Induksioni matematik

Historia 
Përdorimi i njohur i induksionit matematik është brenda punës së matematikanit Francesco Maurolico(1494-1575).
Ai shkori gjerësisht mbi veprat e matematikës klasike dhe dha shumë kontribute në gjeometri dhe optikë.

Pas kësaj, Arithmeicorum Libri Duo,Maurolico shpjegoi përhapjen e vetive të numrave të plotë së bashku me provat e këtyre vetive.
Për vërtetimin e këtyre vetive, ai shpiku taktikën e induksionit matematik.Gjatë këtij libri, përdorimi i tij i parë i induksionit matematik ishte të vërtetonte se shuma e n numrave të plotë të qfarëdoshëm pozitiv është e barabartë me n2.

Augusus De Morgan-it i janë dhënë meritat për prezantimin parësor në 1838 duke përdorur induksionin matematik, gjithashtu futjen e terminologjisë "Induksioni Matematikor".
Provat e Maurolico ishin joformale dhe ai kurrë nuk e përdori falën 'Induksion'.Emri 'Induksion' u përdor nga matematikani anglez John Wallis.

 Hyrje 
Induksioni matematik është një metodë e vërtetimit që përdoret në matematikë.

Vërtetimet që përdorin induksionin matematik ndahen në dy pjesë.

Në hapin e parë apo hapin bazë duhet të tregojmë se formulimi vlen për numrin pozitiv 1.

Në hapin e dytë që quhet hipoteza induktive tregojmë se nëse formulimi vlen për një numër pozitiv n duhet të vlejë edhe për një numër më të madh pozitiv n+1.

Induksioni matematik bazohet në përfundimin që na tregon se nëse P(1) dhe  ∀n(P(n)→P(n+1)) janë të vërteta për domenën e numrave pozitivë, atëherë  ∀nP(n) është poashtu e vërtetë.

 Pse është i vlefshëm induksioni matematike? 
Pse induksioni matematik është një teknikë e vlefshme vërtetimi?  -Arsyeja vjen nga vetia e renditjes së mirë,  si një aksiomë për bashkësinë e numrave të plotë pozitivë, e cila thotë se çdo nëngrup jo bosh i grupit të numrave të plotë pozitivë ka një element më të vogël. Pra, supozojmë se e dimë se P(1) është e vërtetë dhe se propozimi P(k)→P(k+1) është i vërtetë për të gjithë numrat e plotë pozitiv k. Për të treguar se P(n) duhet të jetë e vërtetë për të gjithë numrat e plotë pozitivë n, supozojmë se ekziston në të paktën një numër i plotë pozitiv për të cilin P(n) është false. Atëherë bashkësia S e numrave të plotë pozitivë për të cilët P(n) është false nuk është bosh. Kështu, nga vetia e renditjes së mirë, S ka një element më të vogël, i cili do të shënohet me m. Ne e dimë se m nuk mund të jetë 1, sepse P(1) është e vërtetë. Për shkak se m është pozitiv dhe më i madh se 1, m−1 është një numër i plotë pozitiv. Për më tepër, për shkak se m−1 është më e vogël se m, nuk është në S, kështu që P(m−1) duhet të jetë e vërtetë. Për shkak se pohimi i kushtëzuar P(m − 1) →P(m) është gjithashtu i vërtetë, duhet të ndodhë që P(m) të jetë e vërtetë. Kjo bie ndesh me zgjedhjen e m. Prandaj, P(n) duhet të jetë e vërtetë për çdo numër të plotë pozitiv n.

 Induksioni i Forte dhe Induksioni i dobet 
Dallimi midis induksionit të dobët dhe induksionit të fortë shfaqet vetëm në hipotezën e induksionit. Në induksionin e dobët, ne supozojmë vetëm se pohim i veçantë vlen në hapin k-të, ndërsa në induksionin e fortë, supozojmë se deklarata e veçantë vlen në të gjitha hapat nga rasti bazë deri në hapin k-të.

 Shembuj 

 Një metodë vizuale për të shpjeguar konceptin e induksionit është rënia e dominove të cilat kapin thelbin e induksionit.Për ta përshkruar mendoni formulimin si domino, të rreshtuara në një rresht.Imagjinoni se mund ta vërtetojmë pohimin e parë S1 dhe simbolizoni këtë si domino S1 duke u rrëzuar. Pastaj imagjinoni që mund të vërtetoni se çdo pohim S(k) është i vërtetë dhe detyron pohimin tjetër Sk+1 të jetë i vërtetë (të bjerë). Pastaj S1 bie, dhe rrëzon S2. Tjetra S2 bie dhe rrëzon S3, pastaj S3 rrëzon S4, e kështu me radhë. Përfundimi i pashmangshëm është se të gjitha deklaratat janë rrëzuar dhe në këtë rast dëshmohen të vërteta.(Fig.1).
 Nëse duam të vërtetojmë se 1+2+3+...+n=për qdo numër natyror n.

 Kemi rastin e parë kur n=1,  dmth është e vërtetë
 Nëse e kemi vërtetuar formulen për n raste, atëherë:

Kjo është formula për rastin e (n+1).

 Inekuacionet 
-Më poshtë, ne do të vërtetojmë disa pohime rreth pabarazive që mbështeten në vetinë kalimtare të pabarazisë:

Nese a < b dhe b < c , atehere a < c.

Vini re se ne gjithashtu mund të bëjmë një deklaratë të tillë duke i kthyer rreth marrëdhënieve (d.m.th., duke përdorur pohime "më e madhe se") ose duke bërë pohime përfshirëse, si p.sh. a ≥ b.

Është gjithashtu e rëndësishme të theksohet se kjo veti e numrave të plotë është një postulat, ose një pohim që ne supozojmë se është i vërtetë. Kjo do të thotë që ne nuk kemi nevojë të vërtetojmë vetinë kalimtare të pabarazisë.   Ju keni hasur në veti të tjera të dobishme të pabarazive në kurset e mëparshme të algjebrës:

Vetia e mbledhjes: nëse a > b , atëherë a + c > b + c.

Vetia e shumëzimit: nëse a > b, dhe c > 0 atëherë ac > bc.

Shembulli 1.

-Për cilat vlera të x është e vërtetë pabarazia x > x2? 

Zgjidhja:

-Pabarazia është e vërtetë nëse x është një numër midis -1 dhe 1, por jo 0.

Shembulli 2.

Vërtetoni se 2n<n! për të gjithë numrat e plotë pozitivë n ku n≥4.

Përdorni tre hapat e vërtetimit me induksion:

Hapi 1) Rasti bazë: 24<4!

2⋅2⋅2⋅2<1⋅2⋅3⋅4

16<24 ..... Kjo kontrollohet

Hapi 2) Supozimi: 2k<k!

Hapi 3) Hapi i induksionit: duke filluar me 2k<k! vërtetoni 2k(k+1)<k!(k+1)

2k(k+1)<(k+1)!

2<k+1 ..... Nëse k≥4 atëherë kjo është e vërtetë

2k⋅2<2k(k+1) ... Shumëzojini të dyja anët me 2k

2k+1<2k(k+1)

2k+1<(k+1)!

∴2n<n! për të gjithë numrat e plotë pozitivë n ku n≥4

Shembulli 3.

Vërtetoni se 2n+1<2n për të gjithë numrat e plotë n>3.

Përdorni tre hapat e vërtetimit me induksion:

Hapi 1) Rasti bazë: Nëse n = 3, 2(3) + 1 = 7, 23 = 8 : 7 < 8, atëherë rasti bazë është i vërtetë.

Hapi 2) Hipoteza induktive: Supozoni se 2k + 1 < 2k për k > 3

Hapi 3) Hapi induktiv: Tregoni se 2(k + 1) + 1 < 2k + 1

2(k + 1) + 1 = 2k + 2 + 1 = (2k + 1) + 2 < 2k + 2 < 2k + 2k = 2 (2k) = 2k + 1

 Te Mirat dhe te metat e Induksionit Matematike 
Një pikë e rëndësishme duhet të bëhet në lidhje me induksionin matematik përpara se të fillojmë një studim të përdorimit të tij. E mira e induksionit matematik është se mund të përdoret për të vërtetuar një hamendje pasi të jetë bërë (dhe është e vërtetë). E keqja e saj është se nuk mund të përdoret për të gjetur teorema të reja. Matematikanët ndonjëherë gjejnë prova nga ana matematikore dukje të pakënaqshme sepse ato nuk ofrojnë njohuri se pse teoremat janë të vërteta. Shumë teorema mund të vërtetohen në shumë mënyra, duke përfshirë induksionin matematik. Dëshmitë e këtyre teoremave me metoda të tjera përveç induksionit matematikor shpesh preferohen për shkak të njohurive

 Konkluzion 
Një pikë kyçe e të menduarit matematikor është deduksioni. Përkundër deduksionit, përgjithësimi varet nga puna me lloje të ndryshme rastesh dhe zhvillimi i një hamendjeje duke vëzhguar rastet derisa të kemi vëzhguar secilin rast. Prandaj, me një gjuhë të thjeshtë dhe të drejtpërdrejtë do të themi fjala “INDUKSION” nënkupton përgjithësimin nga raste apo fakte të veçanta.

Parimi i induksionit matematik është një mjet i tillë që mund të jetë i zakontë për të provuar një lloj të mirë të pohimeve matematikore. Çdo pohim i tillë supozohet si P(n) i lidhur me numrin e plotë pozitiv n, që ekzaminohet korrektësia për rastin n=1. Pastaj duke supozuar realitetin e P(k) për disa numra të plotë pozitivë k, realiteti i P(k+1) përcaktohet.

 References