Funksioni mbledhës i shpërndarjes

parapamje|300x300px| Funksioni mbledhës i shpërndarjes për shpërndarjen normale
Në teorinë dhe statistikat e probabilitetit, funksioni mbledhës i shpërndarjes ( FMSH) i një ndryshoreje të rastit me vlera reale , ose thjesht funksioni i shpërndarjes së , vlerësuar në , është probabiliteti që  do të marrë një vlerë më të vogël ose të barabartë me  . 

Çdo shpërndarje probabiliteti e mbështetur në numrat realë, diskrete ose "të përziera" si dhe të vazhdueshme, identifikohet në mënyrë unike nga një funksion rritës monoton i vazhdueshëm djathtas (një funksion càdlàg )  që kënaq  dhe  .

 E ç'është FMSH? 
Funksioni mbledhës i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastit me vlera reale  është funksioni i dhënë nga  

ku ana e djathtë paraqet probabilitetin që ndryshorja e rastit  merr një vlerë më të vogël ose të barabartë me  .

Probabiliteti që  shtrihet në intervalin gjysmë të mbyllur , ku , pra është Park, Kun Il (2018). Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. ISBN 978-3-319-68074-3. 

Në përkufizimin e mësipërm, shenja "më pak se ose e barabartë me", "≤", është një konventë, jo një përdorim universal (p.sh. literatura hungareze përdor "<"), por dallimi është i rëndësishëm për shpërndarjet diskrete. Përdorimi i duhur i tabelave të shpërndarjeve binomiale dhe Poisson varet nga kjo konventë. Për më tepër, formula të rëndësishme si formula e përmbysjes së Paul Lévy -t për funksionin karakteristik gjithashtu mbështeten në formulimin "më pak ose të barabartë".

Funksioni i dendësisë së probabilitetit të një ndryshoreje të rastit të vazhdueshme mund të përcaktohet nga funksioni i shpërndarjes mbledhëse duke diferencuar  duke përdorur Teoremën Themelore të Kalkulusit ; dmth i dhënë  ,përderisa ekziston derivati.

FMSH e një ndryshoreje të rastit të vazhdueshme  mund të shprehet si integral i funksionit të dendësisë së probabilitetit të tij  si më poshtë: Park, Kun Il (2018). Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. ISBN 978-3-319-68074-3. 

 Vetitë 
djathtas|parapamje| Nga lart poshtë, funksioni i shpërndarjes mbledhëse i një shpërndarjeje diskrete të probabilitetit, shpërndarjes së vazhdueshme të probabilitetit dhe një shpërndarje që ka një pjesë të vazhdueshme dhe një pjesë diskrete.
djathtas|parapamje| Shembull i një funksioni shpërndarjeje mbledhëse me një grup ndërprerjesh të pafundme të numërueshme.
Çdo funksion mbledhës i shpërndarjes  është jozbritës Park, Kun Il (2018). Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. ISBN 978-3-319-68074-3. dhe i vazhdueshëm nga e djathta,  gjë që e bën atë një funksion càdlàg . Për më tepër,Nëse  është një ndryshore e rastit e pastër diskrete, atëherë ajo arrin vlera  me probabilitet , dhe CDF e  do të jetë i ndërprerë në pika  :Nëse FMSH  të një ndryshoreje të rastit me vlera reale  është e vazhdueshme, atëherë  është një ndryshore e rastit e vazhdueshme ; nëse për më tepër  është absolutisht i vazhdueshëm, atëherë ekziston një funksion i integrueshëm sipas Lebesgue  i tillë qëpër të gjithë numrat realë  dhe  . Funksioni  është e barabartë me derivatin e  pothuajse kudo, dhe quhet funksioni i dendësisë së probabilitetit të shpërndarjes së  .
parapamje| Plot FMSH me dy drejtkëndësha të kuq, që ilustron  dhe  .

 Shembuj 
Si shembull, supozoni  shpërndahet në mënyrë uniforme në intervalin e njësisë  .

Pastaj FMSH e  jepet ngaSupozoni se në vend të kësaj  merr vetëm vlerat diskrete 0 dhe 1, me probabilitet të barabartë.

Pastaj FMSH e  jepet ngaSupozoni  është i shpërndarë në mënyrë eksponenciale . Pastaj FMSH e  jepet ngaKëtu λ > 0 është parametri i shpërndarjes, i quajtur shpesh parametri i shpejtësisë.

Supozoni  shpërndahet normalisht . Pastaj FMSH e  jepet ngaKëtu është parametri  është mesatarja ose pritshmëria e shpërndarjes; dhe  është devijimi standard i saj.

Supozoni  është i shpërndarë binomialisht . Pastaj FMSH e  jepet nga

 Funksioni i anasjelltë (funksioni kuantile) 
Nëse FMSH F është rreptësisht rritës dhe i vazhdueshëm atëherë  është numri real unik  sikurse  . Kjo përcakton funksionin e shpërndarjes së kundërt ose funksionin kuantile .

Disa shpërndarje nuk kanë një të anasjelltë unik (për shembull nëse  per te gjithe , duke bërë që  të jetë konstante). Në këtë rast, mund të përdoret funksioni i përgjithësuar i shpërndarjes së anasjelltë, i cili përkufizohet si



 Shembulli 1: Mediana është  .
 Shembulli 2: Vendos  . Kështu thërritet  përqindja e 95-të.

Disa veti të dobishme të fmsh-së së anasjelltë (të cilat ruhen gjithashtu në përkufizimin e funksionit të shpërndarjes së përgjithësuar të anasjelltë) janë:

  është jozbritës


  atëherë dhe vetëm atëherë nëse 
 Nëse  ka një shpërndarje  pastaj  shpërndahet si  . Kjo përdoret në gjenerimin e numrave të rastit duke përdorur metodën e kampionimit të transformimit të kundërt .
 Nëse  është një koleksion i pavarur  -variabla të rastit të shpërndara të përcaktuara në të njëjtën hapësirë popullimi, atëherë ekzistojnë variabla të rastësishme  sikurse  shpërndahet si  dhe  me probabilitet 1 për të gjithë  . [ citim i nevojshëm ]

 Rasti me shumë ndryshore 

 Përkufizimi për dy ndryshore të rastit 
Kur kemi të bëjmë njëkohësisht me më shumë se një ndryshore të rastit , funksioni i përbashkët mbledhës i shpërndarjes gjithashtu mund të përcaktohet. Për shembull, për një palë ndryshoresh të rastit , CDF e përbashkët  jepet nga Park, Kun Il (2018). Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. ISBN 978-3-319-68074-3. 

ku ana e djathtë paraqet probabilitetin që ndryshorja e rastit  merr një vlerë më të vogël ose të barabartë me  dhe atë  merr një vlerë më të vogël ose të barabartë me  .

Shembull i funksionit të përbashkët të shpërndarjes mbledhëse:

Për dy ndryshore të vazhduara  dhe  :Për dy ndryshore të rastësishme diskrete, është e dobishme të gjenerohet një tabelë e probabiliteteve dhe të adresohet probabiliteti mbledhës për çdo shtrirje potenciale të  dhe , dhe këtu është shembulli: 

duke pasur parasysh funksionin e masës së probabilitetit të përbashkët në formë tabelare, përcaktoni funksionin e shpërndarjes mbledhëse të përbashkët.
 Y = 2 Y = 4 Y = 6 Y = 8 X = 1 0 0.1 0 0.1 X = 3 0 0 0.2 0 X = 5 0.3 0 0 0.15 X = 7 0 0 0.15 0
Zgjidhje: duke përdorur tabelën e dhënë të probabiliteteve për çdo varg potencial të  dhe , funksioni i përbashkët kumulativ i shpërndarjes mund të ndërtohet në formë tabelare:
 Y < 2 2 ≤ Y < 4 4 ≤ Y < 6 6 ≤ Y < 8 Y ≥ 8 X < 1 0 0 0 0 0 1 ≤ X < 3 0 0 0.1 0.1 0.2 3 ≤ X < 5 0 0 0.1 0.3 0.4 5 ≤ X < 7 0 0.3 0.4 0.6 0,85 X ≥ 7 0 0.3 0.4 0.75 1
Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara