Logaritmi natyror

Logaritmi natyror i një numri është logaritmi i tij me bazë numrin e Neperit e, i cili është një numër irracional dhe transhendent afërsisht i barabartë me 2.718281 828 459 . Logaritmi natyror i  në përgjithësi shkruhet si , , ose ndonjëherë, nëse baza e është e nënkuptuar, thjesht  . G.H. Hardy and E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 4th Ed., Oxford 1975, footnote to paragraph 1.7: "log x is, of course, the 'Naperian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest".  Extract of page 9 Kllapat ndonjëherë shtohen për qartësi, duke dhënë ,  ose  . Kjo bëhet veçanërisht kur argumenti i logaritmit nuk është një simbol i vetëm, në mënyrë që të parandalohet paqartësia.

Logaritmi natyror i  është fuqia në të cilën do të duhej të ngrihej numri i Neperit baraz  . Për shembull,  është 2.0149... , sepse  . Logaritmi natyror i vetë , , është 1, sepse , ndërsa logaritmi natyror i 1 është 0, pasi  .

Logaritmi natyror mund të përcaktohet për çdo numër real pozitiv  si zona nën lakoren  nga 1 në a  (me sipërfaqen negative kur  ). Thjeshtësia e këtij përkufizimi, i cili përputhet në shumë formula të tjera që përfshijnë logaritmin natyror, çon në termin "natyror". Përkufizimi i logaritmit natyror më pas mund të zgjerohet për të dhënë vlera logaritmesh për numrat negativë dhe për të gjithë numrat kompleks jozero, megjithëse kjo çon në një funksion me shumë vlera.

Funksioni i logaritmit natyror, nëse konsiderohet si një funksion me vlera reale të një ndryshoreje reale pozitive, është funksioni i anasjelltë i funksionit eksponencial, duke çuar në identitetet:



Ashtu si të gjithë logaritmet, logaritmi natyror hartëzon shumëzimin e numrave pozitivë në mbledhje:



Logaritmet mund të përcaktohen për çdo bazë pozitive përveç 1, jo vetëm . Sidoqoftë, logaritmet në baza të tjera ndryshojnë vetëm nga një shumëzues konstant nga logaritmi natyror dhe mund të përkufizohen në termat e këtij të fundit,  .

 Përkufizimet 
Logaritmi natyror mund të përkufizohet në disa mënyra të njëvlershme.

 I anasjellti i eksponencialit 
Përkufizimi më i përgjithshëm është si funksioni i anasjelltë i , kështu që  . Meqënëse  është pozitiv dhe i kthyeshëm për çdo input real , ky përkufizim i  është e përcaktuar mirë për çdo  pozitiv. Për numrat kompleksë,  nuk është i kthyeshëm, pra  është një funksion me shumë vlera . Për të bërë  një funksion të vërtetë, me një dalje të vetme, prandaj ne duhet ta kufizojmë atë në një degë të veçantë kryesore, shpesh të shënuar me  . Si funksion i anasjelltë i ,  mund të përkufizohet duke përmbysur përkufizimin e zakonshëm të  :



Duke vepruar kështu jep:



 Përkufizimi integral 
parapamje| si zona e rajonit të hijezuar nën lakoren  nga 1 në a . Nëse a është më pak se 1, sipërfaqja merret si negative.
djathtas|parapamje| Zona nën hiperbolë plotëson rregullin e logaritmit. Këtu  tregon zonën nën hiperbolën midis  dhe  .
Logaritmi natyror i një numri pozitiv, real a mund të përkufizohet si zona nën grafikun e hiperbolës me ekuacionin  ndërmjet x = 1 dhe x = a . Ky është integrali Weisstein, Eric W. "Natural Logarithm". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-29.



 Vetitë 
Logaritmi natyror ka këto veti matematikore:












 Derivati 
Derivati i logaritmit natyror si një funksion me vlerë reale në realet pozitive jepet nga Weisstein, Eric W. "Natural Logarithm". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-29.



 Seria 
djathtas|parapamje|290x290px| Polinomet e Tejlorit për  jepni vetëm përafërsi të sakta në diapazonin . Përtej disa , polinomet e Tejlorit të shkallës më të lartë janë përafrime gjithnjë e më të këqija .
Meqenëse logaritmi natyror është i papërcaktuar në 0,  në vetvete nuk ka një seri Maclaurin, ndryshe nga shumë funksione të tjera elementare. Në vend të kësaj, kërkohen zgjerimet e Tejlorit rreth pikave të tjera. Për shembull, nëse  atëherë 



Kjo është seria e Tejlorit për  rreth 1. Një këmbim i ndryshoreve jep serinë Mercator :



 Logaritmi natyror në integrim 
Logaritmi natyror lejon integrimin e thjeshtë të funksioneve të formës : një antideriv i  jepet nga . Ky është rasti për shkak të rregullit të zinxhirit dhe faktit të mëposhtëm:



Me fjalë të tjera, kur integrohet mbi një interval të vijës reale që nuk përfshin  pastaj



ku  është një konstante arbitrare e integrimit . For a detailed proof see for instance: George B. Thomas, Jr and Ross L. Finney, Calculus and Analytic Geometry, 5th edition, Addison-Wesley 1979, Section 6-5 pages 305-306. Po kështu, kur integrali është mbi një interval ku  ,



Për shembull, merrni parasysh integralin e  mbi një interval që nuk përfshin pikat ku  është e pafundme:



Logaritmi natyror mund të integrohet duke përdorur integrimin me pjesë :



Le të jetë:




atëherë:


Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara