Shpërndarja e Bernulit

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja e Bernulit, e quajtur sipas matematikanit zviceran Jakob Bernuli,  është shpërndarja diskrete e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme që merr vlerën 1 me probabilitet.  dhe vlerën 0 me probabilitet  . Në mënyrë joformale, mund të mendohet si një model për grupin e rezultateve të mundshme të çdo eksperimenti që shtron një pyetje po-jo . Pyetje të tilla çojnë në rezultate me vlerë buleane : një bit i vetëm, vlera e të cilit është sukses (një) me probabilitet p dhe dështim (zero) me probabilitet q . Mund të përdoret për të përfaqësuar një hedhje monedhe, ku 1 dhe 0 do të përfaqësonin përkatësisht "kokën" dhe "pilin", dhe p do të ishte probabiliteti i rënies së monedhës kokë ose anasjelltas ku 1 do të përfaqësonte pilin dhe p do të ishte probabiliteti i pilit). Në veçanti, monedhat e padrejta do të kishin 

Shpërndarja e Bernulit është një rast i veçantë i shpërndarjes binomiale ku kryhet një provë e vetme (pra n do të ishte 1 për një shpërndarje të tillë binomiale).

 Vetitë 
Nëse  është një ndryshore e rastit me një shpërndarje Bernuli, atëherë:



Funksioni i masës së probabilitetit  i kësaj shpërndarjeje, mbi rezultatet e mundshme k, është



Ky sistem mund të shprehet edhe si



Kurtoza shkon në pafundësi për vlera të larta dhe të ulëta të  por për  shpërndarjet me dy pika duke përfshirë shpërndarjen Bernuli kanë një kurtozë të tepërt më të ulët se çdo shpërndarje tjetër probabiliteti, përkatësisht −2.

Vlerësuesi i përgjasisë maksimale të  bazuar në një kampion të rastësishëm është mesatarja e kampionit .

 Mesatarja 
Pritja e një ndryshoreje të rastësishme Bernoulli  është



Kjo për faktin se për një ndryshore të rastësishme me shpërndarje Bernuli  me  dhe  ne gjejme

  Bertsekas, Dimitri P. (2002). Introduction to Probability. Tsitsiklis, John N., Τσιτσικλής, Γιάννης Ν. Belmont, Mass.: Athena Scientific. ISBN 188652940X. OCLC 51441829.

 Varianca 
Varianca (Dispersioni) i një ndryshore të rastit  me shpërndarje Bernuli është



Së pari gjejmë



  Bertsekas, Dimitri P. (2002). Introduction to Probability. Tsitsiklis, John N., Τσιτσικλής, Γιάννης Ν. Belmont, Mass.: Athena Scientific. ISBN 188652940X. OCLC 51441829.

Me këtë rezultat është e lehtë të vërtetohet se, për çdo shpërndarje Bernuli me një vlerë parametri p , varianca e saj do të ketë një vlerë brenda  .

 Shpërndarjet e ndërlidhura 

 Nëse  janë ndryshore rasti të pavarura, të shpërndara identikisht ( iid ), të gjitha provat e Bernulit me probabilitet suksesi p, atëherë shuma e tyre ndjek një shpërndarjeje binomiale me parametra n dhe p :
  ( shpërndarja binomiale ). Bertsekas, Dimitri P. (2002). Introduction to Probability. Tsitsiklis, John N., Τσιτσικλής, Γιάννης Ν. Belmont, Mass.: Athena Scientific. ISBN 188652940X. OCLC 51441829.

 Shpërndarja e Bernulit është thjesht , shkruar edhe si 

 Shpërndarja kategorike është përgjithësimi i shpërndarjes Bernuli për ndryshore me çdo numër konstant vlerash diskrete.
 Shpërndarja Beta është e konjuguar pararendëse e shpërndarjes Bernuli.
 Shpërndarja gjeometrike modelon numrin e provave të pavarura dhe identike të Bernulit të nevojshme për të arritur një sukses.
 Nëse , atëherë  ka një shpërndarje Rademacher .

 Referime