Mosbarazimi i Markovit

Në teorinë e probabilitetit, mosbarazimi i Markovit jep një kufi të sipërm për probabilitetin që një funksion jo-negativ i një ndryshoreje rasti është më i madh ose i barabartë me një konstante pozitive. Është emërtuar sipas matematikanit rus Andrej Markov, megjithëse u shfaq më herët në veprën e Pafnuti Çebishevit (mësues i Markovit), dhe shumë burime, veçanërisht në analizë, i referohen si mosbarazimi i Çebishevit (nganjëherë, duke e quajtur atë mosbarazimi i parë Çebishev, ndërsa duke iu referuar mosbarazimit të Çebishevit si mosbarazimi i dytë Çebishev) ose pabarazia e Bienaymé .

Mosbarazimi i Markovit (dhe mosbarazimet e tjera të ngjashme) lidhin probabilitetet me pritshmëritë dhe sigurojnë kufij (shpesh të lirshëm, por ende të dobishëm) për funksionin e shpërndarjes mbledhëse të një ndryshoreje të rastësishme.

Duhet theksuar se mosbarazimi i Markovit është një kufi i sipërm. Kjo do të thotë se ka barazime (si ai i Çebishevit) që japin rezultate në një interval më të ngushtë.

 Pohim 
Nëse  është një ndryshore e rastit jonegative dhe , atëherë probabiliteti që  është të paktën  është e shumta pritja matematike e  thyer për  : 



Le të jetë  (ku  ); atëherë ne mund ta rishkruajmë mosbarazimin e mëparshëm si



Në gjuhën e teorisë së masës, mosbarazimi i Markovit thotë se nëse  është një hapësirë matëse,  është një funksion i matshëm i zgjeruar me vlera reale, dhe ε > 0, atëherë



 Versioni i zgjeruar për funksionet jozbritëse 
Nëse  është një funksion jonegativ jozbritës,  është një ndryshore e rastit (jo domosdoshmërisht jonegative), dhe , atëherë



Një përfundim i menjëhershëm, duke përdorur momente më të larta të  të përcaktuar në vlera më të mëdha se 0, është



 Rezultati "monotonik" mund të demonstrohet nga:


 Rezultati që, për një ndryshore të rastit jonegative X, funksioni kuantile i  plotëson:

 provën duke përdorur


 Le të jetë   një ndryshore e rastit me vlerë matrice të vetëbashkuar dhe a > 0 . Pastaj

 mund të tregohet në mënyrë të ngjashme.

 Shembuj 
Duke supozuar se asnjë e ardhur nuk është negative, mosbarazimi i Markovit tregon se jo më shumë se 1/5 e popullsisë mund të ketë më shumë se 5 herë të ardhurat mesatare.