Faktorizimi QR

Në algjebër lineare, një dekompozim QR, i njohur gjithashtu si faktorizimi QR ose zbërthimi QR, është një zbërthim i një matrice A në një prodhim A = QR të një matrice ortonormale Q dhe të një matrice trekëndore të sipërme R. Zbërthimi QR përdoret shpesh për të zgjidhur problemin e katrorëve më të vegjël dhe është baza për një algoritëm të veçantë të vlerave vetjake, algoritmin QR .

 Rastet dhe përkufizimet 

 Matrica katrore 
Çdo matricë katrore reale A mund të zbërthehet si



ku Q është një matricë ortogonale (kolonat e saj janë vektorë njësi ortogonalë që do të thotë  dhe R është një matricë trekëndore e sipërme. Nëse A ka të anasjelltë, atëherë faktorizimi është unik nëse kërkojmë që elementet diagonale të R të jenë pozitive.

 Matricë drejtkëndore 
Në përgjithësi, ne mund të faktorizojmë një matricë komplekse m × n A, me , si prodhim i një matrice njësi m × m Q dhe një matrice trekëndore të sipërme, R, m × n  . Duke qenë se rreshtat e poshtëm ( m − n ) të një matrice trekëndore të sipërme m × n përbëhen tërësisht nga zero, shpesh është e dobishme ta ndash R, ose të dyja R dhe Q :



ku R 1 është një matricë n × n trekëndore e sipërme, 0 është një matricë zero , Q 1 është m × n, Q 2 është  dhe Q 1 dhe Q 2 të dyja kanë shtylla ortogonale.

 Llogaritja e dekompozimit QR 
Ka disa metoda për llogaritjen reale të faktorizimit QR, të tilla si me anë të procesit Gram-Schmidt, shndërrimet Householder ose rrotullimet Givens . Secili ka një numër përparësish dhe mangësish.

 Duke përdorur procesin Gram-Schmidt 
Konsideroni procesin Gram-Schmidt të zbatuar mbi shtyllat e matricës me rank të plotë  me prodhim të brendshëm  (ose  për rastin kompleks).

Përcaktoni projeksionin :



pastaj:



Tani mund të shprehim  s mbi bazën tonë ortonormale të llogaritur rishtazi:



ku . Kjo mund të shkruhet në formën matricore si:



ku:



dhe



 Shembull 
Merrni parasysh zbërthimin e



Kujtojmë se një matricë ortonormale  ka vetinë 

Atëherë mund të llogarisim  me anë të procedurës Gram-Schmidt si më poshtë:



Kështu, ne përftojmë