Ekuacionet diferenciale

Ekuacionet ne te cilat bejne pjese derivatet ose diferencialet quhen ekuacione diferenciale. Pra ekuacioni i cili permban nje apo me shumë funksione të panjohura, me një apo më shumë ndryshore të pavarura dhe së paku një prej derivateve te funksioneve të panjohur, quhet ekuacion diferencial. Nëse ne ekuacionin diferencial ka vetëm një ndryrshore të pavarur, atehere atë e quajmë ekuacion diferencial i zakonshëm (EDZ).

Ekuacionet diferenciale kane rëndësi jashtëzakonisht te madhe në teknikë dhe fusha te ndryshme të shkencës sepse me ane tyre mund lidhen shumë madhësi dhe funksione të ndryshme. Fushat ku gjejne zbatim me te madh jane:

 Inxhinieria

 Fizika 

 Ekonomia 

 dhe disiplina tjera

Me studimin e ekuacioneve diferenciale merret matematika e aplikuar ose ndryshe matematika e zbatuar dhe përgjithësisht Matematika. Ekuacionet diferenciale luajnë rol kyç ne modelimin virtual te proceseve teknike, fizike, biologjike etj. Dega e cila mirret me studimin e stabilitetit te ekuacioneve diferenciale njihet si teoria e stabilitetit. Për më tepër lexo .

 Historia 
Ekuacionet diferenciale u zbuluan me shpikjen e analizës matematike nga Njutoni dhe Lajbnici . Në kapitullin 2 të veprës së tij të vitit 1671 Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum Newton, Isaac. (c.1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series), published in 1736 [Opuscula, 1744, Vol. I. p. 66]. Isak Njutoni renditi tre lloje ekuacionesh diferenciale:

Në të gjitha këto raste,  është një funksion i panjohur i  (ose i  dhe  ), dhe  është një funksion i dhënë.

Jakob Bernuli propozoi ekuacionin diferencial të Bernulit në 1695.  Ky është një ekuacion i zakonshëm diferencial i trajtës:

për të cilin vitin e ardhshëm Lajbnici gjeti zgjidhje duke e thjeshtuar. 

 Shembuj 
Në mekanikën klasike, lëvizja e një trupi përshkruhet nga vendndodhja dhe shpejtësia e tij me kalimin e kohës. Ligjet e Njutonit lejojnë që këto ndryshore të shprehen në mënyrë dinamike (duke pasur parasysh vendndodhjen, shpejtësinë, nxitimin dhe forcat e ndryshme që veprojnë mbi trup) si një ekuacion diferencial për pozicionin e panjohur të trupit në funksion të kohës.

Një shembull i modelimit të një problemi të botës reale duke përdorur ekuacione diferenciale është përcaktimi i shpejtësisë së një topi që bie, duke marrë parasysh vetëm rëndesën dhe rezistencën e ajrit. Nxitimi i topit drejt tokës është nxitimi për shkak të gravitetit minus ngadalësimin për shkak të rezistencës së ajrit. Graviteti konsiderohet konstant dhe rezistenca e ajrit mund të modelohet si e përpjesshme me shpejtësinë e topit. Kjo do të thotë se nxitimi i topit, i cili është një derivat i shpejtësisë së tij, varet nga shpejtësia (dhe shpejtësia varet nga koha). Gjetja e shpejtësisë në funksion të kohës përfshin zgjidhjen e një ekuacioni diferencial dhe verifikimin e vlefshmërisë së tij.

Hyrje
Rendi i ekuacionit diferencial konsiderohet rendi i derivatit më të lartë në ekuacion. Keshtu qe mund te themi se ka ekuacione te rendit te pare, te rendit te dyte, te rendit te trete e deri te ekuacionet e rendit n. Trajta implicite e ekuacionit te rendit n jepet me ekuacionin :

Zgjidhje e pergjithshme ose integral i pergjithshem i ekuacionit diferencial te rendit n quhet zgjidhja e cila permban n konstanta te pavarura te cfaredoshme. Zgjidhje partikulare quhet cdo zgjidhje e cila mund te merret nga zgjidhja e pergjithshme kur konstantave u japim vlera te caktuara. Zgjidhja singulare fitohet kur nuk mund te merret nga zgjidhja e pergjithshme per vlera te caktuara te konstantave te cfaredoshme.
Qe te caktohet nje zgjidhje partikulare e ekuacionit diferencial jepen konditat e ashtuquajtura fillestare.

 Shembuj te ekuacioneve diferenciale 

Ne kete rast te shembujve, le te jete u e panjohur ne funksion te x, dhe c dhe ω konstante te panjohura.

 Ekuacion johomogjen i zakonshem i rendit te parë me koeficientë konstantë :

 Ekuacion homogjen linear i rendit te dytë  :

 Ekuacioni homogjen i rendit të dytë me koeficientë konsantë që përshkruan lavjerrësin harmonik:

 Ekuacioni heterogjen jolinear i rendit të parë:

 Ekuacioni jolinear i rendit të dytë që përshkruan lavjerrësin me gjatësi L

Në grupin tjetër të shëmbujve, funksioni i panjohur, , varet nga dy ndryshore  por ndonjëherë edhe  ose 

 Ekuacioni me derivate të pjesshme linear homogjen i rendit të parë

 Ekuacioni i Laplasit (linear, homogjen, i rendit të dytë dhe me koeficientë konstantë)

 Zgjidhjet e ekuacioneve diferenciale 
Zgjidhja e ekuacioneve diferenciale nuk është si zgjidhja e ekuacioneve algjebrike . Jo vetëm që zgjidhjet e tyre janë shpesh të paqarta, por nëse zgjidhjet janë unike ose ekzistojnë janë gjithashtu subjekte interesi.

Aplikimet e ekuacioneve diferenciale
Shumë ligje te njohura nga fizika dhe kimia mund të formulohen me anen e ekuacioneve diferenciale. Ne biologji dhe ekonomi me anën e ekuacioneve diferenciale mund te shqyrtohet kompleksiteti i sistemeve te ndryshme.

 Softuer kompjuterik 

 ExpressionsinBar
 Maple: dsolve
 SageMath
 Xcas: desolve(y'=k*y,y)

Ekuacionet Diferenciale Me Te Njohura
Fizike dhe Inxhinieri
 Newton's Second Law ne dynamics (mechanics)
 Euler–Lagrange equation ne mekaniken klasike
 Hamilton's equations ne mekaniken klasike
 Radioactive decay ne nuclear physics 
 Newton's law of cooling ne thermodynamics 
 Ekuacioni i vales wave equation
 Maxwell's equations ne electromagnetism
 Ekuacioni i nxehtesise heat equation ne thermodynamics
 Laplace's equation, definon harmonic function
 Poisson's equation
 Einstein's field equation ne general relativity
 The Schrödinger equation ne quantum mechanics
 The geodesic equation
 The Navier–Stokes equations ne fluid dynamics
 The Diffusion equation ne stochastic processes

Biologji

Verhulst equation – rritja biologjike e populacionit
von Bertalanffy model – rritja biologjike e populacionit
Lotka–Volterra equations – dinamika e populacioni dinamik
Replicator dynamics – e gjetur ne biologjine teorike
Hodgkin–Huxley model – potencialet neurale

Ekonomi
The Black–Scholes PDE
Exogenous growth model
Malthusian growth model
The Vidale–Wolfe advertising model

Referime

 Matematika 2 - Hajdar Peci(Fakulteti i Inxhinierise Elektrike dhe Kompjuterike)
 Matematika 3(Ejup Hamiti dhe Shqipe Lohaj) - Permbledhje Detyrash(Fakulteti i Inxhinieris Elektrike dhe Kompjuterike)

Kategoria:Ekuacione