Mosbarazimi i Jensenit

djathtas|parapamje| Vizualizimi i lugtësisë dhe pabarazisë së Jensen
Në matematikë, mosbarazimi i Jensenit, e quajtur sipas matematikanit danez Johan Jensen, lidh vlerën e një funksioni të lugët të një integrali me integralin e funksionit të lugët. Ajo u vërtetua nga Jenseni në vitin 1906,  duke u mbështetur në një provë të mëparshme të së njëjtës pabarazi për funksionet e dyfishta të diferencueshme nga Otto Hölder në 1889.  Duke pasur parasysh përgjithësinë e saj, pabarazia shfaqet në shumë forma në varësi të kontekstit, disa prej të cilave janë paraqitur më poshtë. Në formën e tij më të thjeshtë, pabarazia thotë se transformimi i lugët i një mesatareje është më i vogël ose i barabartë me mesataren e zbatuar pas transformimit të lugët; është një përfundim i thjeshtë se e kundërta është e vërtetë për shndërrimet e mysëta. 

Pabarazia e Jensenit përgjithëson pohimin se vija sekante e një funksioni të lugët qëndron mbi grafikun e funksionit, që është pabarazia e Jensenit për dy pika: vija sekante përbëhet nga mesataret e peshuara të funksionit të lugët (për t ∈ [0,1]),



ndërsa grafiku i funksionit është funksioni i lugët i mesatares së peshuar,



Kështu, pabarazia e Jensenit është



Në kontekstin e teorisë së probabilitetit, përgjithësisht shprehet në formën e mëposhtme: nëse X është një ndryshore e rastit dhe φ është një funksion i lugët, atëherë



 Zbatime dhe raste të veçanta 

 Trajta që përfshin një funksion të dendësisë së probabilitetit 
Supozoni se Ω është një nëngrup i matshëm i vijës reale dhe  është një funksion jo negativ i tillë që



Në gjuhën probabiliste,  është një funksion i dendësisë së probabilitetit .

Atëherë pabarazia e Jensen bëhet pohimi i mëposhtëm në lidhje me integralet e lugëta:

Nëse g është ndonjë funksion i matshëm me vlerë reale dhe  është i lugët mbi shtrirjen e g, atëherë



Nëse , atëherë kjo formë e pabarazisë reduktohet në një rast të veçantë të përdorur zakonisht:



Kjo aplikohet në metodat variacionale Bejesiane .

 Shembull: momentet çift të një ndryshoreje të rastit 
Nëse , dhe X është një ndryshore e rastit, atëherë g është i lugët si



dhe kështu



 Fizika statistikore 
Pabarazia e Jensenit ka një rëndësi të veçantë në fizikën statistikore kur funksioni i lugët është një eksponencial, duke dhënë:



ku pritjet matematike janë në lidhje me disa shpërndarje probabiliteti në ndryshoren e rastit X

 Teoria e informacionit 
Nëse  është dendësia e vërtetë e probabilitetit për , dhe  është një dendësi tjetër, atëherë duke zbatuar pabarazinë e Jensenit për ndryshoren e rastit  dhe funksionin e lugët   jep



Prandaj:



një rezultat i quajtur pabarazia e Gibbs-it .

 Teorema Rao–Blackwell 
Nëse L është një funksion i lugët dhe  një nën-sigma-algjebër, atëherë, nga versioni i kushtëzuar i pabarazisë së Jensenit, marrim



Pra, nëse  është një vlerësues i një parametri të pavëzhguar  dhënë një vektor të vëzhguesve  ; dhe nëse  është një statistikë e mjaftueshme për  atëherë një vlerësues i përmirësuar, në kuptimin e të paturit një humbje më të vogël të pritshme L, mund të merret duke llogaritur



pritja matematike e  në lidhje me , marrë mbi të gjithë vektorët e mundshëm të vëzhgimeve  të përputhshëm me të njëjtën vlerë të  si ajo e vëzhguar. Më tej, për shkak se T është një statistikë e mjaftueshme,  nuk varet nga , prandaj bëhet statistikë.

Kategoria:Matematikë
Kategoria:Analizë matematike