Shpërndarja hi katror

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja hi-katrore (gjithashtu hi-katror ose  -shpërndarja ) me  shkallë lirie është shpërndarja e një shume të katrorëve të  ndryshoreve rasti të pavarura standarde normale. Shpërndarja hi katror është një rast i veçantë i shpërndarjes gama dhe është një nga shpërndarjet më të përdorura të probabilitetit në statistikat konkluzive, veçanërisht në testimin e hipotezave dhe në ndërtimin e intervaleve të besimit .  NIST (2006).    Kjo shpërndarje quhet nganjëherë shpërndarja qendrore hi-katrore, një rast i veçantë i shpërndarjes më të përgjithshme joqendrore hi-katrore .

Shpërndarja hi-katrore përdoret kryesisht në testimin e hipotezave dhe në një masë më të vogël për intervalet e besimit për variancën e popullatës kur shpërndarja themelore është normale. Ndryshe nga shpërndarjet më të njohura si shpërndarja normale dhe shpërndarja eksponenciale, shpërndarja hi-katrore nuk përdoret aq shpesh në modelimin e drejtpërdrejtë të dukurive natyrore. Ajo lind në testet e hipotezave të mëposhtme, ndër të tjera:

 Përkufizimet 
Nëse  janë ndryshore rasti normale standarde të pavarura, atëherë shuma e katrorëve të tyre,



shpërndahet sipas shpërndarjes hi-katrore me  shkallë lirie. Kjo zakonisht shënohet si



Shpërndarja hi-katrore ka një parametër: një numër i plotë pozitiv  që specifikon numrin e shkallëve të lirisë (numrin e ndryshoreve të rastit që mblidhen).

 Paraqitje 
Shpërndarja hi-katrore përdoret kryesisht në testimin e hipotezave dhe në një masë më të vogël për intervalet e besimit për variancën e popullatës kur shpërndarja e saj është normale. Ndryshe nga shpërndarjet më të njohura si shpërndarja normale dhe shpërndarja eksponenciale, shpërndarja hi-katrore nuk përdoret aq shpesh në modelimin e drejtpërdrejtë të fenomeneve natyrore. Ajo lind në testet e hipotezave të mëposhtme, ndër të tjera:

 Testi hi-katror i pavarësisë në tabelat e kontigjencës
 Testi hi-katror i përshtatshmërisë së të dhënave të vëzhguara me shpërndarjet hipotetike
 Testi i raportit të përgjasisë për modelet e folezuara
 Testi log-rank në analizën e mbijetesës
 Testi Cochran–Mantel–Haenszel për tabelat e shtresuara të kontigjencës
 Testi Wald
 Testi i rezultateve

Është gjithashtu një përbërës i përkufizimit të shpërndarjes t dhe shpërndarjes F të përdorur në testet t, analizën e variancës dhe analizën e regresionit.

Supozoni se  është një ndryshore e rastit e kampionuar nga shpërndarja normale standarde, ku mesatarja është  dhe varianca është  :  . Tani, merrni parasysh ndryshoren e rastit  . Shpërndarja e ndryshores së rastit  është një shembull i një shpërndarjeje hi-katrore:  . Nënshkrimi 1 tregon se kjo shpërndarje e veçantë hi-katrore është ndërtuar nga vetëm 1 shpërndarje normale standarde. Një shpërndarje hi-katrore e ndërtuar duke ngritur në katror një shpërndarje normale standarde të vetme thuhet se ka 1 shkallë lirie. Kështu, ndërsa madhësia e kampionit për një test hipoteze rritet, shpërndarja e statistikave të testit i afrohet një shpërndarjeje normale. Ashtu si vlerat ekstreme të shpërndarjes normale kanë probabilitet të ulët (dhe japin vlera të vogla p), vlerat ekstreme të shpërndarjes hi-katrore kanë probabilitet të ulët.

Një arsye shtesë që shpërndarja hi-katrore përdoret gjerësisht është se ajo shfaqet si shpërndarja e kampionit të madh të testeve të raportit të përgjithësuar të përgjasisë (LRT).  LRT-të kanë disa veti të dëshirueshme; në veçanti, LRT-të e thjeshta zakonisht ofrojnë fuqinë më të lartë për të refuzuar hipotezën zero ( lema Neyman–Pearson ) dhe kjo çon gjithashtu në vetitë optimale të LRT-ve të përgjithësuara. Megjithatë, përafrimet normale dhe hi-katrore janë të vlefshme vetëm në mënyrë asimptotike. Për këtë arsye, është e preferueshme të përdoret shpërndarja t në vend të përafrimit normal ose përafrimit hi-katror për një madhësi të vogël kampioni. Në mënyrë të ngjashme, në analizat e tabelave të kontigjencës, përafrimi sipas hi-katror do të jetë i dobët për një madhësi të vogël kampioni dhe preferohet të përdoret testi i saktë i Fisher-it . Ramsey tregon se testi i saktë binomial është gjithmonë më i fuqishëm se përafrimi normal. 

Lancaster tregon lidhjet midis shpërndarjeve binomiale, normale dhe hi-katrore, si më poshtë.  De Moivre dhe Laplace vërtetuan se një shpërndarje binomiale mund të përafrohet me një shpërndarje normale. Konkretisht ata treguan normalitetin asimptotik të ndryshores së rastit



ku  është numri i vëzhguar i sukseseve në  prova, ku është probabiliteti i suksesit , dhe  .

Ngritja në katror e të dyja anëve të ekuacionit jep



Duke përdorur , , dhe , ky ekuacion mund të rishkruhet si



Shprehja në të djathtë është e formës që Karl Pearson do ta përgjithësonte në formën



 = Statistika e testit kumulativ të Pearson-it, e cila në mënyrë asimptotike i afrohet a  shpërndarja; 

 = numri i vëzhgimeve të llojit  ;

 = frekuenca e pritur (teorike) e tipit , e pohuar nga hipoteza zero se thyesa e tipit  në popullatë është  ; 

dhe  = numri i qelizave në tabelë.

 Funksioni i dendësisë së probabilitetit 
Funksioni i dendësisë së probabilitetit (FDP) i shpërndarjes hi-katrore është



ku  tregon funksionin gama, i cili ka vlera të formës së mbyllur për numrin e plotë <span about="#mwt180" class="mwe-math-element" data-mw="{&quot;name&quot;:&quot;math&quot;,&quot;attrs&quot;:{},&quot;body&quot;:{&quot;extsrc&quot;:&quot;k&quot;}}" id="7" typeof="mw:Extension/math"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
 <semantics>
  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
   <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
    <mi>k</mi>
   </mstyle>
  </mrow>
  <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>
 </semantics>
</math></span><img alt="k" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" data-cx="{&quot;adapted&quot;:false}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;"></span> .

 Funksioni mbledhës i shpërndarjes 
parapamje|400x400px| Chernoff i kufizuar për FMP dhe bishtin (1-FMP) të një ndryshoreje të rastit hi-katrore me dhjetë shkallë lirie (  )
Funksioni i tij mbledhës i shpërndarjes është:



ku  është funksioni më i ulët i gama jo i plotë dhe  është funksioni gama i rregulluar .

Në një rast të veçantë të  Ky funksion ka formën e thjeshtë:



 Vetitë 

 Teorema e Koçranit 
Nëse  janë n.r të pavarura të shpërndara në mënyrë identike (iid),  standarde normale, atëherë  ku 

 Mbledhja 
Nga përkufizimi i shpërndarjes hi-katrore rezulton se shuma e ndryshoreve të pavarura hi-katrore është gjithashtu e shpërndarë sipas ligjit hi-katror. Konkretisht, nëse  janë ndryshore të pavarura hi-katror me ,  shkallët e lirisë, përkatësisht, atëherë  është hii-katror i shpërndarë me  shkallë lirie.

 Mesatarja e kampionit 
Mesatarja e kampionit së  iid ndryshoreve hi-katror me  shkallë lirie shpërndahet sipas një shpërndarjeje gama me formë  dhe shkallë  parametrat:



Në mënyrë asimptotike, duke pasur parasysh se për një parametër shkallë  duke shkuar në pafundësi, një shpërndarje Gama konvergjon drejt një shpërndarjeje normale me pritje  dhe variancë , mesatarja e kampionit konvergjon drejt:

 Përqendrimi 
Shpërndarja hi-katrore shfaq përqendrim të fortë rreth mesatares së saj. Kufijtë standardë të Laurent-Massart  janë:




 Vetitë asimptotike 
parapamje| Formula e përafërt për mesataren (nga transformimi Wilson–Hilferty) krahasuar me kuantilin numerik (lart); dhe dallimi (blu) dhe ndryshimi relativ (e kuqe) ndërmjet sasisë numerike dhe formulës së përafërt (poshtë). Për shpërndarjen hi-katror, vetëm numrat e plotë pozitiv të shkallëve të lirisë (qarqet) kanë kuptim.
Nga teoremën qëndrore limite, meqenëse shpërndarja hi-katrore është shuma e  variabla të rastit të pavarura me mesatare dhe variancë të fundme, ajo konvergjon në një shpërndarje normale për të mëdha  . Për shumë qëllime praktike, për  shpërndarja është mjaft e afërt me një shpërndarje normale, kështu që ndryshimi është i papërfillshëm.  Konkretisht, nëse , atëherë si  priret drejt pafundësisë, shpërndarja e  priret drejt një shpërndarje normale standarde. Megjithatë, konvergjenca është e ngadaltë siç është edhe anësia  dhe kurtoza e tepërt është  .

Shpërndarja e kampionit të  konvergjon në normalitet shumë më shpejt se shpërndarja e kampionit të ,  pasi transformimi logaritmik heq shumë nga asimetria. 

Funksionet e tjera të shpërndarjes hi-katror konvergjojnë më shpejt në një shpërndarje normale. Disa shembuj janë:

 Nëse  atëherë  shpërndahet përafërsisht normalisht me mesatare  dhe variancë njësi (1922, nga RA Fisher, shih (18.23), f. 426 i Johnson. 
 Nëse  atëherë  shpërndahet përafërsisht normalisht me mesatare  dhe variancë   Ky njihet si transformimi Wilson–Hilferty, shih (18.24), f. 426 i Johnson. 
 Ky transformim normalizues çon drejtpërdrejt në përafrimin mesatar të përdorur zakonisht duke u kthyer prapa nga mesatarja, e cila është edhe mediana, e shpërndarjes normale.

 Shpërndarjet e ndërlidhura 

 Kur ,  ( shpërndarje normale )
  ( Shpërndarja joqendrore hi-katrore me parametër joqëndror  )
 Nëse  atëherë  ka shpërndarje hi-katror 

 Si një rast i veçantë, nëse  atëherë  ka shpërndarje hi-katror 

  ( Norma në katror e k ndryshoreve të rastit standarde të shpërndara normalisht është një shpërndarje hi-katrore me k shkallë lirie )
 Nëse  dhe , atëherë  . ( shpërndarja gama )
 Nëse  atëherë  ( shpërndarja hi )
 Nëse , atëherë  është një shpërndarje eksponenciale . 
 Nëse , atëherë  është një shpërndarje Erlang .
 Nëse , atëherë 
 Nëse  ( Shpërndarja Rayleigh ) atëherë 
 Nëse  ( Shpërndarja Maxwell ) atëherë 
 Nëse  atëherë  ( Shpërndarja inverse-hi-katrore )
 Shpërndarja hi-katrore është një rast i veçantë i shpërndarjes Pearson të tipit III
 Nëse  dhe  janë të pavarur atëherë  ( shpërndarja beta )
 Nëse  ( shpërndarje uniforme ) atëherë 
 Nëse  atëherë 
 Nëse  ndjek shpërndarjen normale të përgjithësuar (lloji 1) me parametra  atëherë  
 Shpërndarja hi-katrore është një transformim i shpërndarjes Pareto
 Shpërndarja e studentit është një transformim i shpërndarjes hi-katrore
 Shpërndarja e studentit mund të merret nga shpërndarja hi-katror dhe shpërndarja normale
 Shpërndarja joqendrore beta mund të merret si një transformim i shpërndarjes hi-katror dhe shpërndarjes joqendrore hi-katrore
 Shpërndarja joqendrore t mund të merret nga shpërndarja normale dhe shpërndarja hi-katrore

Një ndryshore hi-katror me  shkallët lirie përkufizohet si shuma e katrorëve të  ndryshoreve rasti të pavarura standarde normale.

Shpërndarja hi-katrore është gjithashtu e lidhur natyrshëm me shpërndarjet e tjera që dalin nga shpërndarja gausiane. Veçanërisht,

  është i shpërndarë sipas F,  nëse , ku  dhe  janë statistikisht të pavarura.
 Nëse  dhe  janë statistikisht të pavarura atëherë  . Nëse  dhe  nuk janë të pavarura atëherë  nuk shpërndahet sipas hi-katror.

 Metodat llogaritëse 
Shkallët e lirisë (shl)  vlera Chi-Squared Test  Table B.2. 1 0,004 0.02 0.06 0.15 0.46 1.07 1.64 2.71 3.84 6.63 10.83 2 0.10 0.21 0.45 0.71 1.39 2.41 3.22 4.61 5.99 9.21 13.82 3 0.35 0,58 1.01 1.42 2.37 3.66 4.64 6.25 7.81 11.34 16.27 4 0.71 1.06 1.65 2.20 3.36 4.88 5.99 7.78 9.49 13.28 18.47 5 1.14 1.61 2.34 3.00 4.35 6.06 7.29 9.24 11.07 15.09 20.52 6 1.63 2.20 3.07 3.83 5.35 7.23 8.56 10.64 12.59 16.81 22.46 7 2.17 2.83 3.82 4.67 6.35 8.38 9.80 12.02 14.07 18.48 24.32 8 2.73 3.49 4.59 5.53 7.34 9.52 11.03 13.36 15.51 20.09 26.12 9 3.32 4.17 5.38 6.39 8.34 10.66 12.24 14.68 16.92 21.67 27.88 10 3.94 4.87 6.18 7.27 9.34 11.78 13.44 15.99 18.31 23.21 29.59 p -vlera (probabiliteti) 0,95 0,90 0.80 0.70 0.50 0.30 0.20 0.10 0.05 0.01 0.001
Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara