Rregulli i trapezit

Në analizën matematike, rregulla e trapezit (e njohur gjithashtu si rregulli i trapezit) është një teknikë për integrimin numerik, i.e., përafron integralin e caktuar:Rregulli i trapezit funksionon duke përafruar zonën nën grafikun e funksionit  si një trapez dhe duke llogaritur sipërfaqen e tij. Nga kjo rrjedh se
djathtas|parapamje| Një animacion që tregon se çfarë është rregulli i trapezit dhe si zvogëlohet gabimi në përafrim ndërsa zvogëlohet madhësia e hapit
Rregulli i trapezit mund të shihet si rezultat i përftuar nga mesatarizimi i shumave të Rimanitmajtas dhe djathtas, dhe ndonjëherë përcaktohet në këtë mënyrë. Integrali mund të përafrohet edhe më mirë duke ndarë intervalin e integrimit, duke zbatuar rregullin e trapezit në çdo nëninterval dhe duke përmbledhur rezultatet. Në praktikë, ky rregull "i zinxhiruar" (ose "i përbërë") zakonisht nënkuptohet si "integrimi me rregullin e trapezit". Le  të jetë një ndarje e  sikurse  dhe  të jetë gjatësia e  - nënintervali i-të (d.m.th.  ), atëherëKur ndarja ka një hap të rregullt, siç ndodh shpesh, domethënë kur të gjitha  kanë të njëjtën vlerë  formula mund të thjeshtohet për efikasitet llogaritje duke faktorizuar  jashtë:.

 Historia 
Një dokument shkencor i vitit 2016 raporton se rregulli i trapezit ishte në përdorim në Babiloni para vitit 50 pes për integrimin e shpejtësisë së Jupiterit përgjatë ekliptikës . 

 Zbatimi numerik 

 Rrjetë jo uniforme 
Kur hapësira në rrjetë është jo e njëtrajtshme, mund të përdoret formulaku 

 Rrjetë uniforme 
Për një bashkësi të diskretizuar në  panele të barabarta, mund të ndodhë një thjeshtim i konsiderueshëm. Le të jetëpërafrimi me integralin bëhet

 Analiza e gabimit 
djathtas|parapamje| Një animacion që tregon se si përafrimi i rregullave trapezoidale përmirësohet me më shumë shirita për një interval me  dhe  . Kur numri i intervaleve  rritet, po ashtu rritet edhe saktësia e rezultatit.
Gabimi i rregullit të përbërë trapezoidal është ndryshimi midis vlerës së integralit dhe rezultatit numerik:Ekziston një numër ξ midis a dhe b, i tillë që Nga kjo rrjedh se nëse i integrueshmi është konkav (dhe kështu ka një derivat të dytë pozitiv), atëherë gabimi është negativ dhe rregulli trapezoidal mbivlerëson vlerën e vërtetë. Kjo mund të shihet edhe nga fotografia gjeometrike: trapezoidët përfshijnë të gjithë zonën nën kurbë dhe shtrihen mbi të. Në mënyrë të ngjashme, një funksion konkav-poshtë jep një nënvlerësim. Nëse intervali i integralit që përafrohet përfshin një pikë infleksioni, gabimi është më i vështirë për t'u identifikuar.

Një vlerësim asimptotik i gabimit për N → ∞ jepet nga

 Shembull 
Është dhënë integrali i mëposhtëm:

 Përdorni rregullin e përbërë trapezoidal për të vlerësuar integralin. Përdorni 3 segmente
 Gjeni gabimin e vërtetë  për pikën (1)
 Gjeni gabimin e vërtetë relativ absolut  për pikën (1)
ZgjidhjeThe solution using the composite trapezoidal rule with 3 segments is applied as follows. 

Duke përdorur rregullin e përbërë të trapezit

Vlera ekzakte e integralit të mësipërm mund të gjehet me metodën e integrimit me pjesë dhe është 

Pra gabimi i vërtetë është

Gabimi relativ absolut është: