,  . Të dy funksionet janë të lidhura në mënyrën e mëposhtme: Negative hypergeometric distribution  in Encyclopedia of Math.

Shpërndarja negative-hipergjeometrike (si shpërndarja hipergjeometrike) merret me tërheqjet pa zëvendësim, kështu që probabiliteti i suksesit është i ndryshëm në çdo barazim. Në të kundërt, shpërndarja binomiale negative (si shpërndarja binomiale) merret me tërheqjet me zëvendësim, në mënyrë që probabiliteti i suksesit të jetë i njëjtë dhe provat të jenë të pavarura. Tabela e mëposhtme përmbledh katër shpërndarjet që lidhen me tërheqjen e sendeve:
 Me zëvendësime Asnjë zëvendësim # i sukseseve në # konstant të tërheqjeve shpërndarja binomiale shpërndarja hipergjeometrike # i sukseseve në # konstant të dështimeve shpërndarje binomiale negative shpërndarje hipergjeometrike negative
Disa autorë Rohatgi, Vijay K., and AK Md Ehsanes Saleh. An introduction to probability and statistics. John Wiley & Sons, 2015. Khan, RA (1994). A note on the generating function of a negative hypergeometric distribution. Sankhya: The Indian Journal of Statistics B, 56(3), 309-313. përcaktojnë shpërndarjen negative hipergjeometrike si numrin e tërheqjeve të nevojshme për të marrë  dështime. Le të jetë  shënimi këtë numër. Atëherë është e qartë se  ku  është siç është përcaktuar më sipër. Prandaj FMP  . Nëse e shënojmë numrin e dështimeve   me  do të thotë që kemi  . Bashkësia e përcaktimit e  është bashkësia  . Është e qartë se  dhe ajo  .
Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara