Mbi spiralet

Mbi spirale ( Greqisht: Περὶ ἑλίκων ) është një traktat i Arkimedit, i shkruar rreth vitit 225 para Krishtit.  Ndër të tjera, Arkimedi përdori spiralen e Arkimedit në këtë libër për të katruar rrethin dhe për të triprerë një kënd . 

 Përmbajtja 

 Parathënia 
Arkimedi e fillon Mbi Spiralet me një mesazh për Dositenë e Pelusit duke përmendur vdekjen e Kononit si një humbje për matematikën. Më pas ai vazhdon të përmbledhë rezultatet e "Mbi sferën dhe cilindrin" (Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου) dhe "Për konoidet dhe sferoidet" (Περὶ κωνοειδέων καὶ σφαιροειδέων). Ai vazhdon të deklarojë rezultatet e tij të Mbi spiralet .

 Spiralja e Arkimedit 
majtas|parapamje|100x100px| Spiralja e Arkimedit me tre kthesa 360° në njërin krah
Spiralja e Arkimedit u studiua fillimisht nga Kononi dhe më vonë u studiua nga Arkimedi në "Mbi Spiralet" . Arkimedi ishte në gjendje të gjente tangjente të ndryshme me spiralen.  

 Triprerja e një këndi 
parapamje|243x243px| Shembull se si Arkimedi trepreu një kënd në "Mbi spiralet" .
Ndërtimi se si Arkimedi e trepreu këndin është si më poshtë:Supozoni se këndi ABC duhet treprerë. Prisni segmentin BC dhe caktoni BD të jetë një e treta e BC. Vizatoni një rreth me qendër B dhe rreze BD. Supozoni se rrethi me qendër B e pret spiralen në pikën E. Këndi ABE është një një e treta e këndit ABC. 

 Katrorimi i rrethit 
majtas|parapamje| Rrethi dhe trekëndëshi janë të barabartë në sipërfaqe.
Për katrorin e rrethit, Arkimedi dha ndërtimin e mëposhtëm:Le të jetë P pika në spirale kur ajo ka përfunduar një rrotullim. Lëreni tangjenten në P të presë drejtëzën pingul me OP në T. OT është gjatësia e perimetrit të rrethit me rreze OP.Arkimedi kishte vërtetuar tashmë si propozimin e parë të Matja e një Rrethi se sipërfaqja e një rrethi është e barabartë me atë të një trekëndëshi kënddrejtë që ka gjatësitë e këmbëve të barabarta me rrezen e rrethit dhe perimetrin e rrethit. Pra, sipërfaqja e rrethit me rreze OP është e barabartë me sipërfaqen e trekëndëshit OPT.