Shpërndarja binomiale

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja binomiale me parametrat  dhe  është shpërndarja diskrete e probabilitetit, e cila përshkruan numrin e sukseseve në një seri prej  eksperimentesh të pavarura, ku çdo eksperiment i përgjigjet një pyetje po-jo, dhe secili merr një rezultat me vlerë buleane : sukses (me probabilitet  ) ose dështim (me probabilitet  ). Një eksperiment i vetëm suksesi/dështimi quhet gjithashtu një provë Bernuli ose eksperiment Bernuli, dhe një seri e rezultateve quhet një proces Bernuli ; për një provë të vetme, p.sh., , shpërndarja binomiale është një shpërndarje Bernuli . 

Shpërndarja binomiale është baza për testin popullor binomial të rëndësisë statistikore . 

Shpërndarja binomiale përdoret shpesh për të modeluar numrin e sukseseve në një zgjedhje me madhësi  të nxjerrë me zëvendësim nga një popullatë me madhësi  . Nëse marrja e mostrave kryhet pa zëvendësim, tërheqjet nuk janë të pavarura dhe kështu shpërndarja që rezulton është një shpërndarje hipergjeometrike, jo binomiale. Megjithatë, për  shumë më të mëdha se , shpërndarja binomiale mbetet një përafrim i mirë dhe përdoret gjerësisht në praktikë.

 Përkufizimet 

 Funksioni i masës së probabilitetit 
Në përgjithësi, nëse ndryshorja e rastit X ndjek shpërndarjen binomiale me parametrat  dhe , shënojmë . Probabiliteti për të arritur saktësisht  suksese në  prova të pavarura të Bernulit jepet nga funksioni i masës së probabilitetit :



për k = 0, 1, 2, ..., n, ku



është koeficienti binomial, prandaj edhe emri i shpërndarjes. Formula mund të kuptohet si më poshtë: k sukseset ndodhin me probabilitet  dhe  dështimet ndodhin me probabilitet  . Megjithatë,  sukseset mund të ndodhin kudo midis  provave, dhe ka  mënyra të ndryshme të shpërndarjes së  sukseseve në një seri prej  provash.

 Shembull 
Supozoni se një monedhë e njëanshme bie kokë me probabilitet 0.3 kur hidhet. Probabiliteti për të vërejtur saktësisht 4 koka në 6 hedhje është: 

(Këtu N = 6 hedhje, n = 4 hedhje kokë, p= 0.3 i rënies kokë)



 Funksioni mbledhës i shpërndarjes 
Funksioni mbledhës i shpërndarjes mund të shprehet si:



ku  është "dyshemeja" nën k, pra numri i plotë më i madh më i vogël ose i barabartë me  .

 Vetitë 

 Pritja matematike dhe varianca 
Nëse , domethënë, X është një ndryshore rasti e shpërndarë binomialisht,  është numri total i eksperimenteve dhe  probabiliteti që çdo eksperiment të japë një rezultat të suksesshëm, atëherë pritja matematike e  është: See Proof Wiki



Kjo rrjedh nga lineariteti i vlerës së pritur së bashku me faktin se  është shuma e  ndryshoreve të rastit identike Bernuli, secila me pritje matematike  . Me fjalë të tjera, nëse  janë ndryshore të rastit Bernuli identike (dhe të pavarura)  me parametër p, atëherë  dhe



Varianca është:



 Modaliteti 
Zakonisht moda statistikore e një shpërndarjeje binomiale  është e barabartë me , ku  është funksioni dysheme . Megjithatë, kur  është një numër i plotë dhe  nuk është as 0 as 1, atëherë shpërndarja ka dy moda:  dhe . Kur  është e barabartë me 0 ose 1, moda do të jetë përkatësisht 0 dhe n . Këto raste mund të përmblidhen si më poshtë:



 Mesorja 
Në përgjithësi, nuk ka asnjë formulë të vetme për të gjetur mesataren për një shpërndarje binomiale, dhe madje mund të jetë jo unike. Megjithatë, janë vendosur disa rezultate të veçanta:

 Nëse  është numër i plotë atëherë mesarja, mediana dhe moda përkojnë dhe janë të barabarta me .
 Çdo medianë  duhet të shtrihet në intervalin .
 Një medianë  nuk mund të shtrihet shumë larg mesatares: .
 Mediana është unike dhe e barabartë me  ku  
 Kur  është numër racional (me përjashtim të  dhe  tek) mediana është unike.
 Kur  dhe  është numër tek, çdo numër  në intervalin   është mediane e shpërndarjes binomiale. Nëse  dhe  është tek, atëherë  është mediana unike.

 Inferenca statistikore 

 Vlerësimi i parametrave 
Kur dihet n, parametri  mund të vlerësohet duke përdorur herësin e sukseseve:



 Shpërndarjet e ndërlidhura 

 Shumat e binomeve 
Nëse  dhe  janë ndryshore rasti binomiale të pavarura me të njëjtin probabilitet p, pastaj  është përsëri një ndryshore binomiale; shpërndarja e saj është : 



Një ndryshore rasti e shpërndarë binomialisht  mund të konsiderohet si shuma e n ndryshoreve të rastit me ligj Bernuli. Pra, shuma e dy ndryshoreve të rastit  të shpërndara binomialisht  dhe  është e njëvlerëshme me shumën e  ndryshoreve me ligj Bernuli, që do të thotë . Kjo gjithashtu mund të vërtetohet drejtpërdrejt duke përdorur rregullin e shtimit.

 Pjesëtimi i dy shpërndarjeve binomiale 
Ky rezultat u nxor për herë të parë nga Katz dhe bashkëautorët në 1978. 

Le të jenë  dhe  të pavarura. Le të jetë  .

Atëherë  është përafërsisht e shpërndarë normalisht me mesatare  dhe variancë  

 Përafrim normal 
djathtas|parapamje|250x250px| Funksioni i masës së probabilitetit binomial dhe përafrimi i funksionit të densitetit të probabilitetit normal për n = 6 dhe p = 0.5
Nëse n është mjaftueshëm e madhe, atëherë animi i shpërndarjes nuk është shumë i madh. Në këtë rast një përafrim i arsyeshëm me  jepet nga shpërndarja normale



dhe ky përafrim bazë mund të përmirësohet në një mënyrë të thjeshtë duke përdorur një korrigjim të përshtatshëm të vazhdimësisë . Përafrimi bazë përgjithësisht përmirësohet kur n rritet (të paktën 20) dhe është më i mirë kur  nuk është afër 0 ose 1.  Rregulla të ndryshme praktike mund të përdoren për të vendosur nëse  është mjaft i madh dhe p është mjaft larg nga ekstremet e zeros ose njëshit.

 Një rregull Box, Hunter and Hunter (1978). Statistics for experimenters. Wiley. p. 130. ISBN 9780471093152. është që për  përafrimi normal është i përshtatshëm nëse vlera absolute e anshmërisë është rreptësisht më e vogël se 0.3; domethënë nëse



 Një rregull më i fortë thotë se përafrimi normal është i përshtatshëm vetëm nëse çdo gjë brenda 3 shmangieve standarde të mesatares së saj është brenda intervalit të vlerave të mundshme; pra vetëm nëse


 Ky rregull me 3 devijime standarde është i njëvlershëm me kushtet e mëposhtme, të cilat nënkuptojnë gjithashtu rregullin e parë të mësipërm.


 Një rregull tjetër i përdorur zakonisht është që të dyja vlerat  dhe  duhet të jenë më të mëdhaja ose të barabarta me 5. Megjithatë, numri specifik ndryshon nga burimi në burim dhe varet nga sa i mirë dëshiron një përafrim. 

 Përafrimi Poisson 
Shpërndarja binomiale konvergjon drejt shpërndarjes Poisson pasi numri i provave shkon në pafundësi ndërsa produkti np konvergjon në një kufi të fundëm. Prandaj, shpërndarja Poisson me parametrin  mund të përdoret si një përafrim me  të shpërndarjes binomiale nëse  është mjaft e madhe dhe  është mjaftueshëm e vogël. Sipas dy rregullave, ky përafrim është i mirë nëse  dhe , ose nëse  dhe . NIST/SEMATECH, "6.3.3.1. Counts Control Charts", e-Handbook of Statistical Methods.

 Shpërndarje kufizuese 

 Teorema e kufirit të Puasonit : Ndërsa  i afrohet  dhe  i afrohet 0 me prodhimin  të mbajtur fiks, ndryshorja binomiale  i afrohet shpërndarjes Poisson me pritje matematike  . NIST/SEMATECH, "6.3.3.1. Counts Control Charts", e-Handbook of Statistical Methods.
 Teorema de Moivre–Laplace : Ndërsa  i afrohet  ndërsa  mbetet fikse, shpërndarja e



 i afrohet shpërndarjes normale me pritje matematike  0 dhe variancë  1. Ky rezultat ndonjëherë shprehet lirshëm duke thënë se shpërndarja e  është asimptotikisht normale me vlerën e pritur 0 dhe variancë 1. Ky rezultat është një rast specifik i teoremës së kufirit qendror .

 Historia 
Kjo shpërndarje u përftua nga Jakob Bernuli . Ai shqyrtoi rastin ku  ku  është probabiliteti i suksesit dhe  dhe  janë numra të plotë pozitiv. Blez Paskali kishte shqyrtuar më herët rastin ku .
Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara