Problemi i ditëlindjes

Në teorinë e probabilitetit, problemi i ditëlindjes kërkon vlërën e probabilitetit ashtu që në një grup prej  personash të zgjedhur rastësisht, së paku 2 persona kanë ditëlindjen (ditën e lindjes, jo vitin) e njejtë. Ky problem njihet edhe si paradoksi i ditëlindjes për arsye se në një grup prej 23 personash probabiliteti që së paku 2 prej tyre kanë ditëlindje të njejtë është më i madh se 50%, që është shumë kundërintuitive.

Paradoksi i ditëlindjes në shikim të parë duket si i gabuar, por në fakt është i saktë. Mund të duket i habitshëm fakti që vetëm 23 persona nevojiten që probabiliteti të kaloj 50% kur një vit ka 365 (ose 366) ditë. Ky rezultat mund të bëhet më intuitiv duke vërejtur se krahasimet e ditëlindjeve do të bëhen midis çdo dysheje të mundëshme të individëve. Me 23 persona, janë  dyshe për ti konsideruar, që është më e madhe se gjysma e ditëve në një vit(182 ose 183).

Problemi i atributohet Harold Davenport-it rreth vitit 1927, por ai nuk e publikoi atë. Davenport nuk e pranoi të quhet zbuluesi i problemit “sepse ai nuk mund të besonte që ky problem nuk është paraqitur më parë". Publikimi i parë i një versioni të problemit të ditëlindjes ishte nga Richard von Mises në vitin 1939.

 Llogaritja e probabilitetit 
parapamje|238x238px|Grafi tregon probabilitetin që nga grupi prej n personash së paku 2 kanë ditëlindjen e njejtë () dhe probabilitetin e kundërt që nga grupi prej n personash asnjë person në grup ka ditëlindjen e njejtë (), 
Problemi është të gjejmë probabilitetin që nga një grup prej  personash së paku 2 kanë ditën e lindjes së njejtë. Për thjeshtësi vitet e brishta dhe binjakët nuk do të merren parasyshë si dhe supozohet se të gjitha 365 ditëlindjet kanë gjasë të ndodhjes të njejtë, që është rasti më i keq.

Qëllimi është të llogarisim probabilitetin , probabiliteti që së paku dy persona në grup kanë ditëlindjen (ditën e lindjes) e njejtë. Megjithatë më lehtë është të llogaritet probabiliteti i kundërt , probabiliteti që asnjë person në grup ka ditëlindjen e njejtë. Meqë  dhe  janë probabilitete të kundërta, 

Ta llogarisim  për 23 persona. Po i numërojmë 23 personat me numra nga 1 deri 23. Po e shënojmë me ngjarja 1 ngjarjen që personi 1 ka ditëlindje, me ngjarja 2 ngjarjen që personi 2 nuk e ka ditëlindjen e njejtë me personin 1, me ngjarja 3 ngjarjen që personi 3 nuk e ka ditëlindjen e njejtë me personin 2 dhe personin 1, e kështu me rradhë. Ngjarja që 23 personat të kenë ditëlindje të ndryshme është e njejtë me ngjarjen kur ngarja 1, ngjarja 2, ngjarja 3, e kështu me rradhë deri te ngjarja 23, ndodhin njëkohësisht. Ky probabilitet llogaritet me ndihmën e probabilitetit të kushtëzuar. Probabiliteti i ngjarjes 1 është , probabiliteti i ngjarjes 2 pas ndodhjes së ngjarjes 1 është  për arsye se personi 2 mund të ketë çfardo ditëlindje tjetër përveq ditës së njejtë si personi 1. Ngjashëm probabiliteti i ngjarjes 3 pas ndodhjes së ngjarjeve 1 dhe 2 është  e kështu me rradhë deri te ngjarja 23 e cila ka probabilitet . Tani, probabiliteti  është i barabart me prodhimin e probabiliteteve të gjitha ngjarjeve 1 deri 23, një nga një, pra:pasi të grumbullohen termat në shprehjen e mësipërme marrim:

Pas njehësimit marrim: 

Përfundimisht,  

Ky proces mund të gjeneralizohet për një grup prej  personash, ku  është probabiliteti që së paku 2 persona kanë ditëlindjen e njejtë. Njësoj si më herët është më leht të gjindet probabiliteti i kundërt , probabiliteti që të gjitha  ditëlindjet janë të ndryshme. Sipas parimit të kafazëve të pëllumbave probabiliteti  është zero kur . Për  kemi:parapamje|248x248px|Probabiliteti që asnjë person nuk e ka ditëlindjen e njejtë me personat tjetrë në një grup në raport me numrin e personave në atë grup.Shprehja e mësipërme arrihet nga fakti se personi i parë mund ta ketë çfardo ditëlindje, personi i dytë mund të ketë çfardo ditëlindje përveq ditës së njejtë me ditëlindjen e personit të parë, personi i tretë mund ketë çfardo ditëlindje përveq ditëve që kanë ditëlindjen personi i parë dhe i dytë, e kështu me rradhë deri te personi i -të i cili mund të ketë çfardo ditëlindje përveq ditëve që kanë ditëlindjen  personat para tij.

Nga probabiliteti i kundërt , gjejmë probabilitetin ,Pra:Tabela në vijim tregon probabilitetin  për disa vlera të -it (për këtë tabelë injorohet ekzistenca e viteve të brishta, dhe çdo ditëlindje supozohet të ketë gjasë të ndodhjes të njejtë):

10%52.71356%1011.69482%2041.14384%2350.72972%3070.63162%4089.12318%5097.03736%6099.41227%7099.91596%8099.99143%9099.9993848%10099.999969275107%20099.9999999999999999999999999998389874%300(100 − 6×10−80)%365(100 − 1.45×10−155)%≥  366 100%
Vitet e brishta. Nëse zëvendësojmë 366 në vend të 365 në formulën për  atëherë mund të llogaritet probabiliteti i problemit të ditëlindjes edhe për vitet e brishta.

Nëse shënojmë me  këtë probabilitet do të kemi:Pas një kalkulimi tregohet se edhe te vitet e brishta njësoj si vitet normale, numri i personave që nevojiten ashtu që probabiliteti të kaloj 50% është 23.

 Përafrime 
Zgjerimi i funksionit eksponencial me anë të serive të Taylorit (Numri e )ofron një përafrim të rendit të parë për  kur :Për ta zbatuar këtë përafrim tek shprehja e parë e nxjerrë për , marrim . Kështu,parapamje|320x320px|Grafi tregon saktësinë e përafrimit ().
Pastaj zëvendësojmë  me numra të plotë pozitivë për çdo term në shprehjen për , deri tek .

Për shembull për ,Shprehja e parë e nxjerrë për  mund të përafrohet siPrej këtu,Një përafrim më i thjeshtë jepet medhe siç shihet në graf është përafrim mjaft i mirë.

 Një fuqizim i thjeshtë 
parapamje|320x320px|Përafrimi i problemit të ditëlindjes me anë të një fuqizimi të thjeshtë.
Probabiliteti që 2 persona mos ta kenë ditëlindjen e njejtë është . Në një grup prej  personash janë  dyshe të ndryshme të personave, mund të themi se janë ngjarje. Probabiliteti që çdo dy persona në grup nuk e kanë ditëlindjen e njejtë, mund të përafrohet duke supozuar se të gjitha  ngjarjet janë të pavarura dhe duke i shumëzuar probabilitetet e tyre me njëra tjetrën. D.m.th probabiliteti  shumëzohet me veten  herë, pra:Tani, përafrimi i probabilitetit që në një grup prej  personash së paku 2 persona kanë ditëlindjen e njejtë është:Siç shihet nga grafiku, përafrimi është mjaft i mirë, por pak më i dobët se përafrimi i parë.

 Referime 

Kategoria:Matematikë