Shpërndarja log-normale

Në teorinë e probabilitetit, një shpërndarje log-normale (ose lognormale ) është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti e një ndryshoreje të rastit logaritmi i së cilës shpërndahet normalisht . Kështu, nëse ndryshorja e rastit  është e shpërndarë në mënyrë log-normale, atëherë    ka një shpërndarje normale.   Në mënyrë ekuivalente, nëse  ka një shpërndarje normale, atëherë funksioni eksponencial i , , ka një shpërndarje log-normale. Një ndryshore e rastit e cila shpërndahet log-normalisht merr vetëm vlera reale pozitive. Është një model i përshtatshëm dhe i dobishëm për matjet në shkencat ekzakte dhe inxhinierike, si dhe mjekësi, ekonomi dhe tema të tjera (p.sh., energjitë, përqendrimet, gjatësitë, çmimet e instrumenteve financiare dhe metrika të tjera).

Shpërndarja përmendet herë pas here si shpërndarja Galton ose shpërndarja e Galtonit, pas Francis Galton.  Shpërndarja log-normale është shoqëruar edhe me emra të tjerë, si McAlister, Gibrat dhe Cobb-Douglas . 

Një proces log-normal është realizimi statistikor i produktit shumëzues të shumë ndryshoreve të rastit të pavarura, secila prej të cilave është pozitive. Kjo justifikohet duke marrë parasysh teoremën qëndrore limite në domenin logaritmik (nganjëherë quhet ligji i Gibratit ). Shpërndarja log-normale është shpërndarja maksimale e probabilitetit të entropisë për një variacion të rastit X — për të cilin është specifikuar mesatarja dhe varianca e  .  Table 1, p. 221.

 Përkufizimet 

 Gjenerimi dhe parametrat 
Le  të jetë një ndryshore normale standarde dhe le të jetë  dhe  të jenë dy numra realë. Pastaj, shpërndarja e ndryshores së rastit



quhet shpërndarja log-normale me parametra  dhe  . Këto janë pritja matematike (ose mesatarja ) dhe shmangia standarde e logaritmit natyror të ndryshores, jo pritshmëria dhe devijimi standard i  vetë.
parapamje| Lidhja ndërmjet shpërndarjes normale dhe log-normale. Nëse  atëherë shpërndahet normalisht  shpërndahet log-normalisht.
Kjo marrëdhënie është e vërtetë pavarësisht nga baza e funksionit logaritmik ose eksponencial: nëse  shpërndahet normalisht, atëherë kështu është  për çdo dy numra pozitivë  . Po kështu, nëse  shpërndahet log-normalisht, atëherë kështu është , ku  .

Për të prodhuar një shpërndarje me mesataren e dëshiruar  dhe variancë , përdoret  dhe 

 Funksioni i densitetit të probabilitetit 
Një ndryshore e rastit pozitive  është e shpërndarë log-normalisht (d.m.th.  ), nëse logaritmi natyror i X është i shpërndarë normalisht me mesatare  dhe variancë  :



Le të jenë  dhe   përkatësisht funksioni mbledhës i shpërndarjes së probabilitetit dhe funksioni i dendësisë së probabilitetit të shpërndarjes N (0,1), atëherë marrim Weisstein, Eric W. "Log Normal Distribution". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-09-13. 



 Funksioni i shpërndarjes mbledhëse 
The cumulative distribution function is



ku  është funksioni mbledhës i shpërndarjes së shpërndarjes normale standarde (dmth., ).

Kjo mund të shprehet edhe si vijon: Weisstein, Eric W. "Log Normal Distribution". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-09-13.



ku erfc është funksioni i gabimit plotësues .

 Modaliteti, mesatarja, kuantilet 
parapamje| Krahasimi i mesatares, medianës dhe modës së dy shpërndarjeve log-normale me anësi të ndryshme.
Moda është pika e maksimumit global të funksionit të dendësisë së probabilitetit. Në veçanti, duke zgjidhur ekuacionin , marrim se:



Meqenëse ndryshorja e log-transformuar  ka një shpërndarje normale, dhe kuantilet ruhen nën shndërrimet monotonike, kuantilet e  janë



ku  është kuantili i shpërndarjes normale standarde.

Në mënyrë të veçantë, mediana e një shpërndarjeje log-normale është e barabartë me mesataren e saj shumëzuese, 



 Pritja e pjesshme 
Pritja e pjesshme e një ndryshoreje të rastit  në lidhje me një prag  përkufizohet si



Përndryshe, duke përdorur përkufizimin e pritjes së kushtëzuar, mund të shkruhet si  . Për një ndryshore të rastit log-normale, pritja e pjesshme jepet nga:



ku  është funksioni normal kumulativ i shpërndarjes.

 Pritja e kushtëzuar 
Pritja e kushtëzuar e një ndryshoreje të rastit log-normale  - në lidhje me një prag  — A është pritshmëria e saj e pjesshme e ndarë me probabilitetin mbledhës për të qenë në atë shtrirje:



 Shumëfishi, e anasjellta, fuqia 

 Shumëzimi me një konstante: Nëse  atëherë  për 
 Reciproke: Nëse  atëherë 
 Fuqia: Nëse  atëherë  për 

 Shumëzimi dhe pjesëtimi i ndryshoreve të rastit të pavarura, log-normale 
Nëse dy ndryshore të pavarura, log-normale  dhe  janë shumëzuar [pjestuar], produkti [raporti] është përsëri log-normal, me parametra  [  ] dhe , ku  . Kjo përgjithësohet lehtësisht në produktin e  ndryshoreve të tilla.

Në përgjithësi, nëse  janë  ndryshore të pavarura, të shpërndara normalisht në log, atëherë 

 Shpërndarjet e ndërlidhura 

 Nëse  është një shpërndarje normale, atëherë 
 Nëse  shpërndahet log-normalisht, atëherë  është një ndryshore e rastit normale.
 Le  të jenë ndryshore të pavarura log-normalisht të shpërndara me mundësisht të ndryshme  dhe  parametrat, dhe  . Shpërndarja e  nuk ka shprehje në formë të mbyllur, por mund të përafrohet në mënyrë të arsyeshme nga një shpërndarje tjetër log-normale  në bishtin e djathtë.  Funksioni i tij i dendësisë së probabilitetit në afërsi të 0-së është karakterizuar  dhe nuk i ngjan ndonjë shpërndarjeje log-normale. Një përafrim i përdorur zakonisht për shkak të LF Fenton (por i deklaruar më parë nga RI Wilkinson dhe i justifikuar matematikisht nga Marlow  ) përftohet duke përputhur mesataren dhe variancën e një shpërndarjeje tjetër log-normale:


Shuma e ndryshoreve të rastit të korreluara log-normalisht të shpërndara mund të përafrohet gjithashtu nga një shpërndarje log-normale 

 Nëse  pastaj  thuhet se ka një shpërndarje log-normale me tre parametra me mbështetje  .   ,  .
 Shpërndarja log-normale është një rast i veçantë i shpërndarjes SU gjysmë të kufizuar të Xhonsonit . 
 Nëse  me , pastaj  ( Shpërndarja Suzuki ).

 Konkluzioni statistikor 

 Vlerësimi i parametrave 
Për përcaktimin e vlerësuesve të përgjasisë maksimale të parametrave të shpërndarjes log-normale μ dhe σ, mund të përdorim të njëjtën procedurë si për shpërndarjen normale . Vini re seku  është funksioni i dendësisë së shpërndarjes normale  . Prandaj, funksioni log-përgjasi ështëMeqenëse termi i parë është konstant në lidhje me μ dhe σ, të dy funksionet e përgjasisë logaritmike,  dhe , arrijnë maksimumin e tyre me të njëjtën  dhe  . Prandaj, vlerësuesit e përgjasisë maksimale janë identikë me ata për një shpërndarje normale për vëzhgimet  ,

 Ndodhia dhe zbatimet 
Shpërndarja log-normale është e rëndësishme në përshkrimin e dukurive natyrore. Shumë procese të rritjes natyrore nxiten nga mbledhja i shumë ndryshimeve të vogla në përqindje të cilat bëhen shtuese në një shkallë logaritmike. Nën kushte të përshtatshme rregullsie, shpërndarja e ndryshimeve të mbledhura që rezultojnë do të përafrohet gjithnjë e më mirë nga një log-normale. Ky njihet gjithashtu si ligji i Gibratit, sipas Robert Gibrat (1904–1980) i cili e formuloi atë për kompanitë.  Nëse shkalla e mbledhjes së këtyre ndryshimeve të vogla nuk ndryshon me kalimin e kohës, rritja bëhet e pavarur nga madhësia. Edhe nëse ky supozim nuk është i vërtetë, shpërndarjet e madhësisë në çdo moshë të gjërave që rriten me kalimin e kohës priren të jenë log-normale. Rrjedhimisht, shtrirja e referencës për matjet në individë të shëndetshëm vlerësohen më saktë duke supozuar një shpërndarje log-normale sesa duke supozuar një shpërndarje simetrike rreth mesatares. 

Një justifikim i dytë bazohet në vëzhgimin se ligjet themelore natyrore nënkuptojnë shumëzime dhe pjesëtime të ndryshoreve pozitive. Shembuj janë ligji i thjeshtë i gravitetit që lidh masat dhe largësinë me forcën që rezulton, ose formula për përqendrimet e baraspeshës të kimikateve në një tretësirë që lidh përqendrimet e edukteve dhe produkteve. Supozimi i shpërndarjeve log-normale të ndryshoreve të përfshira çon në modele të qëndrueshme në këto raste.

 Sjellje njerezore 

 Gjatësia e komenteve të postuara në forumet e diskutimit në internet ndjek një shpërndarje log-normale. 
 Koha e qëndrimit të përdoruesve nëpër artikuj online (shaka, lajme etj.) ndjek një shpërndarje normale. 
 Kohëzgjatja e lojërave të shahut priret të ndjekë një shpërndarje log-normale. 
 Kohëzgjatja e fillimit të stimujve të krahasimit akustik që përputhen me një stimul standard ndjekin një shpërndarje log-normale. 

 Biologji dhe mjekësi 

 Matjet e madhësisë së indeve të gjallë (gjatësia, zona e lëkurës, pesha). 
 Periudha e inkubacionit të sëmundjeve. Sartwell, Philip E. "The distribution of incubation periods of infectious disease." American journal of hygiene 51 (1950): 310-318.
 Diametrat e njollave të gjetheve të bananes, myk pluhur në elb. 
 Për epidemitë shumë të transmetueshme, si SARS në 2003, nëse përfshihen politikat e kontrollit të ndërhyrjes publike, numri i rasteve të shtruara në spital tregohet se plotëson shpërndarjen log-normale pa parametra të lirë nëse supozohet një entropi dhe shmangie standarde përcaktohet nga parimi i shkallës maksimale të prodhimit të entropisë . 
 Gjatësia e shtojcave inerte (flokët, kthetrat, thonjtë, dhëmbët) e ekzemplarëve biologjikë. 
 Disa matje fiziologjike, të tilla si tensioni i gjakut i njerëzve të rritur (pas ndarjes në nënpopullata meshkuj/femra). 
 Disa variabla farmakokinetikë, si C <sub id="mwAsM">max</sub>, koha e gjysëmeliminimit dhe konstantja e shkallës së eliminimit . 
 Në neuroshkencë, shpërndarja e ritmeve të shkrepjes në një popullatë neuronesh është shpesh afërsisht log-normale. Kjo është vërejtur fillimisht në korteks dhe striatum  dhe më vonë në hipokampus dhe korteksin entorhinal,  dhe gjetkë në tru.   Gjithashtu, shpërndarjet e fitimit të brendshëm dhe shpërndarjet e peshës sinaptike duket të jenë gjithashtu log-normale  .
 Në menaxhimin e sallave të operacionit, shpërndarja e kohëzgjatjes së operacionit .
 Në madhësinë e orteqeve të thyerjeve në citoskeletin e qelizave të gjalla, duke treguar shpërndarje log-normale, me madhësi dukshëm më të lartë në qelizat kancerogjene sesa ato të shëndetshme. Polizzi, S., Laperrousaz, B., Perez-Reche, F. J., Nicolini, F. E., Satta, V. M., Arneodo, A., & Argoul, F. (2018). A minimal rupture cascade model for living cell plasticity. New Journal of Physics, 20(5), 053057. doi: https://doi.org/10.1088/1367-2630/aac3c7

 Kimia 

 Shpërndarjet e madhësisë së grimcave dhe shpërndarjet e masës molare .

 Përqendrimi i elementeve të rrallë në minerale. 
 Diametrat e kristaleve në akullore, pika vaji në majonezë, poret në tortën me kakao. Limpert, Eckhard; Stahel, Werner A.; Abbt, Markus (2001). "Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues". BioScience. 51 (5): 341. doi:10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2. ISSN 0006-3568.

parapamje| Shpërndarja mbledhëse log-normale e përshtatur me reshje maksimale vjetore 1-ditore, shih përshtatjen e shpërndarjes

 Shkencat sociale dhe demografia 

 Në ekonomi, ka dëshmi se të ardhurat e 97%-99% të popullsisë shpërndahen log-normalisht. Clementi, Fabio; Gallegati, Mauro (2005) "Pareto's law of income distribution: Evidence for Germany, the United Kingdom, and the United States", EconWPA (Shpërndarja e personave me të ardhura më të larta ndjek një shpërndarje Pareto ). 
 Nëse një shpërndarje e të ardhurave ndjek një shpërndarje log-normale me shmangie standarde , atëherë koeficienti Gini, i përdorur zakonisht për të vlerësuar pabarazinë e të ardhurave, mund të llogaritet si  ku  është funksioni i gabimit, pasi , ku  është funksioni mbledhës i shpërndarjes së një shpërndarjeje normale standarde.
 Në financë, në veçanti modeli Black–Scholes, ndryshimet në logaritmin e kurseve të këmbimit, indekseve të çmimeve dhe indekseve të tregut të aksioneve supozohen normale  (këto ndryshore sillen si interes i përbërë, jo si interes i thjeshtë, dhe kështu janë shumëzuese) . Megjithatë, disa matematikanë të tillë si Benoit Mandelbrot kanë argumentuar  se shpërndarjet log-Lévy, e cila ka për karakteristikë bishta të rëndë do të ishte një model më i përshtatshëm, veçanërisht për analizën për rrëzimet e tregut të aksioneve . Në të vërtetë, shpërndarjet e çmimeve të aksioneve zakonisht shfaqin një bisht të trashë . Bunchen, P., Advanced Option Pricing, University of Sydney coursebook, 2007 Shpërndarja me bishta të trashë e ndryshimeve gjatë rrëzimeve të tregut të aksioneve zhvlerëson supozimet e teoremës qëndrore limite .
 Në Scientometrics, numri i citimeve në artikujt e revistave dhe patentave ndjek një shpërndarje diskrete log-normale.  
 Madhësitë e qyteteve (popullsia) plotësojnë Ligjin e Gibratit.  Procesi i rritjes së përmasave të qyteteve është proporcional dhe i pandryshueshëm në lidhje me madhësinë. Prandaj, nga teorema qëndrore limite, regjistri i madhësisë së qytetit shpërndahet normalisht.
 Numri i partnerëve seksualë duket se përshkruhet më së miri nga një shpërndarje log-normale. 

 Teknologjia 

 Në analizën e besueshmërisë, shpërndarja log-normale përdoret shpesh për të modeluar kohët për të riparuar një sistem të mirëmbajtshëm. 
 Në komunikimin me valë, "fuqia mesatare vendore e shprehur në vlera logaritmike, të tilla si dB ose neper, ndjek një shpërndarje normale (dmth. Gaussian).  Gjithashtu, pengimi i rastësishëm i sinjaleve të radios për shkak të ndërtesave dhe kodrave të mëdha, i quajtur hijezim, shpesh modelohet si një shpërndarje log-normale.
 Shpërndarja e madhësisë së skedarit të skedarëve audio dhe video të qasshme publikisht ( llojet MIME ) ndjek një shpërndarje log-normale mbi pesë rende madhësie . 
 Madhësitë e skedarëve prej 140 milionë skedarësh në kompjuterët personalë që përdorin Windows OS, të mbledhura në vitin 1999.  Pawel, Sobkowicz; et al. (2013). "Lognormal distributions of user post lengths in Internet discussions - a consequence of the Weber-Fechner law?". EPJ Data Science.
 Madhësitë e emaileve të bazuara në tekst (1990) dhe emaileve të bazuara në multimedia (2000). 
 Në rrjetet kompjuterike dhe analizën e trafikut të internetit, log-normal paraqitet si një model i mirë statistikor për të përfaqësuar sasinë e trafikut për njësi të kohës. Kjo është treguar duke zbatuar një qasje të fuqishme statistikore në një grup të madh gjurmësh reale të internetit. 
Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara