Derivati

Derivati i një funksioni me ndryshore reale mat ndjeshmërinë e një sasie për të ndryshuar (një vlerë funksioni ose ndryshorja e varur), që përcaktohet nga një tjetër sasi (ndryshorja e pavarur). Derivatet janë një mjet themelor në analizën matematike. Për shembull, derivati i një pozicioni të një objekti që lëviz, në lidhje me kohën, është shpejtësia e atij objekti: kjo mat se sa shpejt ndryshon pozicioni i objektit me kalimin e kohës.

Derivati i një funksioni me një ndryshore të vetme në një pikë të caktuar, kur ekziston, është pjerrësia e tangentes ndaj grafikut të funksionit në atë pikë. Tangentja është përafrimi më i mirë linear i funskionit pranë asaj pike të dhënë. Për këtë arsye, derivati shpesh përshkruhet si "shkalla e ndryshimit të çastit", raporti i ndryshimit të çastit në ndryshoren e varur me ndryshimin e çastit në ndryshoren e pavarur.

Derivatet mund të përgjithësohen edhe për funksionet me disa ndryshore reale. Në këtë përgjithësim, derivati interpretohet si një transformim linear grafiku i të cilit është përafrimi më i mirë linear me grafikun e funksionit origjinal. Matrica jakobiane është matrica që përfaqëson këtë transformim linear në lidhje me bazën e dhënë nga zgjedhja e ndryshoreve të pavarura dhe të varura. Mund të llogaritet në kushtet e derivateve të pjesshme në lidhje me ndryshoret e pavarura. Për një funksion me vlera reale me disa ndryshore, matrica jakobiane reduktohet në vektorin gradient.

Procesi i gjetjes së derivatit quhet diferencim. Procesi i anasjelltë quhet antidiferencim. Teorema themelore e analizës matematike thotë se antidiferencimi është i njëjtë me integrimin. Diferencimi dhe integrimi përbëjnë dy veprime themelore në analizën me funksione me një ndryshore.Analiza diferenciale, siç diskutohet dhe në këtë artikull, është një disiplinë matematikore e punuar mjaft mirë, për të cilën ka shumë burime. Pothuajse i gjithë materiali i këtij artikulli mund të gjendet në Apostol 1967, Apostol 1969, and Spivak 1994.

 Diferencimi dhe derivati 
Diferencimi është veprimi i llogaritjes së derivatit. Derivati i një funksioni  të një ndryshoreje  është një matje e shkallës në të cilën vlera e funksionit ndryshon në lidhje me ndryshimin e ndryshores. Quhet derivati i  në lidhje me . Nëse  dhe  janë numra realë, dhe nëse grafiku i  ndërtohet sipas , derivati është pjerrësia e këtij grafiku në çdo pikë.

Rasti më i thjeshtë, përveç rastit të funksioni konstant, është kur  është një funksion linear i , që do të thotë që grafiku i  pjesëtuar me  është një drejtëz. Në këtë rast, , për numrat realë  dhe , dhe pjerrësia  jepet nga

ku simboli  është shkurtim për shprehjen "ndryshimi në." Kjo formulë është e vërtetë sespe

Prandaj, mqs

do të kemi

Kjo jep një vlerë ekzakte për pjerrësinë e një drejtëze.
Nëse funksioni  nuk është linear (funksioni i tij nuk është drejtëz), megjithatë, atëherë ndryshimi në  përmbi ndryshimin në  ndryshon: diferencimi është një metodë për të gjetur një vlerë ekzakte për këtë shkallë ndryshimi për çdo vlerë të dhënë të .

Ideja, e ilustruar në figurat 1,2 dhe 3, është llogaritja e shkallës së ndryshimit si vlerë limite të raportit të diferencave  kur  bëhet pambarimisht i vogël.

Simboli
Për derivatin përdoren zakonisht dy simbole të ndryshme, njëri që rrjedh nga Lajbnici dhe tjetri nga Lagranzhi.

Në simbolin e Laibnicit, një ndryshim pambarimisht i vogël i  shënohet me , dhe derivati i  në lidhje me  shkruhet

(Shprehja e mësipërme lexohet si "derivati i y në lidhje me x", "d y ndaj d x", ose "d y përmbi d x".)

Në simbolin e Lagranzhit, derivati në lidhje me  i një funksioni  shënohet  (lexohet si "f prim x") ose  (lexohet si "f prim x i x-it"), në rast paqartësie në lidhje me ndryshoren që derivohet. Simboli i Lagranzhit i atribuohet ndonjëhere gabimisht Njutonit.

Shënime

Kategoria:Matematikë