Ekuacioni diferencial i Bernulit

Në matematikë, një ekuacion diferencial i zakonshëm quhet ekuacion diferencial i Bernulit nëse është i trajtës



ku  është një numër real. Ekuacioni u diskutua për herë të parë në një vepër të vitit 1695 nga Jakob Bernuli, pas të cilit është emërtuar. Zgjidhja më e hershme, megjithatë, u ofrua nga Gotfrid Lajbnic, i cili publikoi rezultatin e tij në të njëjtin vit dhe metoda e të cilit është ajo që përdoret ende sot. 

Ekuacionet e Bernulit janë speciale pasi janë ekuacione diferenciale jolineare me zgjidhje të njohura të sakta. Një rast i veçantë i dukshëm i ekuacionit të Bernulit është ekuacioni diferencial logjistik .

 Shndërrimi në një ekuacion diferencial linear 
Kur , ekuacioni diferencial është linear . Kur , është ekuacioni është i ndashëm. Në këto raste mund të zbatohen teknika standarde për zgjidhjen e ekuacioneve të atyre formave. Për  dhe , zevendesimi  redukton çdo ekuacion të Bernulit në një ekuacion diferencial linear



Për shembull, në rastin , duke bërë zëvendësimin  në ekuacionin diferencial  merret ekuacioni , i cili është një ED linear.

 Zgjidhja 
Le të jetë  dhe



të jetë një zgjidhje e ekuacionit diferencial linear



Atëherë kemi:  është një zgjidhje e ekuacionit



Dhe për çdo ekuacion të tillë diferencial, për të gjithë  ne kemi  si zgjidhje për  .

 Shembull 
Konsideroni ekuacionin e Bernulit



Funksioni i vazhdueshëm  është një zgjidhje. Pjesëtimi me  jep



Ndryshimi i ndryshoreve sjell ekuacionet



të cilat mund të zgjidhen duke përdorur faktorin integrues



Duke shumëzuar me 



Ana e majtë mund të përfaqësohet si derivat i  duke shbërë rregullin e produktit . Zbatimi i rregullit të zinxhirit dhe integrimi i të dyja palëve në lidhje me  rezulton në ekuacione



Zgjidhja për  është



 Referime 

 . Cited in .
 .