Funksionet hiperbolike

Në matematikë, funksionet hiperbolike janë analoget e funksioneve të zakonshme trigonometrike, por të përcaktuara duke përdorur hiperbolën dhe jo rrethin . Ashtu si pikat   formojnë një rreth njësi, pikat   formojnë gjysmën e djathtë të hiperbolës njësi . Gjithashtu, në mënyrë të ngjashme me mënyrën se si derivatet e  dhe  janë përkatësisht  dhe , derivatet e  dhe  janë  dhe  respektivisht.

Funksionet hiperbolike hasen në llogaritjet e këndeve dhe largësive në gjeometrinë hiperbolike . Ato hasen gjithashtu në zgjidhjet e shumë ekuacioneve diferenciale lineare (siç është ekuacioni që përcakton një katenare ), ekuacionet kubike dhe ekuacioni i Laplasit në koordinata karteziane . Ekuacionet e Laplasit janë të rëndësishme në shumë fusha të fizikës, duke përfshirë teorinë elektromagnetike, transferimin e nxehtësisë, dinamikën e lëngjeve dhe relativitetin special .

Funksionet themelore hiperbolike janë: 

 sinusi hiperbolik " sinh " , 
 kosinusi hiperbolik " cosh ", Collins Concise Dictionary, p. 328

nga të cilat rrjedhin: 

 tangjenti hiperbolik " tanh ", Collins Concise Dictionary, p. 1520
 kotangjenti hiperbolik " coth ", Collins Concise Dictionary, p. 329 tanh

që u përkojnë funksioneve trigonometrike të prejardhura.

Funksionet hiperbolike të anasjellta janë:

 sinusi hiperbolik i zonës " arsinh " (i shënuar gjithashtu " sinh−1 ", " asinh " ose ndonjëherë " arcsinh ")   Some examples of using arcsinh found in Google Books.
 kosinusi hiperbolik i zonës " arcosh " (i shënuar gjithashtu " cosh−1 ", " acosh " ose ndonjëherë " arccosh ")
 e kështu me radhë.

parapamje| Një rreze përmes hiperbolës njësi  në pikën , ku  është dyfishi i sipërfaqes ndërmjet rrezes, hiperbolës dhe boshtit x . Për pikat në hiperbolën nën boshtin x, zona konsiderohet negative (shih versionin e animuar me krahasimin me funksionet trigonometrike (rrethore)).
Funksionet hiperbolike marrin një argument real të quajtur kënd hiperbolik . Madhësia e një këndi hiperbolik është dyfishi i sipërfaqes së sektorit të tij hiperbolik . Funksionet hiperbolike mund të përcaktohen në termat e këmbëve të një trekëndëshi kënddrejtë që mbulon këtë sektor.

Në analizën komplekse, funksionet hiperbolike lindin kur zbatohen funksionet e zakonshme të sinusit dhe kosinusit në një kënd imagjinar. Sinusi hiperbolik dhe kosinusi hiperbolik janë funksione të tëra . Si rezultat, funksionet e tjera hiperbolike janë meromorfike në të gjithë planin kompleks.

Funksionet hiperbolike u prezantuan në vitet 1760 në mënyrë të pavarur nga Vincenzo Riccati dhe Johann Heinrich Lambert . Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. Euler at 300: an appreciation. Mathematical Association of America, 2007. Page 100. Riccati përdori Sc. dhe Cc. ( ) për t'iu referuar funksioneve rrethore dhe Sh. dhe Ch. (  ) për t'iu referuar funksioneve hiperbolike. Lambert miratoi emrat, por ndryshoi shkurtesat në ato që përdoren sot. Georg F. Becker. Hyperbolic functions. Read Books, 1931. Page xlviii. Aktualisht përdoren edhe shkurtesat , , , , në varësi të preferencës personale.

 Shënimi 

 Përkufizimet 
parapamje| sinh, cosh dhe tanh
parapamje| csch, sech dhe coth
Ka mënyra të ndryshme ekuivalente për të përcaktuar funksionet hiperbolike.

 Përkufizimet eksponenciale 
djathtas|parapamje| është gjysma e ndryshesës së  dhe 
djathtas|parapamje| është mesatarja e  dhe 
Për sa i përket funksionit eksponencial : Weisstein, Eric W. "Hyperbolic Functions". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-29. "Hyperbolic Functions". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-29.

 Sinusi hiperbolik: pjesa teke e funksionit eksponencial, d.m.th. 
 Kosinusi hiperbolik: pjesa çifte e funksionit eksponencial, d.m.th. 
 Tangjenti hiperbolik: 
 Kotangjenti hiperbolik: për x ≠ 0 , 
 Sekanti hiperbolik: 
 Kosekanti hiperbolik: për x ≠ 0 , 

 Përkufizimet e ekuacioneve diferenciale 
Funksionet hiperbolike mund të përkufizohen si zgjidhje të ekuacioneve diferenciale : Sinusi dhe kosinusi hiperbolik janë zgjidhja  e sistemit.me kushtet fillestare  Kushtet fillestare e bëjnë zgjidhjen unike; pa to çdo çift funksionesh  do të ishte një zgjidhje.

 dhe  janë gjithashtu zgjidhja unike e ekuacionit , e tillë që  për kosinusin hiperbolik dhe  për sinusin hiperbolik.

 Përkufizimet komplekse trigonometrike 
Funksionet hiperbolike mund të nxirren gjithashtu nga funksionet trigonometrike me argumente komplekse :

 Sinusi hiperbolik: Weisstein, Eric W. "Hyperbolic Functions". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-29. 
 Kosinusi hiperbolik:  
 Tangjenti hiperbolik: 
 Kotangjenti hiperbolik: 
 Sekanti hiperbolik: 
 Kosekanti hiperbolik: 

ku  është njësia imagjinare me  .

 Vetitë karakterizuese 

 Kosinusi hiperbolik 
Mund të tregohet se zona nën lakoren e kosinusit hiperbolik (mbi një interval të fundëm) është gjithmonë e barabartë me gjatësinë e harkut që i korrespondon atij intervali: 

 Tangjenti hiperbolik 
Tangjenti hiperbolik është zgjidhja (unike) e ekuacionit diferencial , me  .  Extract of page 281 (using lambda=1)  Extract of page 290

 Marrëdhënie të dobishme 
Funksionet hiperbolike kënaqin shumë identitete, të gjitha të ngjashme në formë me identitetet trigonometrike . Në fakt, rregulli i Osbornit  thotë se mund të konvertohet çdo identitet trigonometrik për , ,  ose  dhe  në një identitet hiperbolik, duke e zgjeruar plotësisht në termat e fuqive integrale të sinuseve dhe kosinuseve, duke ndryshuar sinusin në sinh dhe kosinusin në cosh dhe duke ndryshuar shenjën e çdo termi që përmban një produkt prej dy funksionesh sinh.

Funksionet tek dhe çift:Prandaj:Kështu,  dhe  janë funksione çift ; të tjerët janë funksione tek .Sinusi dhe kosinusi hiperbolik kënaqin:e fundit prej të cilave është e ngjashme me identitetin trigonometrik të Pitagorës .

 Shumat e argumenteve 
veçanërishtGjithashtu:

 Formulat e zbritjes 
Gjithashtu: 

 Formulat e gjysëm këndit 
ku  është funksioni i shenjës .

Nëse , atëherë 

 Formulat e linearizimit 

 Mosbarazimet 
Mosbarazimi i mëposhtëm është i dobishëm në statistikë:   

 Funksionet e anasjellta si logaritme 

 Derivatet 

 Derivatet e dyta 
Secili prej funksioneve  dhe  është i barabartë me derivatin e tij të dytë, që është:

 Integrale standarde 
Integralet e mëposhtme mund të vërtetohen duke përdorur zëvendësimin hiperbolik :ku C është konstantja e integrimit .

 Seritë e Tejlorit 
Është e mundur të shprehet në mënyrë eksplicite seria Taylor në zero (ose seria Laurent, nëse funksioni nuk është i përcaktuar në zero) e funksioneve të mësipërme.Kjo seri është konvergjente për çdo vlerë komplekse të  . Meqenëse funksioni  është tek, vetëm eksponentët tek për  hasen në serinë e tij Tejlor.Kjo seri është konvergjente për çdo vlerë komplekse të  . Meqenëse funksioni  është çift, vetëm eksponentët çift për  gjenden në serinë e tij Tejlor.

Seritë e mëposhtme pasohen nga një përshkrim i një nëngrupi të domenit të tyre të konvergjencës, ku seria është konvergjente dhe shuma e saj është e barabartë me funksionin.ku:

  është numri n i Bernulit
  është numri n i Euler-it

 Prodhimet e pafundme dhe thyesat e vazhdueshme 
Zgjerimet e mëposhtme janë të vlefshme në të gjithë planin kompleks:







 Krahasimi me funksionet rrethore 
djathtas|parapamje| Rrethi dhe tangjenta e hiperbolës në (1,1) shfaqin gjeometrinë e funksioneve rrethore në terma të sipërfaqes së sektorit rrethor  dhe funksioneve hiperbolike në varësi të zonës së sektorit hiperbolik  .
Funksionet hiperbolike paraqesin një zgjerim të trigonometrisë përtej funksioneve rrethore . Të dy llojet varen nga një argument, qoftë kënd rrethor ose kënd hiperbolik .

Meqenëse sipërfaqja e një sektori rrethor me rreze r dhe kënd u (në radianë) është , do të jetë e barabartë me  kur  . Në diagram, një rreth i tillë është tangjent me hiperbolën  në . Sektori i verdhë përshkruan një sipërfaqe dhe madhësi këndi. Në mënyrë të ngjashme, sektorët e verdhë dhe të kuq së bashku përshkruajnë një sipërfaqe dhe madhësinë e këndit hiperbolik .

Këmbët e dy trekëndëshave kënddrejtë me hipotenuzë në rrezen që përcakton këndet janë me gjatësi √ 2 herë më shumë se funksionet rrethore dhe hiperbolike.

Këndi hiperbolik është një masë e pandryshueshme në lidhje me hartëzimin e shtrydhjes, ashtu si këndi rrethor është i pandryshueshëm nën rrotullim. Mellen W. Haskell, "On the introduction of the notion of hyperbolic functions", Bulletin of the American Mathematical Society 1:6:155–9, full text

Grafiku i funksionit a cosh( x / a ) është katenarie, kurba e formuar nga një zinxhir fleksibël i njëtrajtshëm, i varur lirshëm midis dy pikave fikse nën gravitetin e njëtrajtshëm.

 Funksionet hiperbolike për numrat kompleks 
+Funksionet hiperbolike në rrafshin kompleksasnjë|140x140pxasnjë|140x140pxasnjë|140x140pxasnjë|140x140pxasnjë|140x140pxasnjë|140x140px      
Meqenëse funksioni eksponencial mund të përcaktohet për çdo argument kompleks, ne gjithashtu mund të zgjerojmë përkufizimet e funksioneve hiperbolike në argumente komplekse. Funksionet  dhe  janë  holomorfikë .

Marrëdhëniet me funksionet e zakonshme trigonometrike jepen nga formula e Euler-it për numrat kompleks:kështu që:Kështu, funksionet hiperbolike janë periodike në lidhje me përbërësin imagjinar, me periodë   (  për tangjentin hiperbolik dhe kotangjentin).

 Shiko gjithashtu 

 e (konstante matematikore)
 Teorema e rretheve të barabarta, bazuar në sinh
 Rritja hiperbolike
 Funksionet hiperbolike të anasjellta
 Lista e integraleve të funksioneve hiperbolike
 Spiralet e Poinsot
 Funksioni sigmoid
 Tangjenti hiperbolik i Sobolevës
 Funksionet trigonometrike
Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara