Shpërndarja e Studentit

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja t e Studentit (ose thjesht shpërndarja t )  është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti që përgjithëson shpërndarjen normale standarde . Ashtu si kjo e fundit, ajo është simetrike rreth zeros dhe në formë këmbane.

Megjithatë,  ka bishta më të rëndë dhe sasia e masës së probabilitetit në bishta kontrollohet nga parametri  . Për  shpërndarja e t Studentit  bëhet shpërndarje standarde Cauchy, ndërsa për  bëhet shpërndarje normale standarde  .

Shpërndarja e studentit luan një rol në një numër analizash statistikore të përdorura gjerësisht, duke përfshirë testin t Student për vlerësimin e rëndësisë statistikore të ndryshesës midis dy mesatareve të mostrës, ndërtimin e intervaleve të besimit për ndryshesën midis dy mesatareve të popullsisë dhe në analiza e regresit linear.

Në formën e shkallës-vendndodhje shpërndarja t  ajo përgjithëson shpërndarjen normale dhe gjithashtu lind në analizën Bejesiane të të dhënave nga një familje normale si një shpërndarje e përbërë kur margjinalizohet mbi parametrin e variancës.

ku

 Përkufizimi 

 Funksioni i dendësisë së probabilitetit 
Shpërndarja t e studentit ka funksionin e dendësisë së probabilitetit (PDF) të dhënë nga



ku  është numri i shkallëve të lirisë dhe  është funksioni gama. Kjo mund të shkruhet edhe si



ku B është funksioni Beta. Në veçanti për shkallët e lirisë me vlerë të plotë  ne kemi:

Për  çift,



Për  tek,



Funksioni i dendësisë së probabilitetit është simetrik, dhe forma e tij e përgjithshme i ngjan formës së këmbanës me mesatare 0 dhe variancë 1, përveç se është pak më e ulët dhe më e gjerë. Ndërsa numri i shkallëve të lirisë rritet, shpërndarja t i afrohet shpërndarjes normale me mesataren 0 dhe variancën 1. Per kete arsye  njihet edhe si parametri i normalitetit. 



 Funksioni mbledhës i shpërndarjes 
Funksioni i shpërndarjes mbledhëse  (FSHM) mund të shkruhet në termat e I, funksioni beta jo i plotë i rregulluar. Për t > 0,



Shpërndarja e Studentit lind në një sërë problemesh të vlerësimit statistikor ku qëllimi është të vlerësohet një parametër i panjohur, si një vlerë mesatare, në një mjedis ku të dhënat vëzhgohen me gabime mbledhëse. Nëse (si në pothuajse të gjitha punët praktike statistikore) devijimi standard i popullatës i këtyre gabimeve është i panjohur dhe duhet të vlerësohet nga të dhënat, shpërndarja t përdoret shpesh për të llogaritur pasigurinë shtesë që rezulton nga ky vlerësim. Në shumicën e problemeve të tilla, nëse dihej shmangia standarde e gabimeve, do të përdorej një shpërndarje normale në vend të shpërndarjes t .



 Raste të veçanta 
Vlerat e caktuara të  jepni një formë të thjeshtë për shpërndarjen së Studentit.
 PDF CDF shënime 1   Shih shpërndarjen Cauchy 2   3   4   5      Shikoni Shpërndarja normale, Funksioni i gabimit

 Vendndodhja-shkalla e shpërndarjes t 

 Shndërrimi i shkallës-vendndodhje 
Shpërndarja t e studentit përgjithësohet në shpërndarjen e tre parametrave vendndodhje-shkalla t  duke futur një parametër vendndodhjeje  dhe një parametër shkallë  . Me



dhe transformimi i familjes në shkallë vendi



marrim



 Raste të veçanta 

 Nëse  ndjek një shpërndarje Studenti shkallë-vendndodhje  pastaj për   shpërndahet normalisht  me mesatare  dhe variancë  .
 Shpërndarja e Studentit shkallë-vendndodhje  me shkallë lirie  është e njëvlerëshme me shpërndarjen Cauchy  .
 Shpërndarja t -shkallë-vendndodhje  me  dhe  reduktohet në shpërndarjen e Studentit 

 Si lind shpërndarja t (karakterizimi) 

 Shpërndarja e mostrës së statistikës Student 
Shpërndarja t lind si shpërndarja e mostrës së statistikës t . Më poshtë diskutohet statistika t në një kampion, për statistikën t korresponduese me dy mostra shihni T-testin e Studentit .

 Vlerësimi i paanshëm i variancës 
Le  të jenë mostra të pavarura dhe të shpërndara identikisht nga një shpërndarje normale me mesatare  dhe variancë  . Varianca mesatare dhe e paanshme e kampionit jepen nga:



Statistika t që rezulton (një mostër) jepet nga



dhe shpërndahet sipas një shpërndarjeje që ndjek ligjin e Studentit me  shkallët e lirisë.

 Vlerësimi i variancës PM 
Në vend të vlerësimit të paanshëm  ne gjithashtu mund të përdorim vlerësuesin e përgjasisë maksimale



duke dhënë statistikën



Kjo shpërndahet sipas shpërndarjes t  shkallës-vendndodhje:



 Përdorimet 

 Në përfundimin statistikor frekuentist 
Shpërndarja e Studentit lind në një sërë problemesh të vlerësimit statistikor ku qëllimi është të vlerësohet një parametër i panjohur, si një vlerë mesatare, në një mjedis ku të dhënat vëzhgohen me gabime mbledhëse. Nëse (si në pothuajse të gjitha punët praktike statistikore) shmangia standard i popullatës i këtyre gabimeve është i panjohur dhe duhet të vlerësohet nga të dhënat, shpërndarja t përdoret shpesh për të llogaritur pasigurinë shtesë që rezulton nga ky vlerësim. Në shumicën e problemeve të tilla, nëse do të dihej shmangia standarde e gabimeve, do të përdorej një shpërndarje normale në vend të shpërndarjes së Studentit .

Intervalet e besimit dhe testet e hipotezave janë dy procedura statistikore në të cilat kërkohen kuantiljet e shpërndarjes së mostrës së një statistike të caktuar (p.sh. rezultati standard ). Në çdo situatë ku kjo statistikë është një funksion linear i të dhënave, pjesëtuar me vlerësimin e zakonshëm të shmangies standarde, sasia që rezulton mund të rishkallëzohet dhe të përqendrohet për të ndjekur shpërndarjen e Studentit. Analizat statistikore që përfshijnë mesataret, mesataret e ponderuara dhe koeficientët e regresionit të gjitha çojnë në statistika që kanë këtë formë.

 Testimi i hipotezave 
Një numër statistikash mund të tregohet se kanë shpërndarje t-Studenti për mostrat me madhësi mesatare nën hipotezat zero që janë me interes, në mënyrë që shpërndarja e Studentit të formojë bazën për testet e rëndësisë. Për shembull, shpërndarja e koeficientit të korrelacionit të Spearman ρ, në rastin zero (korrelacion zero) përafrohet mirë me shpërndarjen t për madhësitë e mostrës mbi 20. 

 Intervalet e besimit 
Supozoni se numri A është zgjedhur i tillë që



kur T ka një shpërndarje Studenti me n − 1 shkallë lirie. Nga simetria, kjo është njësoj si të thuash që A kënaq kushtin



pra A është "përqindja 95" e kësaj shpërndarjeje probabiliteti, ose  . Atëherë



dhe kjo është e njëvlerëshme me



Prandaj, intervali, pikat fundore të të cilit janë



është një interval besimi 90% për μ. Prandaj, nëse gjejmë mesataren e një grupi vëzhgimesh që mund të presim në mënyrë të arsyeshme të kemi një shpërndarje normale, mund të përdorim shpërndarjen e Studentit për të shqyrtuar nëse kufijtë e besimit në atë mesatare përfshijnë disa vlera të parashikuara teorikisht - siç është vlera e parashikuar nën një hipotezë zero .

Është ky rezultat që përdoret në testet e Studentit : meqenëse ndryshesa midis mesatareve të mostrave nga dy shpërndarje normale shpërndahet normalisht, shpërndarja t-Student mund të përdoret për të ekzaminuar nëse kjo diferencë mund të supozohet në mënyrë të arsyeshme të jetë zero. .

 Tabelë e vlerave të zgjedhura 
Tabela e mëposhtme liston vlerat për shpërndarjet t-Student me ν shkallë lirie për një sërë zonash kritike të njëanshme ose të dyanshme. Kolona e parë është ν, përqindjet përgjatë majës janë nivele besimi dhe numrat në trupin e tabelës janë  faktorët e përshkruar në seksionin mbi intervalet e besimit .
I njëanshëm75%80%85%90%95%97.5%99%99.5%99.75%99.9%99.95%I dyanshëm50%60%70%80%90%95%98%99%99.5%99.8%99.9%11.0001.3761.9633.0786.31412.70631.82163.657127.321318.309636.61920.8161.0611.3861.8862.9204.3036.9659.92514.08922.32731.59930.7650.9781.2501.6382.3533.1824.5415.8417.45310.21512.92440.7410.9411.1901.5332.1322.7763.7474.6045.5987.1738.61050.7270.9201.1561.4762.0152.5713.3654.0324.7735.8936.86960.7180.9061.1341.4401.9432.4473.1433.7074.3175.2085.95970.7110.8961.1191.4151.8952.3652.9983.4994.0294.7855.40880.7060.8891.1081.3971.8602.3062.8963.3553.8334.5015.04190.7030.8831.1001.3831.8332.2622.8213.2503.6904.2974.781100.7000.8791.0931.3721.8122.2282.7643.1693.5814.1444.587110.6970.8761.0881.3631.7962.2012.7183.1063.4974.0254.437120.6950.8731.0831.3561.7822.1792.6813.0553.4283.9304.318130.6940.8701.0791.3501.7712.1602.6503.0123.3723.8524.221140.6920.8681.0761.3451.7612.1452.6242.9773.3263.7874.140150.6910.8661.0741.3411.7532.1312.6022.9473.2863.7334.073160.6900.8651.0711.3371.7462.1202.5832.9213.2523.6864.015170.6890.8631.0691.3331.7402.1102.5672.8983.2223.6463.965180.6880.8621.0671.3301.7342.1012.5522.8783.1973.6103.922190.6880.8611.0661.3281.7292.0932.5392.8613.1743.5793.883200.6870.8601.0641.3251.7252.0862.5282.8453.1533.5523.850210.6860.8591.0631.3231.7212.0802.5182.8313.1353.5273.819220.6860.8581.0611.3211.7172.0742.5082.8193.1193.5053.792230.6850.8581.0601.3191.7142.0692.5002.8073.1043.4853.767240.6850.8571.0591.3181.7112.0642.4922.7973.0913.4673.745250.6840.8561.0581.3161.7082.0602.4852.7873.0783.4503.725260.6840.8561.0581.3151.7062.0562.4792.7793.0673.4353.707270.6840.8551.0571.3141.7032.0522.4732.7713.0573.4213.690280.6830.8551.0561.3131.7012.0482.4672.7633.0473.4083.674290.6830.8541.0551.3111.6992.0452.4622.7563.0383.3963.659300.6830.8541.0551.3101.6972.0422.4572.7503.0303.3853.646400.6810.8511.0501.3031.6842.0212.4232.7042.9713.3073.551500.6790.8491.0471.2991.6762.0092.4032.6782.9373.2613.496600.6790.8481.0451.2961.6712.0002.3902.6602.9153.2323.460800.6780.8461.0431.2921.6641.9902.3742.6392.8873.1953.4161000.6770.8451.0421.2901.6601.9842.3642.6262.8713.1743.3901200.6770.8451.0411.2891.6581.9802.3582.6172.8603.1603.373∞0.6740.8421.0361.2821.6451.9602.3262.5762.8073.0903.291I njëanshëm75%80%85%90%95%97.5%99%99.5%99.75%99.9%99.95%I dyanshëm50%60%70%80%90%95%98%99%99.5%99.8%99.9%
Llogaritja e intervalit të besimit

Le të themi se kemi një mostër me madhësi 11, mesatare të kampionit 10 dhe variancë të mostrës 2. Për shkallën e besimit 90% me 10 gradë lirie, vlera e njëanshme t nga tabela është 1.372. Pastaj me interval besimi të llogaritur nga



ne përcaktojmë se me 90% besim kemi një mesatare të vërtetë që ndodhet poshtë



Me fjalë të tjera, 90% e rasteve kur një prag i sipërm llogaritet me këtë metodë nga mostra të veçanta, ky prag i sipërm tejkalon mesataren e vërtetë.

Dhe me 90% besim ne kemi një mesatare të vërtetë që ndodhet më lart



Me fjalë të tjera, 90% e rasteve kur një prag më i ulët llogaritet me këtë metodë nga mostra të veçanta, ky prag më i ulët qëndron nën mesataren e vërtetë.

Kështu që me 80% besim (llogaritur nga 100% − 2 × (1 − 90%) = 80%), kemi një mesatare të vërtetë që shtrihet brenda intervalit


Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara