Funksioni eksponencial

djathtas|parapamje|200x200px| Funksionet eksponenciale me bazat 2 dhe 1/2
Në matematikë, një funksion eksponencial është një funksion i formës:

ku b është një numër real pozitiv jo i barabartë me 1, dhe argumenti apo ndyshorja  x paraqitet si eksponent. Për numrat realë c dhe d, një funksion i formës  është gjithashtu një funksion eksponencial.

 Për b > 1, funksioni  është në rritje (është rritës,siç përshkruhet për b = e dhe b = 2 ), sepse  e bën derivatin gjithmonë pozitiv; 
 Për b <1, funksioni është në zvogëlim (është zvogëues,siç përshkruhet për b = 1/2); 
 Për b = 1 funksioni është konstant sepse për çdo x, .

Grafiku i  është i pjerrët lart, dhe rritet më shpejt kur x rritet.  Grafiku qëndron gjithmonë mbi boshtin x, por i afrohet pambarimisht atij për x mëdha negative; kështu, boshti x është një asimptotë horizontale. Funksioni i tij i anasjelltë është logaritmi natyror, i shënuar     ose  për shkak të kësaj, disa tekste të vjetra  referohen funksionit eksponencial si antilogaritmi .

Mund të tregohet se çdo zgjidhje e vazhdueshme, jo zero e ekuacionit funksional  është një funksion eksponencial,  me  Identiteti shumëzues, së bashku me përkufizimin , tregon se  për numrat e plotë pozitivë n, që lidhin funksionin eksponencial me nocionin themelor të eksponentimit.

Argumenti i funksionit eksponencial mund të jetë çdo numër real ose kompleks, apo edhe një lloj krejtësisht i ndryshëm objekti matematikor (p.sh., matrica ).

Prania e gjithanshme e funksionit eksponencial në matematikën e pastër dhe të zbatuar e ka çuar matematikanin W. Rudin të mendojë se funksioni eksponencial është "funksioni më i rëndësishëm në matematikë".  Në cilësimet e zbatuara, funksionet eksponenciale modelojnë një marrëdhënie në të cilën një ndryshim i vazhdueshëm në ndryshoren e pavarur jep të njëjtin ndryshim proporcional (dmth., Rritja ose zvogëlimi i përqindjes) në ndryshoren e varur. Kjo ndodh gjerësisht në shkencat natyrore dhe shoqërore, si në një popullsi vetë-riprodhuese, një fond që grumbullon interes të përbërë, ose një organ në rritje të ekspertizës së prodhimit . Kështu, funksioni eksponencial shfaqet gjithashtu në një larmi kontekstesh brenda fizikës, kimisë, inxhinierisë, biologjisë matematikore dhe ekonomisë .

 Përkufizimi zyrtar 
djathtas|parapamje| Funksioni eksponencial (në blu), dhe shuma e termave të parë n + 1 të serisë së tij të energjisë (me të kuqe).
Funksioni real eksponencial  mund të karakterizohet në një larmi mënyrash të njëvlershme. Zakonisht përcaktohet nga seritë e mëposhtme :  



Meqenëse rrezja e konvergjencës së kësaj serie fuqish është e pafundme, ky përkufizim është, në fakt, i zbatueshëm për të gjithë numrat kompleksë  (shih  për zgjatjen e  në planin kompleks). Konstantja e pastaj mund të përkufizohet si 

Diferencimi term pas termi i kësaj serie fuqie zbulon se  për të gjithë x-et reale, duke çuar në një karakterizim tjetër të përbashkët të  si zgjidhje unike e ekuacionit diferencial



duke përmbushur kushtin fillestar 

Bazuar në këtë karakterizim, rregulli i zinxhirit tregon se funksioni i tij i anasjelltë, logaritmi natyror, kënaq  për  ose  Kjo marrëdhënie çon në një përkufizim më pak të zakonshëm të funksionit real eksponencial  si zgjidhje  te ekuacioni



Me anë të teoremës së binomit dhe përcaktimit të serisë së energjisë, funksioni eksponencial mund të përcaktohet gjithashtu si kufiri vijues:  



 Përmbledhje 
parapamje| Lakorja e kuqe është funksioni eksponencial. Vijat e zeza horizontale tregojnë se ku kalon vijat vertikale të gjelbërta.
Funksioni eksponencial lind sa herë që një sasi rritet ose prishet në një normë proporcionale me vlerën e saj aktuale. Një situatë e tillë është interesi i përbërë vazhdimisht, dhe në fakt ishte kjo vëzhgim që e çoi Jacob Bernoulli në 1683  në numrin



tani njihet si e . Më vonë, në 1697, Johann Bernoulli studioi gurin e funksionit eksponencial. 

Derivati (shkalla e ndryshimit) e funksionit eksponencial është vetë funksioni eksponencial. Në përgjithësi, një funksion me një normë ndryshimi proporcional me vetë funksionin (në vend se i barabartë me të) është i shprehur në aspektin e funksionit eksponencial. Kjo veti e funksionit çon në rritje eksponenciale ose prishje eksponenciale .

Funksioni eksponencial shtrihet në një funksion të tërë në planin kompleks . Formula e Euler lidh vlerat e saj me argumente thjesht imagjinare me funksionet trigonometrike . Funksioni eksponencial gjithashtu ka analoge për të cilat argumenti është një matricë, apo edhe një element i një algjebra Banach ose një algjebër Lie .

 Derivatet dhe ekuacionet diferenciale 
djathtas|parapamje|391x391px| Derivati i funksionit eksponencial është i barabartë me vlerën e funksionit. Nga çdo pikë P në kurbë (blu), le të vizatohet një vijë tangjente (e kuqe), dhe një vijë vertikale (jeshile) me lartësi h, duke formuar një trekëndësh kënddrejtë me një bazë b në boshtin x . Meqenëse pjerrësia e vijës së kuqe tangjente (derivati) në P është e barabartë me raportin e lartësisë së trekëndëshit me bazën e trekëndëshit (ngritje mbi vrapim), dhe derivati është i barabartë me vlerën e funksionit, h duhet të jetë e barabartë me raporti i h me b . Prandaj, baza b duhet të jetë gjithmonë 1
Rëndësia e funksionit eksponencial në matematikë dhe shkenca buron kryesisht nga vetia e tij si funksion unik i cili është i barabartë me derivatin e tij dhe është i barabartë me 1 kur x = 0 . Kjo eshte,



Funksionet e trajtës  për çdo konstante C janë funksionet e vetme që janë të barabarta me derivatin e tyre (nga teorema Picard – Lindelöf ). Veti të tjera të funksionit eksponencial përfshijnë:

 Pjerrësia e grafikut në çdo pikë është vlera e funksionit në atë pikë.
 Shkalla e rritjes së funksionit në x është e barabartë me vlerën e funksionit në x .
 Funksioni zgjidh ekuacionin diferencial y ′ = y .
 Shembull është një pikë fikse e derivatit si funksionale .

Nëse rritja ose prishja e një variabli është proporcionale me madhësinë e saj - siç është rasti në rritjen e pakufizuar të popullsisë (shih katastrofën Malthusiane ), interesi i përbërë vazhdimisht ose prishja radioaktive - atëherë variabla mund të shkruhet si një kohë konstante e një funksioni eksponencial të kohës . Në mënyrë të qartë për çdo konstante reale k, një funksion f : R → R kënaq  nëse dhe vetëm nëse  për disa c konstante. Konstantja k quhet konstante e shpërbërjes,  konstante e shpejtësisë,  ose konstante e transformimit . 

Për më tepër, për çdo funksion të diferencueshëm f ( x ), nga rregulli i zinxhirit gjejmë:



 Thyesat e vazhduara për  
Një fraksion i vazhdueshëm për e x mund të merret përmes një identiteti të Euler :



Fraksioni i vijuar i përgjithësuar i vazhduar për konvergon më shpejt: 



ose në rastet kur z=2:



 Llogaritja 
Kur llogaritni (një përafrim të) funksionit eksponencial pranë argumentit 0, rezultati do të jetë afër 1, dhe llogaritjen e vlerës së diferencës  me aritmetikë me pikë lundruese mund të çojë në humbjen e (ndoshta të gjitha) figurave të rëndësishme, duke prodhuar një gabim të madh llogaritje, ndoshta edhe një rezultat të pakuptimtë.

Pas një propozimi nga William Kahan, mund të jetë e dobishme të kesh një rutinë të dedikuar, shpesh të quajtur expm1, për llogaritjen ex - 1 direkt, duke anashkaluar llogaritjen e e x . Për shembull, nëse eksponenciali llogaritet duke përdorur seritë e tij Taylor



dikush mund të përdorë serinë Taylor të 



Kjo u zbatua për herë të parë në vitin 1979 në llogaritësin Hewlett-Packard HP-41C, dhe u sigurua nga disa kalkulatorë,   sisteme operative (për shembull Berkeley UNIX 4.3BSD  ), sisteme algjebra kompjuterike dhe gjuhë programimi ( për shembull C99 ). 

Përveç bazës e, standardi IEEE 754-2008 përcakton funksione të ngjashme eksponenciale afër 0 për bazën 2 dhe 10:  dhe  .

Një qasje e ngjashme është përdorur për logaritmin (shih lnp1 ). 

Një identitet në lidhje me tangjentën hiperbolike ,



jep një vlerë me precizion të lartë për vlerat e vogla të x në sistemet që nuk zbatojnë expm1(x ) .

 Referime 

 McGraw-Hill Encyclopedia of Science & Technology (10th ed.). New York: McGraw-Hill. 2007. ISBN 978-0-07-144143-8.
 Serway, Raymond A.; Moses, Clement J.; Moyer, Curt A. (1989), Modern Physics, Fort Worth: Harcourt Brace Jovanovich, ISBN 0-03-004844-3
 Simmons, George F. (1972), Differential Equations with Applications and Historical Notes, New York: McGraw-Hill, LCCN 75173716

 Linqe te jashtme 

 "Exponential function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
 "Complex exponential function". PlanetMath.
 "Derivative of exponential function". PlanetMath.
Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara
Kategoria:Matematikë