Shpërndarja Pareto

Shpërndarja Pareto, e emërtuar sipas inxhinierit të ndërtimit, ekonomistit dhe sociologut italian Vilfredo Pareto,  është një shpërndarje probabiliteti që përdoret në përshkrimin e dukurive të vëzhgueshme sociale, kontrollit të cilësisë, shkencore, gjeofizike, aktuariale dhe shumë llojeve të tjera; parimi i zbatuar fillimisht për të përshkruar shpërndarjen e pasurisë në një shoqëri, duke iu përshtatur prirjes që një pjesë e madhe e pasurisë të mbahet nga një pjesë e vogël e popullsisë.  Pareto, Vilfredo, Cours d'Économie Politique: Nouvelle édition par G.-H. Bousquet et G. Busino, Librairie Droz, Geneva, 1964, pp. 299–345. Original book archived Parimi Pareto ose "rregulli 80-20" që thotë se 80% e rezultateve janë për shkak të 20% të shkaqeve u emërtua për nder të Paretos, por konceptet janë të dallueshme dhe vetëm shpërndarjet Pareto me vlerë të formës (  ) rreth 4 5 ≈ 1.16 pasqyrojnë saktësisht atë. Vëzhgimi empirik ka treguar se kjo shpërndarje 80-20 përshtatet me një gamë të gjerë rastesh, duke përfshirë fenomenet natyrore  dhe aktivitetet njerëzore.  

 Përkufizimet 
Nëse  është një ndryshore e rastit me një shpërndarje Pareto,  atëherë probabiliteti që  është më i madh se një numër , pra funksioni i mbijetesës (i quajtur edhe funksioni i bishtit), jepet nga



ku  është vlera minimale e mundshme (domosdoshmërisht pozitive) e , dhe  është një parametër pozitiv. Shpërndarja Pareto Lloji I karakterizohet nga një parametër i shkallës  dhe një parametër i formës , i cili njihet si indeksi i bishtit . Kur kjo shpërndarje përdoret për të modeluar shpërndarjen e pasurisë, atëherë parametri  quhet indeksi Pareto .

 Funksioni mbledhës i shpërndarjes 
Nga përkufizimi, funksioni mbledhës i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastit Pareto me parametra  dhe  është



 Funksioni i densitetit të probabilitetit 
Nga kjo rrjedh (me diferencim ) se funksioni i dendësisë së probabilitetit është



 Vetitë 

 Momentet dhe funksioni karakteristik 

 Pritja matematike e një ndryshoreje rasti që ndjek një shpërndarje Pareto është



 Varianca e një ndryshoreje të rastit që ndjek një shpërndarje Pareto është



 (Nëse , varianca nuk ekziston. )

 Momentet e papërpunuara janë



 Funksioni gjenerues i momentit përcaktohet vetëm për vlerat jo pozitive  si




 Funksioni karakteristik jepet nga



 ku  është funksioni i paplotë gama .

 Mesatarja harmonike 
Mesatarja harmonike ( H ) është Johnson NL, Kotz S, Balakrishnan N (1994) Continuous univariate distributions Vol 1. Wiley Series in Probability and Statistics.



 Lidhja me shpërndarjen eksponenciale 
Shpërndarja Pareto lidhet me shpërndarjen eksponenciale si më poshtë. Nëse X është Pareto-shpërndarë me minimum x m dhe indeks α, atëherë



shpërndahet në mënyrë eksponenciale me parametrin e shakllës  α . Në mënyrë ekuivalente, nëse Y shpërndahet në mënyrë eksponenciale me shpejtësi α, atëherë



është Pareto-shpërndarë me minimum x m dhe indeks α .

Më në përgjithësi, nëse  (parametizimi i shkallës së formës) dhe , atëherë  .

 Lidhja me shpërndarjen log-normale 
Shpërndarja Pareto dhe shpërndarja log-normale janë shpërndarje alternative për përshkrimin e madhësive të së njëjtit lloj. Një nga lidhjet ndërmjet të dyjave është se ato janë të dyja shpërndarjet e eksponencialit të ndryshoreve të rastit të shpërndara sipas shpërndarjeve të tjera të zakonshme, përkatësisht shpërndarjes eksponenciale dhe shpërndarjes normale . (Shih seksionin e mëparshëm . )

 Konkluzioni statistikor 

 Vlerësimi i parametrave 
Funksioni i përgjasisë për parametrat e shpërndarjes Pareto α dhe x m, duke pasur parasysh një mostër të pavarur , është



Prandaj, funksioni logaritmik të përgjasisë është



Mund të shihet se  është në rritje monotonike me , pra sa më e madhe të jetë vlera e , aq më e madhe është vlera e funksionit të gjasave. Prandaj, meqenëse , arrijmë në përfundimin se



Për të gjetur vlerësuesin për α, ne llogarisim derivatin e pjesshëm përkatës dhe përcaktojmë se ku është zero:



Kështu, vlerësuesi i përgjasisë maksimale për α është:



Gabimi statistikor i pritur është: 



 Ndodhia dhe aplikimet 

 Të përgjithshme 
Vilfredo Pareto fillimisht e përdori këtë shpërndarje për të përshkruar ndarjen e pasurisë midis individëve pasi dukej se tregonte mjaft mirë mënyrën se një pjesë më e madhe e pasurisë së çdo shoqërie zotërohet nga një përqindje më e vogël e njerëzve në atë shoqëri. Ai gjithashtu e përdori atë për të përshkruar shpërndarjen e të ardhurave. Pareto, Vilfredo, Cours d'Économie Politique: Nouvelle édition par G.-H. Bousquet et G. Busino, Librairie Droz, Geneva, 1964, pp. 299–345. Original book archived Kjo ide ndonjëherë shprehet më thjesht si parimi Pareto ose "rregulli 80-20" që thotë se 20% e popullsisë kontrollon 80% të pasurisë. For a two-quantile population, where approximately 18% of the population owns 82% of the wealth, the Theil index takes the value 1. Megjithatë, rregulli 80-20 korrespondon me një vlerë të veçantë të α, dhe në fakt, të dhënat e Paretos mbi tatimet britanike mbi të ardhurat në Cours d'économie politique tregojnë se rreth 30% e popullsisë kishte rreth 70% të të ardhurave.Grafiku i funksionit të dendësisë së probabilitetit (FDP) në fillim të këtij artikulli tregon se "probabiliteti" ose pjesa e popullsisë që zotëron një sasi të vogël pasurie për person është mjaft e lartë dhe më pas zvogëlohet në mënyrë të qëndrueshme me rritjen e pasurisë. (Sidoqoftë, shpërndarja Pareto nuk është realiste për pasurinë për pjesën e poshtme. Në fakt, vlera neto mund të jetë edhe negative. ) Kjo shpërndarje nuk kufizohet në përshkrimin e pasurisë ose të ardhurave, por në shumë situata në të cilat gjendet një baraspeshë në shpërndarjen e "të voglave" tek "të mëdhatë". Shembujt e mëposhtëm shihen ndonjëherë si të shpërndarë përafërsisht Pareto:

 Madhësitë e vendbanimeve njerëzore (pak qytete, shumë fshatra/fshatra)  
 Shpërndarja e madhësisë së skedarit të trafikut të internetit që përdor protokollin TCP (shumë skedarë më të vegjël, pak më të mëdhenj) 
 Shkalla e gabimit të diskut të ngurtë 
 Grupet e kondensatës Bose-Einstein  afër zeros absolute 

 Vlerat e rezervave të naftës në fushat e naftës (disa fusha të mëdha, shumë fusha të vogla ) Reed, William J.; et al. (2004). "The Double Pareto-Lognormal Distribution – A New Parametric Model for Size Distributions". Communications in Statistics – Theory and Methods. 33 (8): 1733–53. CiteSeerX 10.1.1.70.4555. doi:10.1081/sta-120037438. S2CID 13906086.
 Shpërndarja e gjatësisë në punët e caktuara për superkompjuterët (disa të mëdhenj, shumë të vegjël) 
 Kthimet e standardizuara të çmimeve për aksionet individuale 
 Madhësitë e grimcave të rërës 
 Madhësia e meteoritëve
 Ashpërsia e humbjeve të mëdha të viktimave për linja të caktuara biznesi si përgjegjësia e përgjithshme, makina tregtare dhe kompensimi i punëtorëve. Kleiber and Kotz (2003): p. 94. 
 Sasia e kohës që një përdorues në Steam do të kalojë duke luajtur lojëra të ndryshme. (Disa lojëra luhen shumë, por shumica luhen pothuajse kurrë.)  
 Në B[ hulumtim origjinal?esueshmërinë e Shpërndarjes së Ndërmarrjeve Elektrike (80% e minutave të ndërprera të klientit ndodhin në afërsisht 20% të ditëve në një vit të caktuar).