Funksioni integral logaritmik

Në matematikë, funksioni integral logaritmik ose logaritmi integral li( x ) është një funksion i veçantë . Është i rëndësishëm dhe u përket shumë problemeve të fizikës dhe ka rëndësi në teorinë e numrave . Në veçanti, sipas teoremës së numrave të thjeshtë, është një përafrim shumë i mirë me funksionin e numërimit të numrave të thjeshtë , i cili përcaktohet si sasia e numrave të thjeshtë më pak ose i barabartë me një vlerë të caktuar.  .
djathtas|parapamje|300x300px| Grafiku i funksionit integral logaritmik

 Përfaqësimi integral 
Integrali logaritmik ka një paraqitje në trajtë integrali për të gjithë numrat realë pozitivë x ≠ 1 të dhënë nga integrali i caktuar



Këtu,  paraqet logaritmin natyror . Funksioni  ka një pol për  dhe integrali për  interpretohet si një vlerë kryesore Koshi ,



 Integrali logaritmik i mënjanuar 
Integrali logaritmik i mënjanuar ose integrali logaritmik Eulerian përkufizohet si



Si i tillë, përfaqësimi integral ka përparësinë e shmangies së polit në fushën e integrimit.

 Përfaqësimi sipas serive 
Funksioni li( x ) lidhet me integralin eksponencial Ei( x ) nëpërmjet ekuacionit



i cili vlen për x > 0. Ky identitet ofron një paraqitje serike të li( x ) të dhënë si:



ku γ ≈ 0,57721 56649 01532 . . . OEIS : A001620 është konstantja e Euler-Maskeronit . Një seri konvergjente më e shpejtë nga Ramanujani  është



 Domethënia për teorinë e numrave 
Integrali logaritmik është i rëndësishëm në teorinë e numrave, duke u paraqitur në vlerësimet e sasisë së numrave të thjeshtë më të vegjël se një vlerë e dhënë. Për shembull, teorema e numrave të thjeshtë thotë se:



ku  tregon numrin e numrave të thjeshtë më të vegjël ose të barabartë me  .

Duke supozuar hipotezën e Riemann-it, marrim një lidhje dhe më të fortë: Abramowitz and Stegun, p. 230, 5.1.20



Për vlera të vogla të -it,  por ndryshesa kthen shenjë një numër i pafundëm herësh me rritjen e -it, dhe hera e parë që ndodh është diku midis 10 19 dhe 1.4×10 316 .

 Referencat 

Kategoria:Teoria e numrave
Kategoria:Analizë matematike