Shpërndarja hipergjeometrike

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja hipergjeometrike është një shpërndarje diskrete probabiliteti që përshkruan probabilitetin e  sukseseve (tërheqjet e rastit për të cilat objekti i tërhequr ka një veçori të caktuar) në  tërheqje pa zëvendësim, nga një popullsi e kufizuar me madhësi  që përmban saktësisht  objekte me atë veçori, ku çdo tërheqje është ose një sukses ose një dështim. Në të kundërt, shpërndarja binomiale përshkruan probabilitetin e  sukseseve në  tërheqje me zëvendësim.

 Përkufizimet 

 Funksioni i masës së probabilitetit 
Kushtet e mëposhtme karakterizojnë shpërndarjen hipergjeometrike:

 Rezultati i çdo tërheqje (elementet e popullatës që janë marrë në popullim) mund të klasifikohet në një nga dy kategoritë ndërsjellazi përjashtuese (p.sh. Kalon/Dështon ose i Punësuar/I papunësuar).
 Probabiliteti i një suksesi ndryshon në çdo tërheqje, pasi çdo tërheqje zvogëlon popullsinë ( kampionimi pa zëvendësim nga një popullsi e fundme).

Një ndryshore e rastit  ndjek shpërndarjen hipergjeometrike nëse funksioni i masës së probabilitetit të tij (fmp) jepet nga 



ku

  është madhësia e popullsisë,
  është numri i gjëndjeve të suksesshme në popullatë,
  është numri i barazimeve (dmth. sasia e tërhequr në çdo provë),
  është numri i sukseseve të vërejtura,
  është një koeficient binomial .

FMP është pozitiv kur  .

Një ndryshore e rastit e shpërndarë hipergjeometrikisht me parametra ,  dhe  shkruhet si  dhe ka funksion të masës së probabilitetit  si më sipër.

 Vetitë 

 Shembull pune 
Zbatimi klasik i shpërndarjes hipergjeometrike është kampionimi pa zëvendësim . Mendoni  një vazo me dy ngjyra mermeri, të kuqe dhe të gjelbër. Përcaktoni tërheqjen e një mermeri të gjelbër si sukses (S) dhe tërheqjen e një mermeri të kuq si dështim (K) (analoge me shpërndarjen binomiale). Nëse ndryshorja  përshkruan numrin e të gjithë mermerëve në vazo dhe  përshkruan numrin e mermerëve të gjelbër, atëherë  korrespondon me numrin e mermerëve të kuq . Në këtë shembull,  është ndryshorja e rastit, rezultati i së cilës është , numri i mermerëve të gjelbër të nxjerrë në eksperiment. Kjo situatë ilustrohet nga tabela e mëposhtme e rasteve :
 tërhequr ngelur në vazo total mermerët e gjelbër k K − k K mermerët e kuq n − k N + k − n − K N - K total n N − n N
Tani, supozoni (për shembull) se ka 5 mermerë të gjelbër dhe 45 të kuq në urnë (vazo). Duke qëndruar pranë vazos, ju mbyllni sytë dhe tërhiqni 10 mermerë pa zëvendësim. Sa është probabiliteti që saktësisht 4 nga 10 janë të gjelbër? Vini re se megjithëse po vëzhgojmë sukses/dështim, të dhënat nuk modelohen saktë nga shpërndarja binomiale, sepse probabiliteti i suksesit në çdo provë nuk është i njëjtë, pasi madhësia e popullsisë së mbetur ndryshon ndërsa heqim çdo mermer.

Ky problem përmblidhet nga tabela e mëposhtme e kontigjencës:
 tërhequr  pa tërhequr total mermerët e gjelbër k = 4 K − k = 1 K = 5 mermerët e kuq n − k = 6 N + k − n − K = 39 N − K = 45 total n = 10 N − n = 40 N = 50
Probabiliteti për të nxjerrë saktësisht  mermerë të gjelbër mund të llogaritet me formulën



Prandaj, në këtë shembull llogaritni



Intuitivisht ne do të prisnim që të ishte edhe më e pamundur që të 5 mermerët e gjelbër të jenë në mesin e 10 të tërhequrve.



Siç pritej, probabiliteti i tërheqjes së 5 mermerëve të gjelbër është afërsisht 35 herë më pak i mundshëm se ai i tërheqjes së 4 prej tyre.

 Simetritë 
Ndërrimi i roleve të mermerëve të gjelbër dhe të kuq:



Ndërrimi i roleve të mermerëve të tërhequr dhe jo të tërhequr:



Ndërrimi i roleve të mermerëve të gjelbër dhe të tërhequr:



Këto simetri gjenerojnë grupin dihedral  .

 Kufijtë e bishtit 
Le të jetë  dhe  . Pastaj për  mund të nxjerrim kufijtë e mëposhtëm: .



ku



është divergjenca Kullback-Leibler dhe përdoret se  . 

Nëse  është më e madhe se , mund të jetë e dobishme të aplikoni simetri për të "përmbysur" kufijtë, të cilët japin sa vijon: "Another Tail of the Hypergeometric Distribution". wordpress.com. 8 December 2015. Retrieved 19 March 2018. .



 Konkluzioni statistikor 

 Testi hipergjeometrik 
Testi hipergjeometrik përdor shpërndarjen hipergjeometrike për të matur rëndësinë statistikore të tërheqjes së një popullimi të përbërë nga një numër specifik  suksesesh (nga  tërheqjet totale) nga një popullsi me madhësi  që përmban  sukseset. Në një test për mbipërfaqësimin e sukseseve në kampion, vlera p hipergjeometrike llogaritet si probabilitet i tërheqjes në mënyrë të rastësishme të  ose më shumë sukseseve nga popullata në  tërheqjet totale. Në një test për nënpërfaqësim, vlera p është probabiliteti i tërheqjes së rastësishme të  ose më pak sukseseve.
djathtas|parapamje|280x280px| Biologu dhe statisticieni Ronald Fisher
Testi i bazuar në shpërndarjen hipergjeometrike (testi hipergjeometrik) është identik me versionin përkatës me një bisht të testit ekzakt të Fisherit . 

Testi përdoret shpesh për të identifikuar se cilat nën-popullata janë të mbi ose nën-përfaqësuara në një popullim. Ky test ka një gamë të gjerë zbatimesh. Për shembull, një grup marketingu mund të përdorë testin për të kuptuar bazën e tyre të klientëve duke testuar një grup klientësh të njohur për mbipërfaqësim të nëngrupeve të ndryshme demografike (p.sh., gra, njerëz nën 30 vjeç).

 Shpërndarjet e lidhura 
Le të jetë  dhe  .

 Nëse  atëherë  ka një shpërndarje Bernoulli me parametër  .
 Le të ketë  një shpërndarje binomiale me parametra  dhe  ; kjo modelon numrin e sukseseve në problemin analog të kampionimit me zëvendësim. Nëse  dhe  janë të mëdha në krahasim me , dhe  nuk është afër 0 ose 1, atëherë  dhe  kanë shpërndarje të ngjashme, dmth.  .
 Nëse  është e madhe,  dhe  janë të mëdha në krahasim me , dhe  nuk është afër 0 ose 1 atëherë



ku  është funksioni standard i shpërndarjes normale

Tabela e mëposhtme përshkruan katër shpërndarje që lidhen me numrin e sukseseve në një sekuencë tërheqjesh:
 Me zëvendësim Asnjë zëvendësim Numri i caktuar i tërheqjeve shpërndarja binomiale shpërndarja hipergjeometrike Duke pasur parasysh numrin e dështimeve shpërndarje binomiale negative shpërndarje hipergjeometrike negative

 Shpërndarja hipergjeometrike me shumë ndryshore 

Modeli i një urne me mermerë të gjelbër dhe të kuq mund të shtrihet në rastin kur ka më shumë se dy ngjyra mermeri. Nëse ka  mermerë të ngjyrës  në urnë dhe ju merrni  mermerë në mënyrë të rastësishme pa zëvendësim, atëherë numri i mermerëve të secilës ngjyrë në mostër  ka shpërndarjen hipergjeometrike shumëndryshore:



 Shembull 
Supozoni se në një urnë ka 5 mermerë të zinj, 10 të bardhë dhe 15 të kuq. Nëse zgjidhen gjashtë mermere pa zëvendësim, probabiliteti që të zgjidhen saktësisht dy nga çdo ngjyrë është



 Ndodhja dhe aplikimet 

 Zbatimi për auditimin e zgjedhjeve 

Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara