Kardinalitet

Kardinaliteti 
Termi kardinalitet vie nga përdorimi i rëndomtë i termit numra kardinal, dhe paraqet madhësinë e bashkësisë në kuptimin se sa i madh është numri i elementeve të asaj bashkësie.
Kardinaliteti i bashkësive të fundme
Le të jetë  një bashkësi e cila ka saktësisht  elementë të ndryshme, ku  është numër i plotë jonegativ. Themi se  është një bashkësi e fundme dhe se  paraqet numrin e elementeve të asaj bashkësie ose ndryshe kardinalitetin e bashkësisë . Kardinaliteti shënohet zakonisht me , por mund të shkruhet edhe si ,  ose  . P.sh nëse bashkësia  e dhënë me  përmban 5 elemente të ndryshme, themi se kjo bashkësi ka kardinalitet të barabartë me 5, pra . 

 Përkufizim 1: Bashkësitë A dhe B kanë të njëjtin kardinalitet vetëm atëherë kur ekziston një bijeksion nga  në  ose anasjelltas, dhe me këtë rast shënojmë . 

 Përkufizim 2: Nëse nga bashkësia A në bashkësinë B ekziston funksioni injektiv , themi se kardinaliteti i  është më i vogël ose baraz me kardinalitetin e  dhe simbolikisht shënojmë  ≤ . Nëse përveq kësaj vlen edhe se kardinaliteti i bashkësisë  është i ndryshëm nga kardinaliteti i bahshkësisë , atëherë themi se kardinaliteti i -së është më i vogël se kardinaliteti i -së, dhe shënojmë .
 Përkufizim 3: Çdo bashkësi, kardinaliteti i së cilës është më i vogël se i numrave natyrorë, quhet bashkësi e fundme. Çdo bashkësi e fundme është bashkësi e numrueshme.

Kardinaliteti i bashkësive të pafundme
Kardinaliteti i bashkësive si kuptim, zgjerohet edhe në bashkësitë e pafundme. Bashkësitë e pafundme i ndajmë në bashkësi të pafundme të numrueshme dhe bashkësi të pafundme të panumrueshme. 

 Përkufizim 4: Bashkësia e cila është e fundme, ose është e pafundme me kardinalitet të njëjtë me bashkësinë e numrave natyrorë ℕ, quhet bashkësi e numrueshme.  Bashkësia e cila nuk është e numrueshme quhet e panumrueshme. Kur një bashkësi e pafundme  është e numrueshme, shënojmë kardinalitetin e  me ℵ0, pra ℵ0   (lexohet "alef zero"). Shembull: Tregoni se bashkësia e numrave pozitiv tek është bashkësi e numrueshme. Zgjidhje: Për ta treguar se bashkësia e numrave pozitiv tek është e numrueshme, gjejmë një funksion bijektiv nga kjo bashkësi në bashkësinë e numrave natyrorë, ose anasjelltas. Marrim funksionin    nga bashkësia ℕ në bashkësinë e numrave natyrorë tek të dhënë me . Tregojmë se  është bijektiv, duke treguar se është  dhe . Për të parë se  është , supozojmë se . Atëherë kemi:  Pra, funksioni  është injektiv.Për të treguar se  është mbi, supozojmë se  është numër natyrorë tek.Atëherë  është për 1 më i vogël se një numër qift , ku  është numër natyrorë. Pra kemi  që do të thotë se ∀ ∈ ℕ,  ∃ ∈  i tillë që  Andaj funksioni  është mbi. Pasi që  është  dhe , atëherë funksioni është bijektiv, që d.m.th se bashkësia  është e numrueshme, çka edhe duhej vërtetuar.  Një bashkësi e pafundme është e numrueshme atëherë dhe vetëm atëherë kur mund ti radhisim elementet e saj në varg (me indeks numra natyrorë). Kjo sepse bijeksioni  nga bashkësia e numrave natyrorë në një bashkësi  mund të shkruhet si varg:1, 2, … , n, …,    ku  1 = f(1), 2 = f(2), … , n = f(n), … .
 Teoremë 1: Nëse  dhe  janë bashkësi të numrueshme, atëherë edhe ∪ është e numrueshme.
 Teoremë 2: Teorema e SCHRÖDER-BERNSTEIN  Nëse  dhe  janë bashkësi të tilla që  ≤  dhe  ≤  atëherë .   Nëse ekzistojnë funksione injektive  nga  në  dhe   nga  në , atëherë ekziston një funksion bijektiv në mes  dhe . 

Kategoria:Matematikë
Kategoria:Bashkësitë