Funksioni i mysët

Në matematikë, një funksion i mysët është negativi i një funksioni të lugët . Një funksion i mysët quhet gjithashtu sinonimisht konkav.

 Përkufizimi 
Një funksion me vlera reale  në një interval (ose, në përgjithësi, një grup i lugët në hapësirën vektoriale ) thuhet se është i mysët nëse, për ndonjë  dhe  në interval dhe për çdo , 



Një funksion quhet rreptësisht i mysët nëse



për çdo  dhe  .

Për një funksion , ky përkufizim i dytë thotë se për çdo  rreptësisht ndërmjet  dhe , pika  në grafikun e  është mbi vijën e drejtë që bashkon pikat  dhe  .

Skeda:ConcaveDef.png

 Vetitë 

 Funksionet me një ndryshore 

 Një funksion i diferencueshëm f është (rreptësisht) i mysët në një interval nëse dhe vetëm nëse funksioni i tij derivat f ′ është (rreptësisht) monotonisht zbritës në atë interval, domethënë, një funksion konkav ka një pjerrësi jo në rritje (zvogëluese).  
 Pikat ku natyra e funksionit ndryshon (midis konkave dhe konvekse ) janë pika përkuljeje . 
 Nëse  është dy herë i diferencueshëm, atëherë f është i mysët nëse dhe vetëm nëse është jopozitiv (ose, joformalisht, nëse " nxitimi " është jo pozitiv). Nëse derivati i dytë i tij është negativ, atëherë ai është rreptësisht i mysët, por e kundërta nuk është e vërtetë, siç tregohet nga  .
 Nëse  është i mysët dhe i diferencueshëm, atëherë ai kufizohet më lart nga përafrimi i saj Tejlorit i rendit të parë:  
 Një funksion i matshëm i  Lebegut në një interval C është i mysët nëse dhe vetëm nëse është i mysët në pikën e mesit, domethënë për çdo x dhe y në C 
 Nëse një funksion  është i mysët dhe , atëherë  është nënshtues në  . Prova:
 Meqenëse f është i mysët dhe 1 ≥ t ≥ 0, duke lënë y = 0 kemi 
 Për  : 

 Funksionet me n ndyshore 

 Një funksion  është konkav mbi një grup të lugët nëse dhe vetëm nëse funksioni është një funksion i lugët mbi bashkësinë.
 Shuma e dy funksioneve të mysta është në vetvete i mysët dhe po kështu është edhe minimumi pikësor i dy funksioneve të mysët, dmth grupi i funksioneve të mysët në një bashkësi të caktuar nga një gjysmëfushë .
 Pranë një maksimumi vendor në brendësi të BP të një funksioni, funksioni duhet të jetë i mysët; si e kundërt e pjesshme, nëse derivati i një funksioni rreptësisht të mysët është zero në një pikë, atëherë ajo pikë është një maksimum vendor.
 Çdo maksimum vendor i një funksioni i mysët është gjithashtu një maksimum botëror . Një funksion rreptësisht i mysët do të ketë më së shumti një maksimum botëror.

 Shembuj 

 Funksionet  dhe  janë të mysëta në domenet e tyre, sepse derivatet e dyta të tyre  dhe  janë gjithmonë negative.
 Funksioni logaritmik  është konkave në domenin e saj , si derivat i tij  është një funksion rreptësisht zbritës.
 Çdo funksion afin  është edhe i mysët edhe i lugët, por as rreptësisht i mysët dhe as rreptësisht i lugët.
 Funksioni sinus është konkav në interval  .
 Funksioni , ku  është përcaktori i një matrice B jonegative-përcaktuar, është i mysët. 

 Zbatimet 

 Rrezet që përkulen në llogaritjen e dobësimit të radiovalëve në atmosferë përfshijnë funksione konkave.
 Në teorinë e dobisë së pritshme për zgjedhjen nën pasiguri, funksionet kryesore të dobisë së vendimmarrësve ndaj rrezikut janë konkave.
 Në teorinë mikroekonomike, funksionet e prodhimit zakonisht supozohen të jenë konkave mbi disa ose të gjitha fushat e tyre, duke rezultuar në zvogëlimin e kthimit të faktorëve të hyrjes.