Ekuacioni Fokker–Planck

Në mekanikën statistikore dhe teorinë e informacionit, ekuacioni Fokker-Planck është një ekuacion diferencial i pjesshëm që përshkruan evolucionin kohor të funksionit të densitetit të probabilitetit të shpejtësisë së një grimce nën ndikimin e forcave të tërheqjes dhe forcave të rastit, si në lëvizjen Brauniane . Ekuacioni mund të përgjithësohet edhe në të vëzhgueshme të tjera.  Ekuacioni Fokker-Planck ka zbatime të shumta në teorinë e informacionit, teorinë e grafikëve, shkencën e të dhënave, financat, ekonominë etj.

Është emërtuar sipas Adriaan Fokker dhe Maks Plankut, të cilët e përshkruan atë në 1914 dhe 1917.   Njihet gjithashtu si ekuacioni i parmë i Kollmogorovit, sipas Andrej Kollmogorovit, i cili e zbuloi në mënyrë të pavarur në 1931.  

 Një dimension 
Në një dimension hapësinor , për një proces Itô të drejtuar nga procesi standard Wiener  dhe përshkruar nga ekuacioni diferencial stokastik (EDS)me drift  dhe koeficient difuzioni , ekuacioni Fokker–Planck për densitetin e probabilitetit  të ndryshores së rastit  është 


Në pasuesen përdoret, use .

Përcaktoni gjeneratorin pambarimisht të vogël:  (the following can be found in Ref.):

Probabiliteti i kalimit , probabiliteti që të shkohet nga  tek , shfaqet ketu; pritja matematike mund të shkruhet si

Tani zëvëndësojmë përkufizimin e , shumëzoni me  dhe integroni mbi . Limiti merret mbi

Vëreni se

që është teorema Çapman Kollmogorov. Ndryshimi i ndryshores lolo  në , jep

i cili është derivati i kohës. Më në fund arrijmë në

Nga këtu mund të dalë ekuacioni i pasëm i Kollmogorovit. Nëse përdorim operatorin hermitian të konjuguar të , , të përcaktuar të tillë që

atëherë arrijmë në ekuacionin e parmë të Kollmogorovit, ose ekuacionin Fokker-Planck, i cili, duke thjeshtuar shënimin , në formën diferenciale lexohet si

Mbetet çështja e përcaktimit troç të . Kjo mund të bëhen duke marrë pritjen matematike nga forma integralee lemës së Itôs:

Pjesa që varet nga  zhduket për shkak të vetisë së martingalës.

Atëherë për një pjesëz nën kushtet e lemës së Itos, duke përdorur:

mund të përllogaritet lehtësisht, duke përdorur integrimin me pjesë, se

që na sjell tek ekuacioni Fokker-Planck:

 Dimensionet më të larta 
Në përgjithësi, nëseku  dhe  janë vektorë N-dimensionalë,  është një matricë   dhe  është një proces standard Wiener M -dimensional, dendësia e probabilitetit  për  plotëson ekuacionin Fokker–Planck

me vektor drift  dhe tensori i difuzionit , dmthNëse në vend të një EDS Itô , konsiderohet një EDS Stratonovich ,ekuacioni Fokker–Planck do të shprehet si:  : 

 Shembuj 

 Procesi Wiener 
Një proces standard skalar Wiener krijohet nga ekuacioni diferencial stokastikKëtu termi i driftit është zero dhe koeficienti i difuzionit është 1/2. Kështu është ekuacioni përkatës Fokker–Plancke cila është forma më e thjeshtë e ekuacionit të difuzionit . Nëse kushti fillestar është , zgjidhja është

 Shpërndarja e Bolcmanit në baraspeshën termodinamike 
Ekuacioni Langevin i mbingarkuarjep  . Shpërndarja Bolcman  është një shpërndarje baraspeshe, dhe duke supozuar  rritet mjaftueshëm shpejt (d.m.th., pusi potencial është mjaft i thellë për të kufizuar grimcën), shpërndarja Bolcman është ekuilibri unik.

 Procesi Ornstein-Uhlenbeck 
Procesi Ornstein-Uhlenbeck është një proces i përcaktuar sime  . Fizikisht, ky ekuacion mund të motivohet si më poshtë: një grimcë në masë  me shpejtësi  duke lëvizur në një mjedis, p.sh., një lëng, do të përjetojë një forcë fërkimi që i reziston lëvizjes, madhësia e së cilës mund të përafrohet si e përpjesshme me shpejtësinë e grimcave  me  . Grimcat e tjera në mjedis do të godasin rastësisht grimcën ndërsa përplasen me të dhe ky efekt mund të përafrohet me një term të zhurmës së bardhë;  . Ligji i dytë i Njutonit shkruhet siDuke marrë  për thjeshtësi dhe ndryshimin e shënimit si  çon në formën e njohur  .

Ekuacioni përkatës Fokker–Planck ështëZgjidhja stacionare (  ) është
Kategoria:Ekuacione
Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara