Lemniskata e Bernulit

djathtas|parapamje|300x300px| Lemniskata e Bernulit është kurba e pedalit të një hiperbole drejtkëndore
parapamje|Spiralet sinusoidale  në koordinata polare dhe të njëvlershmet në koordinata drejtkëndore
Në gjeometri, lemniskata e Bernulit është një kurbë e rrafshët e përcaktuar nga dy pika të dhëna  dhe , të njohura si vatra, në largësi  nga njëra tjetra si vendndodhja e pikave  të tilla që  . Kurba ka një formë të ngjashme me numrin 8 dhe me simbolin ∞ . Emri i saj vjen nga lemniscatus, që  latinisht do të thotë "të zbukuruar me shirita të varur". Është një rast i veçantë i ovalit Cassini dhe është një kurbë racionale algjebrike e shkallës 4.

Kjp lemniskatë u përshkrua për herë të parë në 1694 nga Jakob Bernoulli si një modifikim i një elipsi, i cili është vendndodhja e pikave për të cilat shuma e largësive në secilën prej dy pikave vatrore fikse është një konstante . Një ovale Cassini, përkundrazi, është vendndodhja e pikave për të cilat prodhimi i këtyre largësive është konstant. Në rastin kur kurba kalon përmes pikës në mes të vatrave, ovali është një lemniskatë e Bernulit.

 Ekuacionet 
Ekuacionet mund të shprehen në terma të largësisë vatrore  ose gjysmës së gjerësisë  të një lemniskate. Këta parametra lidhen si .

 Ekuacioni i saj kartezian është (deri në përkthim dhe rrotullim):

 Si një ekuacion parametrik :

 Një parametrizim racional: 

 Në koordinata polare :

 Ekuacioni i saj në planin kompleks është:

 Në koordinatat bipolare me dy qendra :

 Në koordinatat racionale polare :


 Gjatësia e harkut dhe funksionet eliptike 
parapamje| Sinusi dhe kosinusi i leminiskatës lidhin gjatësinë e harkut të një harku të leminiskatës me largësinë e një pike fundore nga origjina.
Përcaktimi i gjatësisë së harkut të harqeve të leminiskatës çon në integrale eliptike, siç u zbulua në shekullin e XVIII. Rreth vitit 1800, funksionet eliptike që përmbysin ato integrale u studiuan nga CF Gauss (kryesisht i pabotuar në atë kohë, por aludime në shënimet e tij Disquisitiones Arithmeticae ).

Përdorimi i integralit eliptik



formula e gjatësisë së harkut  mund të jepet si



ku  është funksioni gama dhe  është mesatarja aritmetike-gjeometrike .

 Këndet 
Duke pasur parasysh dy pika të dallueshme  dhe , le të jetë  mesi i  . Pastaj leminiskata e diametrit  mund të përkufizohet edhe si bashkësia e pikave , , , së bashku me vendndodhjen e pikave  sikurse  është një kënd i drejtë (krh. Teorema e Talesit dhe e anasjellta e saj).  p. 200
parapamje| lidhja ndërmjet këndeve në leminiskatën e Bernulit

 Veti të tjera 
parapamje| Përmbysja e hiperbolës jep një leminiskatë

 Lemniskata është simetrike me vijën që lidh vatrat e saj  dhe  dhe gjithashtu me përgjysmuesin pingul të segmentit të drejtëzës .
 Lemniskata është simetrike me pikën e mesit të segmentit të drejtëzës .
 Zona e mbyllur nga lemniskata është  .
 Lemniskata është e anasjellta rrethore e një hiperbole dhe anasjelltas.
 Dy tangjentet në pikën e mesit O janë pingul dhe secila prej tyre formon një kënd prej  me linjën që lidh  dhe  .
 Kurbatura në  është . Kurbatura maksimale që arrihet në  është .

Kategoria:Vijë e lakuar