Seritë teleskopike

Në matematikë, një seri teleskopike është një seri termi i përgjithshëm i së cilës  është i formës , dmth ndryshimi i dy termave të njëpasnjëshëm të një vargu  . 

Si pasojë, shumat e pjesshme përbëhen vetëm nga dy terma të  pas anulimit. Tom M. Apostol, Calculus, Volume 1, Blaisdell Publishing Company, 1962, pages 422–3 Brian S. Thomson and Andrew M. Bruckner, Elementary Real Analysis, Second Edition, CreateSpace, 2008, page 85 Teknika e anulimit, ku një pjesë e çdo termi anulohet me një pjesë të termit tjetër, njihet si metoda e ndryshesave .

Për shembull, seria



thjeshtohet në



 Në përgjithësi 
Shumat teleskopike janë shuma të fundme në të cilat çiftet e kufizave të njëpasnjëshme anulojnë njëra-tjetrën, duke lënë vetëm termat fillestarë dhe përfundimtarë. 

Le të jetë  një varg numrash. Pastaj,



Nëse 



Prodhimet teleskopike janë prodhime të fundme në të cilat termat e njëpasnjëshëm anulojnë emëruesin me numërues, duke lënë vetëm termat fillestarë dhe përfundimtarë.

 Më shumë shembuj 

 Shumë funksione trigonometrike gjithashtu pranojnë përfaqësimin si një ndryshese, i cili lejon anulimin teleskopik midis kufizave të njëpasnjëshme. 
 Disa shuma të formës 
 Le të jetë k nj
 Le të k,m me k  m të jenë numra të plotë pozitivë. Pastaj 

Në teorinë e probabilitetit, një proces Poisson është një proces stokastik, rasti më i thjeshtë i të cilit përfshin "ngjarje" në kohë të rastit, kohën e pritjes deri në ndodhinë tjetër që ka një shpërndarje eksponenciale pa kujtesë dhe numrin e "ndodhjeve" në çdo interval kohor që ka një shpërndarje Poisson, pritja matematike e së cilës është e përpjesshme me gjatësinë e intervalit kohor. Le të jetë X t numri i "ndodhive" përpara kohës t, dhe le të jetë T x koha e pritjes deri në "ngjarjen" e x -të. Ne kërkojmë funksionin e densitetit të probabilitetit të ndryshores së rastit T x . Ne përdorim funksionin e masës së probabilitetit për shpërndarjen Poisson, i cili na tregon këtë



ku λ është numri mesatar i dukurive në çdo interval kohor me gjatësi 1. Vëreni se ngjarja { X t ≥ x} është e njëjtë me ngjarjen { T x ≤ t }, dhe kështu ato kanë të njëjtin probabilitet. Intuitivisht, nëse diçka ndodh të paktën  herë para kohës , duhet të presim më së shumti  per dukurinë e . Funksioni i dendësisë që ne kërkojmë është pra



Shuma teleskopon, duke lënë