Mesatarja gjeometrike

Në matematikë, mesatarja gjeometrike është një mesatare që tregon një prirje qendrore të një bashkësie të fundme numrash realë duke përdorur shumëzimin e  tyre (në krahasim me mesataren aritmetike që përdor shumën e tyre). Mesatarja gjeometrike përcaktohet si rrënja me indeks <i>n</i> e shumëzimit të n numrave, dmth, për një grup numrash , mesatarja gjeometrike përcaktohet si



ose, në mënyrë të njëvlershme, si mesatarja aritmetike në shkallë logaritmike :



Më së shpeshti numrat kufizohen në të qënit jo-negativë, për të shmangur ndërlikimet që lidhen me numrat negativë, të cilët nuk kanë rrënjë reale, dhe shpesh ato kufizohen në të qënit pozitiv, për të mundësuar përdorimin e logaritmeve.

Për shembull, mesatarja gjeometrike e dy numrave, le të themi 2 dhe 8, është vetëm rrënja katrore e shumëzimit të tyre, domethënë,  . Si shembull tjetër, mesatarja gjeometrike e tre numrave 4, 1 dhe 1/32 është rrënja kubike e shumëzimit të tyre (1/8), e cila është 1/2, domethënë,  .

Mesatarja gjeometrike mund të kuptohet në termat e gjeometrisë . Mesatarja gjeometrike e dy numrave,  dhe , është gjatësia e njërës anë të një katrori sipërfaqja e të cilit është e barabartë me sipërfaqen e një drejtkëndëshi me brinjë të gjatësisë  dhe  . Në mënyrë të ngjashme, mesatarja gjeometrike e tre numrave, , , dhe , është gjatësia e një skaji të një kubi, vëllimi i të cilit është i njëjtë me atë të një kuboidi me brinjë, gjatësia e të cilave është e barabartë me tre numrat e dhënë.

 Llogaritja 
Mesatarja gjeometrike e një grupi të dhënash  jepet nga:



 Krahasimi me mesataren aritmetike 
Mesatarja gjeometrike e një grupi të dhënash jo bosh numrash (pozitiv) është gjithmonë e shumta e barabartë me mesataren e tyre aritmetike. Barazia merret vetëm kur të gjithë numrat në bashkësinë e të dhënave janë të barabartë; përndryshe, mesatarja gjeometrike është më e vogël. Për shembull, mesatarja gjeometrike e 2 dhe 3 është 2,45, ndërsa mesatarja aritmetike e tyre është 2,5. Në veçanti, kjo do të thotë se kur një grup numrash jo identikë i nënshtrohet një përhapjeje të ruajtjes së mesatares - domethënë, elementët e grupit "ndahen" më shumë nga njëri-tjetri duke lënë mesataren aritmetike të pandryshuar - mesatarja e tyre gjeometrike zvogëlohet. 

 Shëmbuj 
Shembuj të mesatares gjeometrike të shënuar me  për një bashkësi numrash A. 

Për shëmbull, jepen numrat , atëherë mesatarja e tyre gjeometrike është:



Për tre numra të bashkësisë A, , mesatarja gjeometrike është rrënja me indeks 3 (sepse aq numra ka bashkësia) e prodhimit të tyre.

Nga ku marrim:

 Mesatarja gjeometrike e një funksioni të vazhdueshëm 
Nëse  është një funksion pozitiv i vazhdueshëm me vlerë reale, mesatarja e tij gjeometrike mbi këtë interval është