Funksioni i gjenerimit të momentit

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, funksioni i gjenerimit të momentit të një ndryshoreje të rastit me vlerë reale është një specifikim alternativ i shpërndarjes së probabilitetit të saj. Kështu, ai siguron bazën e një rruge alternative për rezultatet analitike krahasuar me punën direkt me funksionet e dendësisë së probabilitetit ose funksionet e shpërndarjes mbledhëse . Ekzistojnë rezultate veçanërisht të thjeshta për funksionet e gjenerimit të momentit të shpërndarjeve të përcaktuara nga shumat e ponderuara të ndryshoreve të rastit. Megjithatë, jo të gjitha ndryshoret e rastit kanë funksione gjeneruese të momentit.

Siç nënkupton edhe emri i tij, funksioni i gjenerimit të momentit mund të përdoret për të llogaritur momentet e një shpërndarjeje: momenti i n- të rreth 0 është derivati i n -të i funksionit të gjenerimit të momentit, i vlerësuar në pikën 0.

 E ç'na qënka ky funksion? 
Le  të jetë një ndryshore e rastit me FMSH  . Funksioni gjenerues i momentit (fgjm) i  (ose  ), e shënuar me , përcaktohet si



me kusht që kjo pritshmëri të ekzistojë për  në një zonë rrethuese rreth 0. Kjo do të thotë, ekziston një  e tillë që për të gjithë  në , ekziston  . Nëse pritshmëria nuk ekziston në një afërsi rreth 0, themi se funksioni gjenerues i momentit nuk ekziston. 

Me fjalë të tjera, funksioni i gjenerimit të momentit të  është pritshmëria e ndryshores së rastit  . Në përgjithësi, kur , një  vektori i rastit -dimensional, dhe  është një vektor fiks, përdoret  në vend të  :



 ekziston gjithmonë dhe është e barabartë me 1. Sidoqoftë, një problem kryesor me funksionet gjeneruese të momentit është se momentet dhe funksioni i gjenerimit të momentit mund të mos ekzistojnë, pasi integralet nuk duhet të konvergojnë absolutisht. Në të kundërt, funksioni karakteristik ose transformimi Furje ekziston gjithmonë (sepse është integrali i një funksioni të kufizuar në një hapësirë me masë të kufizuar) dhe për disa qëllime mund të përdoret në vend të tij.

Funksioni i gjenerimit të momentit është quajtur kështu sepse mund të përdoret për të gjetur momentet e shpërndarjes.  Zgjerimi i serisë së  është



Prandaj



ku  eshte  momenti . Diferencimi i  herë në lidhje me  dhe vendosja , marrim momentin e -të rreth origjinës, .

 Shembuj 
Këtu janë disa shembuj të funksionit të gjenerimit të momentit dhe funksionit karakteristik për krahasim. Mund të shihet se funksioni karakteristik është një rrotullim Wick i funksionit të gjenerimit të momentit  kur kjo e fundit ekziston.

 Llogaritja 
Funksioni i gjenerimit të momentit është pritshmëria e një funksioni të ndryshores së rastit, mund të shkruhet si:

 Për një funksion mase të probabilitetit diskret, 
 Për një funksion të densitetit të probabilitetit të vazhdueshëm, 
 Në rastin e përgjithshëm: , duke përdorur integralin Riemann–Stieltjes, dhe ku  është funksioni mbledhës i shpërndarjes . Ky është thjesht transformimi Laplace-Stieltjes i , por me shenjën e argumentit të kthyer mbrapsht.

Vini re se për rastin kur  ka një funksion të densitetit të probabilitetit të vazhdueshëm ,  është transformimi i Laplasit i dyanshëm të  .



 Transformimet lineare të ndryshoreve të rastit 
Nëse ndryshorja e rastit  ka funksion gjenerues të momentit , pastaj  ka funksion gjenerues të momentit 


Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara