Prodhimi skalar

Në matematikë, prodhimi me pikë ose prodhimi skalar The term scalar product means literally "product with a scalar as a result". It is also used sometimes for other symmetric bilinear forms, for example in a pseudo-Euclidean space. është një veprim algjebrik që merr dy vergje numrash me gjatësi të barabartë (zakonisht vektorë koordinativë ) dhe kthen një numër të vetëm. Në gjeometrinë Euklidiane, prodhimi skalar i koordinatave karteziane të dy vektorëve përdoret gjerësisht. Shpesh quhet produkt i brendshëm (ose rrallë produkt i projeksionit ) i hapësirës Euklidiane, edhe pse nuk është i vetmi prodhim i brendshëm që mund të përcaktohet në hapësirën Euklidiane (shih hapësirën e brendshme të prodhimit për më shumë).

Nga ana algjebrike, prodhimi me pikë është shuma e produkteve të hyrjeve përkatëse të dy vargjeve të numrave. Gjeometrikisht, është prodhim i madhësive Euklidiane të dy vektorëve dhe kosinusit të këndit ndërmjet tyre. Këto përkufizime janë të njëvlershme kur përdoren koordinatat karteziane. Në gjeometrinë moderne, hapësirat Euklidiane shpesh përcaktohen duke përdorur hapësira vektoriale . Në këtë rast, prodhimi me pikë përdoret për përcaktimin e gjatësive (gjatësia e një vektori është rrënja katrore e prodhimit me pikë të vektorit me veten) dhe këndet (kosinusi i këndit midis dy vektorëve është herësi i prodhimit të tyre me pikë me nga prodhimin e gjatësisë së tyre).

Emri "prodhim me pikë" rrjedh nga pika e përqendruar " · " që përdoret shpesh për të përcaktuar këtë veprim;  emri alternativ "prodhim skalar" thekson se rezultati është një skalar, në vend të një vektor (si me produktin vektorial në hapësirën tre-dimensionale).

 E ç'është prodhimi skalar? 
Prodhimi me pikë mund të përcaktohet në mënyrë algjebrike ose gjeometrike. Përkufizimi gjeometrik bazohet në nocionet e këndit dhe largësisë (madhësia) mes vektorëve. Njëvlershmëria e këtyre dy përkufizimeve mbështetet në të paturit e një sistemi koordinativ kartezian për hapësirën Euklidiane.

 Përkufizimi koordinativ 
Prodhimi skalar i dy vektorëve  dhe  i specifikuar në lidhje me një bazë ortonormale, përkufizohet si: ku  tregon shumën dhe  është dimensioni i hapësirës vektoriale . Për shembull, në hapësirën tre-dimensionale, produkti me pika i vektorëve  dhe  është:Po kështu, prodhimi skalar i vektorit  me vetveten është:Nëse vektorët identifikohen me vektorët kolonë, prodhimi me pikë mund të shkruhet gjithashtu si prodhim matricorku  tregon transpozimin e  .

 Përkufizimi gjeometrik 
parapamje| Ilustrim që tregon se si të gjendet këndi midis vektorëve duke përdorur prodjhimin skalar
parapamje|216x216px| Llogaritja e këndeve të lidhjes së një gjeometrie molekulare simetrike tetraedrale duke përdorur një prodhim skalar
Në hapësirën Euklidiane, një vektor Euklidian është një objekt gjeometrik që zotëron një madhësi dhe një drejtim. Një vektor mund të paraqitet si një shigjetë. Madhësia e tij është gjatësia e tij, dhe drejtimi i tij është drejtimi në të cilin tregon shigjeta. Madhësia e një vektori  shënohet me  . Prodhimi skalar i dy vektorëve Euklidianë  dhe  është përcaktuar nga   "Dot Product". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-09-06.ku  është këndi ndërmjet  dhe  .

Në veçanti, nëse vektorët  dhe  janë ortogonalë (d.m.th., këndi i tyre është  ose  ), pastaj , që nënkupton seNë skajin tjetër, nëse ata janë të njëanshëm, atëherë këndi ndërmjet tyre është zero me  dheKjo nënkupton që produkti me pikë i një vektori  me vetveten ështëqë jep

 Vetitë 
Prodhimi skalar plotëson vetitë e mëposhtme nëse , , dhe  janë vektorë realë dhe ,  dhe  janë skalarë . S. Lipschutz; M. Lipson (2009). Linear Algebra (Schaum's Outlines) (4th ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1. M.R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum's Outlines) (2nd ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.

 Ndërruese 

 Shpërndarëse në lidhje me mbledhjen e vektorëve

 Bilineare

 Shumëzimin skalar

 Jo shoqëruese
 sepse prodhimi me pikë ndërmjet një skalari  dhe një vektori  nuk është i përcaktuar, që do të thotë se shprehjet e përfshira në vetinë e shoqërimit,  ose  janë të dyja të keqpërcaktuara. Weisstein, Eric W. "Dot Product." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/DotProduct.html Sidoqoftë, vini re se vetia e shumëzimit skalar e përmendur më parë ndonjëherë quhet "ligji shoqërues për prodhimin skalar dhe atë me pikë"  ose mund të thuhet se "produkti me pikë është shoqërues në lidhje me shumëzimin skalar" sepse  . 
 Ortogonale
 Dy vektorë jo zero  dhe  janë ortogonalë atëherë dhe vetëm atëherë kur  .
 Asnjë anulim
 Ndryshe nga shumëzimi i numrave të zakonshëm, ku nëse , pastaj  gjithmonë të barabartë  përveç nëse  është zero, produkti me pikë nuk i bindet ligjit të anulimit : Nëse  dhe , atëherë mund të shkruajmë:  sipas ligjit shpërndarës ; rezultati i mësipërm thotë se kjo do të thotë vetëm se  është pingul me , e cila ende lejon , dhe për këtë arsye lejon  .
 Rregulli i prodhimit
 Nëse  dhe  janë funksione të diferencueshme me vlerë vektoriale, pastaj derivati ( i shënuar me një të thjeshtë  ) të  jepet nga rregulli 

 Zbatimi në ligjin e kosinusit 
parapamje|127x127px| Trekëndësh me skajet vektoriale a dhe b, të ndara me kënd θ .
Jepen dy vektorë  dhe  të ndara sipas këndit  (shih imazhin djathtas), ato formojnë një trekëndësh me një anë të tretë  . Le ,  dhe  tregojnë gjatësitë e , , dhe , respektivisht. Produkti me pika i kësaj me vetveten është:i cili është ligji i kosinusit .

 Fizika 
Në fizikë, madhësia vektoriale është një skalar në kuptimin fizik (dmth., një madhësi fizike e pavarur nga sistemi i koordinatave), e shprehur si prodhim i një vlere numerike dhe një njësie fizike, jo thjesht një numër. Prodhimi me pikë është gjithashtu një skalar në këtë kuptim, i dhënë nga formula, i pavarur nga sistemi i koordinatave. Për shembull:  

 Puna mekanike është prodhimi me pikë i vektorëve të forcës dhe zhvendosjes ,
 Fuqia është prodhimi me pikë i forcës dhe shpejtësisë .
Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara

Kategoria:Matematikë