Transformimi i Laplasit

Në matematikë, transformimi i Laplasit (i emërtuar sipas zbuluesit, Pierre-Simon Laplace) është një transformim integral që pasqyron një funksion me vlera reale (zakonisht , në rrafshin e kohës) në një funksion të ndryshores komplekse  (në rrafshin e frekuencës). Shndërrimi ka shumë zbatime në shkencë dhe inxhinieri sepse është një mjet për të zgjidhur ekuacione diferenciale. Në veçanti, ai shndërron ekuacionet diferenciale të zakonshme (EDZ) në ekuacione algjebrike dhe thurjen në shumëzim.

Transformimet e Laplasit
Transformimi I Laplasit për sinjalin  përkufizohet si :

Ku ndryshorja  është madhësi komplekse  . Zbatim më të madh praktikë ka transformimi i njëanshëm i Laplasit , ku merr parasysh vetem pjesën shkakesore të sinjalit 

Vetit e transformimit të Laplasit 
Lineariteti 
Shumës së peshuar(kombinimit linear) të hyrjeve I përgjigjet kombinimi linear i transformimeve përkatëse me pesha të njëjta.
 dhe  

.Zona e konvergjencës së X(s) formohet nga bashkësia vlerave të s për të cilat bashkërisht konvergjojnë   dhe  

Zhvendosja në kohë:
Sinjali i zhvendosur për tο çiftohet me transformimin

.Vetia vlen pa kufizim vetëm për transformimin dyanësor, pra si për vlera pozitive ashtu edhe për vlera negative të zhvendosjes .Te transformimi njëanësor i .
.Laplasit vetia vlen vetëm për vlera pozitive të , pra për  vetia nuk vlen.

Zhvendosja në domenin s
Nëse  atëherë vlen

Zona e konvergjencës së  zhvendoset për Re[sₒ] ndaj asaj të .

Shkallëzimi në kohë
Nëse  dhe  është numër real atëherë vlen: 
Zona e konvergjencës gjithashtu shkallëzohet 

Vetia e thurjes në kohë
Nëse  dhe , me zona të konvergjencës ,
përkatësisht , atëherë:

Vetia e diferencimit në kohë
Në qoftë se  është transformimi i njëanshëm i , atëherë për
derivatin e  vlen:


Zona e konvergjencës mbetet e njëjtë me atë të , pos në rastin
kur  ka pol në , në këtë rast ky pol anulohet dhe për rrjedhojë
zona e konvergjencës ndryshon.
Transformim dyanësor i rendit arbitrar të derivatit të  merr
trajtën:

Diferencimi në rrafshin s

Zona e konvergjencës mbetet e njëjtë.
Në rastin e përgjithshëm, për derivatin e , vlen:

Integrimi në rrafshin kohor:

Terorema për  vlerën fillestare:
Vlera fillestare e sinjalit shkakësor  mund të përcaktohet nga  përmes relacionit:

Teorema për pikën fundore:
Vlera fundore e sinjalit shkakësor  mund të përcaktohet nga
relacioni:

Tabela e disa funksioneve bazike
 Sinjali në domenin kohor   Sinjali në domenin s  Zona e konvergjencës    ROC                                             

Transformimi i kundërt i Laplasit
Bazë për përcaktimin e shprehjes për transformim të kundërt të Laplasit , mund të shërbejnë shprehjet e cifteve transfomuese Furie.
Sipas interpretimit më të drejtpërdrejt , transformimi Furie  paraqet vlerat e transformimit të Laplasit , , nëpër boshtin imagjinar 

Transformimi i Laplasit i sinjalit x(t) mund të interpretohet edhe si transformim Furie i sinjalit .
Me këtë shmanget problemi i përfshirjes së boshtit imagjinar në zonën e konvergjencës.

ose 

 Zbatime 

 Impedanca e një kapacitori 
Në teorinë e qarqeve elektrikë,rryma në një kapacitor është e përpjesshme me kapacitancën dhe shkallën e ndryshimit në potencialin elektrik (me ekuacionet për sistemin SI të njësive). Simbolikisht kjo shprehetj nga ekuacioni diferencialku  është kapacitanca e kondensatorit,  është rryma elektrike nëpërmjet kondensatorit si funksion i kohës, dhe  është voltazhi ndërmjet terminaleve të kondensatorit, është gjithashtu një funksion i kohës.

Duke marrë shndërrimin e Laplasit të këtij ekuacioni, përftojmëkudheDuke zgjidhur për  marrimPërkufizimin i impedancës komplekse  (në ohm) është raporti i voltazhit kompleks  i pjesëtuar me rrymën komplekse  duke mbajtur gjëndjen fillestare  në çastin t=0:Duke përdorur këtë përkufizim dhe ekuacionin e mëparshëm, gjejmë që:e cila është shprehja e saktë për impedancën komplekse të kondensatorit. Më tej, shndërrimi i Laplasit gjen zbatime të shumta në teorinë e kontrollit.

 Përgjigja e impulsit 
Konsideroni një sistem LTI me funksionin e transferimit:Përgjigja impuls është vetëm transformimi i anasjelltë i Laplasit i këtij funksioni transferimi:

 Referimet

Hwei P. Hsu, 1995, McGraw-Hill. “Schaum's Outline of Theory and Problems of Signals and Systems” 
E. Kamen and B. Heck; 3rd ed., 2006, Prentice Hall.“Signals and Systems”
Alan V. Oppenheim, 2nd ed., Ligj. 1 1 1996, Prentice Hall. “Fundamentals of Signals and Systems-Using Matlab”
“Sinjalet dhe Sistemet” Ilir Limani – Ligjërata të Autorizuara