Varianca

Në teorinë dhe statistikat e probabilitetit, varianca ose dispersioni është shamngia në katror nga mesatarja e një ndryshoreje rasti . Varianca shpesh përkufizohet gjithashtu si katrori i devijimit standard . Varianca është një matëse e shpërndarjes, që do të thotë se është një matëse se sa larg është shpërndarë një grup numrash nga vlera e tyre mesatare. Është momenti i dytë qendror i një shpërndarjeje, dhe kovarianca e ndryshores së rastësishme me vetveten, dhe shpesh përfaqësohet nga , , , , ose  . 

Një avantazh i dispersionit si masë e shpërndarjes është se është më i përshtatshëm për manipulimin algjebrik sesa masat e tjera të shpërndarjes, siç është devijimi absolut i pritur ; për shembull, varianca e një shume ndryshoresh rasti të pakorreluara është e barabartë me shumën e variancave të tyre. Një disavantazh i dispersionit në zbatime praktike është se, ndryshe nga devijimi standard, njësitë e tij ndryshojnë nga ajo e n.r, kjo është arsyeja pse devijimi standard raportohet më shpesh si një masë e shpërndarjes pasi përfundon llogaritja.

Ka dy koncepte të ndryshme që emërtohen të dyja "variancë". Njëra, siç u diskutua më lart, është pjesë e një shpërndarjeje teorike probabiliteti dhe përcaktohet nga një ekuacion. Varianca tjetër është një karakteristikë e një grupi vëzhgimesh. Kur varianca llogaritet nga vëzhgimet, ato vëzhgime zakonisht maten nga një sistem i botës reale. Nëse të gjitha rezultatet e mundshme të sistemit janë të pranishme, atëherë varianca e llogaritur quhet variancë e popullsisë. Normalisht, megjithatë, vetëm një nëngrup është i gatshëm dhe varianca e llogaritur nga kjo mënyrë quhet variancë e mostrës. Varianca e llogaritur nga një kampion konsiderohet si një vlerësim i variancës së plotë të popullsisë. Ka shumë mënyra për të llogaritur një vlerësim të variancës së popullsisë, siç diskutohet në seksionin më poshtë.

 Përkufizimi 
Varianca e një ndryshoreje rasti  është vlera e pritur e devijimit nga mesatarja në katror  e ,  :



Ky përkufizim përfshin ndryshore rasti që krijohen nga procese që janë diskrete, të vazhdueshme, as ose të përziera. Varianca mund të konsiderohet gjithashtu si kovarianca e një ndryshoreje të rastësishme me vetveten:



Një tjetër formulë për dispersionin merret si më poshtë:



Me fjalë të tjera, varianca e X është e barabartë me mesataren e n.r  të ngritur në katror minus katrorin e mesatares së . Ky ekuacion nuk duhet të përdoret për llogaritjet duke përdorur aritmetikën me pikë lundruese, sepse vuan nga anulimi katastrofik nëse dy komponentët e ekuacionit janë të ngjashëm në madhësi. Për alternativa të tjera numerikisht të qëndrueshme, shihni Algoritmet për llogaritjen e variancës .

 Ndryshore e rastit diskrete 
Nëse ndryshorja e rastit  është diskrete me funksion mase probabiliteti , atëherë



ku  është vlera e pritur. Kjo është,



Varianca e një bashkësie të  vlerash njëlloj të mundshme shkruhet edhe si:



ku  është vlera mesatare. Kjo është,



 Ndryshoret e rastit absolutisht të vazhdueshme 
Nëse ndryshorja e rastit  ka një funksion të densitetit të probabilitetit , dhe  është funksioni përkatës i shpërndarjes mbledhëse, atëherë



ose në mënyrë të njëvlershme,



 Shembuj 

 Shpërndarja eksponenciale 
Shpërndarja eksponenciale me parametërrin  është një shpërndarje e vazhdueshme, funksioni i densitetit të probabilitetit të së cilës është dhënë nga



në intervalin [0, ∞ ) . Mesatarja e kësaj shpërndarje mund të tregohet se është



Duke përdorur integrimin me pjesë dhe duke përdorur pritje matematike tashmë të llogaritur, ne kemi:



Kështu, varianca e  jepet nga



 Zari i drejtë 
Hedhja e një zari të drejtë mund të modelohet si n.r diskrete, , me rezultate nga 1 deri tek 6, secila me probabilitet të njëjtë 1/6. Pritja matematike e  është Kështu që, varianca e  është



 Shpërndarjet e probabilitetit të përdorura zakonisht 
Emri i shpërndarjes së probabilitetit Funksioni i shpërndarjes së probabilitetit Mesatarja Varianca Shpërndarja binomiale    Shpërndarja gjeometrike    Shpërndarja normale    Shpërndarja uniforme (e vazhdueshme)    Shpërndarja eksponenciale    Shpërndarja Poisson   

 Vetitë 

 Vetitë themelore 
Varianca është jo negative sepse madhësitë e ngritura në katror janë gjithmonë pozitive ose zero:



Varianca e një konstante është zero.



 Çështja e pafundësisë 
Nëse një shpërndarje nuk ka pritje matematike të fundme, siç është rasti për shpërndarjen Cauchy, atëherë edhe varianca nuk mund të jetë e fundme. Megjithatë, disa shpërndarje mund të mos kenë një variancë të fundme, pavarësisht se pritja matematike është e fundme. Një shembull i tillë është një shpërndarje Pareto, indeksi i së cilës  plotëson kushtin 

 Njësitë matëse 
Ndryshe nga devijimi absolut i pritur, varianca e një ndryshore ka njësi që janë katrori i njësive të vetë ndryshores. Për shembull, një ndryshore e matur në metra do të ketë një variancë të matur në metra katrorë. Për këtë arsye, përshkrimi i grupeve të të dhënave nëpërmjet devijimit të tyre standard ose devijimit mesatar katror nën rrënjë shpesh preferohet ndaj përdorimit të variancës. Në shembullin e zareve, devijimi standard është , pak më i madh se devijimi absolut i pritur, 1.5.

 Përhapja 

 Mbledhja dhe shumëzimi me një konstante 
Varianca është e pandjeshme ndaj ndryshimeve në një parametër vendndodhjeje . Kjo do të thotë se nëse një konstante u shtohet të gjitha vlerave të ndryshores, varianca mbetet e pandryshuar:



Nëse të gjitha vlerat shkallëzohen me një konstante, varianca shkallëzohet me katrorin e asaj konstante:



Varianca e shumës së dy ndryshoreve të rastit jepet nga barazimi 





ku  është kovarianca dhe  është devijimi standard i .

 Kombinimet lineare 
Në përgjithësi, për shumën e  ndryshoreve të rastit , varianca gjendet si:



Këto rezultate çojnë në variancën e një kombinimi linear të gjetur si:



Nëse ndryshoret e rastit  janë të tilla që



atëherë thuhet se janë të pakorreluara . Kështu që për to mund të shkruhet:



 Prodhimi ndryshoreve 

 Prodhimi i ndryshoreve të pavarura 
Nëse dy ndryshore  dhe  janë të pavarura, varianca e prodhimit të tyre jepet nga 



Në mënyrë të njëvlerëshme, duke përdorur vetitë themelore të pritjes matematike, ajo jepet nga



 Produkt i ndryshoreve statistikisht të varura 



 Varianca e popullatës dhe varianca e zgjedhjes/kampionimit 
Vëzhgimet e botës reale të tilla si matjet e shiut të djeshëm gjatë gjithë ditës zakonisht nuk mund të jenë grupe të plota të të gjitha vëzhgimeve të mundshme. Si e tillë, varianca e llogaritur nga bashkësia e fundme në përgjithësi nuk do të përputhet me variancën që do të ishte llogaritur nga popullata e plotë e vëzhgimeve të mundshme. Kjo do të thotë që vlerësohet mesatarja dhe varianca nga një bashkësi e kufizuar vëzhgimesh duke përdorur një ekuacion vlerësues . Vlerësuesi është një funksion i zgjedhjes së  vëzhgimeve të nxjerra pa paragjykime vëzhguese nga e gjithë popullata e vëzhgimeve të mundshme. Në këtë shembull ajo zgjedhje do të ishte grupi i matjeve të reshjeve të djeshme nga matësat në gatishmëri.

Vlerësuesit më të thjeshtë për mesataren e popullsisë dhe variancën e popullsisë janë thjesht mesatarja dhe varianca e zgjedhjes/kampionit, mesatarja e zgjedhjes dhe varianca (e pakorrigjuar) e zgjedhjes- këta janë vlerësues të qëndrueshëm (ata konvergjojnë në vlerën e saktë teksa numri i zgjedhjeve rritet), por mund të të përmirësohet. Vlerësimi i variancës së popullatës duke marrë variancën e zgjedhjes është afër optimales në përgjithësi, por mund të përmirësohet në dy mënyra. Më thjeshtë, varianca e kampionit llogaritet si një mesatare e devijimeve në katror rreth mesatares (së kampionit), duke e pjesëtuar me . Megjithatë, përdorimi i vlerave të tjera përveç  përmirëson vlerësuesin në mënyra të ndryshme. Katër vlera për emëruesin janë , , , dhe :  është më e thjeshta (varianca e popullsisë së kampionit),  eliminon paragjykimet,  minimizon gabimin mesatar në katror për shpërndarjen normale, dhe  më së shumti eliminon zjvendosjet/anësinë në vlerësimin e paanshëm të devijimit standard për shpërndarjen normale.

 Varianca e popullsisë 
Në përgjithësi, varianca e popullsisë së një popullate të fundme me madhësi  me vlera  jepet nga



ku mesatarja e popullësisë është



Varianca e popullsisë gjithashtu mund të llogaritet duke përdorur



 Varianca e kampionit 

 Varianca e pazhvendosur e kampionit 
Në shumë situata praktike, varianca e vërtetë e një popullate nuk dihet apriori dhe duhet të llogaritet sipas ndonjë mënyre. Kur kemi të bëjmë me popullata jashtëzakonisht të mëdha, nuk është e mundur të numërohet çdo objekt i popullatës, kështu që llogaritja duhet të kryhet në një zgjedhje të popullsisë. Navidi, William (2006) Statistics for Engineers and Scientists, McGraw-Hill, p. 14. Kjo zakonisht quhet variancë e zgjedhjes ose variancë empirike . Varianca e zgjedhjes mund të zbatohet gjithashtu për vlerësimin e variancës së një shpërndarjeje të vazhdueshme nga një kampion i asaj shpërndarjeje.

Marrim një kampion me zëvendësim të  vlerave  nga popullsia, ku , dhe vlerësojmë variancën në bazë të këtij kampioni. Montgomery, D. C. and Runger, G. C. (1994) Applied statistics and probability for engineers, page 201. John Wiley & Sons New York Marrja e drejtpërdrejtë e variancës së të dhënave të mostrës jep mesataren e devijimeve në katror :



Këtu,  tregon mesataren e mostrës :



Meqenëse Y i zgjidhen rastësisht, të dyja  dhe  janë ndryshore të rastit. Pritjet matematike të tyre mund të vlerësohen duke marrë një mesatare mbi grupin e të gjitha kampioneve të mundshme  me madhësi n nga popullata. Për  kjo jep:



Prandaj  jep një vlerësim të variancës së popullatës që është e njëanshme/ e zhvendosur me një faktor prej  . Per kete arsye,  referohet si varianca e mostrës së njëanshme .

 Varianca e pazhvendosur e zgjedhjes 
Korrigjimi për këtë anësi jep variancën e pazhvendosur të mostrës, të shënuar  :



Secili vlerësues mund të referohet thjesht si varianca e kampionit kur versioni mund të përcaktohet nga konteksti.

Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara