Ndryshorja e rastit komplekse

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, ndryshoret e rastit komplekse janë një përgjithësim i ndryshoreve të rastit me vlerë reale në numra kompleksë, dmth. vlerat e mundshme që mund të marrë një ndryshore e rastit komplekse janë numra kompleksë.  Ndryshoret e rastit komplekse mund të konsiderohen gjithmonë si çifte të ndryshoreve të rastit reale: pjesët e tyre reale dhe imagjinare. Prandaj, shpërndarja e një ndryshoreje komplekse të rastit mund të interpretohet si shpërndarja e përbashkët e dy ndryshoreve të rastit reale.

Zbatimet e ndryshoreve të rastit komplekse gjenden në përpunimin numerik të sinjalit ,  modulimin e amplitudës kuadratike dhe teorinë e informacionit .

 Përkufizimi 
Një ndryshore e rastit komplekse  në hapësirën e probabilitetit  është një funksion  i tillë që edhe pjesa reale e saj  dhe pjesa e saj imagjinare  janë ndryshore të rastit reale në  .

 Shembuj 

 Shembull i thjeshtë 
Konsideroni një ndryshore të rastit që mund të marrë vetëm tre vlerat komplekse  me probabilitete të përcaktuara në tabelë. Ky është një shembull i thjeshtë i një ndryshoreje të rastit komplekse.
Probabiliteti  Vlera       
Pritshmëria e kësaj ndryshoreje të rastit mund të llogaritet thjesht: 

 Shpërndarja uniforme 
Një shembull tjetër i një ndryshoreje komplekse të rastit është shpërndarja uniforme mbi rrethin njësi të mbushur, dmth  . Kjo ndryshore e rastit është një shembull i një ndryshoreje komplekse të rastit për të cilën është përcaktuar funksioni i densitetit të probabilitetit . Funksioni i dendësisë është paraqitur si disku i verdhë dhe baza blu e errët në figurën e mëposhtme.

alt=Probability density function of a complex random variable shich is uniformly distributed inside the unit circle|400x400px|Funksioni i densitetit të probabilitetit të një ndryshoreje komplekse të rastësishme shich shpërndahet në mënyrë uniforme brenda rrethit të njësisë

 Shpërndarja normale komplekse 
Ndryshoret komplekse normale të rastit shpesh hasen në zbatime të shumta. Ato janë një përgjithësim i drejtpërdrejtë i ndryshoreve të rastit normale. Grafiku i mëposhtëm tregon një shembull të shpërndarjes së një ndryshoreje të tillë.

alt=Probability density function of a complex Gaussian random variable|400x400px|Funksioni i densitetit të probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme komplekse Gaussian

 Funksioni kumulativ i shpërndarjes 
Përgjithësimi i funksionit të shpërndarjes mbledhëse nga ndryshoret e rastit reale në ato komplekse nuk është i qartë sepse shprehjet e formës  nuk kanë kuptim. Megjithatë shprehjet e formës  kanë kuptim. Prandaj, ne përcaktojmë shpërndarjen kumulative  të një ndryshoreje komplekse të rastit nëpërmjet shpërndarjes së përbashkët të pjesëve të tyre reale dhe imagjinare:

 Funksioni i dendësisë së probabilitetit 
Funksioni i dendësisë së probabilitetit të një ndryshoreje komplekse të rastit përcaktohet si , pra vlera e funksionit të dendësisë në një pikë  është përcaktuar të jetë e barabartë me vlerën e dendësisë së përbashkët të pjesëve reale dhe imagjinare të ndryshores së rastit të vlerësuar në pikën  .

Një përkufizim i njëvlershëm jepet nga  ku  dhe  .

Si në rastin real, funksioni i dendësisë mund të mos ekzistojë.

 Pritja matematike 
Pritja matematike e një ndryshoreje komplekse të rastit përcaktohet bazuar në përkufizimin e pritshmërisë së një ndryshoreje të rastit reale:  

Vini re se pritja matematike e një ndryshoreje të rastit komplekse nuk ekziston nëse  ose  nuk ekziston.

Nëse ndryshorja e rastit komplekse  ka një funksion të dendësisë së probabilitetit , atëherë pritja matematike jepet nga  .

Nëse ndryshorja e rastësishme komplekse  ka një funksion të masës së probabilitetit , atëherë pritja matematike jepet nga  .

Kurdoherë që ekziston pritja e një ndryshoreje komplekse të rastit, duke marrë pritshmërinë dhe konjugimin kompleks :



Veprimi i pritjes matematike  është linear në kuptimin që



për çdo koeficient kompleks  edhe nëse  dhe  nuk janë të pavarura .

 Varianca 
Varianca përcaktohet në terma të katrorëve absolutë si: Park,Kun Il (2018). Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. ISBN 978-3-319-68074-3. : 

Varianca është gjithmonë një numër real jonegativ. Është e barabartë me shumën e variancave të pjesës reale dhe imagjinare të ndryshores komplekse të rastit:



Varianca e një kombinimi linear të ndryshoreve komplekse të rastit mund të llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme:



 Mosbarazimi Koshi-Shvarc 
Mosbarazimi Koshi-Shvarc për ndryshoret e rastit komplekse, i cili mund të nxirret duke përdorur mosbarazimin e trekëndëshit dhe mosbarazimin e Holderit, është

  .

 Funksioni karakteristik 
Funksioni karakteristik i një ndryshoreje të rastit komplekse është një funksion  përcaktuar nga


Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara