Shpërndarja hi

Në teorinë e probabiliteti dhe statistikë, shpërndarja hi është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti . Është shpërndarja e rrënjës katrore të shumës së katrorëve të një bashkësie ndryshoresh rasti të pavarura secila me një shpërndarje normale standarde, ose në mënyrë të njëvlerëshme, shpërndarja e largësisë Euklidiane të ndryshoreve të rastit nga origjina. Kështu, ajo lidhet me shpërndarjen hi-katror duke përshkruar shpërndarjen e rrënjëve katrore pozitive të një ndryshoreje që i bindet një shpërndarjeje hi-katrore.

Nëse  janë  ndryshore rasti të pavarura, me shpërndarje normale me mesatare 0 dhe devijim standard 1, pastaj statistika



shpërndahet sipas shpërndarjes hi. Shpërndarja hi ka një parametër, , i cili specifikon numrin e shkallëve të lirisë (dmth. numrin e ndryshoreve të rastit  ).

Shembujt më të njohur janë shpërndarja Rayleigh (shpërndarja hi me dy shkallë lirie ) dhe shpërndarja Maxwell–Boltzmann e shpejtësive molekulare në një gaz ideal (shpërndarja hi me tre shkallë lirie).

 Përkufizimet 

 Funksioni i dendësisë së probabilitetit 
Funksioni i dendësisë së probabilitetit (pdf) i shpërndarjes hi është



ku  është funksioni gama .

 Funksioni mbledhës i shpërndarjes 
Funksioni mbledhës i shpërndarjes jepet nga:



ku  është funksioni gama i rregulluar .

 Vetitë 

 Momente 
Momentet e papërpunuara më pas jepen nga:



ku  është funksioni gama . Kështu, momentet e para të papërpunuara janë:








Nga këto shprehje mund të nxjerrim marrëdhëniet e mëposhtme:

Mesatarja:  që llogaritet edhe si  për k të mëdha.

Varianca:  e cila i afrohet  me rritjen e k .

Shtrirja: 

Kurtoza e tepërt: 

 Entropia 
Entropia jepet nga:



ku  është funksioni poligama .

 Përafrim i madh n 
Gjejmë përafrimin e madh  të mesatares dhe variancës së shpërndarjes hi. Kjo ka zbatim p.sh. në gjetjen e shpërndarjes së devijimit standard të një kampioni të popullatës së shpërndarë normalisht, ku  është madhësia e kampionit.

Mesatarja është:



Ne përdorim formulën e dyfishimit të Lezhandrit për të shkruar:

  ,

në mënyrë që:



Duke përdorur përafrimin e Stirlingut për funksionin gamma, marrim shprehjen e mëposhtme për mesataren:






E kështu varianca është:



 Shpërndarjet e ndërlidhura 

 Nëse  atëherë  ( shpërndarja hi-katrore )
  ( Shpërndarja normale )
 Nëse  atëherë 
 Nëse  atëherë  ( shpërndarje gjysmë normale ) për çdo 
  ( Shpërndarja Rayleigh )
  ( Shpërndarja Maxwell )
 , norma Euklidiane e një vektori standard normal të rastit të me  dimensione, shpërndahet sipas një shpërndarjeje hi me  shkallët e lirisë
 Shpërndarja chi është një rast i veçantë i shpërndarjes së përgjithësuar të gamës ose shpërndarjes Nakagami ose shpërndarjes joqendrore hi
 Mesatarja e shpërndarjes hi (shkallëzuar me rrënjën katrore të  ) jep faktorin korrigjues në vlerësimin e paanshëm të devijimit standard të shpërndarjes normale .

+Shpërndarje të ndryshme hi dhe hi-katrore Emri Statistikat shpërndarja hi-katrore  shpërndarja joqendrore hi-katrore  shpërndarja hi  shpërndarja joqendrore hi 

 Shiko gjithashtu 

 Shpërndarja Nakagami