Njësia imagjinare

Njësia imagjinare ose numri imagjinar njësi ( i ) është një zgjidhje e ekuacionit kuadratik  . Megjithëse nuk ka një numër real me këtë veti, i mund të përdoret për të zgjeruar numrat realë në ato që quhen numra kompleksë, duke përdorur mbledhjen dhe shumëzimin . Një shembull i thjeshtë i përdorimit të  në një numër kompleks është  .

Numrat imagjinarë janë një koncept i rëndësishëm matematikor; ata zgjerojnë sistemin e numrave realë  në sistemin kompleks të numrave , në të cilën ekziston të paktën një rrënjë për çdo polinom jokonstant. Këtu, termi "imagjinar" përdoret sepse nuk ka numër real që ka një numër në katror negativ.

Ekzistojnë dy rrënjë katrore komplekse të −1:  dhe , ashtu siç ka dy rrënjë katrore komplekse të çdo numri real përveç zeros (i cili ka një rrënjë katrore të dyfishtë ).

 E ç'është njësia imagjinare? 
Fuqitë e i
kthejnë vlerat ciklike:  (përsërit modelin nga zona blu)            (përsërit modelin nga zona blu)
Numri imagjinar i përcaktohet vetëm nga vetia që katrori i tij është −1:Nëse njësia imagjinare përcaktohet në këtë mënyrë, rrjedh drejtpërdrejt nga algjebra se i dhe  janë të dyja rrënjët katrore të −1.

Megjithëse ndërtimi quhet "imagjinar" dhe megjithëse koncepti i një numri imagjinar mund të jetë intuitivisht më i vështirë për t'u kuptuar se ai i një numri real, ndërtimi është i vlefshëm nga pikëpamja matematikore. Veprimet me numra realë mund të shtrihen në numra imagjinarë dhe kompleksë, duke e trajtuar  si një madhësi të panjohur gjatë manipulimit të një shprehjeje (dhe duke përdorur përkufizimin për të zëvendësuar çdo dukuri të  me -1). Fuqitë më të larta integrale i mund të zëvendësohen gjithashtu me , 1, i, ose −1:

 Matricat 
djathtas|parapamje|200x200px| Disa njësi imagjinare korrespondojnë me pikat  në hiperbolën  .
Duke përdorur konceptet e matricave dhe shumëzimit matricor, njësitë imagjinare mund të paraqiten në algjebër lineare. Vlera e 1 përfaqësohet nga një matricë identiteti  dhe vlera e  përfaqësohet nga çdo matricë  që kënaq . Një zgjedhje tipike ështëNë përgjithësi, një matricë J me vlerë reale 2 × 2 plotëson  nëse dhe vetëm nëse J ka një gjurmë matrice zero dhe një përcaktor të matricës = 1, kështu që J mund të zgjidhet të jetësa herë që  . Prodhimi xy është negativ sepse  ; Kështu, pikat  shtrihen në hiperbola të përcaktuara nga z në kuadrantet II ose IV.

 Vetitë 

 Rrënjët katrore 
djathtas|parapamje|200x200px| Dy rrënjët katrore të  në rrafshin kompleks
djathtas|parapamje|200x200px| Tre rrënjët kubike të i në rrafshin kompleks
Ashtu si të gjithë numrat kompleksë jozero,  ka dy rrënjë katrore: ato janë 



 Rrënjët kubike 
Tre rrënjët kubike të -së janë: 


  dhe



Duke përdorur formulën e Euler-it,  ka pafundësisht shumë vlera



për çdo numër të plotë k . Një vlerë e përbashkët kryesore korrespondon me  dhe jep , që është 0.207879 576 ... .  

 Faktoriali 
Faktoriali i njësisë imagjinare  jepet më shpesh në terma të funksionit gama të vlerësuar në  :   



Madhësia e këtij numri është



ndërsa argumenti i saj është