Dukuria e Runge

Në fushën e analizës numerike, dukuria e Runge ( German: [ˈʁʊŋə] ) është një problem i lëkundjes në skajet e një intervali që ndodh kur përdoret interpolimi polinomial me polinome të shkallëve të larta mbi një grup pikash interpolimi të baraslarguara. Ajo u zbulua nga Carl David Tolmé Runge (1901) kur hetoi sjelljen e gabimeve kur përdorej interpolim polinomial për të përafruar funksione të caktuara.  available at www.archive.org Zbulimi ishte i rëndësishëm sepse tregon se shkuarja në shkallë më të larta nuk përmirëson gjithmonë saktësinë. Fenomeni është i ngjashëm me fenomenin Gibbs në përafrimet e serive Fourier.

 Paraqitja 
Teorema e përafrimit të Weierstrassit thotë se për çdo funksion të vazhdueshëm  të përcaktuar në një segment , ekziston një grup funksionesh polinomiale  për n =0, 1, 2, …, secili prej shkallës të shumtën n, që i përafrohet  me konvergjencë uniforme mbi [ a, b ] kur n tenton për në pafundësi, d.m.th.



Konsideroni rastin kur interpolohet përmes n +1 pikave të barabarta të një funksioni f ( x ) duke përdorur polinomin n -shkallë P n ( x ) që kalon nëpër ato pika. Natyrisht, mund të pritet nga teorema e Weierstrass se përdorimi i më shumë pikave do të çonte në një rindërtim më të saktë të f ( x ). Megjithatë, ky grup i veçantë i funksioneve polinomiale P n ( x ) nuk është i garantuar të ketë vetinë e konvergjencës uniforme; teorema thotë vetëm se ekziston një grup funksionesh polinomiale, pa ofruar një metodë të përgjithshme për të gjetur një të tillë .

 e prodhuar në këtë mënyrë në fakt mund të largohet nga ndërsa n rritet; kjo zakonisht ndodh në një model oscilues që zmadhohet pranë skajeve të pikave të interpolimit. Zbulimi i kësaj dukurie ndodhi nga Runge. 

 Problem 
Marrim në shqyrtim funksionin Runge



(një version i shkallëzuar i Shtrigës së Agnesit ). Runge zbuloi se nëse ky funksion interpolohet në pikat e baraslarguara xi ndërmjet − 1 dhe 1 në mënyrë të tillë që:



me një polinom  të shkallës ≤ n, interpolimi që rezulton lëkundet drejt fundit të intervalit, pra afër − 1 dhe 1. Madje mund të vërtetohet se gabimi i interpolimit rritet (pa kufi) kur rritet shkalla e polinomit:



Kjo tregon se interpolimi polinomial i shkallës së lartë në pika të baraslarguara mund të jetë i mundimshëm.

 Arsyeja 
Fenomeni i Runge është pasojë e dy vetive të këtij problemi.

 Magnituda e derivateve të rendit n të këtij funksioni të veçantë rritet shpejt kur rritet n .
 Baraslargësia ndërmjet pikave çon në një konstante Lebegu që rritet shpejt kur rritet n .

Dukuria është grafikisht e dukshme sepse të dyja vetitë kombinohen për të rritur magnitudën e lëkundjeve.

Gabimi ndërmjet funksionit gjenerues dhe polinomit interpolues të rendit n jepet nga



 Metoda zbutëse 

 Ndryshimi i pikave të interpolimit 
Lëkundjet mund të minimizohen duke përdorur nyjet që shpërndahen më dendur drejt skajeve të intervalit, konkretisht, me dendësi asimptotike (në segmentin [ -1, 1 ] ) të dhënë nga formula   . Një shembull standard i një grupi të tillë nyjesh janë nyjet e Çebishevit, për të cilat gabimi maksimal në përafrimin e funksionit Runge garantohet të zvogëlohet me rritjen e rendit polinom.

 Përdorimi i polinomeve pjesë-pjesë 
Problemi mund të shmanget duke përdorur kurba spline të cilat janë polinome pjesë-pjesë. Kur përpiqet të zvogëlohet gabimi i interpolimit, mund të rritet numri i pjesëve polinomale që përdoren për të ndërtuar spline në vend të rritjes së shkallës së polinomeve të përdorura.

 Nxënia e katrorëve më të vegjël 
Një metodë tjetër është nxënia e një polinomi të shkallës më të ulët duke përdorur metodën e katrorëve më të vegjël. Në përgjithësi, kur përdoren  pika të baraslarguara, nëse  atëherë përafrimi i katrorëve më të vegjël  është i mirëkushtëzuar. 

 polinomi i Bernshtajnit 
Duke përdorur polinomet e Bernshtajnit, mund të përafrohet në mënyrë të njëtrajtshme çdo funksion i vazhdueshëm në një interval të mbyllur, megjithëse kjo metodë është mjaft e kushtueshme nga ana llogaritëse.

 Referime 

Kategoria:Analiza numerike