Shuma e ndryshoreve të rastit të shpërndara normalisht

Në teorinë e probabilitetit, llogaritja e shumës së ndryshoreve të rastit me shpërndarje normale është një shembull i aritmetikës së ndryshoreve të rastit .

 Ndryshore rasti të pavarura 
Le të jenë  dhe  ndryshore rasti të pavarura që shpërndahen normalisht (dhe për rrjedhojë edhe bashkërisht kështu), atëherë shuma e tyre gjithashtu shpërndahet normalisht. dmth, nëse





atëherë



Kjo do të thotë që shuma e dy ndryshoreve të rastit të pavarura të shpërndara normalisht është normale, ku mesatarja e saj është shuma e dy mesatareve dhe varianca e saj është shuma e dy variancave (d.m.th., katrori i devijimit standard është shuma e katrorët e devijimeve standarde). 

Në mënyrë që ky rezultat të qëndrojë, supozimi se  dhe  janë të pavarura nuk mund të hiqet, megjithëse mund të dobësohet në supozimin se  dhe  janë të shpërndara normalisht së bashku, dhe jo veçmas. Lemons (2002) pp. 35–36 (Shih këtu për një shembull .)

 Vërtetimi 

 Vërtetimi duke përdorur funksione karakteristike 
Funksioni karakteristik



i shumës së dy ndryshoreve të rastit të pavarura  dhe  është vetëm prodhimi i dy funksioneve të veçanta karakteristike:



e  dhe .

Funksioni karakteristik i shpërndarjes normale me vlerë të pritur  dhe variancë  është



Kështu që



Ky është funksioni karakteristik i shpërndarjes normale me pritje matematike  dhe variancë 

 Ndryshore rasti të korreluara 
Në rast se ndryshoret  dhe  janë së bashku të shpërndara normalisht, atëherë  është ende e shpërndarë normalisht dhe mesatarja është shuma e mesatareve. Megjithatë, variancat nuk janë shtuese për shkak të korrelacionit. Me të vërtetë,



ku ρ është korrelacioni . Në veçanti, sa herë që ρ < 0, atëherë varianca është më e vogël se shuma e variancave të X dhe Y.