Integralet jo te vete

Integralet jo të  vetë  

Në përkufizimin e integralit te caktuar :      supozohej se intervali [a,b] është I fundëm, ndërsa funksioni f(x) të jetë I vazhdueshëm në këtë interval.Mirëpo problemet e ndryshme,si ato teorike ashtu edhe ato praktike,shpesh na sjellin deri te integrali I caktuar I funksionit në interval të pafundëm apo te integrali I caktuar I funksionit që ka shkëputje në intervalin [a,b].Integralet e  tillë I quajmë integrale jo të  vetë.

Integrali jo i vetë me kufij të pafundëm

Le të jetë f një funksion i vazhdueshem në intervalin e pafundëm [a, ).Integrali jo i vetë i funksionit f të vazhdueshëm në [a, ) e quajme limitin e integralit :          kur t→  dhe simbolikisht shkruajmë:

Në qoftë se ekziston ky limit dhe është i fundëm,atëherë themi se integrali jo i vetë  konvergjon,në raste tjera themi se integrali jo i vetë divergjon.
Në mënyrë analoge përkufizohet edhe integrali jo i vetë me kufirin e poshtëm të pafundëm:

.

Në qoftë se funksioni f është i vazhdueshëm në intervalin e pafundem (,),atëherë integrali:

.

konvergjon kur të dy integralet në anën e djathtë të barazimit konvergjojnë,ndërsa c është një numër i çfarëdoshëm.

Në shumë probleme si praktike ashtu edhe teorike paraqitet rasti kur funksioni primitiv i funksionit nënintegral nuk është funksion elementar,por nevojitet të dihet se integrali jo i vetë i tillë a konvergjon apo divergjon.Prandaj,ngjashëm me seritë numerike,pa e njehesuar integralin jo të vetë,me kritere krahasuese,mund te konkludohet se a konvergjon apo divergjon.

Teoremë
Le të jenë f dhe g dy funksione të tilla që për çdo x  (a,) vlen 0   f(x)  g(x).Atëherë,

(I) në qoftë se konvergjon   ,konvergjon dhe ;

(II) në qoftë se divergjon   ,divergjon  dhe ;

Në qoftë se  konvergjon, atëherë konvergjon edhe .

Për integralin   themi se konvergjon absolutisht në qoftë se konvergjon integrali  .Në qoftë se  divergjon, por  konvergjon,atëherë themi se integrali  konvergjon joabsolutisht.

Integrali jo i vetë i funksionit të pakufizuar

Integral jo i vetë është edhe integrali me kufij të fundëm të integrimit, por funksioni nënintegral është i pakufizuar  në një pikë  apo në një numër  të fundëm pikash  të  intervalit të intgrimit.

Le  të jetë f një funksion i vazhdueshëm në [a,b) dhe le të jetë : ose   : .Atëherë  integrali :

 =   ,  (a  t < +)

konvergjon  sa herë që limiti në anën e djathtë të barazimit  të mësipërm të ekziston.

Në  qoftë se funksioni f është i vazhdueshëm  në intervalin [a,b]  përveç  në pikën  c, a<c<b dhe   , atëherë  integrali jo i vetë:

=  +  ,konvergjon, në qofte se të  dy integralet në  anën e djathte te barazimit konvergjojnë.Përkufizimi i fundit mund të përgjithsohet edhe në rastin kur funksioni f në intervalin [a,b] ka një numër të fundëm pikash ci (i=1,2,...,n) për të  cilat :

Në qoftë se në intervalin [a,b) funksionet f dhe g janë të  tilla që   dhe :  si dhe 0  , atëherë :

(I) në qoftë se konvergjon   ,konvergjon dhe  ;

(II) në qoftë se divergjon   ,divergjon  dhe  .

Referimet

Matematika II,III, Dr.Sc. Ejup Hamiti
http://mathworld.wolfram.com/Integral.html
https://sq.wikipedia.org/wiki/Integrali

Kategoria:Matematikë