Kovarianca

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, kovarianca është një masë e ndryshueshmërisë së përbashkët të dy ndryshoreve të rastit .  Nëse vlerat më të mëdha të njërës ndryshore kryesisht korrespondojnë me vlerat më të mëdha të ndryshores tjetër dhe e njëjta gjë vlen për vlerat më të vogla (d.m.th., ndryshoret priren të shfaqin sjellje të ngjashme), kovarianca është pozitive.  Në rastin e kundërt, kur vlerat më të mëdha të njërës ndryshore përkojnë kryesisht me vlerat më të vogla të tjetrës, (d.m.th., ndryshoret priren të shfaqin sjellje të kundërta), kovarianca është negative. Pra, shenja e kovariancës tregon prirjen në marrëdhënien lineare ndërmjet variablave. Madhësia e kovariancës është mesatarja gjeometrike e variancave që janë të përbashkëta për dy ndryshoret e rastit. Koeficienti i korrelacionit normalizon kovariancën duke e pjesëtuar me mesataren gjeometrike të variancave totale për dy ndryshoret e rastit.

 Përkufizimi 
Për dy ndryshore të rastit me vlera reale të shpërndara së bashku ,  dhe , me momente të dyta të fundme, kovarianca përkufizohet si pritja matematike (ose mesatarja) e prodhimit të shmangieve të tyre nga pritjet e tyre matematike individuale: Oxford Dictionary of Statistics, Oxford University Press, 2002, p. 104.  ku  është pritja matematike e , i njohur edhe si mesatarja e  . Kovarianca gjithashtu shënohet ndonjëherë  ose , për analogji me variancën . Duke përdorur vetinë e linearitetit të pritjeve, kjo mund të thjeshtohet në pritjen matematike të prodhimit të tyre minus prodhimin e vlerave të tyre të pritura:



por ky ekuacion është i ndjeshëm ndaj anulimit katastrofik.

Njësitë matëse të kovariancës  janë ato të  herë ato të  . Në të kundërt, koeficientët e korrelacionit, të cilët varen nga kovarianca, janë një masë pa dimensione e varësisë lineare. (Në fakt, koeficientët e korrelacionit mund të kuptohen thjesht si një version i normalizuar i kovariancës. )

 Ndryshoret e rastit diskrete 
Nëse çifti i ndryshoreve të rastit (reale).  mund të marrë vlerat  për , me probabilitete të barabarta , atëherë kovarianca mund të shkruhet në mënyrë të njëvlerëshme për sa i përket mesatares  dhe  si



Mund të shprehet gjithashtu në mënyrë të njëvlershme, pa iu referuar drejtpërdrejt mesatareve, si 



Në përgjithësi, nëse ka  realizime të mundshme të , domethënë  por me probabilitete ndoshta të pabarabarta  për , atëherë kovarianca është



 Shembuj 
Konsideroni 3 ndryshore të pavarura të rastit  dhe dy konstante  .



Në rastin e veçantë,  dhe , kovarianca ndërmjet  dhe , është vetëm varianca e  .

Supozoni se  dhe  kanë funksionin e masës së probabilitetit të përbashkët të mëposhtëm,  në të cilin gjashtë qelizat qendrore japin probabilitetet e përbashkëta diskrete  nga gjashtë realizimet hipotetike  :
 x  5 6 7 y 8 0 0.4 0.1 0.5 9 0.3 0 0.2 0.5  0.3 0.4 0.3 1
 mund të marrë tre vlera (5, 6 dhe 7) ndërsa  mund të marrë dy (8 dhe 9). Mesataret e tyre janë  dhe  . Atëherë,



 Vetitë 

 Kovarianca me vetveten 
Varianca është një rast i veçantë i kovariancës në të cilën të dy ndryshoret janë identike (d.m.th., në të cilin një ndryshore merr gjithmonë të njëjtën vlerë si tjetra): Park,Kun Il (2018). Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. ISBN 978-3-319-68074-3. : 121 



 Kovarianca e kombinimeve lineare 
Nëse , , , dhe  janë ndryshore të rastit me vlera reale dhe  janë konstante me vlera reale, atëherë faktet e mëposhtme janë pasojë e përkufizimit të kovariancës:



Për një varg  të ndryshoreve të rastit me vlera reale dhe konstante , ne kemi



 Pakorrelimi dhe pavarësia 
Ndryshoret e rastit, kovarianca e të cilave është zero quhen të pakorreluara . Park,Kun Il (2018). Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. ISBN 978-3-319-68074-3. Në mënyrë të ngjashme, përbërësit e vektorëve të rastit, matrica e kovariancës së të cilëve është zero në çdo hyrje jashtë diagonales kryesore quhen gjithashtu të pakorreluar.

Nëse  dhe  janë ndryshore rasti të pavarura, atëherë kovarianca e tyre është zero. Park,Kun Il (2018). Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. ISBN 978-3-319-68074-3.  Kjo rrjedh sepse nën pavarësinë,



E kundërta, megjithatë, në përgjithësi nuk është e vërtetë. Për shembull,  le të shpërndahet në mënyrë uniforme në  dhe le të jetë  . E qarte,  dhe  nuk janë të pavarur, por



 Llogaritja e kovariancës së kampionit 
Kovarianca e kampionit ndërmjet  ndryshoreve të bazuara në  vëzhgimet të secilës, të nxjerra nga një popullsi e pavëzhguar, jepen nga matrica   me hyrjet



që është një vlerësim i kovariancës ndërmjet ndryshores  dhe ndryshores  .

 Llogaritja numerike 
Kur , ekuacioni  është i prirur për anulim katastrofik nëse  dhe  nuk llogariten saktësisht dhe kështu duhet të shmangen në programet kompjuterike kur të dhënat nuk janë qëndërzuar më parë. Donald E. Knuth (1998). The Art of Computer Programming, volume 2: Seminumerical Algorithms, 3rd edn., p. 232. Boston: Addison-Wesley. Në këtë rast duhet të preferohen algoritmet numerikisht të qëndrueshme . 

 Zbatimet 

 Në gjenetikë dhe biologji molekulare 
Kovarianca është një matëse e rëndësishme në biologji . Vargje të caktuara të ADN-së ruhen më shumë se të tjerat midis specieve, dhe kështu për të studiuar strukturat dytësore dhe tretësore të proteinave, ose të strukturave të ARN-së, vargjet krahasohen në specie të lidhura ngushtë. Nëse gjenden ndryshime në vargje ose nuk gjenden fare ndryshime në ARN jokoduese (si p.sh. microARN ), vargjet janë gjetur të nevojshme për motive të zakonshme strukturore, të tilla si një lak ARN. Në gjenetikë, kovarianca shërben një bazë për llogaritjen e Matricës së Marrëdhënieve Gjenetike (GRM) (ndryshe thirret matrica e farefisnisë), duke mundësuar konkluzionet mbi strukturën e popullsisë nga kampioni pa të afërm të njohur, si dhe konkluzionet mbi vlerësimin e trashëgimisë së tipareve komplekse.

 Në ekonominë financiare 
Kovarianca luan një rol kyç në ekonominë financiare, veçanërisht në teorinë moderne të portofolit dhe në modelin e çmimit të aseteve kapitale . Kovarianca midis kthimeve të aseteve të ndryshme përdoren për të përcaktuar, sipas supozimeve të caktuara, shumat relative të aseteve të ndryshme që investitorët (në një analizë normative ) ose parashikohet të zgjedhin (në një analizë pozitive ) të zgjedhin të mbajnë në një kontekst diversifikimi .

 Në përpunimin e sinjalit 
Matrica e kovariancës përdoret për të kapur ndryshueshmërinë spektrale të një sinjali. 

 Në statistikë dhe përpunimin e imazhit 
Matrica e kovariancës përdoret në analizën e përbërësit kryesor për të reduktuar dimensionalitetin e veçorive në parapërpunimin e të dhënave .
Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara