Formula e Heronit

Në gjeometri, formula e Heronit (ose formula e Heroit ) jep syprinën A të një trekëndëshi në terma të tre gjatësive të brinjëve a, b, c . Nëse  është gjysmëperimetri i trekëndëshit, sipërfaqja është, 



Ai është emëruar sipas inxhinierit të shekullit të parë Heronit të Aleksandrisë (ose Heroi) i cili e vërtetoi atë në veprën e tij Metrica, megjithëse ndoshta ishte e njohur shekuj më parë.

 Shembull 
Le të jetë △ABC trekëndëshi me brinjë a = 4, b = 13 dhe c = 15 . Gjysmëperimetri i këtij trekëndëshi është:



dhe kështu është syprina është



Në këtë shembull, gjatësitë e brinjëve dhe syprina janë numra të plotë, duke e bërë atë një trekëndësh Heronian . Sidoqoftë, formula e Heronit funksionon po aq mirë në rastet kur një ose më shumë nga gjatësitë e brinjëve nuk janë numra të plotë.

 Shprehje alternative 
Formula e Heronit gjithashtu mund të shkruhet vetëm në lidhje me gjatësinë e brinjëve në vend të përdorimit të gjysmëperimetrit, në disa mënyra,



I njëjti relacion mund të shprehet duke përdorur përcaktorin Cayley-Menger ,



 Vërtetimet 

 Vërtetimi trigonometrik duke përdorur ligjin e kosinusit 
Një provë moderne, e cila përdor algjebërën dhe është krejt e ndryshme nga ajo e dhënë nga Heroni, vijon si më poshtë.  Le të jenë a, b, c brinjët e trekëndëshit dhe α, β, γ këndet përballë atyre brinjëve. Duke zbatuar ligjin e kosinusit marrim



Nga kjo provë, marrim lidhjen algjebrike që



Lartësia e trekëndëshit në bazën a ka gjatësi b sin γ, dhe vijon



 Vërtetimi algjebrik duke përdorur teoremën e Pitagorës 
parapamje|270x270px|Trekëndëshi me lartësi  baza prerëse  në  
Prova e mëposhtme është shumë e ngjashme me atë të dhënë nga Raifaizeni.  Nga teorema e Pitagorës kemi  dhe  sipas figurës në të djathtë. Nga zbritja e këtyre rezulton  . Ky ekuacion na lejon të shprehim  në terma të brinjëve të trekëndëshit:



Për lartësinë e trekëndëshit marrim  . Duke zëvendësuar d me formulën e dhënë më sipër dhe duke zbatuar identitetin e diferencës së katrorëve, marrim



Tani e zbatojmë këtë rezultat në formulën që llogarit syprinën e një trekëndëshi nga lartësia e tij:



 Qendrueshmëria numerike 
Formula e Heronit siç është dhënë më sipër është numerikisht e paqëndrueshme për trekëndëshat me një kënd shumë të vogël kur përdoret aritmetika me presje notuese . Një alternativë e qëndrueshme   përfshin rregullimin e gjatësive të anëve në mënyrë që a ≥ b ≥ c dhe llogaritjen



Kllapat në formulën e mësipërme kërkohen për të parandaluar paqëndrueshmërinë numerike në vlerësim.

 Përgjithësimet 
djathtas|parapamje|192x192px| Katërkëndëshi ciklik
Formula e Heronit është një rast i veçantë i formulës së Brahmaguptës për sipërfaqen e një katërkëndëshi ciklik . Formula e Heronit dhe formula e Brahmaguptës janë të dyja raste të veçanta të formulës së Bretschneider-it për sipërfaqen e një katërkëndëshi . Formula e Heronit mund të merret nga formula e Brahmagupta-s ose formula e Bretschneider-it duke bërë zero njërën nga anët e katërkëndëshit.

Formula e Brahmagupta-s jep sipërfaqen K të një katërkëndëshi ciklik brinjët e të cilit kanë gjatësi a, b, c, d si më poshtë



ku s, gjysmëperimetri, është përcaktuar të jetë



 Formula e tipit heron për vëllimin e një tetraedri 
Nëse U, V, W, u, v, w janë gjatësitë e skajeve të tetraedrit (tre të parat formojnë një trekëndësh; u përballë U e kështu me radhë), atëherë W. Kahan, "What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?",, pp. 16–17.


ku shprehjet në të përkatësisht janë:



 Formulat e Heronit në gjeometritë jo-Euklidiane 
Ekzistojnë gjithashtu formula për sipërfaqen e një trekëndëshi për sa i përket gjatësisë së brinjëve të tij për trekëndëshat në sferë ose planin hiperbolik .  Page 66 in   Për një trekëndësh në sferë me gjatësi anësore , gjysmë perimetri  dhe zona  një formulë e tillë ështëndërsa për rrafshin hiperbolik kemi

 Referime 

Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara