Funksioni elementar

Në matematikë, një funksion elementar është një funksion i një ndryshoreje të vetme (zakonisht reale ose komplekse ) që përkufizohet si marrja e shumave, shumëzimeve, rrënjëve dhe rrethimeve të shumë funksioneve polinomiale, racionale, trigonometrike, hiperbolike dhe eksponenciale, duke përfshirë ndoshta të anasjelltët e tyre (p.sh., arcsin, log, ose  ). 

Të gjitha funksionet elementare janë të vazhdueshme në bashkësitë e tyre të përcaktimit.

Funksionet elementare u prezantuan nga Joseph Liouville në një seri letrash nga 1833 deri në 1841. . . . Një trajtim algjebrik i funksioneve elementare filloi nga Joseph Fels Ritt në vitet 1930. .

 Shembuj 

 Shembuj bazë 
Funksionet elementare të një ndryshoreje të vetme  përfshijnë:

 Funksionet konstante :  etj.
 Fuqitë racionale të  :  etj.
 Funksionet eksponenciale : 
 Logaritmet : 
 Funksionet trigonometrike :  etj.
 Funksionet trigonometrike të anasjellta :  etj.
 Funksionet hiperbolike :  etj.
 Funksionet hiperbolike të anasjellta :  etj.
 Të gjitha funksionet e marra duke shtuar, zbritur, shumëzuar ose pjesëtuar një numër të kufizuar të ndonjë prej funksioneve të mëparshme 
 Të gjithë funksionet e marra nga nxjerrja e rrënjës së një polinomi me koeficientë në funksionet elementare Weisstein, Eric W. "Elementary Function." From MathWorld
 Të gjitha funksionet përftohen duke kompozuar/rrethuar një numër të kufizuar të ndonjë prej funksioneve të listuara më parë

 Shembuj të përbërë 
Shembuj të funksioneve elementare përfshijnë:

 Mbledhjen, p.sh.
 Shumëzimin, p.sh. 
 Funksionet polinomiale



Funksioni i fundit është i barabartë me , kosinusi i anasjelltë, në të gjithë rrafshin kompleks .

Të gjitha monomet, polinomet, funksionet racionale dhe funksionet algjebrike janë elementare. Funksioni i vlerës absolute, për  me vlera reale, është gjithashtu elementar pasi mund të shprehet si përbërje e një fuqie dhe rrënjë të  :  .

 Funksionet jo elementare 
Disa shembuj funksionesh që nuk janë elementare:

 tetrimi
 funksionet jo-elementare Liuviliane, duke përfshirë
 integralet eksponenciale ( Ei ), logaritmike ( Li ose li ) dhe Fresnel ( S dhe C ).
 funksioni i gabimit,  një fakt që mund të mos jetë menjëherë i dukshëm, por mund të vërtetohet duke përdorur algoritmin Risch .
 integrale të tjera jo elementare, duke përfshirë integralin Dirichlet dhe integralin eliptik .

 Mbyllja 
Nga përkufizimi rrjedh drejtpërdrejt se bashkësia e funksioneve elementare është e mbyllur nën veprimet aritmetike, nxjerrjen e rrënjës dhe përbërjen. Funksionet elementare janë të mbyllura nën veprimin e diferencimit . Ato nuk janë të mbyllura nën kufij dhe shuma të pafundme . Më e rëndësishmja, funksionet elementare nuk janë të mbyllura nën integrim, siç tregohet nga teorema e Liouville-it, shih integralin jo elementar . Funksionet Liouvilliane përkufizohen si funksione elementare dhe, në mënyrë rekursive, integrale të funksioneve Liouvilliane.
Kategoria:Analizë matematike
Kategoria:Matematikë