Funksioni i anasjelltë

Në matematikë, funksioni i anasjelltë i një funksioni  (i quajtur edhe inversi i  ) është një funksion që zhbën veprimin e  . Inversi i  ekziston nëse dhe vetëm nëse  është bijektiv, dhe nëse ekziston, shënohet me 

Për një funksion , e anasjellta e saj  pranon një përshkrim të qartë: ai dërgon çdo element  tek elementi unik  e tillë që  .

Si shembull, merrni parasysh funksionin me vlerë reale të një ndryshoreje reale të dhënë nga  . Mund të mendohet  si funksioni i cili shumëzon hyrjen e tij ()me 5 dhe më pas zbret 7 nga rezultati. Për ta zhbërë këtë, shtohet 7 në hyrje, pastaj rezultati pjesëtohet me 5. Prandaj, inversi i  është funksioni  përcaktuar nga 

 Përkufizimet 
djathtas|parapamje|240x240px| Nëse  hartëzon  në , atëherë  hartëzon  përsëri në  .
Le të jetë  një funksion domeni i të cilit është bashkësia  dhe kodomani i të cilit është bashkësia  . Atëherë  është i kthyeshëm nëse ekziston një funksion  nga  në X i tillë që  per te gjithe  dhe  për të gjitha  . 

Nëse  është i kthyeshëm, atëherë ekziston saktësisht një funksion  që plotëson këtë veti. Funksioni  quhet inversi i , dhe zakonisht shënohet si , një shënim i prezantuar nga John Frederick William Herschel në 1813.     

Funksioni f është i kthyeshëm nëse dhe vetëm nëse është bijektiv. Kjo për shkak se kushti  për të gjitha  nënkupton që  është injektiv, dhe kushti  për të gjitha  do të thotë se  është syrjektiv .

Funksioni i anasjelltë f −1 në f mund të përshkruhet në mënyrë eksplicite si funksion

  .

 I anasjellti dhe përbërja 
Kujtoni se nëse  është një funksion i kthyeshëm me fytyrë  dhe shëmbëllim , atëherë

 , për çdo  dhe  për çdo  .

Duke përdorur përbërjen e funksioneve, kjo shpallje mund të rishkruhet në ekuacionet e mëposhtme midis funksioneve:

  dhe 

 Shëmbuj 

 Funksioni kuadratik dhe rrënja katrore 
Funksioni  i dhënë nga  nuk është injektiv sepse  per te gjithe  . Prandaj,  nuk është i kthyeshëm.

Nëse bashkësia e fytyrave të funksionit është e kufizuar në numrat realë jonegative, domethënë, ne marrim funksionin  me të njëjtin rregull si më parë, atëherë funksioni është bijektiv dhe kështu, i kthyeshëm.  Funksioni i anasjelltë këtu quhet funksioni i rrënjës katrore (pozitiv) dhe shënohet me  .

 Funksionet standarde të anasjellta 
Tabela e mëposhtme tregon disa funksione standarde dhe të kundërtët e tyre:
+Funksionet e anasjellta aritmetike Funksioni  Inversi  Shënime         (dmth  )    (dmth  ) vetëm    (dmth  ) asnjë kufizim për  dhe    (dmth  )  nëse  është çift; numër i plotë              dhe  x e x   dhe  funksionet trigonometrike funksionet e anasjellta trigonometrike kufizime të ndryshme (shih tabelën më poshtë) funksionet hiperbolike funksionet hiperbolike të anasjellta kufizime të ndryshme
djathtas|parapamje|240x240px| Anasjellta e  është   .