Funksioni karakteristik (teoria e probabilitetit)

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, funksioni karakteristik i çdo ndryshoreje të rastit me vlera reale përcakton plotësisht shpërndarjen e probabilitetit . Nëse një ndryshore rasti pranon një funksion të dendësisë së probabilitetit, atëherë funksioni karakteristik është transformimi Furje i funksionit të dëndësisë së probabilitetit. Kështu ai ofron një rrugë alternative për rezultatet analitike krahasuar me punën direkte me funksionet e dendësisë së probabilitetit ose funksionet e shpërndarjes mbledhëse . Ekzistojnë rezultate veçanërisht të thjeshta për funksionet karakteristike të shpërndarjeve të përcaktuara nga shumat e peshuara të ndryshoreve të rastit.

Përveç shpërndarjeve njëndryshore, funksionet karakteristike mund të përcaktohen për ndryshore të rastit me vlera vektoriale ose matricore, dhe gjithashtu mund të zgjerohen në raste më të përgjithshme.

Funksioni karakteristik ekziston gjithmonë kur trajtohet si funksion i një argumenti me vlera reale, ndryshe nga funksioni i gjenerimit të momenteve . 

 E ç'është funksioni karakteristik? 
Funksioni karakteristik është një mënyrë për të përshkruar një ndryshore të rastit . Funksioni karakteristik ,



një funksion i ndryshores , përcakton plotësisht sjelljen dhe vetitë e shpërndarjes së probabilitetit të ndryshores së rastit . Funksioni karakteristik është i ngjashëm me funksionin e shpërndarjes mbledhëse ,



(ku  është funksioni tregues — është i barabartë me 1 kur , dhe përndryshe zero), i cili gjithashtu përcakton plotësisht sjelljen dhe vetitë e shpërndarjes së probabilitetit të ndryshores së rastit . Të dy qasjet janë të njëvlershme në kuptimin që duke ditur njërin nga funksionet është gjithmonë e mundur të gjendet tjetri, megjithatë ato ofrojnë njohuri të ndryshme për të kuptuar veçoritë e n.r. Për më tepër, në raste të veçanta, mund të ketë dallime nëse këto funksione mund të përfaqësohen si shprehje që përfshijnë funksione të thjeshta standarde.

Nëse një ndryshore e rastit pranon një funksion dendësie, atëherë funksioni karakteristik është duali i tij Furje, në kuptimin që secili prej tyre është një transformim Furje i tjetrit. Nëse një ndryshore e rastit ka një funksion gjenerues të momenteve , atëherë domeni i funksionit karakteristik mund të zgjerohet në rrafshin kompleks dhe



Qasja e funksionit karakteristik është veçanërisht e dobishme në analizën e kombinimeve lineare të ndryshoreve të pavarura të rastit: një provë klasike e Teoremës së Kufirit Qendror përdor funksione karakteristike dhe teoremën e vazhdimësisë së Levit . Një zbatim tjetër i rëndësishëm është teoria e dekompozueshmërisë së ndryshoreve të rastit.

 Përkufizimi 
Për një ndryshore të rastit skalare , funksioni karakteristik përcaktohet si vlera e pritur e , ku  është njësia imagjinare, dhe  është argumenti i funksionit karakteristik:



Këtu  është funksioni mbledhës i shpërndarjes së ,  është funksioni korrespondues i densitetit të probabilitetit,  është funksioni korrespondues i shpërndarjes mbledhse të anasjelltë i quajtur gjithashtu funksioni kuantil,  dhe integralet janë të llojit Riemann–Stieltjes . Nëse një ndryshore e rastit  ka një funksion të densitetit të probabilitetit, atëherë funksioni karakteristik është transformimi i tij Furier me ndryshim të shenjës në eksponencialin kompleks   .  Kjo konventë për konstantet që shfaqen në përkufizimin e funksionit karakteristik ndryshon nga konventa e zakonshme për transformimin Furje.  Për shembull, disa autorë  përcaktojnë , që në thelb është një ndryshim i parametrit. Shënime të tjera mund të hasen në literaturë:  si funksion karakteristik për një masë probabiliteti , ose  si funksion karakteristik që i përgjigjet një dendësie  .

 Përgjithësimet 

 Nëse  është një vektor i rastësishëm k -dimensional, atëherë për  
 Nëse  është një -matricë e rastit  dimensionale, pastaj për 
 Nëse  është një ndryshore komplekse e rastit, atëherë për  
 Nëse  është një vektor i rastit kompleks me dimension , atëherë për    

 Nëse  është një proces stokastik, atëherë për të gjitha funksionet  të tillë që integrali  konvergjon për pothuajse të gjitha realizimet e   

 Shembuj 
Shpërndarja Funksioni karakteristik φ ( t ) E degjeneruar   Bernoulli   Binomiale   Binomiale negative   Poisson   Uniforme (e vazhdueshme)   Uniforme (diskrete)   Laplace   Logjistike   Normale   Hi-katror   Joqendror Chi-katror   Cauchy   Gama   Eksponenciale   Gjeometrike  
(numri i dështimeve)  Gjeometrike  (numri i provave)  Normale shumëndryshore   Cauchy shumëndryshore   using 1 as the number of degree of freedom to recover the Cauchy distribution 

 Vetitë 

 Funksioni karakteristik i një ndryshoreje të rastit me vlera reale ekziston gjithmonë, pasi është një integral i një funksioni të vazhdueshëm të kufizuar mbi një hapësirë, masa e së cilës është e fundme.
 Një funksion karakteristik është uniformisht i vazhdueshëm në të gjithë hapësirën.
 Nuk zhduket në një rajon rreth zeros: .
 Kufizohet: .
 Është hermitian :  . Në veçanti, funksioni karakteristik i një ndryshoreje të rastit simetrike (rreth origjinës) është me vlerë reale dhe çift .
 Ekziston një bijeksion midis shpërndarjeve të probabilitetit dhe funksioneve karakteristike. Kjo do të thotë, për çdo dy ndryshore të rastësishme  të dy kanë të njëjtën shpërndarje probabiliteti nëse dhe vetëm nëse  .
 Nëse një ndryshore e rastësishme  ka momente deri në rendin  -të, atëherë funksioni karakteristik  është  herë i diferencueshëm vazhdimisht në të gjithë vijën reale. Në këtë rast 
 Nëse një funksion karakteristik  ka një derivat  -të në zero, atëherë ndryshorja e rastit  i ka të gjitha momentet deri në  nëse  është çift, por vetëm deri në  nëse  është tek.  
 Nëse  janë ndryshore të pavarura të rastit, dhe  janë disa konstante, atëherë funksioni karakteristik i kombinimit linear të  është 
 Le  dhe  të jenë dy ndryshore të rastit me funksione karakteristike  dhe  .  dhe  janë të pavarur nëse dhe vetëm nëse  .
 Sjellja e bishtit të funksionit karakteristik përcakton butësinë e funksionit të densitetit përkatës.
 Lëreni ndryshoren e rastit  të jetë transformimi linear i një ndryshoreje të rastit  . Funksioni karakteristik i  është  . Për vektorët e rastit  dhe  (ku A është një matricë konstante dhe B një vektor konstant), kemi  .