Ekuacioni diferencial i pjesshëm parabolik

Një ekuacion diferencial i pjesshëm parabolik është një lloj ekuacioni diferencial i pjesshëm (EDP). EDP-të parabolike përdoren për të përshkruar një shumëllojshmëri të gjerë të dukurive që varen nga koha, duke përfshirë përcjelljen e nxehtësisë, difuzionin e grimcave dhe çmimin e instrumenteve investuese derivative .

 E ç'është një EDP parabolike? 
Për të përcaktuar llojin më të thjeshtë të një EDP-je parabolike, merrni parasysh një funksion me vlera reale  e dy ndryshoreve reale të pavarura,  dhe  . Një PDE e rendit të dytë, lineare, me koeficient konstantë për  merr formën



dhe ky EDP klasifikohet si parabolik nëse koeficientët plotësojnë kushtin



Zakonisht  paraqet pozicion njëdimensional dhe  përfaqëson kohën, dhe EDP zgjidhet në varësi të kushteve të përcaktuara fillestare dhe kufitare.

Emri "parabolik" përdoret sepse supozimi mbi koeficientët është i njëjtë me kushtin për ekuacionin e gjeometrisë analitike  për të përcaktuar një parabolë planare.

Shembulli themelor i një EDP parabolik është ekuacioni i nxehtësisë njëdimensionale,



ku  është temperatura në atë kohë  dhe në vendndodhjen  përgjatë një shufre të hollë dhe  është një konstante pozitive ( difuziviteti termik ). Simboli  nënkupton derivatin e pjesshëm të  në lidhje me ndryshoren kohë , dhe në mënyrë të ngjashme  është derivati i dytë i pjesshëm në lidhje me  . Për këtë shembull,  luan rolin e  në EDP të përgjithshme lineare të rendit të dytë: , , dhe koeficientët e tjerë janë zero.

Ekuacioni i nxehtësisë thotë, përafërsisht, se temperatura në një kohë dhe pikë të caktuar rritet ose bie me një shpejtësi proporcionale me ndryshimin midis temperaturës në atë pikë dhe temperaturës mesatare pranë asaj pike. Madhësia  mat se sa larg është temperatura nga përmbushja e vetive të vlerës mesatare të funksioneve harmonike .

Koncepti i një EDP parabolik mund të përgjithësohet në disa mënyra. Për shembull, rrjedha e nxehtësisë përmes një trupi material rregullohet nga ekuacioni tredimensional i nxehtësisë ,



ku



tregon operatorin e Laplasit që vepron mbi  . Ky ekuacion është prototipi i një EDP parabolik shumëdimensional.

Duke vënë në dukje se  është një operator eliptik sugjeron një përkufizim më të gjerë të një EDP parabolik:



ku  është një operator eliptik i rendit të dytë (që nënkupton se  duhet të jetë pozitiv ; një rast ku  konsiderohet më poshtë).

 Zgjidhje 
Nën supozime të gjera, një problem me vlerë fillestare/kufitare për një EDP parabolik linear ka një zgjidhje për të gjitha vlerat kohore. Zgjidhja , në funksion të  për një kohë të caktuar , në përgjithësi është më e butë se të dhënat fillestare  .

Kategoria:Ekuacione diferenciale