Mesatarja logaritmike

Në matematikë, mesatarja logaritmike(mesi logaritmik) është një funksion i dy numrave jo-negativ i cili është i barabartë me ndryshimin e tyre i ndarë me logaritmin e herësit të tyre. 

 Përkufizimi 
Mesatarja logaritmike(mesi logaritmik) përcaktohet si:



për numrat pozitivë  .

 Pabarazitë 
Mesatarja logaritmike (mesi logaritmik) e dy numrave është më e vogël se mesatarja aritmetike dhe mesatarja e përgjithësuar me një eksponent një të tretën por më e madhe se mesatarja gjeometrike, përveç nëse numrat janë të njëjtë, në këtë rast të tre mjetet janë të barabartë me numrat.



 Rrjedhje 

 Teorema e vlerës mesatare të llogaritjes diferenciale 
Nga teorema e vlerës mesatare, ekziston një vlerë  në intervalin ndërmjet x dhe y ku derivati  është e barabartë me pjerrësinë e vijës secant :



Mesatarja logaritmike merret si vlera e  duke zëvendësuar  për  dhe në mënyrë të ngjashme për derivatin e tij përkatës:



dhe zgjidhja për  :



 Integrimi 
Mesatarja logaritmike mund të interpretohet gjithashtu si zonë nën një kurbë eksponenciale .



Interpretimi i zonës lejon nxjerrjen e lehtë të disa vetive themelore të mesatares logaritmike. Meqenëse funksioni eksponencial është monotonik, integrali mbi një interval me gjatësi 1 kufizohet nga  dhe  . Homogjeniteti i operatorit integral transferohet tek operatori mesatar, dmth  .

Dy paraqitje të tjera të dobishme integrale janëdhe

 Përgjithësimi 

 Teorema e vlerës mesatare të llogaritjes diferenciale 
Dikush mund të përgjithësojë mesataren për  ndryshoret duke marrë parasysh teoremën e vlerës mesatare për ndryshimet e ndara për  derivati i logaritmit.

Ne marrim



ku  tregon një ndryshim të ndarë të logaritmit.

Për  kjo çon në

  .

 Integrali 
Interpretimi integral mund të përgjithësohet në më shumë variabla, por çon në një rezultat tjetër. Duke pasur parasysh thjeshtësinë  me  dhe një masë e përshtatshme  i cili i përcakton thjeshtëzit një vëllim prej 1, marrim



Kjo mund të thjeshtohet duke përdorur ndryshimet e ndara të funksionit eksponencial në

  .

Shembull 

  .

 Lidhja me mjete të tjera 

 Mesatarja aritmetike : 

 Mesatarja gjeometrike : 

 Mesatarja harmonike : 

 Shiko gjithashtu 

 Një mesatare e ndryshme që lidhet me logaritmet është mesatarja gjeometrike .
 Mesatarja logaritmike është një rast i veçantë i mesatares Stolarsky .
 Diferenca mesatare logaritmike e temperaturës
 Seminarizimi i logaritmit

 Referime 

 Citimet

 Bibliografi

 Oilfield Glossary: Term 'logarithmic mean'
 Stolarsky, Kenneth B.: Generalizations of the logarithmic mean, Mathematics Magazine, Vol. 48, No. 2, Mar., 1975, pp 87–92