Funksionet Besel

Funksionet e Beselit, të përcaktuara fillimisht nga matematikani Daniel Bernoulli dhe më pas të përgjithësuara nga Friedrich Bessel, janë zgjidhje kanonike  të ekuacionit diferencial të Besselit.për një numër kompleks arbitrar , i cili paraqet rendin e funksionit Besel. Edhe pse  dhe  prodhojnë të njëjtin ekuacion diferencial, është konvencionale të përcaktohen funksione të ndryshme Bessel për këto dy vlera në mënyrë të tillë që funksionet Bessel të jenë kryesisht funksione të lëmuara të  .

Rastet më të rëndësishme janë kur  është një numër i plotë ose gjysmë i plotë . Funksionet Bessel për numër të plotë  njihen gjithashtu si funksione cilindrike ose harmonikë cilindrike, sepse ato shfaqen në zgjidhjen e ekuacionit të Laplasit në koordinatat cilindrike . Funksionet sferike të Besselit me gjysëm-numër të plotë  fitohen me rastin e zgjidhjes së ekuacionit të Helmholcit në koordinata sferike .

 Aplikimet e funksioneve Bessel 
Funksioni Bessel është një përgjithësim i funksionit sinus. Mund të interpretohet si dridhje e një vargu me trashësi të ndryshueshme, tension të ndryshueshëm (ose të dyja kushtet njëkohësisht); dridhjet në një mjedis me veti të ndryshueshme; dridhjet e membranës së diskut etj.

Ekuacioni i Besselit lind kur gjenden zgjidhje të ndashme për ekuacionin e Laplasit dhe ekuacionin Helmholc në koordinata cilindrike ose sferike . Prandaj, funksionet Bessel janë veçanërisht të rëndësishme për shumë probleme të përhapjes së valëve dhe potencialeve statike. Në zgjidhjen e problemeve në sistemet cilindrike të koordinatave, fitohen funksionet Bessel të rendit të plotë ( α = n ); në problemat sferike, fitohen rendet gjysmë të plota ( α = n +

 Valët elektromagnetike në një përcjellës valësh cilindrike
 Amplituda e shtypjes së flukseve rrotulluese të padukshme
 Përçimi i nxehtësisë në një objekt cilindrik
 Mënyrat e dridhjeve të një membrane akustike të hollë rrethore ose unazore (të tilla si një kokë daulle ose membranofon tjetër) ose pllaka më të trasha si p.sh. llamarina.
 Zgjidhjet e ekuacionit rrezor të Shrodingerit (në koordinata sferike dhe cilindrike) për një grimcë të lirë
 Zgjidhja e modeleve të rrezatimit akustik
 Fërkimi i varur nga frekuenca në tubacionet rrethore
 Dinamika e trupave lundrues
 Rezolucioni këndor
 Difraksioni nga objektet spirale, duke përfshirë ADN-në
 Funksioni i densitetit të probabilitetit të produktit të dy ndryshoreve të rastit të shpërndara normalisht 
 Analizimi i valëve sipërfaqësore të krijuara nga mikrodridhjet, në gjeofizikë dhe sizmologji .

 Funksionet Bessel të llojit të parë: Jα 
parapamje| Grafiku i funksionit Bessel të llojit të parë  me n = 0,5 në planin kompleks nga −2 − 2i deri në 2 + 2i.
djathtas|parapamje|300x300px|Grafiku i funksionit Bessel të llojit të parë, , për rendet e numrave të plotë α = 0, 1, 2
Funksionet Bessel të llojit të parë, të shënuar si , janë zgjidhje të ekuacionit diferencial të Besselit. Për numër të plotë ose pozitiv α, Funksionet Bessel të llojit të parë janë të fundme në origjinë ( x = 0 ); ndërsa për numrin negativ jo të plotë α, Funksionet Bessel të llojit të parë divergjojnë kur x i afrohet zeros. Është e mundur të përcaktohet funksioni me zgjerimin e serisë së tij rreth x = 0, i cili mund të gjendet duke aplikuar metodën Frobenius në ekuacionin e Besselit: Abramowitz and Stegun, p. 360, 9.1.10.

 Integralet e Besselit 
Një përkufizim tjetër i funksionit të Beselit të llojit të parë, për vlerat e plota të n, është i mundur duke përdorur një paraqitje integrale: 

 Funksionet Besel të llojit të dytë: Yα 
parapamje| Grafiku i funksionit Bessel të llojit të dytë  me n = 0.5 në planin kompleks nga −2 − 2i në 2 + 2i .
Funksionet Bessel të llojit të dytë, të shënuara me , të shënuara herë pas here me , janë zgjidhje të ekuacionit diferencial të Besselit që kanë një singularitet në origjinë ( x = 0 ) dhe janë me shumë vlera . Këto nganjëherë quhen funksione Weber, siç u prezantuan nga  H.M Weber (1873)  , dhe gjithashtu funksionon Neumann sipas Carl Neumann . 

Për numrin jo të plotë α,  lidhet me  meNëse n është një numër i plotë jonegativ, kemi serinë NIST Digital Library of Mathematical Functions, (10.8.1). Accessed on line Oct. 25, 2016.
djathtas|parapamje|300x300px|Grafiku i funksionit Bessel të llojit të dytë, , për urdhrat e numrave të plotë α = 0, 1, 2
ku  është funksioni digama, derivati logaritmik i funksionit gama.