Zbërthimi i pjesshëm në thyesa

Në algjebër, zbërthimi i pjesshëm në thyesa ose zgjerimi i pjesshëm i thyesave të një thyese racionale (d.m.th., një thyesë e tillë që numëruesi dhe emëruesi janë të dy polinome) është një veprim që e shpreh thyesën si shumë, e një polinomi (ndoshta zero) dhe një ose disa thyesave me emërues më të thjeshtë.

Rëndësia e zbërthimit të pjesshëm të thyesave qëndron në faktin se ai ofron algoritme për llogaritje të ndryshme me funksione racionale, duke përfshirë llogaritjen eksplicite të antiderivativëve, Horowitz, Ellis. "Algorithms for partial fraction decomposition and rational function integration." Proceedings of the second ACM symposium on Symbolic and algebraic manipulation. ACM, 1971. zgjerimet e serisë Tejlor, transformimet e anasjellta Z dhe transformimin e anasjelltë të Laplasit. Koncepti u zbulua në mënyrë të pavarur në 1702 nga Johann Bernoulli dhe Gottfried Leibniz.

Në simbole, zbërthimi i fraksionit të pjesshëm i një thyese racional të formës  ku f dhe g janë polinome, është shprehja e tillë si:ku  është një polinom, dhe, për çdo j, emëruesi  është një fuqi e një polinomi të pazbërthyeshëm (që nuk është i faktorizueshëm në polinome me fuqi pozitive), dhe numëruesi  është një polinom i një shkalle më të vogël se shkalla e këtij polinomi të pareduktueshëm.

 Parimet bazë 
Le të jetënjë thyesë racionale, ku  dhe  janë polinome me një ndryshore në  e papërcaktuar mbi një fushë. Ekzistenca e thyesës së pjesshëm mund të vërtetohet duke zbatuar në mënyrë induktive hapat e mëposhtëm të reduktimit.

 Pjesa polinomiale 
Ekzistojnë dy polinome  dhe  të tilla që dheku  tregon shkallën e polinomit P

 Procedura 
Jepen dy polinome  dhe, ku α i janë konstante të dallueshme dhe , shprehjet eksplicite për thyesat e pjesshme mund të merren duke supozuar sedhe më pas zgjidhet për konstantet c i, me zëvendësim, duke barazuar koeficientët e termave që përfshijnë fuqitë e x, ose ndryshe.

Një llogaritje më e drejtpërdrejtë, e cila lidhet fort me interpolimin e Lagranzhit, përbëhet nga shorehjaku  është derivat i polinomit  . Koeficientët e  quhen mbetjet e f/g .

Kjo qasje nuk merr parasysh disa raste të tjera, por mund të modifikohet në përputhje me rrethanat:

 Nëse  atëherë është e nevojshme të kryhet pjesëtimi Euklidian i P me Q, duke përdorur pjesëtimin e gjatë polinomial, duke dhënë  me  . Duke pjesëtuar me  kjo jep
 Nëse  përmban faktorë të cilët janë të pazbërthyeshëm në fushën e dhënë, atëherë numëruesi  i secilës thyesë të pjesshëm me një faktor të tillë  në emërues, duhet të kërkohet si një polinom me , e jo si konstante. Për shembull, merrni zbërthimin e mëposhtëm mbi R : 
 Supozoni  dhe , që do të thotë α është një rrënjë e  me shumëfishitet r . Në zbërthimin e thyesave të pjesshme, r fuqitë e para të do të ndodhen si emërues të thyesave të pjesshme (mundësisht me një numërues zero). Për shembull, nëse S ( x ) = 1, zbërthimi i pjesshëm i thyesës ka formën 

 Illustrim 
Në një zbatim shembull të kësaj procedure,  mund të zbërthehet në formënPastrimi i emëruesve tregon se  . Zgjerimi dhe barazimi i koeficientëve të fuqive të x jep

Zgjidhja e këtij sistemi ekuacionesh lineare për A dhe B jep A = 13/2 dhe B = -3/2 . Prandaj,

 Mbi realet 
Thyesat e pjesshme përdoren në integralet e funksioneve të ndryshores reale për të gjetur integralet e pacaktuara me vlerë reale të funksioneve racionale . Zbërthimi i pjesshëm i thyesave të funksioneve reale racionale përdoret gjithashtu për të gjetur transformimet e tyre të anasjellta të Laplasit . Për aplikimet e zbërthimit të pjesshëm të fraksioneve mbi realet, shih

 Aplikimi për integrimin simbolik, më sipër
 Thyesat e pjesshme në transformimet e Laplasit

 Shembuj 

 Shembulli 1 
Këtu, emëruesi ndahet në dy faktorë të veçantë linearë:pra kemi zbërthimin e thyesës së pjesshmeShumëzimi me emëruesin në anën e majtë na jep identitetin polinomialZëvendësimi i vlerës x = -3 në këtë ekuacion jep A = -1/4, dhe zëvendësimi i vlerës x = 1 jep B = 1/4, në mënyrë që

 Shembulli 2 
Pas pjesëtimit të polinomeve, kemiFaktori  është i pazbërthyeshëm në fushën e numrave realë, pasi dallori i tij (−4)2 − 4×8 = −16 është negativ. Kështu zbërthimi i thyesës së pjesshme mbi numrat realë ka formënDuke shumëzuar me , kemi identitetin polinomialDuke marrë x = 0, shohim se 16 = 8 A, pra A = 2. Duke krahasuar koeficientët x 2, shohim se 4 = A + B = 2 + B, pra B = 2. Duke krahasuar koeficientët linearë, shohim se −8 = −4 A + C = −8 + C, pra C = 0. Gjithsej,Thyesa mund të zbërthehet plotësisht duke përdorur numra kompleksë . Sipas teoremës themelore të algjebrës, çdo polinom kompleks i shkallës n ka n rrënjë (komplekse) (disa prej të cilave mund të përsëriten). Pjesa e dytë mund të zbërthehet në:Duke shumëzuar me emëruesin jepet:Duke barazuar koeficientët e x dhe koeficientët konstante (në lidhje me x ) të të dy anëve të këtij ekuacioni, fitohet një sistem me dy ekuacione lineare në D dhe E, zgjidhja e të cilit ështëKështu kemi një zbërthim të plotë:
Kategoria:Algjebër
Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara