Formula integrale e Cauchy

Në matematikë, formula integrale e Koshisë, e emërtuar sipas Augustin-Louis Cauchy, është një pohim qendror në analizën komplekse . Ai shpreh faktin se një funksion holomorfik i përkufizuar në një disk përcaktohet plotësisht nga vlerat e tij në kufirin e diskut dhe ofron formula integrale për të gjithë derivatet e një funksioni holomorfik. Formula e Koshisë tregon se, në analizën komplekse, "diferencimi është i barabartë me integrimin": diferencimi kompleks, si integrimi, sillet mirë nën kufij uniformë – një rezultat që nuk vlen në analizën reale .

 Teorema 
Le të jetë U një nëngrup i hapur i rrafshit kompleks C, dhe supozojmë diskun e mbyllur D të përcaktuar si



është përmbahet plotësisht në U . Le të jetë f : U → C të jetë një funksion holomorfik, dhe le të jetë γ rrethi, i orientuar në të kundërt të akrepave të orës, duke formuar kufirin e D . Pastaj për çdo abshisë a në brendësi të diskut D,



Vërtetimi i këtij pohimi bëhet me anë të teoremës integrale të Koshisë dhe ashtu si ajo teoremë, kërkon vetëm që  të jetë i diferencueshëm nën numrat kompleksë. Meqenëse  mund të zgjerohet si një seri fuqie në ndryshoren 



rrjedh se funksionet holomorfike janë analitike, pra mund të zgjerohen si seri konvergjente fuqish. Në veçanti  është në fakt pafundësisht i diferencueshëm, me



Kjo formulë nganjëherë quhet formula e diferencimit të Koshisë .

 Shembull 
parapamje|328x328px| Sipërfaqja e pjesës reale të funksionit  dhe polet e tij me konturet e përshkruara në tekst.
Konsiderohet funksioni i ndryshores komplekse



dhe le të jetë C konturi i përshkruar nga  (rrethi me rreze 2).

Për të gjetur integralin e  rreth konturit , duhet të dimë singularitetet e  . Vini re se ne mund ta rishkruajmë g si më poshtë:



ku  dhe   .

Kështu, funksioni g ka pole në  . Modulet e këtyre pikave janë më pak se 2 dhe kështu shtrihen brenda konturit. Ky integral mund të ndahet në dy integrale më të vogla nga teorema Cauchy–Goursat ; domethënë, ne mund ta shprehim integralin rreth konturit si shumën e integralit rreth pikave  dhe  ku konturi është një rreth i vogël rreth çdo poli. Quajini këto konture  rreth  dhe  rreth  .

Tani, secili prej këtyre integraleve më të vogla mund të vlerësohet me formulën integrale të Cauchy, por ato së pari duhet të rishkruhen për të zbatuar teoremën. Për integralin rreth , përkufizohet  si  . Kjo është analitike (pasi konturi nuk përmban pol tjetër). Mund ta thjeshtojmë  që të jetë:



dhe tani



Meqenëse formula integrale e Koshisë thotë se:



ne mund ta vlerësojmë integralin si më poshtë:



Duke bërë të njëjtën gjë për konturin tjetër:



vlerësojmë



Atëherë integrali rreth konturit origjinal C është shuma e këtyre dy integraleve:



Një manipulim elementar duke përdorur zbërthimin e pjesshëm të thyesave :


Kategoria:Analizë matematike