Transformimi Z

Në matematikë dhe përpunimin e sinjalit, transformimi ose shndërrimi Z konverton një sinjal në kohë diskrete, i cili është një varg numrash realë ose kompleksë, në një përfaqësim kompleks të domenit të frekuencës ( rrafshin z ose planin z ).  
Mund të konsiderohet si një njëvlershëm i kohës diskrete i transformimit të Laplasit ( domeni s ose rrafshi s ).  Kjo ngjashmëri është eksploruar në teorinë e llogaritjes së shkallës kohore .

Ndërsa transformimi Furier me kohë të vazhdueshme vlerësohet në boshtin vertikal të domenit s (boshti imagjinar), transformimi i Furierit në kohë diskrete vlerësohet përgjatë rrethit njësi të domenit z. Gjysmë rrafshi i majtë i domenit s hartëzohet me zonën brenda rrethit të njësisë së domenit z, ndërsa gjysma e rrafshit të djathtë të domenit s hartohet me zonën jashtë rrethit të njësisë së domenit z.

Një nga mjetet e projektimit të filtrave dixhitalë është marrja e modeleve analoge, nënshtrimi i tyre ndaj një transformimi bilinear i cili i hartëzon ato nga domeni s në domenin z, dhe më pas prodhohet filtri dixhital me inspektim, manipulim ose përafrim numerik. Metoda të tilla priren të mos jenë të sakta përveçse në afërsi të unitetit kompleks, pra në frekuenca të ulëta.

 Përkufizimi 
Transformimi Z mund të përkufizohet si një transformim i njëanshëm ose i dyanshëm . (Ashtu si kemi transformimin e Laplasit të njëanshëm dhe transformimin e Laplasit të dyanshëm . ) 

 Transformimi Z dypalësh 
Transformimi Z i dyanshëm ose i dyanshëm i një sinjali me kohë diskrete  është seria formale e fuqisë  përcaktuar si:

ku  është një numër i plotë dhe  është, në përgjithësi, një numër kompleks . Në formë polare,  mund të shkruhet si:



ku  është moduli i ,  është njësia imagjinare, dhe  është argumenti kompleks (i referuar edhe si kënd ose faza ) në radianë .

 Transformimi i njëanshëm Z 
Përndryshe, në rastet kur  është përcaktuar vetëm për , transformimi Z i njëanshëm përkufizohet si:

Në përpunimin e sinjalit, ky përkufizim mund të përdoret për të vlerësuar transformimin Z të përgjigjes së impulsit të njësisë së një sistemi shkakësor në kohë diskrete.

Një shembull i rëndësishëm i transformimit të njëanshëm Z është funksioni gjenerues i probabilitetit, ku përbërësja  është probabiliteti që një ndryshore e rastit diskrete të marrë vlerën , dhe funksioni  zakonisht shkruhet si  ne kushtet e  . Vetitë e shndërrimeve Z (të renditura në  ) kanë interpretime të dobishme në kontekstin e teorisë së probabilitetit.

 Transformimi Z i anasjelltë 
Transformimi i anasjelltë Z është:

ku  është një shteg i mbyllur kundërorar që rrethon origjinën dhe i tëri në zonën e konvergjencës (ZK). Në rastin kur ZK është shkakësore (shih shembullin 2 ), kjo do të thotë shtegu  duhet të rrethojnë të gjitha polet e  .

 Rajoni i konvergjencës 
Rajoni i konvergjencës ose zona e konvergjencës (ROC ose ZK) është grupi i pikave në planin kompleks për të cilin shuma e shndërrimit Z konvergjon (dmth. nuk shpërthen në madhësi deri në pafundësi):



 Shembulli 1 (pa ZK) 
Le të jetë  Duke u zgjeruar  në intervalin  bëhet



Duke parë shumën



Prandaj, nuk ka vlera të  që plotësojnë këtë kusht.
parapamje|250x250px| Zona e konvergjencës (blu),  rrethi i zi me pika), dhe rrethi njësi (rrethi gri me pika).
Le  (ku  është funksioni i hapit Heaviside ). Duke u zgjeruar  në intervalin  bëhet



Duke parë shumën



Barazia e fundit lind nga seria e pafundme gjeometrike dhe barazia vlen vetëm nëse  të cilat mund të rishkruhen në terma të  si  Kështu, ZK është  Në këtë rast, ZK është rrafshi kompleks me një disk me rreze 0,5 në origjinë.

 Shembulli 3 (ZK joshkakësore) 
parapamje|250x250px| ZK (blu),  (rrethi i zi me pika), dhe rrethi njësi (rrethi gri me pika).
Le  (ku  është funksioni i hapit Heaviside ). Duke u zgjeruar  në intervalin  bëhet



Duke parë shumën



dhe duke përdorur sërish serinë e pafundme gjeometrike, barazia vlen vetëm nëse  të cilat mund të rishkruhen në terma të  si  Kështu, ZK është  Në këtë rast, ZK është një zonë me qendër në origjinë dhe me rreze 0,5.

 Vetitë 
 +Vetitë e transformimit Z
 VetiaRrafshi i kohësRrafshi ZProvaZKPërkufizimi i shndërrimit Z   Lineariteti			Përmban ROC1 ∩ ROC2
  Zgjerimi në kohëme 
			  Cungimi		ohio-state.edu or ee.ic.ac.uk
	  Vonesa në kohëwith  and 
			ZK, përveç  nëse  dhe  nëse 
  Hertesa në kohëwith 
	Transformimi z i dyanshëm:

Transformimi z i njëanshëm:

		  Ndryshesa e parë pas with  for 
			 Ndryshesa e parë para			  Kthimi i kohës			  Shkallëzimi në domeinin z			 
  Konjugimi kompleks			  Pjesa reale			  Pjesa imagjinare			  Diferencimi në rrafshin z			ZK, nëse  është racional;

ZK me shumë mundësi përjashton kufirin, nëse  është racional
  Convolution
				Përmban ROC1 ∩ ROC2
  Ndërkorrelimi			Përmban prerjen e ZK të  dhe 
  Shtesa mbledhëse			  Shumëzimi			 -
Teorema e Parsevalit



Teorema e vlerës fillestare : Nëse  është shkakësore, pra



Teorema e vlerës përfundimtare : Nëse polet e  janë brenda rrethit njësi, atëherë



 Tabela e çifteve të zakonshme të transformimit Z 
Këtu:



është funksioni i hapit (ose i Heaviside) dhe



Sinjali, Transformimi Z, ZK11çdo z234567891011121314151617, for positive integer A. R. Forouzan (2016). "Region of convergence of derivative of Z transform". Electronics Letters. 52 (8): 617–619. Bibcode:2016ElL....52..617F. doi:10.1049/el.2016.0189. S2CID 124802942.18, for positive integer 19202122

 Funksioni i transferimit 
Marrja e transformimit Z të ekuacionit të mësipërm (duke përdorur ligjet e linearitetit dhe të zhvendosjes së kohës) jep:



ku  dhe  janë transformimi Z i  dhe  përkatësisht. 

Riorganizimi i rezultateve në funksionin e transferimit të sistemit:



 Zerot dhe polet 
Nga teorema themelore e algjebrës numëruesi ka  rrënjë (që korrespondojnë me zerot e  ) dhe emëruesi ka  rrënjë (që korrespondojnë me polet). Rishkrimi i funksionit të transferimit në terma zerosh dhe polesh



ku  eshte zero e   dhe  është poli i   . Zerot dhe polet janë zakonisht komplekse dhe kur vizatohen në rrafshin kompleks (z-rrafsh), rezultati quhet grafiku pole-zero .

Përveç kësaj, mund të ekzistojnë edhe zero dhe pole në  dhe  Nëse marrim në konsideratë këto pole dhe zero, si dhe zero dhe pole të rendit të shumëfishtë, numri i zerove dhe poleve është gjithmonë i barabartë.

Duke faktorizuar emëruesin, mund të përdoret zbërthimi i pjesshëm i thyesave, dhe funksionet rezultat më pas mund të shndërrohen përsëri në domenin e kohës me shndërrimin invers. Duke vepruar kështu do të rezultonte në përgjigjen impulsive dhe ekuacionin e ndryshimit të koeficientit konstant linear të sistemit.

 Përgjigja e daljes 
Nëse një sistem i tillë  provokohet nga një sinjal  atëherë prodhimi është  Duke kryer zbërthimin e thyesave të pjesshme në  dhe më pas duke marrë transformimin Z të anasjelltë, mund te gjendet . Në praktikë, shpesh është e dobishme të zbërthehet në mënyrë të pjesshme  para se ta shumëzojmë atë madhësi me  për të gjeneruar një formë të  i cili ka terma me transformime Z të anasjellta lehtësisht të llogaritshme.
Kategoria:Matematikë
Kategoria:Analizë matematike
Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara