Entropia e informacionit

Në teorinë e informacionit, entropia e një ndryshoreje të rastit është niveli mesatar i "informacionit", "befasisë" ose "pasigurisë" i natyrshëm për rezultatet e mundshme të ndryshores. Jepet një ndryshore e rastit diskrete , e cila merr vlera në bashkësinë  dhe shpërndahet sipas  :ku  tregon shumën mbi vlerat e mundshme të ndryshores. Zgjedhja e bazës për , logaritmi, ndryshon për zbatime të ndryshme. Baza 2 jep njësinë e biteve (ose " shannons "), ndërsa baza e jep "njësi natyrore" nat, dhe baza 10 jep njësi "dits", "bans" ose " hartleys ". Një përkufizim i njëvlershëm i entropisë është vlera e pritur e vetë-informimit të një ndryshoreje. 
parapamje|300x300px| Dy bite entropie: Në rastin e dy hedhjeve të ndershme të monedhave, entropia e informacionit në bit është logaritmi bazë-2 i numrit të rezultateve të mundshme; me dy monedha ka katër rezultate të mundshme dhe dy pjesë entropie. Në përgjithësi, entropia e informacionit është sasia mesatare e informacionit të përcjellë nga një ngjarje, kur merren parasysh të gjitha rezultatet e mundshme.
Koncepti i entropisë së informacionit u prezantua nga Claude Shannon në punimin e tij të vitit 1948 " A Mathematical Teory of Communication ",  (PDF, archived from here)  (PDF, archived from here) dhe referohet gjithashtu si entropia Shannon .

Entropia në teorinë e informacionit është drejtpërdrejt analoge me entropinë në termodinamikën statistikore . Analogjia rezulton kur vlerat e ndryshores së rastësishme përcaktojnë energjitë e mikrogjendjeve, kështu që formula e Gibbs-it për entropinë është zyrtarisht identike me formulën e Shannon-it. Entropia ka lidhje me fusha të tjera të matematikës si kombinatorika dhe mësimi makinerik . Përkufizimi mund të rrjedhë nga një grup aksiomash që vërtetojnë se entropia duhet të jetë një masë se sa informative është rezultati mesatar i një ndryshoreje. Për një ndryshore të rastit të vazhdueshme, entropia diferenciale është analoge me entropinë.

 E ç'është entropia e informacionit? 
I emëruar sipas teoremës Η të Boltzmann-it, Shannon përcaktoi entropinë  (gërma e madhe greke eta ) të një ndryshoreje diskrete tërastit. , e cila merr vlera në alfabet  dhe shpërndahet sipas  sikurse  :Këtu  është operatori i pritjes matematike, dhe I është përmbajtja e informacionit të     është në vetvete një ndryshore e rastit.

Entropia mund të shkruhet shprehimisht si:Mund të përcaktohet gjithashtu entropia e kushtëzuar e dy ndryshoreve  dhe  duke marrë vlera nga bashkësitë  dhe  përkatësisht, si:  ku  dhe  . Kjo madhësi duhet të kuptohet si rastësia e mbetur në ndryshoren e rastit  duke pasur parasysh ndryshoren e rastit  .

 Shembull 
djathtas|parapamje|200x200px| Entropia  (dmth surpriza e pritshme ) e një rrotullimi të monedhës, e matur në bit, e grafikuar kundrejt paragjykimit të monedhës , ku X = 1 përfaqëson një rezultat të kokave. Thomas M. Cover; Joy A. Thomas (1991). Elements of Information Theory. Hoboken, New Jersey: Wiley. ISBN 978-0-471-24195-9. Këtu, entropia është më së shumti 1 bit dhe për të komunikuar rezultatin e një rrokullisjeje monedhe (2 vlera të mundshme) do të kërkojë një mesatare prej më së shumti 1 bit (saktësisht 1 bit për një monedhë të drejtë). Rezultati i një die të drejtë (6 vlera të mundshme) do të kishte regjistrin e entropisë 2 6 bit.
Merrni parasysh hedhjen e një monedhe me probabilitete të njohura, jo domosdoshmërisht të ndershme, për të dalë kokë ose pil; ky mund të modelohet si një proces Bernoulli .

Entropia e rezultatit të panjohur të hedhjes tjetër të monedhës maksimizohet nëse monedha është e ndershme (d.m.th., nëse koka dhe pili kanë të dyja probabilitet të barabartë 1/2). Kjo është situata e pasigurisë maksimale pasi është më e vështirë të parashikohet rezultati i hedhjes së radhës; rezultati i çdo hedhjeje të monedhës jep një pjesë të plotë të informacionit. Kjo është për shkak seMegjithatë, nëse e dimë se monedha nuk është e drejtë, por del lart ose bisht me probabilitete p dhe q, ku p ≠ q, atëherë ka më pak pasiguri. Sa herë që hidhet, njëra anë ka më shumë gjasa të dalë lart se tjetra. Pasiguria e reduktuar matet në një entropi më të ulët: mesatarisht çdo hedhje e monedhës jep më pak se një pjesë të plotë të informacionit. Për shembull, nëse p = 0.7, atëherë