Katrori i Binomit

Në algjebër elementare, teorema binom (ose zgjerimi binomial) përshkruan zgjerimin algjebrik të fuqive të një binomi. Sipas teoremës, është e mundur  të zgjerohet polinomi  (x + y) në një shumë që përfshin termat e formës a xb yc, ku eksponentët b dhe c janë integers jo-negativë  me b + c = n dhe koeficienti a i çdo termi është një numër i plotë pozitiv në varësi të n dhe b. Për shembull:

Koeficienti a në termin e një xb yc njihet si koeficienti binomial  ose  (të dy kanë të njëjtën vlerë). Këta koeficientë për ndryshimin e  dhe  mund të rregullohen për të formuar trekëndëshin Pascal. Këto numra gjithashtu lindin në kombinatorikë, ku   jep numrin e kombinimeve të ndryshme të elementëve b që mund të zgjidhen nga një element  i vendosur.

Shembuj
Shembulli më themelor i teoremës binomiale është formula për katrorin e x + y:

Koeficientët binom 1, 2, 1 që paraqiten në këtë zgjerim korrespondojnë me rreshtin e dytë të trekëndëshit Pascal. (Vini re se lartësia "1" e trekëndëshit konsiderohet të jetë rreshti 0, sipas konventës.) Koeficientët e fuqive më të larta të x + y korrespondojnë me rreshtat më të ulëta të trekëndëshit:

Disa shpjegime në përgjithësi, për zgjerimin :
fuqitë e   fillojnë në  dhe ulen me 1 në çdo afat deri sa të arrijnë 0 (me , shpesh të pashkruar);
fuqitë e  fillojnë në 0 dhe rritet për 1 derisa të arrijnë formën ;
rreshti i -të  i trekëndëshit të Pascalit  do të jenë koeficientët e binomit të zgjeruar kur kushtet janë rregulluar në këtë mënyrë;
numri i termave në zgjerimin para se  termat të kombinohen, është shuma e koeficientëve dhe është e barabartë me ; dhe 
do të ketë terma  në shprehjen pas kombinimit të termave në zgjerim

Kategoria:Matematikë