Funksioni i gabimit

Në matematikë, funksioni i gabimit (i quajtur edhe funksioni i gabimit të Gausit ), i shënuar shpesh me erf, është një funksion kompleks i një ndryshoreje komplekse të përcaktuar si: 



Disa autorë përcaktojnë  pa faktorin  .  Ky integral jo-elementar është një funksion sigmoid që haset shpesh në probabilitet, statistikë dhe ekuacione diferenciale të pjesshme . Në shumë prej këtyre zbatimeve, argumenti i funksionit është një numër real. Nëse argumenti i funksionit është real, atëherë vlera e funksionit është gjithashtu reale.

Në statistika, për vlerat jonegative të , funksioni i gabimit ka interpretimin e mëposhtëm: për një ndryshore të rastësishme  që shpërndahet normalisht me mesatare 0 dhe shmangie standarde  ,  është probabiliteti që të jetë në segmentin .

Dy funksione të lidhura ngushtë janë funksioni i gabimit plotësues ( erfc ) i përcaktuar si



dhe funksioni i gabimit imagjinar ( erfi ) i përcaktuar si



ku i është njësia imagjinare .

 Emri 
Emri "funksioni i gabimit" dhe shkurtesa e tij erf u propozuan nga JWL Glaisher në 1871 për shkak të lidhjes së tij me "teorinë e probabilitetit, dhe veçanërisht teorinë e gabimeve ".  Plotësi i funksionit të gabimit u diskutua gjithashtu nga Glaisher në një botim të veçantë në të njëjtin vit.  Për "ligjin e lehtësirave" të gabimeve dendësia e të cilave jepet nga



( shpërndarja normale ), Glaisher llogarit probabilitetin e një gabimi që shtrihet midis p dhe q si:

 alt=Plot of the error function Erf(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D|parapamje| Vizatimi i funksionit të gabimit Erf(z) në planin kompleks nga  në  me ngjyra të krijuara me funksionin Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

 Zbatimet 
Kur rezultatet e një serie matjesh përshkruhen nga një shpërndarje normale me shmangie standarde  dhe pritje matematike 0, atëherë është probabiliteti që gabimi i një matje të vetme të shtrihet mes  dhe  për  pozitive. Kjo është e dorës për shëmbull kur përcaktohet shkalla e gabimit të biteve në një sistem dixhital komunikimi.

Funksionet e gabimit dhe gabimit plotësues ndodhin, për shembull, në zgjidhjet e ekuacionit të nxehtësisë kur kushtet kufitare jepen nga funksioni i hapit Heaviside .

Funksioni i gabimit dhe përafrimet e tij mund të përdoren për të vlerësuar rezultate që qëndrojnë me probabilitet të lartë ose me probabilitet të ulët. Jepet një ndryshore e rastit  (një shpërndarje normale me mesatare μ dhe devijim standard σ ) dhe një konstante :



ku A dhe B janë konstante numerike të caktuara. Nëse L është mjaftueshëm larg nga mesatarja, konkretisht  atëherë:



pra probabiliteti shkon në 0 kur k → ∞ .

Probabiliteti që  të jetë në intervalin  mund të nxirret si



 Vetitë 

Vetia  do të thotë që funksioni i gabimit është një funksion tek . Kjo rezulton drejtpërdrejt nga fakti se i integrueshmi  është një funksion çift (integrali i pacaktuar i një funksioni çift që është zero në origjinë është një funksion tek dhe anasjelltas).

Meqenëse funksioni i gabimit është një funksion i tërë që merr numrat realë në numra realë, për çdo numër kompleks  :



ku  është i konjuguari kompleks i  .

I integrueshmi  dhe  janë paraqitur në planin kompleks z në figurat djathtas me ngjyrosjen e domenit .

Funksioni i gabimit në +∞ është saktësisht 1 (shih integralin Gaussian ). Në boshtin real,  i afrohet unitetit në z → +∞ dhe −1 në z → −∞ . Në boshtin imagjinar, tenton drejt  ±i ∞ .

 Seria e Tejlorit 
Funksioni i gabimit është një funksion i tërë ; ai nuk ka pika dyshimi (përveç asaj në pafundësi) dhe zgjerimi i tij Tejlor konvergjon gjithmonë, por është i njohur në mënyrë të famshme "[...] për konvergjencën e tij të keqe nëse  ." 

Integrali përcaktues nuk mund të vlerësohet në formë të mbyllur për sa i përket funksioneve elementare (shih teoremën e Liouville ), por duke zgjeruar integrandin  në serinë e tij Meklauren dhe duke integruar term pas termi, fitohet seria Meklauren e funksionit të gabimit si:



që vlen për çdo numër kompleks z . Termat e emëruesit janë seria A007680 në OEIS .

Për llogaritjen iterative të serisë së mësipërme, formulimi alternativ i mëposhtëm mund të jetë i dobishëm:



Funksioni i gabimit imagjinar ka një seri shumë të ngjashme Meklauren, e cila është:



që vlen për çdo numër kompleks z .

 Derivati dhe integrali 
Derivati i funksionit të gabimit rrjedh menjëherë nga përkufizimi i tij:



Nga kjo, derivati i funksionit të gabimit imagjinar është gjithashtu i menjëhershëm:



Një antiderivativ i funksionit të gabimit, që arrihet nga integrimi me pjesë, është



Një antiderivativ i funksionit të gabimit imagjinar, që arrihet gjithashtu nga integrimi me pjesë, është



Derivatet e rendeve të larta jepen nga



 Tabela e vlerave 
xerf x1 − erf x0010.020.0225645750.9774354250.040.0451111060.9548888940.060.0676215940.9323784060.080.0900781260.9099218740.10.1124629160.8875370840.20.2227025890.7772974110.30.3286267590.6713732410.40.4283923550.5716076450.50.5204998780.4795001220.60.6038560910.3961439090.70.6778011940.3221988060.80.7421009650.2578990350.90.7969082120.20309178810.8427007930.1572992071.10.8802050700.1197949301.20.9103139780.0896860221.30.9340079450.0659920551.40.9522851200.0477148801.50.9661051460.0338948541.60.9763483830.0236516171.70.9837904590.0162095411.80.9890905020.0109094981.90.9927904290.00720957120.9953222650.0046777352.10.9970205330.0029794672.20.9981371540.0018628462.30.9988568230.0011431772.40.9993114860.0006885142.50.9995930480.00040695230.9999779100.0000220903.50.9999992570.000000743
Kategoria:Matematikë
Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara