Faktori integrues

Në matematikë, një faktor integrues është një funksion që zgjidhet për të lehtësuar zgjidhjen e një ekuacioni të caktuar që përfshin diferenciale . Përdoret zakonisht për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale të zakonshme (EDZ), por përdoret gjithashtu brenda llogaritjeve me shumë ndryshore kur shumëzimi me një faktor integrues lejon që një diferencial i pasaktë të shndërrohet në një diferencial të saktë (i cili më pas mund të integrohet për të dhënë një fushë skalare ). Kjo është veçanërisht e dobishme në termodinamikë ku temperatura bëhet faktori integrues që e bën entropinë një diferencial të saktë.

 Përdorni 
Një faktor integrues është çdo shprehje me të cilën shumëzohet një ekuacion diferencial për të lehtësuar integrimin. Për shembull, ekuacioni jolinear i rendit të dytë



ka për faktor integrues  :



Për t'u integruar, vini re se të dyja anët e ekuacionit mund të shprehen si derivate duke shkuar mbrapa me rregullin zinxhir :



Atëherë,



ku  është një konstante.

Kjo trajtë mund të jetë më e dobishme, në varësi të zbatimit. Kryerja e një ndarje të ndryshoreve do të japë



Kjo është një zgjidhje e nënkuptuar që përfshin një integral jo-elementar . E njëjta metodë përdoret për të zgjidhur ekuacionin e periodës së një lavjerrësi të thjeshtë.

 Zgjidhja e EDZve lineare të rendit të parë 
Faktorët integrues janë të dobishëm për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale të zakonshme që mund të shprehen në trajtën



Ideja themelore është të gjesh një funksion, le të themi , i quajtur "faktori integrues", të cilin ne mund ta shumëzojmë në të dyja anët ekuacionit tonë diferencial në mënyrë që të sjellim anën e majtë nën një derivat të përbashkët. Për ekuacionin diferencial linear kanonik të rendit të parë të paraqitur më sipër, faktori integrues është  .

Le të jetë  faktori integrues i një ekuacioni diferencial linear të rendit të parë i tillë që shumëzimi me  të transformojë një derivat të pjesshëm në një derivat të plotë, atëherë:





Kalimi nga hapi 2 në hapin 3 e kërkon që , i cili është një ekuacion diferencial i ndashëm, zgjidhja e të cilit jep  ne kushtet e  :






Për të verifikuar, duke shumëzuar me  jep



Duke zbatuar rregullin e produktit në të kundërt, shohim se ana e majtë mund të shprehet si një derivat i vetëm në 



Ne e përdorim këtë fakt për të thjeshtuar shprehjen tonë



Integrimi i të dyja anëve sipas  jep





ku  është një konstante.

Duke kaluar eksponencialin në anën e djathtë, zgjidhja e përgjithshme për ekuacionin diferencial të zakonshëm është:



Në rastin e një ekuacioni diferencial homogjen,  dhe zgjidhja e përgjithshme për EDZnë është:

  .

për shembull, konsideroni ekuacionin diferencial



Këtë mund ta shohim se në këtë rast 







Duke shumëzuar të dyja anët me  marrim



Ekuacioni i mësipërm mund të rishkruhet si



Duke integruar të dyja anët në lidhje me , ne marrim



ose



I njëjti rezultat mund të arrihet duke përdorur metodën e mëposhtme









Kthimi i rregullës së herësit jep



ose



ose



ku  është një konstante.

 Zgjidhja e EDZve lineare të rendit të dytë 
Metoda e faktorëve të integrimit për ekuacionet e rendit të parë mund të shtrihet natyrshëm edhe tek ekuacionet e rendit të dytë. Qëllimi kryesor në zgjidhjen e ekuacioneve të rendit të parë ishte gjetja e një faktori integrues  të tillë që duke u shumëzuar  nga ajo do të merrej , pas së cilës integrimi dhe pjesëtimi pasuese me  do të jepte  . Për ekuacionet diferenciale lineare të rendit të dytë, nëse duam  të funksionojë si një faktor integrues, atëherë



Kjo nënkupton që një ekuacion i rendit të dytë duhet të jetë saktësisht në formë  që faktori integrues të jetë i përdorshëm.

 Shembulli 1 
Për shembull, ekuacioni diferencial



mund të zgjidhet pikërisht me faktorë integrues. Funksioni i përshtatshëm   mund të konkludohet duke shqyrtuar kufizën  . Në këtë rast, , kështu që  . Pas ekzaminimit të kufizës  , ne shohim se ne në fakt kemi , kështu që ne do t'i shumëzojmë të gjitha kufizat me faktorin integrues  . Kjo na jep



të cilat mund të riorganizohen për të dhënë



Integrimi dy herë jep



Pjestimi me faktorin integrues jep:



 Shembulli 2 
Një zbatim pak më pak i dukshëm i faktorëve integrues të rendit të dytë përfshin ekuacionin diferencial të mëposhtëm:



Në pamje të parë, duket qartë se kjo nuk është në formën e nevojshme për faktorët integrues të rendit të dytë. Ne kemi një kufizë  përpara  por jo  para  . Megjithatë,



dhe nga identiteti pitagorian që lidhet me  dhe ,



kështu që ne në fakt kemi kufizën e kërkuar para  dhe mund të përdorim faktorin integrues.



Duke shumëzuar çdo kufizë me  jep



e cila është riorganizuar si



Integrimi dy herë jep



Së fundmi, pjesëtimi me faktorin integrues jep


Kategoria:Matematikë
Kategoria:Analizë matematike
Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara