Shpërndarja e Laplasit

Në teorinë e probabiliteti dhe statistikë , shpërndarja e Laplasit është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti e cila e merr emrin nga Pierre-Simon Laplace . Nganjëherë quhet edhe shpërndarja eksponenciale e dyfishtë, sepse mund të mendohet si dy shpërndarje eksponenciale (me një parametër shtesë të vendndodhjes) të bashkuara së bashku përgjatë abshisës, megjithëse termi ndonjëherë përdoret gjithashtu për t'iu referuar shpërndarjes Gumbel . Ndryshesa midis dy ndryshoreve të rastit të pavarura të shpërndara identikisht me ligj eksponencial, ndjek një shpërndarje Laplas, siç është një lëvizje Browniane e vlerësuar në një kohë të rastësishme të shpërndarë në mënyrë eksponenciale. Rritjet e lëvizjes Laplas ose një procesi variance gama të vlerësuar mbi shkallën kohore gjithashtu kanë një shpërndarje Laplace.

 Përkufizimet 

 Funksioni i densitetit të probabilitetit 
Një ndryshore e rastit ndjek një shpërndarje   nëse funksioni i densitetit të probabilitetit të saj është:



Këtu,  është një parametër i vendndodhjes dhe , i cili nganjëherë quhet "diversitet", është një parametër i shkallës . Nëse  dhe , gjysmëdrejtëza pozitive është saktësisht një shpërndarje eksponenciale e shkallëzuar me 1/2.

Funksioni i densitetit të probabilitetit të shpërndarjes Laplas të kujton shpërndarjen normale ; megjithatë, ndërsa shpërndarja normale shprehet me ndryshesën në katror nga mesatarja , dendësia e Laplasit shprehet në terma të ndryshimit absolut nga mesatarja. Rrjedhimisht, shpërndarja Laplace ka bishta më të trashë se shpërndarja normale.

 Funksioni mbledhës i shpërndarjes 
Shpërndarja Laplas është e lehtë për t'u integruar (nëse dallohen dy raste simetrike) për shkak të përdorimit të funksionit të vlerës absolute . Funksioni i tij mbledhës i shpërndarjes është si më poshtë:



Funksioni i shpërndarjes mbledhëse të anasjelltë jepet nga



 Vetitë 

 Momentet 



 Shpërndarjet e ndërlidhura 

 Nëse  atëherë .
 Nëse  atëherë .
 Nëse  atëherë  (shpërndarja eksponenciale).
 Nëse  atëherë ．
 Nëse  atëherë .
 Nëse  atëherë  (shpërndarja normale e përgjithësuar).
 Nëse  (shpërndarja normale) atëherë  dhe .
 Nëse  atëherë  (shpërndarja hi katror).
 Nëse  atëherë . (shpërndarja F)
 Nëse  (shpërndarja e njëtrajtshme) atëherë .
 Nëse  dhe  (shpërndarja Bernuli) e pavarur nga , atëherë .
 Nëse  dhe  e pavarur nga , atëherë ．
 Nëse  ka një shpërndarje Rademacher dhe  atëherë .
 Nëse  dhe  e pavarur nga , atëherë .
 Nëse  (shpërndarja gjeometrike e qëndrueshme) atëherë .
 Nëse  me  (shpërndarja Rayleigh ) atëherë . Vereni së nëse , atëherë  me , e cila është e barabartë me .
 Dhënë një numër i plotë , Nëse  (shpërndarja gamma, duke përdorur karakterizimin  ), atëherë  (pjestueshmëria e pafundme)
 Nëse X ka një shpërndarje Laplasi, atëherë Y = eX ka një shpërndarje log Laplasi; anasjelltas, Nëse X ka një shpërndarje log Laplasi, atëherë logaritmi i saj  ka një shpërndarje Laplasi.

 Lidhja me shpërndarjen eksponenciale 
Një ndryshore e rastit Laplas mund të përfaqësohet si ndryshesë e dy ndryshoreve të rastit eksponenciale të pavarura dhe identikisht të shpërndara ( iid ). Kotz, Samuel; Kozubowski, Tomasz J.; Podgórski, Krzysztof (2001).  Një mënyrë për ta treguar këtë është duke përdorur qasjen e funksionit karakteristik . Për çdo grup të ndryshoreve të rastit të vazhdueshme të pavarura, për çdo kombinim linear të këtyre ndryshoreve, funksioni i tij karakteristik (i cili përcakton në mënyrë unike shpërndarjen) mund të merret duke shumëzuar funksionet karakteristike përkatëse.

Konsideroni dy ndryshore të rastit iid  . Funksionet karakteristike për  janë përkatësisht:



Në shumëzimin e këtyre funksioneve karakteristike (e njëvlerëshme me funksionin karakteristik të shumës së ndryshoreve të rastit  ), rezultati është



Ky është i njëjtë me funksionin karakteristik për , që është



 Inferenca statistikore 
Dhënë  zgjedhje të pavarura dhe të shpërndara në mënyrë identike , vlerësuesi i përgjasisë maksimale (MLE) të  është mesatarja e mostrës, 



Vlerësuesi MLE i  është shmangia absolute mesatare nga mesorja,



 Ndodhia dhe aplikimet 
Shpërndarja e Laplasit është përdorur në njohjen e të folurit për të modeluar pararendësit në koeficientët DFT  dhe në ngjeshjen e imazhit JPEG për të modeluar koeficientët AC  të krijuar nga një DCT .

 Shtimi i zhurmës së nxjerrë nga një shpërndarje e Laplasit, me parametrin e shkallëzimit të përshtatshëm për ndjeshmërinë e një funksioni, në daljen e një query të bazës së të dhënave statistikore është mjeti më i zakonshëm për të siguruar privatësi diferenciale në bazat e të dhënave statistikore.

parapamje|300x300px| Shpërndarja e Laplasit e përshtatur në reshjet maksimale njëditore CumFreq for probability distribution fitting

 Në analizën e regresit, vlerësimi i devijimeve absolute më të pakta lind si vlerësimi i përgjasisë maksimale nëse gabimet kanë një shpërndarje Laplasi.
 Rregullimi Lasso mund të mendohet si një regresion Bejesi me një pararendës Laplasi për koeficientët. 
 Në hidrologji shpërndarja e Laplasit zbatohet për ngjarje ekstreme si reshjet vjetore maksimale njëditore dhe shkarkimet e lumenjve. Fotografia blu, e bërë me CumFreq, ilustron një shembull të përshtatjes së shpërndarjes Laplas me reshjet maksimale vjetore të renditura njëditore, duke treguar gjithashtu rripin e besimit 90% bazuar në shpërndarjen binomiale . Të dhënat e reshjeve përfaqësohen nga pozicionet e grafikuara si pjesë e analizës së frekuencës mbledhëse .
 Shpërndarja e Laplasit ka aplikime në financa. Për shembull, SG Kou zhvilloi një model për çmimet e instrumenteve financiare duke përfshirë një shpërndarje Laplasi (në disa raste një shpërndarje asimetrike Laplasi ) për të adresuar problemet e shtrembërimit, kurtozës dhe buzëqeshjes së paqëndrueshmërisë që ndodh shpesh kur përdoret një shpërndarje normale për çmimin e këtyre instrumenteve.  

 Historia 
Kjo shpërndarje shpesh përmendet si "ligji i parë i gabimeve të Laplasit". Ai e botoi atë në 1774, duke modeluar frekuencën e një gabimi si një funksion eksponencial të madhësisë së tij mbasi shenja e tij shpërfillej. Laplasi më vonë do ta zëvendësonte këtë model me "ligjin e tij të dytë të gabimeve", bazuar në shpërndarjen normale, pas zbulimit të teoremës qëndrore limite. Laplace, P-S. (1774).  

Keynes botoi një punim në 1911 bazuar në tezën e tij të mëparshme ku ai tregoi se shpërndarja e Laplasit minimizonte devijimin absolut nga mesatarja. 
Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara