Kurtoza e tepërt

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, kurtoza (nga greqishtja κυρτός , kyrtos ose kurtos, që do të thotë "i lakuar, i harkuar") është një masë e "bishtësisë" së shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastit me vlera reale . Ashtu si anshmëria, kurtoza përshkruan një tipar të veçantë të një shpërndarje probabiliteti. Ka mënyra të ndryshme për të përcaktuar sasinë e kurtozës për një shpërndarje teorike, dhe ka mënyra përkatëse për ta vlerësuar atë duke përdorur një kampion nga një popullatë. Masat e ndryshme të kurtozës mund të kenë interpretime të ndryshme.

Masa standarde e kurtozës së shpërndarjes, me origjinë nga Karl Pearson, është një version i shkallëzuar i momentit të katërt të shpërndarjes. Ky numër lidhet me bishtat e shpërndarjes, jo me kulmin e saj; prandaj, karakterizimi i parë ndonjëherë i kurtozës si " masë " është i pasaktë. Për këtë masë, kurtoza më e lartë korrespondon me ekstremitetin më të madh të devijimeve (ose të jashtme ), dhe jo me konfigurimin e të dhënave afër mesatares .

 Momentet e Pearsonit 
Kurtoza është momenti i katërt i standardizuar, i përcaktuar si



ku μ 4 është momenti i katërt qendror dhe σ është devijimi standard . Në literaturë përdoren disa shkronja për të shënuar kurtozën. Një zgjedhje shumë e zakonshme është κ, e cila është e mirë për sa kohë që është e qartë se nuk i referohet një mbledhësi . Zgjedhje të tjera përfshijnë γ2, që të jetë e ngjashme me shënimin e anshmërisë, megjithëse ndonjëherë kjo rezervohet për kurtozën e tepërt.

Kurtoza kufizohet më poshtë nga anshmëria në katror plus 1:



ku μ3 është momenti i tretë qendror . Kufiri i poshtëm realizohet nga shpërndarja e Bernulit . Nuk ka kufi të sipërm për kurtozën e një shpërndarjeje të përgjithshme probabiliteti dhe mund të jetë e pafundme.

Një arsye pse disa autorë favorizojnë kurtozën e tepërt është se mbledhësit janë ekstensivë . Formulat që lidhen me vetinë ekstensive shprehen më natyrshëm në termat e kurtozës së tepërt. Për shembull, le të jenë  ndryshore të rastit të pavarura për të cilat ekziston momenti i katërt dhe le të jetë  ndryshorja e rastit e përcaktuar nga shuma e . Kurtoza e tepërt e  është



ku  është devijimi standard i  . Në veçanti nëse të gjitha  kanë të njëjtën variancë, atëherë kjo thjeshtohet në



Arsyeja për të mos zbritur 3 është se momenti i katërt i zhveshur përgjithësohet më mirë në shpërndarjet shumëndryshore, veçanërisht kur pavarësia nuk supozohet. Bashkëkurtoza midis çifteve të ndryshoreve është tensori i rendit katër. Për një shpërndarje normale dyndryshore, tensori i kokurtozës ka terma jashtë diagonales që nuk janë as 0 as 3 në përgjithësi, kështu që përpjekja për të "korrigjuar" për një tepricë bëhet konfuze. Është e vërtetë, megjithatë, se mbledhësit e përbashkët të shkallës më të madhe se dy për çdo shpërndarje normale shumëndryshore janë zero.

Për dy ndryshore të rastit,  dhe , jo domosdoshmërisht të pavarura, kurtoza e shumës, , është



 Interpretimi i Mursit 
Në 1986 Mursi dha një interpretim të kurtozës. Le të jetë



ku  është një ndryshore e rastit,  është mesatarja dhe  është shmangia standarde.

Tani sipas përkufizimit të kurtozës , dhe nga identiteti i njohur 

  .

Kurtoza tani mund të shihet si një masë e shpërndarjes së  rreth pritjes së saj. Përndryshe, mund të shihet se është një masë e shpërndarjes së  rreth +1 dhe −1. κ e arrin vlerën e saj minimale në një shpërndarje simetrike me dy pika. Për sa i përket ndryshores origjinale , kurtoza është një masë e shpërndarjes së  rreth dy vlerave  .

 Kurtoza e tepërt 
Kurtoza e tepërt përcaktohet si kurtoza minus 3. Ekzistojnë 3 regjime të dallueshme siç përshkruhen më poshtë.

 Mesokurtizmi 
Shpërndarjet me kurtozë të tepërt zero quhen mezokurtike, ose mezokurtotike. Shembulli më i spikatur i një shpërndarjeje mezokurtike është familja e shpërndarjes normale, pavarësisht nga vlerat e parametrave të saj. Disa shpërndarje të tjera të njohura mund të jenë mezokurtike, në varësi të vlerave të parametrave: për shembull, shpërndarja binomiale është mezokurtike për  .

 Leptokurtizmi 
Një shpërndarje me kurtozë të tepërt pozitive quhet leptokurtike, ose leptokurtotike. "Lepto-" do të thotë "i hollë".  Për sa i përket formës, një shpërndarje leptokurtike ka bishta më të trashë . Shembuj të shpërndarjeve leptokurtike përfshijnë shpërndarjen e Studentit t, shpërndarjen Rayleigh, shpërndarjen Laplace, shpërndarjen eksponenciale, shpërndarjen Poisson dhe shpërndarjen logjistike . Shpërndarje të tilla nganjëherë quhen super-Gausiane . [12]

 Platikurtizmi 
parapamje| Hedhja e monedhës është shpërndarja më platikurtike
Një shpërndarje me kurtozë të tepërt negative quhet platikurtike, ose platikurtotike. "Platy-" do të thotë "i gjerë".  Për sa i përket formës, një shpërndarje platikurtike ka bishta më të hollë . Shembuj të shpërndarjeve platikurtike përfshijnë shpërndarjet uniforme të vazhdueshme dhe diskrete dhe shpërndarjen e kosinusit të ngritur . Shpërndarja më platikurtike nga të gjitha është shpërndarja e Bernult me p = 1/2 (për shembull, sa herë që merret varianti "kokë" kur hidhet një monedhë një herë, një hedhje monedhe ), për të cilën kurtoza e tepërt është -2.

Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara