Seritë e Tejlorit

Në matematikë, seria Tejlor ose zgjerimi Tejlor i një funksioni është një shumë e pafundme termash që shprehen në terma të derivateve të funksionit në një pikë të vetme. Për shumicën e funksioneve të zakonshme, funksioni dhe shuma e serisë së tij Tejlor janë të barabarta pranë kësaj pike. Seritë Tejlor janë emërtuar sipas Brook Taylor, i cili i paraqiti ato në 1715. Një seri Tejlor quhet gjithashtu një seri Maclaurin kur 0 është pika ku merren parasysh derivatet, pas Colin Maclaurin, i cili përdori gjerësisht këtë rast të veçantë të serisë së Tejlorit në mesin e shekullit të 18-të.

Shuma e pjesshme e formuar nga n + 1 termat e parë të një serie Tejlor është një polinom i shkallës n që quhet polinomi i n -të Tejlor i funksionit. Polinomet e Tejlorit janë përafrime të një funksioni, të cilat në përgjithësi bëhen më të sakta kur rritet n . Teorema e Tejloritit jep vlerësime sasiore mbi gabimin e paraqitur nga përdorimi i përafrimeve të tilla. Një funksion mund të ndryshojë nga shuma e serisë së tij Taylor, edhe nëse seria e tij Taylor është konvergjente. Një funksion është analitik në një pikë x nëse është i barabartë me shumën e serisë së tij Tejlor në një interval të hapur (ose disk të hapur në planin kompleks ) që përmban vetë pikën x . Kjo nënkupton që funksioni është analitik në çdo pikë të intervalit (ose diskut).

 Përkufizimi 
Seria e Tejlorit e një funksioni real ose me vlerë komplekse  që është pafundësisht i diferencueshëm në një numër real ose kompleks a është seria e fuqisë



ku n ! tregon faktorialin e n . Në shënimin sigma më kompakt, kjo mund të shkruhet si



ku  tregon derivatin e n-të të  të vlerësuar në pikën  . (Derivati i rendit zero të  është përcaktuar të jetë  vetë dhe   dhe  janë përcaktuar të dyja të jenë<span typeof="mw:Entity" id="mwWw">&nbsp;</span>1 . )

Me a = 0, seria Meklaurin merr formën: 



ose në shënimin kompakt sigma:



 Shembuj 
Seria e Tejlorit për çdo polinomi është vetë polinomi.

Seria Maclaurin e  është seria gjeometrike



Pra, duke zëvendësuar x për 1 − x, seria Tejlor e  në  është



Duke integruar serinë e mësipërme Meklaurin, gjejmë serinë Meklaurin të , ku ln tregon logaritmin natyror :



Seria përkatëse Tejlor e  në a = 1 është



dhe në përgjithësi, seria përkatëse e Taylor-it e  në një pikë arbitrare jozero a është:



Seria Meklaurin e funksionit eksponencial e x është



Zgjerimi i mësipërm vlen sepse derivati i  në lidhje me x është gjithashtu , dhe e 0 është i barabartë 1. Kjo i lë termat  në numërues dhe  në emëruesin e çdo termi në shumën e pafundme.

 Funksionet analitike 
djathtas|parapamje|300x300px| Funksioni e (−1/ x 2 ) nuk është analitik në x = 0 : seria e Tejlorit është identike 0, megjithëse funksioni nuk është.
Nëse  jepet nga një seri fuqie konvergjente në një disk të hapur me qendër në b në planin kompleks (ose një interval në vijën reale), thuhet se është analitik në këtë rajon. Kështu për  në këtë rajon,  jepet nga një seri fuqie konvergjente



Duke diferencuar në lidhje me  në formulën e mësipërme n herë, më pas vendosja e  jep:



dhe kështu zgjerimi i serisë së fuqive përputhet me serinë e Tejlorit. Kështu, një funksion është analitik në një disk të hapur me qendër në b nëse dhe vetëm nëse seria e tij Tejlor konvergjon në vlerën e funksionit në çdo pikë të diskut.

Nëse  është e barabartë me shumën e serisë së saj Tejlor për të gjitha x në rrafshin kompleks, quhet e tërë . Polinomet, funksioni eksponencial e x, dhe funksionet trigonometrike sinusi dhe kosinusi, janë shembuj të funksioneve të tëra. Shembuj të funksioneve që nuk janë të tëra përfshijnë rrënjën katrore, logaritmin, tangjentën e funksionit trigonometrik dhe inversin e saj, arctan . Për këto funksione seria e Taylor-it nuk konvergjon nëse x është larg nga b . Kjo do të thotë, seria e Tejlor-it divergjon në x nëse largësia midis x dhe b është më e madhe se rrezja e konvergjencës . Seria Tejlor mund të përdoret për të llogaritur vlerën e një funksioni të tërë në çdo pikë, nëse vlera e funksionit dhe e të gjithë derivateve të tij janë të njohura në një pikë të vetme.

Përdorimet e serisë së Tejlorit për funksionet analitike përfshijnë:

 Shumat e pjesshme ( polinomet e Tejlorit ) të serisë mund të përdoren si përafrime të funksionit. Këto përafrime janë të mira nëse përfshihen mjaft terma.
 Diferencimi dhe integrimi i serive të fuqisë mund të kryhet term pas termi dhe për këtë arsye është veçanërisht i lehtë.
 Një funksion analitik shtrihet në mënyrë unike në një funksion holomorfik në një disk të hapur në planin kompleks . Kjo bën të gatshme makinerinë e analizës komplekse .
 Seria (e cunguar/ e prerë) mund të përdoret për të llogaritur vlerat e funksionit në mënyrë numerike, (shpesh duke e riformuar polinomin në formën Çebishev dhe duke e vlerësuar atë me algoritmin Klenshau ).
 Veprimet algjebrike mund të bëhen lehtësisht në paraqitjen e serisë së fuqisë; për shembull, formula e Euler- it vjen nga zgjerimet e serisë së Tejlorit për funksionet trigonometrike dhe eksponenciale. Ky rezultat është i një rëndësie thelbësore në fusha të tilla si analiza harmonike .
 Përafrimet duke përdorur termat e parë të një serie Tejlor mund të bëjnë të mundshme probleme të pazgjidhshme për një fushë të kufizuar; kjo qasje përdoret shpesh në fizikë.

 Gabimi i përafrimit dhe konvergjenca 
djathtas|parapamje|300x300px| Funksioni sinus (blu) përafrohet ngushtë me polinomin e tij të Tejlorit të shkallës 7 (rozë) për një periudhë të plotë të përqendruar në origjinë.
djathtas|parapamje|300x300px| Polinomet e Taylor për ln(1 + x ) ofrojnë vetëm përafrime të sakta në segmentin −1 < x ≤ 1 . Për x > 1, polinomet e Tejlorit të shkallës më të lartë ofrojnë përafrime më të këqija.
djathtas|parapamje|300x300px| Përafrimet e Tejlorit për ln(1 + x ) (e zezë). Për x > 1, përafrimet ndryshojnë.
Në foto është një përafrim i saktë i  rreth pikës x = 0 . Kurba rozë është një polinom i shkallës shtatë:



Gabimi në këtë përafrim nuk është më shumë se  . Për një cikël të plotë të përqendruar në origjinë ( ) gabimi është më i vogël se 0,08215. Në veçanti, për , gabimi është më i vogël se 0.000003.

Në të kundërt, tregohet gjithashtu një fotografi e funksionit të logaritmit natyror  dhe disa prej polinomeve të tij Taylor rreth a = 0 . Këto përafrime konvergjojnë me funksionin vetëm në rajonin −1 < x ≤ 1 ; jashtë këtij rajoni, polinomet e Tejlorit të shkallës më të lartë janë përafrime më të këqija për funksionin.

Gabimi i bërë në përafrimin e një funksioni me polinomin e tij të Tejlorit të shkallës së n -të quhet mbetje dhe shënohet me funksionin  . Teorema e Tejlorit mund të përdoret për të marrë një kufi në madhësinë e pjesës së mbetur .

 Lista e serive Meklauren të disa funksioneve të zakonshme 
Pasojnë disa zgjerime të rëndësishme të serive Maclaurin. Most of these can be found in . Të gjitha këto zgjerime janë të vlefshme për argumentet komplekse x .

 Funksioni eksponencial 
djathtas|parapamje| Funksioni eksponencial  (me blu), dhe shuma e n + 1 termave të parë të serisë së tij Tejlor në 0 (me të kuqe).
Funksioni eksponencial  (me bazën e ) ka serinë Maklauren

  .

Kjo seri konvergjon për të gjitha x .

Funksioni gjenerues eksponencial i numrave Bell është funksioni eksponencial i paraardhësit të funksionit eksponencial:



 Logaritmi natyror 
Logaritmi natyror (me bazën e ) ka seri Maklauren



Ato konvergjojnë për  . (Përveç kësaj, seria për  konvergjon për x = −1, dhe seria për  konvergjon për x = 1 . )

 Seria gjeometrike 
Seria gjeometrike dhe derivatet e saj kanë seri Maklauren



Të gjitha janë konvergjente për  . Këto janë raste të veçanta të serisë binomale të dhëna në seksionin vijues.

 Seria binomiale 
Seria binomiale është seria e fuqisëkoeficientët e të cilëve janë koeficientët binomialë të përgjithësuar(Nëse n = 0, ky produkt është një produkt bosh dhe ka vlerën 1. ) Konvergjon për  për çdo numër real ose kompleks α .

Kur α = -1, kjo është në thelb seria e pafundme gjeometrike e përmendur në pjesën e mëparshme. Rastet e veçanta α = 1/2 dhe a = -1/2 japin rrënjën katrore dhe një ndaj rrënjës katrore:Kur ruhet vetëm termi linear, kjo thjeshton përafrimin binomial .

 Funksionet trigonometrike 
Funksionet e zakonshme trigonometrike dhe të anasjelltët e tyre kanë seritë e mëposhtme të Maclaurin:



Të gjitha këndet janë të shprehura në radianë . Numrat që shfaqen në zgjerimet e  janë numrat e Bernulit .  në zgjerimin e  janë numrat e Eulerit .

 Funksionet hiperbolike 
Funksionet hiperbolike kanë serinë Maklauren të lidhura ngushtë me serinë për funksionet trigonometrike përkatëse:



Numrat  që shfaqen në serinë për janë numrat e Bernulit .

 Funksionet polilogaritmike 
Pollogaritmet kanë këto identitete përcaktuese:




Funksionet Legendre hi përcaktohen si më poshtë:




Dhe formulat e paraqitura më poshtë quhen integrale tangjente të anasjellta :




Në termodinamikën statistikore këto formula kanë një rëndësi të madhe.

 Llogaritja e serisë Taylor 
Ekzistojnë disa metoda për llogaritjen e serive të Tejlorit të një numri të madh funksionesh. Dikush mund të përpiqet të përdorë përkufizimin e serisë Tejlor, megjithëse kjo shpesh kërkon përgjithësimin e formës së koeficientëve sipas një modeli lehtësisht të dukshëm. Përndryshe, mund të përdoren manipulime të tilla si zëvendësimi, shumëzimi ose pjesëtimi, shtimi ose zbritja e serive standarde Tejlor për të ndërtuar serinë gjegjëse të një funksioni, për shkak se seria Tejlor është seri e fuqisë. Në disa raste, mund të nxirret edhe seria Tejlor duke aplikuar në mënyrë të përsëritur integrimin sipas pjesëve . Veçanërisht i përshtatshëm është përdorimi i sistemeve kompjuterike algjebër për të llogaritur seritë në fjalë.

 Shembulli i parë 
Për të llogaritur polinomin Meklauren të shkallës së 7-të për funksionin

  ,

së pari mund të rishkruhet funksioni si

  .

Seria Tejlor për logaritmin natyror është (duke përdorur shënimin e madh O )



dhe për funksionin kosinus

  .

Zgjerimi i serisë së fundit ka një term konstant zero, i cili na mundëson të zëvendësojmë serinë e dytë me të parën dhe të zbresim lehtësisht termat e rendit më të lartë se shkalla e 7-të duke përdorur shënimin e madh O :



Meqenëse kosinusi është një funksion çift, koeficientët për të gjitha fuqitë  ... duhet të jenë zero.

 Shembulli i dytë 
Supozoni se duam serinë e Tejlorit në 0 të funksionit



Kemi për funksionin eksponencial



dhe, si në shembullin e parë,



Supozoni se seria e fuqisë është



Pastaj shumëzimi me emëruesin dhe zëvendësimi i serisë së kosinusit jep



Mbledhja e termave deri në rendin e katërt jep



Vlerat e  mund të gjendet duke krahasuar koeficientët me shprehjen e sipërme për , duke dhënë:



 Shembull 
djathtas|parapamje|200x200px| Përafrimi i serisë së Tejlorit të rendit të dytë (në portokalli) i një funksioni  rreth origjinës.
Për të llogaritur një zgjerim të serisë Taylor të rendit të dytë rreth pikës  të funksionit



së pari llogariten të gjitha derivatet e nevojshme të pjesshme:



Vlerësimi i këtyre derivateve në origjinë jep koeficientët e Tejlorit



Zëvendësimi i këtyre vlerave në formulën e përgjithshme



jep



Meqenëse  është analitike në , kemi


Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara