Metoda e koeficientëve të pacaktuar

Në matematikë, metoda e koeficientëve të pacaktuar është një qasje për të gjetur një zgjidhje të veçantë për disa ekuacione diferenciale jo-homogjene të zakonshme dhe marrëdhëniet e rekurencës . Është e lidhur ngushtë me metodën e asgjësuesit, por në vend që të përdoret një lloj i veçantë operatori diferencial (asgjësuesi) për të gjetur formën më të mirë të mundshme të zgjidhjes së caktuar, bëhet një ansatz ose 'supozim' për formën e duhur, i cili më pas testohet duke diferencuar ekuacionin që rezulton. Për ekuacionet komplekse, metoda e asgjësuesit ose ndryshimi i parametrave kërkon më pak kohë për t'u kryer.

 Përshkrimi i metodës 
Konsideroni një ekuacion diferencial të zakonshëm jo-homogjen linear të formës


 ku  tregon derivatin i-të të , dhe  tregojnë një funksion të  .

Metoda e koeficientëve të pacaktuar ofron një metodë të drejtpërdrejtë për marrjen e zgjidhjes për këtë EDZ kur plotësohen dy kritere: 

  janë konstante.
  është një funksion konstant, një funksion polinomial, funksion eksponencial , funksionet e sinusit ose kosinusit  ose , ose shuma dhe produkte të fundme të këtyre funksioneve ( ,  konstante).

Metoda konsiston në gjetjen e zgjidhjes së përgjithshme homogjene  për ekuacionin diferencial homogjen linear plotësues



dhe një integral të veçantë  të EDZ jo-homogjen linear bazuar në  . Pastaj zgjidhja e përgjithshme  të EDZ jo-homogjen linear do të ishte



Nëse  jepet si shuma e dy funksioneve  dhe thuhet se  është zgjidhja e bazuar në  dhe  zgjidhja e bazuar në  . Pastaj, duke përdorur parimin e mbivendosjes, mund të themi se integrali i veçantë  është Dennis G. Zill (14 May 2008). A First Course in Differential Equations. Cengage Learning. ISBN 978-0-495-10824-5.



 Format tipike të integralit të veçantë 
Funksioni i x Trajta për y            

 Shembuj 

 Shembulli 1 
Gjeni një integral të caktuar të ekuacionit



Ana e djathtë  ka formën



me .

Meqenëse  është një rrënjë e thjeshtë e ekuacionit karakteristik



duhet të provojmë një integral të veçantë të formës



Duke zëvendësuar  në ekuacionin diferencial, kemi identitetin



Duke krahasuar të dyja palët, kemi



e cila ka zgjidhjen



Pastaj marrim një integral të veçantë



 Shembulli 2 
Merrni parasysh ekuacionin diferencial linear johomogjen të mëposhtëm:



Ky është si shembulli i parë i mësipërm, përveç se pjesa johomogjene (  ) nuk është linearisht e pavarur nga zgjidhja e përgjithshme e pjesës homogjene (  ); si rezultat, ne duhet të shumëzojmë supozimin tonë me një fuqi mjaftueshëm të madhe prej x për ta bërë atë linearisht të pavarur.

Këtu supozimi ynë bëhet:



Duke zëvendësuar këtë funksion dhe derivatin e tij në ekuacionin diferencial, mund të zgjidhet për A :





Pra, zgjidhja e përgjithshme për këtë ekuacion diferencial është:



 Shembulli 3 
Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit:



 është një polinom i shkallës së dytë, kështu që ne kërkojmë një zgjidhje duke përdorur të njëjtën formë,



Futja e këtij funksioni të veçantë në ekuacionin origjinal jep,





e cila jep:



Duke zgjedhur konstantet marrim:



Për të zgjidhur për zgjidhjen e përgjithshme,



ku  është zgjidhja homogjene  Prandaj, zgjidhja e përgjithshme është: